Simulado Nacional ITA

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1 Simulado Nacional ITA Matemática Durate o simulado é proibido consultar qualquer tipo de material e o uso de calculadora. As respostas devem ser submetidas em paperx.com.br em até duas horas a partir do início deste simulado. A equipe PaperX deseja a todos uma boa prova! Disciplina Consciente é o Código de Honra do iteano. Consiste em fazer o certo por amor à verdade e não por temor a uma eventual punição. 16/11/016

2 Questão 1. Quais afirmativas abaixo são verdadeiras: I. Se y = log (x + x + 1 ), então ( y y ) x é igual a. II. Sejam r e s inteiros quaisquer. Então 1 divide r + 5s se e somente se 1 divide 7r + s. III. O número de restos diferentes possíveis na divisão de n² por 17 é 8. IV. A função f: R { } R, f(x) = x+1 +x é injetiva, mas não sobrejetiva. A ( ) Apenas I, II e III B ( ) Apenas I, III e IV C ( ) Apenas II, III e IV D ( ) Apenas II e IV E ( ) Todas Questão. Seja P(X) o conjunto das partes de X (isto é, o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de X). Quais afirmações abaixo são verdadeiras: I. Para quaisquer conjuntos A, B, e C: (A U B) C = (A C) U (B C). II. Para quaisquer conjuntos A e B: B (B A) = A III. A (B C) = (A B) (A C) para quaisquer conjuntos A, B, C. IV. P(A B) { } P(A) P(B) A ( ) Apenas I, II e III B ( ) Apenas I, III e IV C ( ) Apenas II, III e IV D ( ) Apenas I e IV E ( ) Todas Questão. Quantos números de 4 dígitos que não possuem dígitos repetidos, que não contêm 0 e cuja soma dos dígitos é 8 existem? A ( ) 14 B ( ) 4 C ( ) 8 D ( ) 48 E ( ) 96 Questão 4. O conjunto imagem da função f: R R com f(x) = 8sen (5x) + sen(10x) 4 é: A ( ) [-6, ] B ( ) [- 10, 10] C ( ) [-5, 5] D ( ) [-4, 4 ] E ( ) [-4, 6] Questão 5. A equação x 4 (log x) +log x 5 4 = Possui: A ( ) Pelo menos uma solução real B ( ) Exatamente três soluções reais C ( ) Exatamente uma raiz irracional D ( ) Raízes complexas E ( ) Nenhuma das anteriores

3 Questão 6. Sobre o retângulo ABCD, constroem-se os triângulos equiláteros BCX e DCY de modo que cada um compartilhe pontos com o interior do retângulo. A reta AX intersecta a reta DC em P. A reta AY intersecta a reta BC em Q. Seja M o ponto médio de PQ Sabendo que AP =, qual a medida do segmento AM: A ( ) B ( ) C ( ) D ( ) 5 E ( ) Questão 7. Sejam x, y, z números reais satisfazendo o sistema log (xyz + log 5 x) = 5 { log (xyz + log 5 y) = 4 log 4 (xyz + log 5 z) = 4 Então o valor de log 5 x + log 5 y + log 5 z é: A ( ) 1 B ( ) C ( ) D ( ) 4 E ( ) 5 Questão 8. Sejam a e b números reais tais que o sistema: é possível e indeterminado. O valor de a + b é: 4x + ay + z = { x + y z = b 5x + 4y z = 7 A ( ) 11 B ( ) 15 C ( ) - 11 D ( ) - 9 E ( ) 1 Questão 9. O número de soluções do par de equações sin² θ cos θ = 0 e cos θ sinθ = 0 no intervalo [0,π] é: A ( ) 0 B ( ) 1 C ( ) D ( ) E ( ) 4 Questão 10. As tangentes traçadas do ponto P(1, 8) à circunferência x + y 6x 4y 11 = 0 tocam a circunferência nos pontos A e B. A equação do circuncírculo do triângulo PAB é: A ( ) x + y + 4x 6y + 19 = 0 B ( ) x + y 4x 10y + 19 = 0 C ( ) x + y x + 6y 9 = 0 D ( ) x + y 6x 4y + 19 = 0 E ( ) x + y + 6x 10y 9 = 0

4 ω ω z Questão 11. Se é real puro, onde ω = α + iβ, β 0 e z 1, então o conjunto de valores de z é: 1 z A ( ) {z: z = 1+ 5 } B ( ) {z: z = z, z 1} C ( ) {z: z = ω } D ( ) {z: z = 1, z 1} E ( ) {z: 1 z = } Questão 1. Dado um triângulo ABC de lados AB =, BC = 4 e AC = 5. Sejam R1 e R, respectivamente, os raios da circunferência inscrita e da circunferência com centro sobre o lado BC que passa por B e é tangente ao lado AC. A razão R R 1 vale: A ( ) 4 B ( ) C ( ) D ( ) 9 8 E ( ) 5 4 Questão 1. Se o raio da base, a altura e a geratriz de um cone circular reto constituem, nessa ordem, uma P.A. de razão igual a 1, o volume desse cone é, em unidades de volume: A ( ) π B ( ) ( + 1)π C ( ) 1π D ( )16π E ( ) 80π Questão 14. As tangentes são desenhadas de um ponto P(, 4) à elipse x + y = 1 tocando a elipse nos pontos A e B. 9 4 As coordenadas de A e B são: A ( ) (, 0) e (0, ) B ( ) ( 8 5, ) e ( 9 5, 8 5 ) C ( ) ( 8, 161 ) e (0, ) 5 15 D ( ) (, 0) e ( 9 5, 8 5 ) E ( ) ( 8, 161 ) e (0, ) 5 15 Questão 15. Considere o polinômio em x: P(x) = x + 4x + ax + Onde a é um número racional. Sejam e β as raízes de x + 10x + 9. Sabendo que P(α) e P(β) são racionais, calcule o valor de P(α) + P(β) + a. A ( ) 9 B ( ) 1 C ( ) D ( ) 1 E ( ) 9

5 Questão 16. Seja ABC um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio. Seja I o incentro e Q um ponto na semirreta AI tal que IQ=1. Seja o ângulo  = 60, raio do círculo inscrito no triângulo valendo 1. O valor de QO é: A ( ) B ( ) C ( ) 1 D ( ) E ( ) 1+ Questão 17. Se z = 1 e z ±1, então todos os valores de A ( ) Uma reta passando pela origem B ( ) z = C ( ) O eixo x D ( ) O eixo y E ( ) z = 1 z 1 z² pertencem a: Questão 18. Calcule o valor de S onde 10 S = ( 10 m ) ( 1) m ( m k ) ( 1)k m=0 A ( ) 56 B ( ) 51 C ( ) 0 D ( ) 1 E ( ) 10 m k=0 Questão 19. Um cubo branco tem suas faces pintadas de azul. O cubo então é cortado em cubinhos de lado um quarto do tamanho do cubo original. Os 64 cubinhos são então colocados em uma caixa. João pega um cubinho aleatoriamente e o lança, e as 5 faces à mostra do cubo são brancas. Qual a probabilidade de a face voltada para o chão também ser branca? A ( ) / B ( ) 7/8 C ( ) 1/ D ( ) 1/4 E ( ) ½ CX AY BZ Questão 0. Seja ABC um triângulo e X, Y e Z pontos sobre os lados BC, CA, AB tais que. XB YC ZA A razão entre as áreas do triângulo XYZ e do triângulo cujos lados são congruentes às medianas de ABC é: A ( ) B ( ) 1 C ( ) 4 9 D ( ) 1 E ( ) 1 4