Questão 2. Questão 1. Questão 3. alternativa D. alternativa D. alternativa B

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1 NOTAÇÕES C: conjunto dos números compleos. Q: conjunto dos números racionais. R: conjunto dos números reais. Z: conjunto dos números inteiros. N {0,,,,...}. N {,,,...}. 0: conjunto vazio. A \ B { A; B}. [a, b] { R; a b}. ]a, b[ { R; a < < b}. i: unidade imaginária; i. z + iy,, y R. z: conjugado do número compleo z C. z : módulo do número compleo z C. AB: segmento de reta unindo os pontos A e B. m(ab) : medida (comprimento) de AB. Questão Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de sanduíches, 7 ícaras de café e pedaço de torta totalizou R$,0. Em outra mesa, o consumo de sanduíches, 0 ícaras de café e pedaço de torta totalizou R$,00. Então, o consumo de sanduíche, ícara de café e pedaço de torta totaliza o valor de a) R$ 7,0. d) R$ 0,0. b) R$ 6,0. e) R$ 9,0. alternativa D c) R$,0. Sejam o preço do sanduíche, y o preço da ícara de café e z o preço do pedaço de torta. Então: + 7y + z,0 () + 0y + z,00 () De () (), temos + y + z R$ 0,0. Questão Considere os conjuntos S {0,,,6}, T {,, } e U {0, } e as afirmações: I. {0} S e S U 0. II. {} S \ U e S T U {0, }. III. Eiste uma função f : S T injetiva. IV. Nenhuma função g : T S é sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) apenas II e III. e) apenas III e IV. alternativa B I. Falsa, pois {0} S. II. Falsa, pois S T U 0. III. Falsa. Temos que n(s) e n(t). Logo, como n(s) > n(t), não eiste função injetiva de S em T. IV. Verdadeira. Temos que n(t) e n(s). Logo, como n(t) < n(s), não eiste função sobrejetiva de T em S. Questão Uma circunferência passa pelos pontos A (0, ), B (0, 8) e C (8, 8). Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, são a) (0, ) e 6. d) (, ) e. y 8 B A b) (, ) e. e) (, 6) e. alternativa D M 8 C c) (, 8) e,.

2 matemática O triângulo ABC é retângulo em B. Assim, a circunferência que passa pelos pontos A, B e C tem centro no ponto médio de AC, M ; (; ) e raio AC (8 0) + (8 ). Questão Sobre o número 7 + é correto afirmar que a) ]0, [. c) é irracional. e) ], [. b) é racional. d) é irracional. do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a a). b) +. c) +. d) e) +. alternativa C +. Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da mesma. alternativa B Como 7 ( ), temos 7 + +, que é racional. Questão Considere o triângulo de vértices A, B e C, sendo D um ponto do lado AB e E um ponto do lado AC. SemAB ( ) 8 cm, mac ( ) 0 cm, mad ( ) cm e mae ( ) 6 cm, a razão das áreas dos triângulos ADE e ABC é a). d) 0. b). e). c) 8. alternativa D Seja a medida do ângulo BÂC. Então: área ADE área ABC Questão 6 AD AE sen AB AC sen AD AE AB AC Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor Como a medida dessa mediana é a média geométrica das medidas dos catetos, a bc a b c bc a a cosθ senθ sen θ. Sendo θ o menor dos ângulos do triângulo, o o θ 0 θ. Assim, como cosθ + + cos θ + e cos(90 θ ) sen θ cos θ, o valor do co-seno de um dos ângulos do triângulo é igual a +. Questão 7 A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a cm com o plano do triângulo. Então, a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo é (em cm) a). b) 6. c). d). e).

3 matemática alternativa C Questão 9 Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 700. O número de vértices deste prisma é igual a a). b). c) 0. d) 0. e). Sejam ABC o triângulo equilátero em questão, E o seu centro e O o centro da esfera. Sendo D o ponto médio de BC, DE 6 cm e BE 6 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos DEO e BEO: OD OE + DE OB BE + OE OB BE + OD DE OB ( ) + ( ) cm, que é a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo. Questão 8 Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera formam uma progressão aritmética de razão. Se o volume da menor cunha for igual a, então n é igual a 8 a). b). c) 6. d). e) 7. alternativa C Sendo que n planos meridianos determinam n cunhas contidas em uma semi-esfera definida por um desses planos, o volume da n-ésima cunha é + ( n ) n Desse modo, a soma dos volumes das n cunhas é igual ao volume da semi-esfera de raio r, ou n n seja, n + n 60 0 n 6. B alternativa E Supondo que as bases do prisma sejam n-ágonos, suas faces laterais são n quadriláteros. Assim, (n ) 80 o + n 60 o 7 00 o n + n 0 n. O número de vértices do prisma é n. Questão 0 Em relação a um sistema de eios cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por A ( 00,, ) B (, ) e C (, + ). O volume do tetraedro é a) 8. b). c). d). e) 8. alternativa A Considere a seguir um tetraedro regular VABC de aresta, centro O da base ABC e ponto médio M da aresta BC. V M O Como as faces do tetraedro são triângulos equiláteros e O é o centro da base, OM e VM. Do triângulo retângulo 6 VOM temos (VO) + (OM) (VM) + (VO) 6 VO 6. C A

4 matemática Já que VO é altura do tetraedro relativa à base ABC, seu volume é 6. A aresta do tetraedro regular pode ser obtida pela distância entre os vértices A e B. Logo AB ( 0) + ( 0) e o volume do tetraedro é ( ) 8. Questão No desenvolvimento de ( a b + c + ) obtém-se um polinômio p() cujos coeficientes somam. Se 0 e são raízes de p(), então a soma a + b + c é igual a a). b). c). d). e). alternativa A A soma dos coeficientes de um polinômio p() é igual a p(). Considerando ainda que 0 e são raízes de p() e assumindo que os coeficientes de p() são reais: p() p(0) 0 p( ) 0 (a b + c + ) (a 0 b 0 + c + ) 0 (a( ) b( ) + c + ) 0 a b + c + c + 0 a + b + c + 0 a + b + c Questão a b c O menor inteiro positivo n para o qual a diferença n n fica menor que 0,0 é a) 99. d) 600. b) 0. e) 900. c) 00. alternativa B Para n, n n. Desse n + n modo, n n < 0,0 n + n > 0,0e < 0,0 n + n n + n > 00 e, assim, n > 00 0,0 (n ) > (00 0,0) (n ) > n > 99, n > 00,. Como > , o menor inteiro positivo que satisfaz a inequação dada é 0. Questão Seja D R \ {} e f : D D uma função dada por + f( ). Considere as afirmações: I. f é injetiva e sobrejetiva. II. f é injetiva, mas não sobrejetiva. III. f() + f 0, para todo D, 0. IV. f() f( ), para todo D. Então, são verdadeiras a) apenas I e III. b) apenas I e IV. c) apenas II e III. d) apenas I, III e IV. e) apenas II, III e IV. alternativa A Sendo, R {}, f( ) f( ) + + ( + ) ( ) ( + ) ( ) + +, ou seja, f éinjetiva. Dado y R {}, f() y + y + y( ) (y ) y + y +. y Portanto eiste R {} tal que f() y, isto é, f é sobrejetiva. Para R {}, + f() + f Para, D. Logo não é verdade que f() f( ), para todo D. Conseqüentemente, apenas I e III são verdadeiras.

5 matemática Questão O número compleo + i é raiz do polinômio f( ) + + p + + q, com p, q R. Então, a alternativa que mais se aproima da soma das raízes reais de f é a). b). c) 6. d). e). alternativa E Como f() + + p + + q é um polinômio de coeficientes reais, se + i é raiz desse polinômio, então i também será. Logo f() ( + ) (a + b + c). Assim, ( + ) (a + b + c) + + p + + q a (a b) + (a b + c) + + (b c) + c + + p + + q. a a Dessa forma, (a b) b. b c c 6 As raízes reais de f() são as raízes de a + b + c + + 6, ou seja, e, cuja soma é. Questão Considere a equação em + / a b, onde a e b são números reais positivos, tais que ln b lna > 0. A soma das soluções da equação é a) 0. b). c). d) ln. e). alternativa B Sendo a e b números reais positivos, nb na nb na b a. + / + / Assim, a b a (a ) ou, cuja soma é. Questão 6 O intervalo I R que contém todas as soluções da inequação + π arctan + arctan 6 é a) [, ]. d) [0, ]. b) [, ]. e) [, 6]. c) [, ]. alternativa C Sejam θ arc tg + e θ arc tg. tg θ + tg θ Então tg( θ + θ) tgθ tgθ + + tg( + ) θ θ < tg( θ + θ ). π π π π Como < θ < e < θ <, π < θ + + θ < π e, portanto, π < θ + θ π + arc tg ou 0 < θ arc tg + θ. Vamos demonstrar que θ + θ > 0. Temos que + < 0 < e < 0 >. Logo não eiste tal que θ < 0 e θ < 0 π e podemos concluir que θ + θ > > > π + arc tg. Logo 0 < θ arc tg + θ e arc tg arc tg π π tg( θ + θ) tg Como < < < < < <, o único intervalo apresentado que contém todas as soluções da inequação dada é o da alternativa C. Questão 7 Seja z C com z. Então, a epressão zw assume valor z w a) maior que, para todo w com w >. b) menor que, para todo w com w <. c) maior que, para todo w com w z. d) igual a, independente de w com w z. e) crescente para w crescente, com w < z.

6 matemática 6 Sendo z e w z, zw zw z z w z w alternativa D z z w z w. z w z w Questão 8 z z zw z w O sistema linear b + y by + z + bz não admite solução se e somente se o número real b for igual a a). b) 0. c). d). e). alternativa A b + y bz by + z b + y + bz by + z bz y b z b by + z bz y b + b z (b + ) z b b + Assim, o sistema não admite solução se, e somente se, b + 0 e b b + 0, ou seja, para b. Questão 9 Retiram-se bolas de uma urna que contém bolas verdes, bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P é a probabilidade de não sair bola azul e P é a probabilidade de todas as bolas saírem com a mesma cor, então a alternativa que mais se aproima de P + P é a) 0,. b) 0,. c) 0,8. d) 0,. e) 0,0. alternativa E Não está eplícito no enunciado se as bolas são retiradas com ou sem reposição. Resolveremos o problema em ambos os casos. Sem reposição: Há possibilidades de sortear as três bolas.! Para não sair bola azul, consideramos apenas as bolas brancas ou verdes. Então há possibilidades de não! sair bola azul. 6 Assim, P. 60 O número de possibilidades de ocorrerem bolas de mesma cor é para as verdes, 0 para as azuis e para as! brancas Então P Portanto P + P 0, Com reposição: Há possibilidades de sortear as três bolas. Então P e P Portanto P + P 0, Nos dois casos, a alternativa que mais se aproima de P + P é a E. Questão 0 A distância focal e a ecentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (, 0) e (0, ) são, respectivamente, a) e. b) e. c) e. d) e. e) e. ver comentário Toda elipse com centro na origem pode ser obtida através da rotação de uma elipse de equação y +. Seja um ângulo de rotação. b a i Como (; y) e ( + yi)(cos + i sen )

7 matemática 7 ( cos y sen ) + ( sen + y cos )i, toda elipse com centro na origem admite uma equação na forma ( cos y sen ) ( sen + y cos ) +, b a a, b R +, [0; π[. Como (; 0) e (0; ) pertencem à elipse, ( cos 0 en ) s ( sen + 0 cos ) b + a (0 cos ( ) en ) s (0 s en + ( ) cos ) b + a cos sen + b a sen cos + b a ( sen ) sen b ( ) ( sen ) sen a Supondo sen 0, sen 0 e sen 0: ( sen ) a sen ( ) ( sen ) b sen Para que eistam a e b positivos satisfazendo o sistema, devemos ter: sen > 0 sen sen > 0 sen sen < > ou sen sen < > ou sen sen < > ou sen Para 0 sen <, temos que b é limitado, 8 pois b ( sen ) e 0 sen < < sen < ( sen ) < b. Tomando valores de tais que sen é próimo de, podemos obter valores arbitrariamente grandes para a. Lembrando que c a b, a distância focal c pode ser arbitrariamente grande, assumindo infinitos valores. Observação: supondo que os eios da elipse estão sobre os eios coordenados, ou seja, ( 0) que 0, obtemos a e 0 ( 0) b c a b 0 c e ecentricidade c. a As questões dissertativas, numeradas de a 0, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções. Questão Seja a, a,... uma progressão aritmética infinita tal que n ak n π n, para n N. k Determine o primeiro termo e a razão da progressão. Temos que ak + π a + π e k ak + π a + a6 + π. k Assim, sendo r a razão da progressão aritmética: a + π a + π a + a6 + π a6 + π a + r + π a + r + π Questão r π a π Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo ponto P (, ). Se t é a reta tangente a C por P, determine a circunferência C de menor raio, com centro sobre o eio e tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C.

8 matemática 8 Sendo O (0; 0) o centro da circunferência C e P (; ), o coeficiente angular da reta OP é 0. Como a reta t é tangente a C por P, 0 seu coeficiente angular é e a equação da reta t é y ( ) + y 0. Seja r o raio da circunferência C que tem centro no eio e é tangente simultaneamente à reta t eàcircunferência C, cujo raio é ( 0) + ( 0). O centro da circunferência C de menor raio é o ponto O (r + ; 0) e a distância de O à reta t (r + ) + 0 vale r, ou seja, r + r 0 r r. Assim, a circunferência C de centro no eio e tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C é única com raio r e centro + ;0 ;0. Questão Sejam A e B matrizes taisqueab BA e que satisfazem à equação matricial A + AB B 0. SeB é inversível, mostre que (a) AB B A e que (b) A é inversível. Sendo B inversível: a) AB BA AB B BA B A BAB B A B BAB B A AB b) A + AB B 0 B A(A + B) det B det A det (A + B) Se A não for inversível, então det A 0. Da equação anterior, se det A 0, então det B 0, ou seja, B não seria inversível, absurdo. Logo A é inversível. Observação: vamos mostrar que eistem matrizes A e B nas condições do enunciado. Tomando A I, temos I B B I e I + I B B 0 B I. Podemos tomar A I e B. I Questão Seja n o número de lados de um polígono conveo. Se a soma de n ângulos (internos) do polígono é 00 o, determine o número n de lados do polígono. Como a soma de n ângulos internos do polígono conveo é 00 o, a medida do seu ângulo o o interno não somado é (n ) o 80 n 6 o. o o o o Assim, 0 < 80 n 6 < 80 6 < n < n Questão a) Mostre que o número real é raiz da equação + 0. b) Conclua de (a) que é um número racional. a) + + ( + + ) ( + ) + ( ) ( + + ) ( ) + 0 Logo é raiz da equação + 0. b) Temos que é raiz da equação + 0. Utilizando Briot-Ruffini, 0, 0 ou seja, + 0 ( ) ( + + ) 0 ou + + 0

9 matemática 9 + i ou i ou. Portanto é a única raiz real da equação dada e, como é real,. Assim, é um número racional. Questão 6 ( ) m + m 0 ou m 0 m 0 m ou m m ou m + m 0 ou m 0 m m 0 Considere a equação em R + m + m, sendo m um parâmetro real. a) Resolva a equação em função do parâmetro m. b) Determine todos os valores de m para os quais a equação admite solução não nula. a) Para todo m real, 0 é solução da equação + m + m. Então, para 0, + m + m + m m m ( + m + m ) + m + m m + m m + m 0 m 0 m 0 m m + m 0 m 0 m 0 m (m ) + m 0 m 0 m 0 m 0 ( ) Como m ( m)( + m) 0, para verificar se ocorrem as duas desigualdades + m 0 e m 0, é suficiente verificar somente uma delas. Assim, m ou m m Logo para m <, V { R 0ou m ou m } e para os demais valores de m, V {0}. b) Os valores de m para os quais a equação admite solução não nula são tais que m <. Questão 7 Um dos catetos de um triângulo retângulo mede cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é π cm. Determine os ângulos deste triângulo. Sejam a e h, respectivamente, as medidas da hipotenusa e da altura relativa à hipotenusa do triângulo ABC, retângulo em C, com AC cm. O sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa é a união de dois cones de raio da base h e alturas e a, indicadas na figura. A H B a _ h cm C

10 matemática 0 Sendo o volume do sólido gerado igual a π cm, h π + πh (a ) π h a. ( ) h No triângulo retângulo AHC, sen h sen. No triângulo ABC, cos a a. Substituindo em ( ) cos, obtemos: ( sen ) cos sen cos ( cos ) cos cos + cos 0 cos ou cos 60 o. Assim, os ângulos do triângulo retângulo dado são 90 o, 60 o e 0 o. Questão 8 São dados dois cartões, sendo que um deles tem ambos os lados na cor vermelha, enquanto o outro tem um lado na cor vermelha e o outro lado na cor azul. Um dos cartões é escolhido ao acaso e colocado sobre uma mesa. Se a cor eposta é vermelha, calcule a probabilidade de o cartão escolhido ter a outra cor também vermelha. Vamos representar por V V ocartãodeladosvermelhos e V A o cartão vermelho e azul. Como o cartão escolhido tem um lado eposto na cor vermelha, esse lado pode ser V,V ou V. Assim, das possibilidades, possuem o outro lado vermelho e, portanto, a probabilidade pedida é. Questão 9 Obtenha todos os pares (, y), com, y [0, π], tais que sen ( + y) + sen ( y) sen + cos y sen( + y) + sen( y) sen + cos y sen + cos y sencosy ( ) sen cos y sen + cos y Considere a equação, cuja soma das raízes é e o produto é, t t + 0 t. Assim, sen ( ) e, para, y [0; π], cos y π 6 ou 6 π π e y ou y π. π π Logo os possíveis pares (; y) são 6 ;, π π π π ;, ; e π π ; Questão 0 Determine todos os valores reais de a para os quais a equação ( ) a admita eatamente três soluções distintas. Considerando como universo o conjunto dos reais: ( ) a ( ) a ou ( ) a + + a 0 () ou + a 0 () Os discriminantes de () e () são, respectivamente, ( ) ( + a) ae ( ) ( a) a. A equação tem eatamente três soluções reais distintas se, e somente se, 0, 0 e ocorre uma das seguintes situações: i) () e () têm eatamente uma raiz comum e duas raízes distintas. ii) () e () não têm raízes comuns, () tem duas soluções distintas e () tem raiz dupla. iii) () e () não têm raízes comuns, () tem duas soluções distintas e () tem raiz dupla. No caso i), seja r a raiz comum. Devemos ter, então, > 0 a <, > 0

11 matemática a > e r r + + a 0 r r + a 0 a r r + a r r + + r r + 0 r Além disso, nota-se que () e () não podem ter duas raízes comuns. No caso ii) devemos ter a > 0 e a 0 a < e a a raízes,, +. No caso iii) devemos ter a 0 e a > 0 a e a > a raízes,, +. Logo a ou a ou a.