EXERCÍCIOS AULÃO ITA PROF. RENATO MADEIRA

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1 EXERCÍCIOS AULÃO ITA PROF. RENATO MADEIRA ) (EN 0) Um observador, de altura desprezível, situado a m de um prédio, observa-o sob um certo ângulo de elevação. Afastando-se mais 0 m em linha reta, nota que o ângulo de visualização passa a ser a metade do anterior. Podemos afirmar que a altura, em metros, do prédio é a) b) c) d) e) h h Na figura, temos tg = e tg =. 7 tg Como tg =, então temos: tg h h 7 = 7 = 7 = 7 h = 0 h = 87 h h 7 7 h 7 7 h = m ) (ITA 0) Seja x 0, tal que sen x cos x =. Então, o produto e a soma de todos os possíveis valores de tg x são, respectivamente a) e 0. b) e. c) e 0. d) e. e) e. RESOLUÇÃO: B

2 sen x cos x = sen x cos x = sen x = tg x sen x = = tg x tg x + = 0 tg x = + tg ( x) tg ( x) = Logo, o produto e a soma de todos os possíveis valores de tg x são, respectivamente, e. ) (IME 00) O valor da expressão ( ) ( ) e a (,0), é: a) b) 0 c) RESOLUÇÃO: E a (, 0) a, 0 y = sen arcsen a + arccos a, onde a é um número real y = sen arc sen a + arc cos a arcsen ( a ) = sen = a 0 e, 0 arccos( a ) = cos = a 0 e, sen = cos sen = sen = + = y = sen = d) e) ) (ITA 07) O maior valor de tg x, com a) b) c) x = arcsen e x 0,, é d) e) RESOLUÇÃO: B x = arcsen x = arcsen sen x = x, Como sen x = 0, então x 0,. x 0, cos x = sen x tg x = = = = + cos x + 9

3 ) (IME 007) Seja p x = x + x + x + um polinômio do terceiro grau cujas raízes são termos de uma progressão aritmética de razão. Sabendo que p( ) =, p( 0 ) = 0 e p( ) =, os valores de e são, respectivamente: a) e b) e c) e d) e Seja r, r, r + as raízes do polinômio que estão em PA de razão. p( 0) = = 0 p( ) = + + = p( ) = + = ( + + ) + ( + ) = = 0 + = e) e Pelas relações de Girard, a soma das raízes é = r + r + r + = r = = 0 r = 0. Logo, as raízes são, 0,, e o polinômio pode ser escrito na forma fatorada como p( x) = x ( x + )( x ). p = + = = = = =. 6) (ITA 06) Seja p o polinômio racional inteiro dado por 8 m n p x = x + x x, em que os expoentes 8, m, n forma, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a. Considere as seguintes afirmações: I. x = 0 é uma raiz dupla de p. II. x = é uma raiz dupla de p. III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula. Destas, é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. RESOLUÇÃO: C PG :8,m,n m = 8q n = 8q 8 + m + n = 8 + 8q + 8q = q + q = 0 q = q = Como p é um polinômio racional inteiro, então q = e 8 ( 6 ) ( )( ) p x = x + x x = x x + x = x x x + x +. Note que fatoramos dessa forma, pois, por inspeção, é possível identificar as raízes e.

4 Portanto, p tem raízes x = 0 (dupla), x = (simples), x = (simples) e mais raízes complexas (raízes de parte imaginária não nula). I. x = 0 é uma raiz dupla de p. (VERDADEIRA) II. x = é uma raiz dupla de p. (FALSA) III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula. (VERDADEIRA) 7) (AFA 09) Considere no plano cartesiano os pontos A (,0 ) e B( 6, ) que são simétricos em relação à reta r. Se essa reta r determina na circunferência x + y x y + = 0 uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo a), b), c), d), Se os pontos A (,0 ) e B( 6, ) são simétricos em relação à reta r, então o ponto médio de A e B está sobre r e a reta r é perpendicular à reta que passa por A e B ( ) O ponto médio de A (,0 ) e B( 6, ) é M = (, ) = (, ). 0 O coeficiente angular da reta que passa por A e B é mab = =. Como a reta r é perpendicular 6 a essa reta, então seus coeficientes angulares devem ter produto, o que implica que o coeficiente deve ser mr =. Vamos obter a equação da reta r de coeficiente angular mr = e que passa pelo ponto M (, ). y ( ) = y = x 6 x y 6 = 0 x Vamos identificar as características da circunferência x + y x y + = 0. x + y x y + = 0 x 6 x y y + = x 6 + ( y ) = ( ) Assim, conclui-se que a circunferência tem centro O = ( 6, ) e raio R =. 6 6 A distância do centro da circunferência à reta r é d( O,r ) = = =. +

5 A figura anterior apresenta as informações obtidas até aqui. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo DOE, temos: DE + = DE = 6 DE = 6. Portanto, a medida da corda é n = CD = DE = 6,. Alternativamente, poderíamos obter o comprimento da corda CD, fazendo a interseção da reta r com a circunferência, como segue: r : y = x 6 ( x 6 ) + ( y ) = 8 ( x 6 ) + ( ( x 6 ) ) = 8 x x + 6 = 0 x = = 7 x = 7 y = x 6 = C C C xd = 7 + yd = xd 6 = + O comprimento da corda CD pode ser calculado agora usando a expressão da distância entre pontos. n = CD = ( ( 7 + ) ( 7 ) ) + ( ( + ) ( ) ) = = ( ) + ( ) = 6. 8) (ITA 07) Sejam S = ( x, y ) : y x e S = x, y : x + y +. A área da região S S é a) b) c) d) 7 e) 7 Vamos inicialmente traçar o gráfico da região S = x, y : y x. A linha pontilhada representa a função y = x, onde as duas semirretas são bissetrizes dos quadrantes I e II, formando entre si um ângulo de 90. A linha tracejada representa o gráfico de y = x, obtido deslocando-se o gráfico

6 de y= x uma unidade para baixo. A linha cheia representa o gráfico de y = x, obtido refletindose a parte negativa de y x = em relação ao eixo das abscissas. A região é a área acima do gráfico de y = x e está sombreada na figura. S = x, y : y x A região S = ( x, y ) : x + ( y + ) corresponde a uma circunferência de centro em O( 0, ) e raio, e o seu interior. Essa região também está sombreada. A área S da região correspondente a S S (sombreado mais escuro) pode ser calculada a partir da área do setor circular OAB de 90 e raio, subtraindo-se a área do quadrado OCDE cuja diagonal tem medida, o que implica que a medida do lado é = =. Assim, temos: S = Ssetor OAB SOCDE = = unidades de área 9) (ITA 0) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 0 e área igual a cm. A área total e o volume deste cone medem, em cm e cm, respectivamente a) e. b) e. c) e. d) e. e) e. Se a superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 0 e área igual a cm, então a geratriz do cone é igual ao raio do setor e o comprimento do círculo da base do cone é igual ao comprimento do arco do setor. r Seja r o raio do setor circular de 0 = rad, então S setor = = r = cm e Lsetor = r = = cm, onde L setor é o comprimento do arco do setor circular. Sejam g a geratriz, h a altura e R o raio da base do cone, então g = r = cm, R = R = cm e h + R = g h = = 8 h = cm.

7 Logo, a área total do cone é Vcone = = cm. total lateral base S = S + S = + = cm e o volume do cone é Nessa questão foram utilizados os seguintes conceitos: Na seção meridiana de um cone circular reto, a geratriz do cone é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura e o raio da base. O volume de um cone circular reto de raio da base r e altura h é Vcone = Sbase h = r h. A área total do cone é igual à soma da área lateral com a área da base, ou seja, Stotal = Slateral + Sbase. Sejam um setor circular de raio r e ângulo radianos, então o comprimento do arco do setor circular é Lsetor = r e a área do setor circular é S setor r =. 0) (AFA 000) Seja um tronco de cone reto com altura h e bases de raio R e r ( R r ). Retira-se desse sólido um cone reto invertido com base coincidente com a base menor do tronco e altura h. Se o volume do sólido resultante é igual ao volume do sólido retirado, então a) R + Rr r = 0 b) R + Rr r = 0 c) R Rr r = 0 d) R + Rr r = 0 h O volume de um tronco de cone de raios R e r e altura h é ( V = R + Rr + r ). O volume do cone invertido que deve ser retirado é Vinv = r h. Se o volume do sólido resultante é igual ao volume do sólido retirado, então h( ) V Vinv = Vinv V = Vinv R + Rr + r = r h R + Rr + r = r R + Rr r = 0

8 x + z + w = 0 x + ky + k w = ) (ITA 99) Considere o sistema: (P) x + ( k + ) z + w = x + z + kw = Podemos afirmar que (P) é possível e determinado quando: a) k 0 b) k c) k d) k 0 e k e) n.d.a. (P) é possível e determinado se, e somente se, o sistema é de Cramer 0 (*) k 0 k + 0 k ( ) k k + k 0 k k ( k + ) + + ( k + ) k 0 k ( k + ) k 0 k ( k ) 0 k 0 k ) (ITA 07) Considere o sistema de equações x = y z 8 0 S + 0 x + = y z + 7 x + = y z Se ( x, y, z ) é uma solução real de S, então x + y + z é igual a a) 0 b) c) 6 d) 9 e) RESOLUÇÃO: C 7 Sejam a =, b = e x y a + b + c = Sa + b + c = 0 a + b + c = 7 Fazendo L L e L L, temos: a + b + c = b = ( ) = Sa + c = a = = c = Retornando a substituição inicial, vem: 8 c =, então o sistema pode ser escrito na forma: z

9 a x x = = = 7 b y 9 y y = = = = 8 c z 8 z z = = = = x + y + z = + + = 6 ) (IME 0) Para o número complexo z que descreve o lugar geométrico representado pela desigualdade z 6i 0, sejam e os valores máximo e mínimo de seu argumento. O valor de é a) tan c) tan e) tan b) tan d) tan O números complexos z que satisfazem a desigualdade z 6i 0 estão em um círculo de centro no complexo 6i e raio 0 no plano de Argand-Gauss, conforme mostra a figura a seguir: Os pontos A e B são as imagens dos complexos de argumentos máximo e mínimo, respectivamente:

10 0 sen = = cos = = tan = = tan 6 = = tan ) (IME 06) O valor do somatório k Imcis 6 é: (Obs.: Im ( w ) é a parte imaginária de w) + a) b) sen 6 c) sen 6 k= d) sen e) sen 6 6 k S = Im cis = 6 k= 9 = Im cis + Im cis + Im cis + + Im cis = = Im cis + Im cis + Im cis + + Im cis = = sen + sen + sen + + sen Vamos usar a fórmula de prostaferese sen a sen b = cos ( a b) cos ( a + b) Multiplicando ambos os lados da igualdade por sen, temos: 6 9 sen S = sen sen + sen sen + sen sen + + sen sen = = cos 0 cos + cos cos + cos cos + + cos cos = = cos = cos = + cos = + = S = sen i ) (ITA 0) Se z =, então o valor de arcsen ( Re( z) ) + arctg ( Im ( z) ) é igual a i a). b). c). d). e).

11 i cis + i z = = = cis i cis = = i 0 = cis = cis = cis = + i ( arcsen Re z ) = arcsen = 6 ( arctg Im z ) = arctg( ) = ( ) ( arcsen Re z arctg Im z ) + = + = 6 6) (ITA 0) Se z 6, então ( ) 6 z z z z z é igual a a) ( z z ) 6 6 b) z z c) ( z z ) z z e) ( ) ( ) d) 6 z z z z Observemos inicialmente que z z = z e que z z = z. Assim, temos: z z z z z = z z z z z z = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = z z z + z z z = z z 7) (IME 09) Em um jogo de RPG Role-Playing Game em que os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de a 0. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo? a) b) 9 c) d) e) RESOLUÇÃO: E O número de resultados possíveis na rolagem de dois D-0 é #( ) = 0 0 = 00. Para que eu vença a soma dos dados que eu rolar deve ser 6, 7, 8, 9 ou 0. Os possíveis resultados em que eu venço são 0,6 ; 9,7 ; 8,8 ; 7,9 ; 6,0 Soma 6: Soma 7: ( 0,7 );( 9,8 );( 8,9 );( 7,0 ) Soma 8: ( 0,8 );( 9,9 );( 8,0 ) Soma 9: ( 0,9 );( 9,0 ) Soma 0: ( 0, 0 )

12 Assim, o número de casos favoráveis é #( A) = e a probabilidade pedida é # A P A = = =. # ) (ITA 06) Escolhendo-se, aleatoriamente, três números inteiros distintos no intervalo, 0, a probabilidade de que eles estejam, em alguma ordem, em progressão geométrica de razão inteira é igual a a). 8 b). 7 c). 90 d). e). 80 O número de resultados possíveis é 0! 098 n = C0 = = = 0.!7! 6 Os casos favoráveis são (,, ); (,, 9); (,, 6); (,, 8); (, 6, 8); (, 6, ); (, 8, 6); (, 0, 0). Assim, n ( A) = 8 e a probabilidade pedida é n A 8 P A = = =. n 0 8 t t 9) (AFA 00) Sejam A uma matriz quadrada de ordem, det A d, det A A = k, onde A é a matriz transposta de A, e d é a ordem da matriz quadrada B. Se det B = e det B = 6, então o valor de k+ d é a) b) 8 c) d) 6 = Seja uma matriz X de ordem n e um escalar k, então n det k X = k det X. Assim, temos: d d d det B = 6 det B = 6 = 6 = 8 = d = det A = Vamos aplicar a propriedade acima e o teorema de Binet na expressão ( t ) ( t ) t det A A = k det A det A = k det A det A = k det A A = k. Assim, temos: k = ( det A) = = k + d = + = 6 Note que o determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original e que o teorema de Binet estabelece que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. 0) (ITA 008) Sejam A e C matrizes n n Sabendo-se que ( ) t a) n b) inversíveis tais que ( ) B = A + C, então o determinante de B é igual a n c) d) n det I + C A = e det A =. e) n

13 det ( + C A) = det ( A A + C A) = Teo.Binet (( ) ) ( det A + C A = det A + C ) det A = det ( A + C ) = det ( A + C ) = B = A + C det B = det A + C det B = det A + C n t t t n n det B = det A + C det B = det B = n