Soluções Comentadas Matemática Processo Seletivo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante

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1 CURSO MENTOR Soluções Comentadas Matemática Processo Seletivo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante Versão.8 05/0/0 Este material contém soluções comentadas das questões de matemática do processo seletivo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante.

2 Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão à Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante EFOMM Questão Concurso 009/00 Analise as afirmativas abaio. I. Seja K o conjunto dos quadriláteros planos, seus subconjuntos são: P = K possui lados opostos paralelos ; { } L = { K possui lados congruentes} ; R = { K possui ângulos retos} ; e Q = { K possui lados congruentes e ângulos com medidas iguais}. Logo, L R = L Q. II. Seja o conjunto A = {,,, }, nota-se que A possui somente subconjuntos. III. Observando as seguintes relações entre conjuntos: a,b,c,d Z a,b,c,d,e c,d Z a,c,d,e { } = { }, { } = { } e { b,c,d} Z { c} concluir que Z = { a,c,e}. Em relação às afirmativas acima, assinale a opção correta. (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. (B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. (D) Apenas a afirmativa III é verdadeira. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira. = ; pode-se Analisando cada uma das afirmativas: I. Falsa. Os conjuntos P, L e R são definições de quadriláteros conhecidos: P é o conjunto dos paralelogramos, L é o conjunto dos losangos, R é o conjuntos dos retângulos. O conjunto Q representa os losangos também, embora ter lados iguais é condição necessária e suficiente para ser losangos. Dada esta análise temos que: L R representa o conjunto dos quadrados que atendem ambas as condições; L Q é o próprio conjunto dos losangos. Daí temos que L R L Q. Lembre que todo quadrado é losango possui lados iguais mas nem todo losango é quadrado. II. Falsa. O número de subconjuntos de um conjunto é dado pela epressão n. Onde n é o número de elementos do conjunto dado. Assim o número de subconjuntos de A é = 6.

3 III. Verdadeira. Seja a definição da união de conjuntos: A B = A ou B (.) { } Usando esta definição vamos analisar cada proposição: a,b,c,d Z = a,b,c,d,e, concluímos que e Z, pois ele aparece Como { } { } na união; Temos que { c,d} Z { a,c,d,e} =, concluímos que a Z, pelo mesmo motivo anterior; A definição da interseção é A B = A e B (.) { } Usando esta definição e vendo que { b,c,d} Z = { c}, pode-se concluir que b Z e d Z. Pela definição de interseção c Z. Assim concluímos que Z = a,c,e. { } Questão Opção D Considere a função real f, definida por f ( ) = e duas circunferências C e C centradas na origem. Sabe-se que C tangencia o gráfico de f, e que um ponto de abscissa pertence a C e ao gráfico de f. Nessas condições, a área da coroa circular, definida por C e C, é igual a (A) 65 π (B) 9 π (C) 5 π (D) 9 π (E) π Para facilitar o entendimento, façamos um gráfico contendo as circunferências e a função f: y C C f = Como o ponto de abscissa = pertence a f podemos usá-lo na epressão da função: f = f = Usando a epressão da circunferência C podemos achar seu raio: C : y = R

4 Seja a equação de C : Seja 0 0 = R = R R = R = C : y = r,y o ponto de tangencia entre C e f. Vamos derivar a epressão de f em função de : f ( ) = f '( ) = ( )' f '( ) = ( ) ( ) f '( ) = Como a tangente é única vamos derivar a epressão de C. Mas antes vamos escrevê-la em função de f ( ): y = r f ( ) = r f ( ) = ± r Podemos tomar somente a porção negativa de f ( ), ou seja consideramos que a derivada é positiva, bem como 0: Vamos derivar f ( ): f = r f r f ' = = r ' f ' r ' f ' r f '( ) = r = ( ) = ( ) ( ) Agora igualamos as derivadas em 0: f ' Então: () = f '( ) = ( r 0 ) Devemos lembrar que o ponto ( 0,y 0 ) pertence tanto a f quanto a C, ou seja: E Desenvolvendo a equação (): Substituindo () em (): () y = r () y0 0 0 = 0 0 = 0 ( r 0 ) 0 0 = ( r 0 ) () 6 ( 0 = r 0 )

5 Substituindo (5) em (): Logo: Da equação (): O raio de C : A área S da coroa circular é: = r (5) 0 = r 0 0 = 6 0 = = 6 = = y = y = y = = r r = r = π = π π = π = π = S R r S S S Opção B Questão Considere a equação de incógnita real : cos cos = cos Se 0 ( 0, π ) é uma de suas soluções e 0 centímetros é a medida da diagonal de um cubo, então a área da superfície total desse cubo, em cm, é igual a π π 7π (A) (B) (C) 6 (D) (E) 6π 8 8 Vamos desenvolver a epressão: cos cos = cos ( ) Como cos = cos sen : cos cos = cos sen Mas sen = cos : Epandindo cos : cos cos = cos cos cos cos = cos cos cos cos = cos cos cos = cos sen cos cos = cos 5

6 Então: Resolvendo cada equação: ) cos cos = cos cos cos cos = 8cos 8cos 6cos 6cos = 0 6cos cos = 0 6 cos = 0 ou cos = 0 6cos = 0 cos = 0 cos = 0 π = k π, k Z π Só teremos solução para k = 0, pois =. ) cos = 0 cos = cos = ± = 0 k π, k Z Teremos solução para: k = 0 = 0 k = = π π Como o intervalo é aberto temos somente a solução =. A diagonal de um cubo de aresta a é dada pela epressão: d = a π π = a a = Calculando a área total do cubo: S = 6a π S = 6 π π S = 6 S = Opção B Questão O valor numérico da epressão (A) (B) π π cos sec 00 tg ( ) cos sec 780 (C) (D) é igual a (E) 8 Vamos desenvolver a epressão E dada: π π cos sec 00 tg E = cos sec 780 6

7 E = Curso Mentor π π cos π sec ( ) tg 8π ( ) cos sec π π cos sec ( 0 ) tg E = ( ) cos sec 60 π 7π cos sec ( 0 ) tg E = ( ) cos sec 00 cos ( 0 ) E = ( ) sen 00 cos ( 0 ) E = ( ) sen 00 E = E = E = Opção B Questão 5 João construiu um círculo de papel com centro O e raio cm (Figura ). Traçou dois diâmetros AC e BD perpendiculares e, em seguida dobrou o papel fazendo coincidir A, O e C, conforme sugere a Figura. A D O B C Figura 7

8 A D O B C Figura A área da parte do círculo não encoberta pelas dobras, sombreada na Figura, é igual a (A) ( 96 6 π ) cm (B) ( 6 π 8 ) cm (C) ( 6 π ) cm (D) ( 6 π ) cm (E) ( π ) cm Sejam E e F os pontos de interseção da dobra com o círculo, como sugere a Figura : A r E r r F D O B C Figura Calculando o cosseno do ângulo AOF ˆ teremos: r r cos α = cos α = cos α = r r Portanto: α = 60 Ou seja, o arco EF vale 0. A área S do triângulo EFO vale: r EF EF S = S = S = EF 8

9 Calculando EF: Curso Mentor = EF EF = 6 EF = EF = cm Calculamos agora a área A da folha EAF. Ela é determinada pela diferença entre a área de um setor circular de 0 e o triângulo: πr A = Área de um setor de 0 Área do triângulo EFO π 6π A = A = Como são folhas, basta subtrair da área do círculo: 6π SHachurada = π r 6π 8 SHachurada = 6π 8π 6π 8 8 6π SHachurada = SHachurada = SHachurada = ( 8 6π ) cm Sem Opção Questão 6 Seja f : R R uma função estritamente decrescente quaisquer e reais com < tem-se f ( ) > f ( ). Nessas condições analise as afirmativas abaio: I f é injetora. II f pode ser uma função par. III Se f possui inversa então sua inversa é estritamente decrescente. (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. (B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. (D) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira. Para solucionar esta questão, vamos fazer um gráfico de uma função estritamente decrescente entre e. I Verdadeira. Por definição, uma função estritamente decrescente tem para quaisquer intervalos contidos em seu domínio que > f < f Ou seja, não há pontos em que e f = f Que é justamente a definição de função injetora. II Falsa. Para que uma função seja par devemos ter = e f = f Isto implicaria que a função f não seria estritamente decrescente. 9

10 III Verdadeira. Basta analisar o gráfico abaio. Repare que f é estritamente decrescente e sua inversa que é simétrica em relação à função y = também é estritamente decrescente. y f ( ) y = f ( ) Opção B Questão Sejam as matrizes A =, determinante da matriz X é igual a (A) 6 (B) 7 0 B = (C) (D) 8 e X (E) 6 = A B, O Eiste uma propriedade dos determinantes relacionada com o produto de matrizes: det AB = deta detb Portanto detx = deta detb Ambas as matrizes são triangulares, ou seja, abaio (ou acima) da diagonal principal têm seus elementos nulos. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da sua diagonal: deta = deta = 6 detb = detb = A matriz inversa também tem uma propriedade em relação ao determinante: detx = detx Outra propriedade diz respeito ao produto de um número real por uma matriz e seu determinante: n det ax = a detx, onde n é a ordem da matriz Portanto, det ( X ) = det ( X ) = detx deta detb Substituindo os valores encontrados anteriormente: 8 det ( X ) = 6 det ( X ) = 6 0

11 Questão 8 Opção D Considere o conjunto dos números compleos Z com a propriedade Z 69i 65 admitindo que i é a unidade imaginária. O elemento desse conjunto que possui o maior argumento θ, 0 θ < π, é igual a (A) 60 i (B) 65 69i (C) 0i (D) 65 69i (E) 65 56i Seja Z = yi o número compleo dado. Aplicando à epressão teremos: Daí: yi 69i 65 ( y 69) i 65 Calculando o módulo do número compleo: Elevando ambos os lados ao quadrado: y ( y 69) ( 65) Que é uma equação de uma circunferência de raio 65 e centro C ( 0, 69). Representando no plano de Argand-Gauss: Im ( Z) θ 65 Re ( Z) 69 Note que o argumento na figura é o maior possível para o número compleo Z dado. Ou seja, Z = 65 69i. Opção B Questão 9 A equação = 7 tem uma solução inteira positiva. O número de divisores inteiros e positivos de é: (A) 0 (B) (C) (D) (E) Vamos desenvolver a epressão dada:

12 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 Elevando ambos os lados ao quadrado: Fazendo = = 7 = M teremos: M, 8 = 0 M M 8 = 0 ( 8) = = 69 9 = 6 9 M = M = M = 6 ( ) ± 6 = 9 6 M = M = M = = = = = = M M = = = = 7 A segunda solução não serve, pois não é positiva. O número de divisores é dado por: = divisores Opção D Questão 0 Sabendo que o log0 (A) a b a = a e log0 5 (B) a b a = b, que opção representa log0? (C) a b (D) a b a a (E) a b a Vamos colocar os logaritmos dados na base 0: log0 log0 log0 log0 log0 = a = a = a = a = a log 0 log 0 log log 0 log Agora basta isolarmos log0 na epressão anterior: log0 a = a log0 = a log0 a log0 = log0 a Vamos ao outro logaritmo:

13 log 5 log 5 log 5 log log0 5 = b = b = b = b = b log00 log0 ( 0) log0 log00 log0 Usando o resultado anterior: log0 5 = b a a log0 Isolando log0 5 : log0 5 a ab b ab b = b log0 5 = b b log0 5 log0 5 a = = a a a a log0 Calculamos agora o logaritmo pedido: 0 b a b log0 = log0 = log0 0 log0 5 = = 5 a a Questão Opção E 0 Os pontos A,, B (,0), C( 0,0 ) e D ( a,b ) são vértices de um quadrilátero circunscrito a uma circunferência. A equação da reta AD é representada por 5 (A) y = 5 (B) y = (C) y = 5 (D) y = 5 (E) y = 0 Queremos uma reta que passe por A,. Utilizando as opções para conferir teremos: (A) Correta. y = 5 5 y = 5 ( ) 5 y = 0 5 y = 0 (B) Falsa. (C) Falsa. y = y = ( ) y = 8 y = (D) Falsa. y = y = y = (E) Falsa. y = 5 y = 5 ( ) y = 0 y = 7 6

14 Observação: Esta é uma solução não formal. Por enquanto, não encontramos nenhuma solução mais formal que fosse viável do ponto de vista do tempo. Atualizaremos este arquivo assim que encontrarmos. Opção A Questão Sejam ABC e BCD dois triângulos retângulos congruentes, contidos em planos perpendiculares, com hipotenusas AC = BD = 8 m e cateto AB = m. O volume, em m, do tetraedro ABCD definido peles vértices desses triângulos é igual a (A) 6 (B) 8 (C) 6 (D) (E) De acordo com o enunciado temos a figura abaio: α A β D 8 B 8 C No triângulo ABC temos que: AC = AB BC 8 = BC BC = 6 6 BC = 8 BC = Aplicando este resultado ao triângulo BCD: BD = BC DC 6 = 8 DC DC = O que confirma a congruência dos triângulos. O volume do tetraedro: V = SBase H V = V = m Observação: Repare que só é possível calcular rapidamente o volume porque os planos são perpendiculares e a altura AB está contida no plano α e a base no plano β. Opção E Questão As medidas dos lados AC, BC e AB de um triângulo ABC formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente. Os ângulos internos Â, ˆB e Ĉ desse triângulo possuem a seguinte propriedade: sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ senaˆ senbˆ coscˆ = cos Cˆ. Se o perímetro do triângulo mede m, sua área, em m, é igual a:

15 (A) (B) (C) 9 8 (D) (E) Para facilitar vamos usar a figura abaio como base: A b c C a De acordo com o enunciado temos a seguinte P.A.: b,a,c Pela propriedade das P.A. s temos: b c () a = Usando a lei dos cossenos sobre o ângulo em C temos: () c = b a ab coscˆ A partir da epressão: ˆ ˆ ˆ ˆ sen A sen Bˆ sen C sena senbˆ cosc = cos Cˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sen A sen Bˆ sen C sena senbˆ cosc = sen Cˆ () sen Aˆ sen Bˆ senaˆ senbˆ coscˆ = Da lei dos senos temos: a b () sena ˆ = senbˆ Da equação (): c b a (5) c b a ab coscˆ coscˆ = = ab Da equação (): a b b senaˆ (6) senbˆ = = senaˆ senbˆ a Substituindo (5) e (6) em (): ˆ ˆ ˆ b sen A ˆ bsena c b a sen A sena = a a ab ˆ ( ) b sen Aˆ bsen A c b a sen Aˆ = a a b a sen Aˆ b sen Aˆ sen Aˆ ( c b a ) = a sen Aˆ a b ( c b a ) = a a a (7) sen Aˆ = senaˆ = c c Substituindo (7) em (): 5 B

16 a b ˆ b = senb = a senbˆ c c Também da lei dos senos temos: a c a c = = sencˆ = Cˆ = 90 senaˆ sencˆ a sencˆ c Da equação () e do enunciado: b c a = c = b a a b c = Da primeira e terceira equações deste sistema: a = a = Temos agora: b c = c = b Substituindo a segunda na primeira: Finalmente calculando b: A área deste triângulo: c = c c = c c c = c = c = 5 b = b = ab 9 S = S = S = m 8 Opção C Questão Um triângulo isósceles ABC, com lados AB = AC e base BC, possui a medida da altura relativa à base igual à medida da base acrescida de dois metros. Sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 6 metros, pode-se afirmar que sua base mede (A) 8 metros (B) 9 metros (C) 0 metros (D) metros (E) metros Para facilitar o entendimento, vamos fazer uma figura ilustrativa: 6

17 A h De acordo com o enunciado temos: b = 6 h = b Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo AMB teremos: b = h Da primeira equação temos: 6 b = Substituindo estes resultados na terceira equação (Pitágoras): C b M b 6 b b = ( b ) 6 7b b b = b b 6 7b b = b 6b 6 b 6 7b = b 6b 6 b 88b 6 6 = 0 b 88b 6 6 = 0 b 88b 0 = 0 b b 0 = 0 Resolvendo a equação do º grau: = 0 = 8 80 = 76 0 b = b = b = 0 ± 76 b, = 6 b = b = b = Como a base não pode ser negativa temos que b = 0. B Opção C Questão 5 O gráfico das três funções polinomiais do º grau a, b e c definidas, respectivamente, por a(), b(), e c() estão representadas abaio: 7

18 y b ( ) c ( ) a ( ) Nessas condições, o conjunto solução da inequação (A) (, ) [, ) (B) [, ] [, ) (C) (, ) [, ) (D) [, ) (E) R { } ( a ( ) ) b ( ) c ( ) é A potência sobre as funções não altera suas raízes, somente sua imagem. Então podemos montar um quadro de sinais normalmente, observando as raízes mostradas no gráfico: a ( ) b ( ) c ( ) Q Observando o gráfico temos a solução. Opção C Questão 6 Um triângulo obtusângulo ABC tem 8 cm de perímetro e as medidas de seus lados formam uma progressão aritmética crescente ( AB,AC,BC ). Os raios das circunferências inscrita e circunscrita a esse triângulo ABC medem, respectivamente, r e R. Se ˆ sena 5 = e ˆ senb 5 =, então o produto r R, em cm, é igual a 6 8

19 (A) 5 9 Curso Mentor (B) 6 6 (C) 5 (D) 6 (E) Façamos então uma figura para ilustrar o enunciado: A b c De acordo com enunciado: É uma P.A. crescente. Ou seja, C a ( c,b,a ) b = c a Como o perímetro é 8: 8 = a b c Então: b b = 8 b = 8 b = 6 Da lei dos senos: a b R sena ˆ = senbˆ = Podemos encontrar o valor de R: b 6 6 = R R = R = senbˆ Calculamos agora o valor de a: a 5 6 R a a 8 sena ˆ = = 5 = A razão r da P.A.: r = a b r = 8 6 r = Portanto c =. Sabemos que a área de um triângulo circunscrito a uma circunferência pode ser calculado por: S = p r E a área de um triângulo inscrito em uma circunferência pode ser calculado por: abc S = R Como queremos r R : S abc abc r R = r R = p S p r R = r R = 9 Opção D 9 B

20 Questão 7 Curso Mentor Seja f uma função de domínio D ( f ) = R { a}. Sabe-se que o limite de tende a a é L e escreve-se lim f ( ) = L, se para todo ε > 0, eistir δ > 0 0 a < < δ então f ( ) a L < ε. Nessas condições, analise as afirmativas abaio., se I Seja f ( ) =, logo, lim f ( ) = 0, se = II Na função, se < f =, se =, se > lim f =., tem-se III Sejam f e g funções quaisquer, pode-se afirmar que lim ( f g) n ( ) ( LM) se lim f ( ) = L e lim g ( ) a a = M. Assinale a opção correta: (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira (B) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras (C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras (D) Apenas a afirmativa III é verdadeira (E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras a f, quando, tal que, se =, n N, n Vamos analisar cada uma das proposições: I Falsa. Analisando o limite teremos: ( ) ( ) lim = lim = lim ( ) = II Falsa. Pela definição da função temos que: lim f = III Verdadeira. É uma propriedade dos limites. Temos que: E Então, usando estas duas propriedades: n = lim f ( ) n lim f a a = lim f g lim f lim g a a a n { } n n n n lim f g = lim f g = lim f lim g a a a a n n = lim f lim g = L M = LM a a n n n Opção D Questão 8 A epressão 6n n representa a soma dos n, primeiros termos de uma sequência numérica. É correto afirmar que essa sequência é uma progressão (A) aritmética de razão (B) aritmética de razão (C) aritmética de razão 0

21 (D) geométrica de razão (E) geométrica de razão Como a epressão representa a soma dos termos da sequência podemos encontrar o primeiro termo e a partir da soma descobrir o segundo: Soma de termo ou primeiro termo: a = 6 a = 7 Usando a epressão: Soma de termos: S = 6 S = 6 Mas S = a a 6 = a 7 a = 9 Somando os três termos Soma dos termos iniciais: S = 6 S = 7 Como S = a a a 7 = a 9 7 a = A nossa sequência é: 7,9,,... S S = 6 S = 7 Cada termo, a partir do segundo, é o anterior mais. Questão 9 Opção C Se X é um conjunto com número finito de elementos, n ( X ), representa o número de elementos do conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades: n A B C = 5 n ( A C) = n ( B A) = 0 n ( A C) = n ( C ( A B) ) O maior valor possível de n ( C ) é igual a (A) 9 (B) 0 (C) (D) (E) Fazemos o diagrama de Venn do enunciado:

22 A a e g c B d f Dos dados do enunciado: b n ( A B C) = 5 n ( A) n ( B) n ( C) n ( A B) n ( A C) n ( B C) n ( A B C) = 5 a d e g e g c f d g f b e g d g g f g = 5 a d e g c f b = 5 E ainda: C n ( A C) = a e = n ( B A) = 0 c f = 0 ( ) n A C = n C A B d g = b Então, substituindo na primeira equação: b 0 b = 5 b = 5 b = Queremos n ( C ) : Logo Ou seja n ( C) = d g f b n ( C) = f a d e g c f b = 5 n ( C) a e c = 5 O menor valor possível para c é zero. n ( C) c = n ( C) = Para que isto ocorra devemos ter f = 0, o que está correto, já que c f = 0. Opção D Questão 0 Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo com altura h e base quadrada. Ele está com uma certa quantidade de água até uma altura h. Duas esferas, ambas com diâmetros iguais a dm, foram colocadas dentro do recipiente, ficando esse recipiente com o nível de água até a borda (altura h). Considerando que o volume do h paralelepípedo retângulo é de 0 litros, pode-se afirmar que a razão h, utilizando π =, vale: Veja a figura abaio:

23 h h S Seja S a área da base do paralelepípedo. Temos que seu volume será: 0 V = S h S = h As duas esferas colocadas têm o volume total igual ao volume que faltava pra encher o paralelepípedo de água, ou seja, π r = S (h h ) Então: 8 0 π = (h h ) h π (h h ) = 0 h π (h h ) = 5 h Do enunciado, π = : (h h ) (h h ) = = 5 h 5 h h = 5h 5h h = 5h h = h 5 Opção D