GABARITO ITA PROVA 2016/2017 MATEMÁTICA

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1 GABARITO ITA PROVA 06/07 MATEMÁTICA

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3 GABARITO ITA MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números compleos i: unidade imaginária i = det M: determinante da matriz M M : inversa da matriz M MN: produto das matrizes M e N AB : segmento de reta de etremidades nos pontos A e B [a, b] = { : a b} Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares. Questão Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X Y e X Y. Considere as seguintes afirmações: I. Eiste uma bijeção f : X Y. II. Eiste uma função injetora g: Y X. III. O número de funções injetoras f: X Y é igual ao número de funções sobrejetoras g: Y X. É (são) verdadeira( s) A ( ) nenhuma delas. B ( ) apenas I. C ( ) apenas III. D ( ) apenas I e II. E ( ) todas. Gabarito: Letra A. I. Falsa. Para eistir bijeção em conjuntos finitos deveríamos ter n(x) = n(y), porém X Y e X Y. II. Falsa. X Y e X Y n(y) > n(x) tornando impossível formar uma função injetora. III. Falsa Basta tomar o contra-eemplo X = {}, Y = {,}. Nesse caso temos duas funções injetora de X em Y e uma função sobrejetora de Y em X.

4 DISCURSIVAS 5//6 Questão O número de soluções da equação ( + secθ)( + cossecθ) = O, com θ [ π, π], é A ( ) 0. D ( ). B ( ). E ( ) 4. C ( ). Gabarito: Letra A. Como aparecem secθ e cossecθ, devemos ter sen θ 0 e cos θ 0. Agora, na equação dada, tem-se: sec θ = cos θ = ou ou cossec θ = sen θ = Como cos θ = sen θ = 0 e sen θ = cos θ = 0, não há soluções. Questão Sejam a, b, c, d. Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b/, c/4, d 40 formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de d b é: A ( ) 40. D ( ) 0. B ( ) 0. E ( ) 40. C ( ) 0. Gabarito: Letra D. Seja q a razão da PG (a, b, c, d), temos: b = aq, c = aq, d = aq a b c c aq,, b a aq a 4 em PA = + = q a 0: q = + q 4q + 4 = 0 q =. 4 Nesse caso b = a, c = 4a e d = 8a a b c a 4a,,, d 40 a,,, a em PA em PA 4

5 GABARITO ITA MATEMÁTICA Logo 8a 40 = a, donde a = 0, b = 40; d = 60 d b = 0. Não pode ocorrer a = 0, pois teríamos b = c = d = 0 e a, b, c, d 40 4 não seria PA. Questão 4 O maior valor de tg, com = arcsen 5 e π 0,, é A ( ) /4. D ( ). B ( ). E ( ) ;. C ( ) /. Gabarito: Letra B. Como = arcsen, tem-se = arcsen. 5 5 Logo,sen =. 5 π π π Como <, segueque = arcsen < =. Dai, < Já que é agudo, sen = implica cos = etan = tan Portanto: = tan + 8 tan = 0 tan 4 tan = ou tan = /. Como é agudo: tan = /. Questão 5 Considere a reta r : y =. Seja A = (, ) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é A ( ) 9 5. D ( ) 5. B ( ) 5. E ( ) 4 5. C ( )

6 DISCURSIVAS 5//6 Gabarito: Letra C. Sendo d a diagonal do quadrado: d 6 6 = dar (, ) = d = = 5 5 d S = = = Questão Considere o sistema de equações = y z S + + =. y z = 7 y z Se (, y, z) é uma solução real de S, então + y + z é igual a A ( ) 0. D ( ) 9. B ( ). E ( ). C ( ) 6. Gabarito: Letra C. Façamos = a, = b e = c. Daí, temos o sistema: y z a+ 7b+ 8c = () i 4a+ 8b+ 40c = 0 ( ii) a+ 54b+ 4c = 7 (iii) ( iii) ( ii): 7b+ 8c= 4 / ( ) () : = 7b = b = 9 iii i 8c 8c = c = / 8 Em (i): a + + = a = 6

7 GABARITO ITA MATEMÁTICA Então, como, y, z são reais: = = = y =± y 9 = z = z 8 + y + z = + + = 6 Questão 7 O número de soluções inteiras da inequação é A ( ). B ( ). C ( ). D ( ) 4. E ( ) 5. Gabarito: Letra C. + 8: + + 8/ 0 o caso: 8/ ou 0 0 ( + 8) Assim : ou +. Logo 4 ou + 0. : { 4,0} que satisfazem a condição inicial desse caso. 7

8 DISCURSIVAS 5//6 o caso: 8/ < < ou 0 Assim : Logo 5 ou : {,0}. No intervalo inicial =. Questão 8 Sejam A= {,,, 4, 5} e B = {,,, 4, 5}. Se C = {y: A e y B}, então o número de elementos de C é A ( ) 0. B ( ). C ( ). D ( ). E ( ) 4. Gabarito: Letra E. A\B Na tabela temos 4 elementos distintos. 8

9 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão 9 Sejam S = {(, y) : y ll l } e S = {(, y) : + (y + ) 5}. A área da região S S é A ( ) 5 4 B ( ) 5 4 C ( ) 5. 4 π D ( ) 75 4 E ( ) 75 4 π. π. π. π. Gabarito: Letra A. Montemos S : y y = y y = y y = Daí: y S 9

10 DISCURSIVAS 5//6 Montemos S : y raio = 5 S Agora, para S S : A B Veja que S S = A B. Como B A, temos que: Área(S S ) = Área(A) Área(B) Em A, os raios são perpendiculares, pois vêm de y =. Daí, Área(A) = 5π π 5 =. 4 4 Para B, veja que temos um quadrado de lado. Daí, Área(B) =. 5π Área( S S) =. 4 0

11 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão 0 Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de. Das afirmações: (log c b) (log c a) I. a = b. log c log a log b d d d a b c II. b c a =. III. log ab (bc) = log a c A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas I e II. D ( ) apenas II e III. E ( ) todas. Gabarito: Letra C. logc b logc a I. (v) a = b (log b) log a = (log a)log b c c log b log a log a= log b, oque é claramente verdade para quaisquer a, b e c log c log b positivos diferentes de. II. (v) Usando a afirmação (I): logd c logd a a = c logd c log a d a logd b b = a b logd b logd c c = b logd a logd b b c =. c a log log III. (f)log (bc) log c b + c log c = = ab a log a + log b log a (log b) (log a) = (log b)(log c), igualdade satisfeita apenas se b = ou se a = c.

12 DISCURSIVAS 5//6 Questão Sejam D = 0 0 e P = Considere A = P DP. O valor de det(a + A) é: A ( ) 44. B ( ) 80. C ( ) 40. D ( ) 4. E ( ) 60. Gabarito: Letra A. A = P DP A = P DPP DP = P D P. Daí, A + A = P D P + P DP = P (D + D)P. Então, pelo teorema de Binet: 0 0 det(a + A) = det (D + D) = Questão Considere dois círculos no primeiro quadrante: = 6 = 44. π C com centro (, y ), raio r e área. 6 C com centro (, y ), raio r e área 44π Sabendo que (, y, r ) e (, y, r ) são duas progressões geométricas com somas dos termos iguais a 7 4 e, respectivamente, então a distância entre os centros de C e C é igual a A ( ) B ( ) C ( ). D ( ) 9. E ( )

13 GABARITO ITA MATEMÁTICA Gabarito: Letra E. π C tem área. Logo, r =. 6 4 C tem área 44π. Logo, r = a a Daí, para as PGs: (, y, r )=,,, y, r b, b,. e ( )= ( ) Como foram dadas as somas das progressões: a a 7 a + + = = ou a = a + a 6= b + 4b = 0 b + b+ = = = b ou b Como os círculos estão no o quadrante, tem-se a > 0 e b > 0. Então: a =, b =. Substituindo: (, y)=,, y 6, e ( )= ( ). A distância entre esses pontos é 6 Questão Das afirmações: ( ) = + 4 =. I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma k (m ), em que k e m são inteiros positivos. II. Eiste um número [O, π/] de tal modo que os números a = sen, a = sen ( + π/4), a = sen ( + π/) e a 4 = sen ( + π/4) estejam, nesta ordem, em progressão geométrica. III. Eiste um número inteiro primo p tal que p é um número racional. é(são) verdadeira(s) A ( ) apenas I. B ( ) apenas li. C ( ) apenas III. D ( ) apenas I e II. E ( ) todas.

14 DISCURSIVAS 5//6 Gabarito: Letra A. I. V Todo inteiro positivo pode ser fatorado de forma única como produto de primos (Teorema Fundamental da Aritmética). Daí, k representa a parte par, que contém todos os fatores. O que sobra é ímpar e fica incluído no fator m. II. F a = a a( i) Para (a, a, a, a 4 ) ser PG, devemos ter a = a a4 ( ii) (i) sen π π ( + ) = sen sen ( + ) 4 ( ( sen + cos )) = sen cos ( sen + cos + sencos ) = sen cos + sen = sen = 0 (impossível) III. F Seja = p. Temos que p = 0. Se é racional, pelo teste das raízes racionais, tem-se que é inteiro e p. Daí ou = ± ou = ±p. Como > 0: = p= 0 = p p p= 0 p= 0oup= Como p é primo, isso não é possível. 4

15 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão 4 Com os elementos,,..., 0 são formadas todas as sequências (a, a,..., a 7 ). Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é A ( ) 7! 7 0! D ( ) 0! 0 7! B ( ) C ( ) 0! 7 0!! 7 0 7! E ( ) 0 0 7! Gabarito: Letra B. Número de elementos do espaço amostral: 0 7 Número de elementos do evento: A 0, 7 = 0!! na ( )! PA ( ) = n( Ω ) = 0 7 0! Questão 5 50 ( ) = Considere a equação a bi que satisfazem a equação é A ( ) 500. B ( ) 50. C ( ) 50. D ( ) 50. E ( ) 504. ( a+ bi ). O número de pares ordenados (a,b) ( a + b )

16 DISCURSIVAS 5//6 Gabarito: Letra D. Seja ρ= a+ bi = a bi = a + b 0 Na equação dada, apliquemos módulo: 50 ( a bi ) = ρ 50 ρ = 500 ρ + ( a+ bi ) ( a + b ) 50 + Daí, ou ρ = 0, que implica z = a + bi = 0, ou ρ (ρ 500 ) + ρ 500 = 0 ρ 500 = ou ρ 500 =. 500 = 500 ρ + Como ρ 500 > 0, temos ρ 500 = ρ =. Daí, a + b =. Na equação dada: (a bi) 50 = a + bi Sendo a+ bi = z e a bi = z, usando z z = z =, temos z =. z 50 Daí: z z = 50 z = Então, as raízes em z são 0 e as 50 raízes de z 50 =. Portanto, são 50 soluções. Questão 6 Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC, e BC medem 6 cm, 8 cm e 0 cm, respectivamente. Considere os pontos M e N sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa a BC e N é o ponto médio de BC. A área do triângulo AMN, em cm é A ( ),6. D ( ) 4,48. B ( ),60. E ( ) 6,7. C ( ) 4,0. 6

17 GABARITO ITA MATEMÁTICA Gabarito: Letra A. A 6 B B M N 5 C 68 Veja que AN = NC = 5, e que AM = = Portanto: MN = = AM MN SAMN = = = = 6, cm 5 Questão 7 Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um heágono regular, conforme a figura abaio. O comprimento de uma correia tensionada que envolve eternamente as seis circunferências mede, em cm, A ( ) 8 + π. B ( ) 0 + 0π. C ( ) 8 + 6π. D ( ) π. E ( ) 6 + 6π. 7

18 DISCURSIVAS 5//6 Gabarito: Letra D. 0 α 0 Veja que o ângulo α assinalado satisfaz: α = 60 α = 60 Logo, o comprimento total será dado por: π = ( π) cm 60 Questão 8 O lugar geométrico dos pontos (a, b) tais que a equação, em z, possua uma raiz puramente imaginária é A ( ) uma circunferência. B ( ) uma parábola. C ( ) uma hipérbole. D ( ) uma reta. E ( ) duas retas paralelas. z + z + (a + ib) = O Gabarito: Letra B. Para uma raiz puramente imaginária: z = ui (u, u 0) z + z + ( a + bi ) = 0 u + ui + ( a + bi ) i = 0 ( ) + ( ) = + u a u b i 0 0i u a = 0* u b = 0 u = b Em *: b a = 0 a = b 8 parábola. Obs.: Como u 0, temos b 0. Por isso, devemos ecluir o vértice da parábola.

19 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão 9 Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 0 m de distância; o segundo, a 40 m; o terceiro alvo, a 60 m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de /, então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é: A ( ) 0 60 B ( ) 9 54 C ( ) 0 44 D ( ) 05 5 E ( ) 9 4 Gabarito: Letra E. Seja P(A i ) a probabilidade de acertar o alvo A i e D(A i ) a distância até o alvo A i, pelo enunciado: P(A) D (A) = cte = k No primeiro alvo: 0 = k k = 600. No segundo alvo: P( A) 40 = 600 PA ( ) =. 8 No terceiro alvo: P( A) 60 = 600 PA ( ) = Probabilidade de errar todos os alvos: 8 6 = 8 6 = 44 5 Probabilidade de acertar ao menos um dos alvos: 9 44 = 44. 9

20 DISCURSIVAS 5//6 Questão 0 Considere o triângulo ABC, em que os segmentos AC, CB e AB medem, respectiva mente, 0 cm, 5 cm e 0 cm. Seja D um ponto do segmento AB de tal modo que CD é bissetriz do ângulo ACB e seja E um ponto do prolongamento de CD, na direção de D, tal que DBE = DCE. A medida, em cm, de CE é A ( ) 6. D ( ) 0 6. B ( ) 6 C ( ) 7 6. Gabarito: Letra E.. E ( ) 5 6. C 0 5 X A 8 D B Y E Veja que AD = 8 e DB =, pelo teorema da bissetriz interna. Além disso, o quadrilátero ACBE é inscritível, pois ACE = ABE. Por Stewart, temos: = + = Fazendo potência de ponto em relação ao ponto D: 8 y = 8 y = = = 6 6 Logo, CE = + y =

21 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão Considere as retas de equações r: y = + a e s: y = b + c, em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s são perpendiculares entre si, com r passando por (O, ) e s, por (, 4), determine a área do triângulo formado pelas retas r, s e o eio. Gabarito: r: y = +a s: y = b + c Dado que r s, então b = b =. Como r passa por (0, ), então a =. Como s passa por (, 4), então ( ) + c = 4 c = 5. 5 r 5 área S s Logo: + = = 4 = y =. Finalmente: bh S = = = u.a.

22 DISCURSIVAS 5//6 Questão Determine todos os valores reais de que satisfazem a inequação 4 > 4. Gabarito: 4 > 4 Aplicando logaritmos na base em ambos os lados da inequação: log 4 > log 4 ( )log 4 > 4 (log 4 4) > log 4. Como log 4 4 = log 4 log 4 < 0, então: log 4 < log 4 4 < log < log. 8 9 log 4 < 64 log 8 Questão Considere o polinômio 4 p( )= + 4. ( ) + ( + ) ( + ) + a) Determine os números reais a e b tais que p() = ( + a + )( + b + ). b) Determine as raízes de p(). Gabarito: ( ) + ( + ) ( + ) +. Comparando os coeficientes de ( )( + + ) p() = + a + b, obtemos: 4 : = : ( + )= a+ b : ( + )= + ab + : ( + 4 )= a+ b 0 : =

23 GABARITO ITA MATEMÁTICA Perceba que a= e b= satisfazem todas as condições acima. Logo, ( ) + ( ) p() = + Para encontrar as raízes de p() = 0, i) ( + )= 0 ± 4 4 ± = = = ± ii) ( + )= 0 8 = ± = ± i 7 Resposta: a) a= e b= + i i b) Raízes são + 7 7,, e Notação: [ n ] é o coeficiente de grau n no polinômio p(). Questão 4 Sejam A e B dois conjuntos com e 5 elementos, respectivamente. Quantas funções sobrejetivas ƒ : B A eistem? Gabarito: Total de funções (sem restrições): 5 = 4 Para calcular as funções não sobrejetoras utilizaremos inclusão-eclusão. Sejam a, a e a os elementos de A e n(a i ) as funções em que a i não recebe flechas: n(a A A ) = n(a ) + n(a ) + n(a ) n(a A ) n(a A ) n(a A ) + n(a A A ) n(a A A ) = = 9 Assim, temos 4 9 = 50 funções sobrejetoras.

24 DISCURSIVAS 5//6 Questão 5 Sejam A= {,,..., 9, 0} o conjunto dos números inteiros de a 0 e (a, a, a ) uma progressão geométrica crescente com elementos de A e razão q >. a) Determine todas as progressões geométricas (a, a, a ) de razão q =. b) Escreva q = m, com m, n e mdc(m, n) =. Determine o maior valor possível para n. n Gabarito: a) Para termos q =, temos (a, a, a ) = a a 9a,,. 4 Com isso, a deve ser múltiplo de 4: a = 4k (k inteiro) Daí, (a, a, a ) = (4k, 6k, 9k) k = (4, 6, 9) k = (8,, 8) k = (, 8, 7) b) Seja a = a, temos (a, a, a ) = a am, am n, n. Como mdc(m, n) =, devemos ter n a n a 0 n 5. am am Se n = 5: a,, a = 5 (5, 5m, m ), que não é possível, pois não eiste 5 5 quadrado perfeito tal que 5 < m 0. am am Se n = 4: a,, a = 6 (6, 4m, m ). 4 6 Aqui, a única opção é m = 5, ou seja, m = 5. A PG é (6, 0, 5). Resposta: n MÁX = 4. 4

25 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão 6 Esboce o gráfico da função f : dada por f( )=. Gabarito: Vamos esboçar o gráfico de g () = : y Ao trocar por, o gráfico será simétrico em relação ao eio y. Portanto, o gráfico de g () = será da forma: y 5

26 DISCURSIVAS 5//6 Para g () =, basta transladar o gráfico de g () de unidade para baio. O gráfico de g () será: y Como f() = g (), basta refletir as partes do gráfico de g (), que possuem g () < 0, em relação ao eio. Gráfico de f(): y 6

27 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão 7 Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impos sível: + ay+ z = y+ z =. + az = 5 Gabarito: Para que o sistema seja impossível, devemos ter: a = 0 0 a Pela Regra de Sarrus, a +7a + 6 = 0 a = ou a = 6 I. a = y + z = y + z = z = 5 Veja que (, y, z) = (5/, /, 0) é solução, logo o sistema não é impossível. II. a = 6 6y + z = (* ) y + z = (* ) 6z = 5 (* ) Fazendo (*) 9(*) 4(*): ( + 9 ) + y( 8 + 8) + z( 7 + 4) = ( 9) + 5 ( 4) y + 0 z = , absurdo! Pois 0 5. Portanto, o sistema é impossível para a = 6 7

28 DISCURSIVAS 5//6 Questão 8 Um triângulo retângulo com hipotenusa c = ( + 6) está circunscrito a um círculo de raio unitário. Determine a área total da superfície do cone obtido ao girar o triângulo em torno do seu maior cateto. Gabarito: y y ( ) Primeiro, veja que + y = + 6. Além disso: p = + 6 A área do triângulo é dada por: ( + ) ( y+ ) = pr ( + )( y + )= y + + y+ = y = + 6 Portanto, encontramos = + 6 e y = 6. O maior cateto do triângulo será + = Assim, o cone gerado de acordo com o enunciado terá área total igual a: 4+ 6 ( + 6 ) S = π rg+ πr = π( 6) + 6 π 6 S total total ( ) = π u.. a ( )+ ( ) 6 8

29 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão 9 Determine o conjunto das soluções reais da equação cossec Gabarito: Do enunciado, cossec tg = + tg =. Mas, + tg = sec. Dessa forma, cossec c sen I = = sec os ( ) Sabemos que cos = sen ( II) Substituindo (I) em (II), obtemos: cos = 6cos 6cos + cos = 0 i. cos = π = + kπ, k ou π = + k π, k ii. cos = = arccos k, k + π ou = arccos k + π, k 4 4 Resposta: S = = π π + k = + k = arccos k + = π π π arccos 4, + k π sendo k, k, k e k 4 números inteiros. 9

30 DISCURSIVAS 5//6 Questão 0 Considere o cubo ABCDEFGH de aresta tal que: ABCD é o quadrado da base inferior; EFGH, o quadrado da base superior e AE, BF, CG e DH são as arestas verticais. Sejam L, M e N os pontos médios das arestas AB, CG e GH, respectivamente. Determine a área do triângulo LMN. Gabarito: E H N F G M D C 5 A L B Veja que LN = AH =. Além disso, MN = e, como LC = 5, o segmento LM mede 6. Então o LMN é retângulo, pois: ( ) = ( 6) + ( ) A área do LMN será dada por Comentário 6 = u.a. A prova de Matemática do ITA deste ano manteve sua abrangência em termos de conteúdos cobrados no edital. A parte objetiva está comparável aos anos anteriores, porém a parte discursiva está sensivelmente mais fácil, de forma que um aluno bem preparado conseguiria desenvolver bem os problemas. Destacamos como mais difíceis as questões 5 e 5. Por fim, parabenizamos a banca pela prova. Professores: Jordan Piva / Raphael Mendes / Rodrigo Villard / Sandro Davison 0

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