MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução

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1 MATEMÁTICA A - o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Analisando cada uma das afirmações temos (A) z z = z z é uma afirmação verdadeira porque z z é a distância entre os vértices correspondentes ao complexos z e z, (ou seja a medida do lado do quadrado), tal como z z representa a medida de outro lado do quadrado. Como as medidas dos lados do quadrado são iguais, a afirmação é verdadeira. z + z = Re (z ) é uma afirmação verdadeira porque como o centro do quadrado está centrado na origem e os lados são paralelos aos eixos, os vértices do quadrado estão sobre as bissetrizes dos quadrantes, ou seja, z = a + ai e z = a ai, com a R + Assim, vem que z + z = a + ai + a ai = a = Re (z ) (C) z i = z é uma afirmação falsa porque z i = z z = z i e z = a + ai e z = a ai, com a R + Como z i = (a + ai) i = ai + ai = ai + a( ) = ai a = a + ai = z Ou seja, multiplicar por i corresponde geometricamente a fazer uma rotação de π radianos, no sentido positivo. Assim, fazendo a uma rotação deste tipo da imagem geométrica de z, obtemos a imagem geométrica de z e não a imagem geométrica de z (D) z = z é uma afirmação verdadeira porque z = a + ai e z = a + ai, com a R + Logo z = ( a + ai ) = (a ai) = a + ai = z Resposta: Opção C. Como o triângulo [OAB] é equilátero, temos que z = OB = OA = Exame 5, Ép. especial Por outro lado, como a amplitude de cada um dos ângulos internos do triângulo equilátero é π, e o ponto B está no o quadrante, temos que arg (z) = π, ou então E assim, vem que arg (z) = π π = 6π π = 5π z = cis ( ) 5π = cis ( ) 5π 5π O π A Resposta: Opção D B Exame 5, a Fase Página de

2 . A linha é defina pela conjunção de duas condições, cujas representações gráficas no plano complexo são: a circunferência de centro no afixo do número complexo z = + i e raio ( z + i = z ( + i) = ) a região do o quadrante limitada pelo semieixo ( imaginário positivo e a bissetriz dos quadrantes pares π arg (z) π ) Assim, a linha definida pela conjunção é uma semicircunferência de raio, cujo comprimento C é o semiperímetro da circunferência de raio : C = P = πr = πr = π Resposta: Opção C O i Exame 5, a Fase. Os pontos da zona sombreada pertencem ao exterior da circunferência de centro na imagem geométrica do número complexo i e raio, ou seja, a distância à imagem geométrica de i é superior a, ou seja, os números complexos z verificam a condição z i > Como os pontos ( da região sombreada representam números complexos cujo argumento está comprendido entre arg + i e arg ) ( ) + i vamos determinar estes argumentos. Seja θ = arg ( + i ), assim temos que tg (θ ) = = = = = Como θ é um ângulo do o quadrante, temos que θ = π ( ) Analogamente temos que θ = arg + i = π E assim, os números complexos z verificam a condição condição anterior, e cumulativamente, a condição π < arg (z) < π Resposta: Opção C Exame, a Fase Página de

3 5. Escrevendo ( + i) na f.t. temos ( + i) = ρ cis θ, onde: ρ = ( + i) = + = + = tg θ = = ; como sen θ > e cos θ >, θ é um ângulo do o quadrante, logo θ = π Logo ( + i) = cis π Pela fórmula de Moivre para a potência temos que: Como w = ( + i) = ( π ) ( cis = cis π ) = cis π Assim: arg (w) = π ( 5 + )π = = 5π + π = 5π + π = 5π + π Descontando as voltas completas temos arg (w) = π + π = π + π = 5π Ou seja, a representação geométrica de w é um ponto do o quadrantes ímpares, pelo que = quadrante que pertence à bissetriz dos Resposta: Opção D Exame, Ép. especial 6. Podemos reescrever a condição dada na forma: z + i π arg(z + i) π z-(-i) π arg(z-(-i)) π Assim, sendo o ponto P a representação geométrica do número complexo i, a condição define o conjunto de pontos do plano complexo que: estão a uma distância do ponto P compreendida entre e definem com a semirreta paralela ao eixo real com origem no ponto P e que se prolonga no sentido positivo do eixo, um π P π ângulo compreendido entre π rad e π rad Resposta: Opção A Exame, a Fase 7. Seja θ = arg(z ). Como Re(z ) = = cos θ, z = e θ é um ângulo do o quadrante, temos que θ = π Logo sen θ = = r π z Exame, Ép. especial Página de

4 8. A coroa circular representada é o conjunto dos pontos que distam da origem entre e 6 unidades, ou seja a representação dos números complexos z, tais que z 6 Os pontos assinalados devem ainda satisfazer a condição de que o ângulo (medido a partir da representação geométrica do complexo + i está compreendido entre π rad e π rad. R Ou seja: π arg (z ( + i)) π π arg (z + i) π P π Q π Resposta: Opção C Exame, a Fase 9. A opção (I) não representa a região definida pela condição porque não satisfaz a condição π arg (z) π. Os números complexos que verificam esta condição têm as respetivas representações geométricas nos o, o e o quadrantes, ao contrário dos pontos assinalados na opção (I). A opção (II) não representa a região definida pela condição porque não satisfaz a condição z z z. Os números complexos que satisfazem esta condição têm as repetivas representações geométricas no semiplano delimitado pela bissetriz do segmento de reta [OC] e que contém o ponto C, ou seja os pontos cuja distância à origem é não inferior à distância ao ponto C. Os pontos assinalados na opção (II) estão mais perto da origem do que do ponto C. A opção (III) não representa a região definida pela condição porque não satisfaz a condição z z. Os números complexos que verificam esta condição têm as respetivas representações geométricas no interior da circunferência de raio e centro em C, e alguns pontos assinalados na opção (III) estão no exterior desta circunferência (pertencem ao interior da circunferência com o mesmo raio, mas centrada na origem). Logo a opção correta é a opção (IV). Exame, Ép. especial. A região apresentada na figura é definida pelo interior da circunferência de centro na origem e raio OA e pelo conjuntos de pontos que representam números complexos com argumentos compreendidos entre arg ( + i) e π. Assim temos que OA = + i = ( ) + = + = = E, sendo θ = arg ( + i), vem que: tg θ = = =, como sen θ > e cos θ <, θ é um ângulo do o quadrante, B A logo θ = π π 6 = 6π 6 π 6 = 5π 6 Desta forma z < + i arg ( + i) arg (z) π z 5π 6 arg (z) π Exame, a Fase Página de

5 . Considerando z = a + bi (com a R e b R), temos que: z = a bi z + z = a + bi + a bi = a i (z + z) = i(a) = ia i (z + z) = ia = a = Ou seja o conjunto A é o conjunto dos números complexos z, tais que Re (z) =, ou seja a sua representação geométrica coincide com o eixo imaginário.. Começamos por escrever z na f.a.: z = ( π ) cis = ( cos π + i sen π ) = ( ) + i = + i = + i Exame, Ép. especial O raio da da circunferência é z z, ou seja, a distância entre as representações geométricas dos dois números complexos. Logo temos que : z z = ( + i) = i = i = + ( ) = + = 5 Assim a circunferência que tem centro na imagem geométrica de z e que passa na imagem geométrica de z é definida por: z z = z z z = 5 Exame, a Fase. Os números complexos das opções (A) e (C) não pertencem ao semiplano apresentado, porque as respetivas representações geométricas distam menos de unidades da origem. Como o número complexo da opção (D) está sobre o eixo imaginário, também não pertence ao semiplano apresentado. ( Como Re ( π )) cis = cos π 6 6 = = = 9 ( Temos que Re ( π )) cis > 6 (D) (C) (A) (B) Exame, a Fase. Os pontos representado na região a sombreado satisfazem cumulativamente três condições: Re (z), ou seja pertencem ao semiplano à direita da reta Re (z) = Im (z), ou seja pertencem ao semiplano acima da reta Im (z) = z z ( i), ou seja pertencem ao semiplano definido pela reta z = z ( i) que contém a representação geométrica de ( i), porque queremos considerar os pontos cuja distância ao ponto (, ) é maior que a distância ao ponto (, ). Resposta: Opção A ( i) Exame 9, a Fase Página 5 de

6 5. Como z = bi, Ou seja z é um número imaginário puro, com a respetiva representação geométrica sobre o eixo imaginário. Logo (z ) = (bi) = b i = b ( ) = b é um número real negativo com a respetiva representação geométrica sobre a parte negativa do eixo real. Logo (z ) = (bi) = b i = b ( i) = b i é um número imaginário puro, com a respetiva representação geométrica sobre o eixo imaginário. A única opção em que triângulo tem dois vértices sobre o eixo imaginário e o terceiro sobre a parte negativa do eixo real é a opção (C). (z ) z Resposta: Opção C (z ) Exame 9, a Fase 6. Resposta: Opção A A condição z + = 5 pode ser escrita como z ( ) = 5 e define os pontos do plano complexo, cuja distância à representação geométrica do número complexo w = é igual a 5. Ou seja, a circunferência de centro no ponto de coordenadas (, ) e raio 5. A condição z = z + i pode ser escrita como z = z ( i) e define os pontos do plano complexo, que são equidistantes das representações geométricas do números complexos w = e w = i. Ou seja, a mediatriz do reta cujos extremos são os pontos de coordenadas (, ) e (, ). A condição arg (z) π define todos os números complexos cuja representação geométrica define com a origem e a parte positiva do eixo real um ângulo compreendido entre e π radianos. Ou seja, a totalidade dos o e o quadrantes. A condição Re (z) + Im (z) = define todos os números complexos da forma w = a + ( a)i, com a R. Ou seja a reta paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares que contém o ponto de coordenadas (, ). Exame 8, Ép. especial 7. Os pontos representado na região a sombreado satisfazem cumulativamente duas condições: Re (z), ou seja pertencem ao semiplano à direita da reta Re (z) = π arg (z), ou seja os pontos são imagens geométricas de números complexos, cujo argumento está compreendido entre π e Resposta: Opção A Re (z) = π Exame 8, a Fase 8. Sendo z = a + bi, com a R e b R, vem que z = a bi. Assim, temos que z + z = a + bi + a bi = a = a = Ou seja, a condição z + z = pode ser escrita como Re (z) =, e a sua representação geométrica é a reta paralela ao eixo imaginário que contém a representação geométrica do número complexo w =. Exame 8, a Fase Página 6 de

7 9. Na figura ao lado está representado, a sombreado, a região B, que é a interseção de três condições: z, o interior da circunferência centrada na origem e raio Re (z), o semiplano à direita do eixo imaginário, ou o conjunto dos pontos com a parte real não nula z z i, o semiplano limitado superiormente pela bisetriz dos quadrantes ímpares A região B pode ser decomposta num quarto do círculo de raio e num setor circular que corresponde a metade de um quarto de círculo, pois é delimitada pela bissetriz dos quadrantes ímpares. O Assim, a área pode ser calculada como: A = A + A = A + A 8 = A + A 8 8 = A = π = π = π = π Exame 6, Ép. especial. Designando por P e Q as representações geométricas dos números complexos w = e w =, respetivamente, temos que a região sombreada é o conjunto dos pontos do plano complexo que satisfazem cumulativamente duas condições: estão a uma distância superior a do ponto P estão a uma distância inferior a do ponto Q Assim temos que a região sombreada é definida por Resposta: Opção A z z P Q Exame 6, a Fase Página 7 de

8 . A condição z < define a coroa circular delimitada pelas cir- cunferências centradas na origem e de raios e z < ; e a condição π arg (z) 5π define a região do plano complexo, dos o e o quadrantes compreendido entre as bissetrizes dos quadrantes, como nas figuras ao lado. A condição z π arg (z) 5π, é a interseção das duas regiões definidas, pelo que a sua representação geométrica é a zona representada a sombreado na figura ao lado. A área da coroa circular pode ser calculada como a diferença das áreas dos dois círculos: Área do círculo de raio : A = π = π ( ) Área do círculo de raio : A = π = π = π Área da coroa circular A = π π = π π = π Como as bissetrizes dos quadrantes dividem a coroa circular em quatro partes iguais, a área da região defina pela condição é π A = = π 6 Exame 6, a Fase. Sendo P a representação geométrica do número complexo z, a condição z z z z z, define uma região do plano complexo que é a interseção de duas regiões distintas: o interior da circunferência de centro em P e raio ( z z ) o semiplano cuja fronteira é a mediatriz do segmento de reta, cujos extremos são a origem e o ponto P e que contém a origem; ou seja o conjunto dos pontos que estão mais perto da origem do que do ponto P ( z z z ) Assim, na figura ao lado, a sombreado, está a representação geométrica da região definida pela condição. Para o traçado da figura pode ser útil considerar que a circunferência deve passar pela origem porque tem raio e z = ; que a reta que define o semiplano é perpendicular ao segmento de reta [OP ] e contém o ponto médio desse segmento de reta; e que o ponto P tem de coordenadas (, 87; ), arredondando a abcissa às décimas. P Exame 5, Ép. especial Página 8 de

9 . Sendo P a representação geométrica do número complexo w, e observando que Re (w ) = Re (+i) = a condição Re (z) Re (w ) z w, define uma região do plano complexo que é a interseção de duas regiões distintas: o interior da circunferência de centro em P e raio ( z z ) o semiplano à direita da reta definida pela condição Re (z) = Assim, na figura ao lado, a sombreado, está a representação geométrica da região definida pela condição. P Para o traçado da figura pode ser útil considerar que a circunferência deve passar pela origem porque tem raio e w = ; que a reta que define o semiplano é perpendicular ao eixo real e passa no ponto de coordenadas (, ); e que o ponto P tem de coordenadas (;.7), arredondando a ordenada às décimas. Exame 5, a fase. A região assinalada na figura a sombreado, é o conjunto dos pontos do plano complexo que verificam cumulativamente três condições: são representações geométricas de números complexos que têm parte real superior a -; ou seja pertencem ao semiplano à direita da reta definida pela condição Re (z) =, (Re (z) ) são representações geométricas de números complexos que têm parte imaginária superior a ; ou seja pertencem ao semiplano acima da reta definida pela condição Im (z) =, (Im (z) ) estão mais perto do ponto (, ) do que do ponto (, ); ou seja pertencem ao semiplano definido pela mediatriz do segmento de reta cujos extremos são as representações geométricas dos números complexos e i e que contém a representação geométrica de -, ( z (i) z ( ) z i z + ) Assim, a conjunção das três condições é Re (z) Im (z) z i z + Resposta: Opção C Exame, a Fase 5. A circunferência de centro na imagem geométrica de w e que passa na origem do referencial é definda pela condição z w = w ; como w = + i e w = + = + = 5, vem que: z w = w z ( + i) = 5 z i = 5 Para que seja considerada apenas a parte da cirunferência que etá contida no quarto quadrante, temos que definir cumulativamente que os pontos devem obedecer à condição Re (z) > Im (z) <, ou seja que só consideramos pontos que sejam representações geométricas de números complexos com parte real positiva e parte imaginária negativa. Assim a condição é z i = 5 Re (z) > Im (z) < Exame, Prova para militares Página 9 de

10 6. A condição indicada é a conjunção de três condições distintas, ou seja, os pontos que pertençem à região assinalada satisfazem cumulativamente as condições: z, ou seja, os pontos que pertencem ao interior da circunferência de centro na origem e raio arg z π, ou seja, os pontos que são representações geométricas de números complexos, cujo argumento está entre zero e π, ou seja os pontos do primeiro quadrante situados abaixo da mediatriz dos quadrantes ímpares Re z, ou seja, os pontos que estão à direita da reta vertical definida pela condição Re z = π z = Re (z) = Exame, a fase - a chamada 7. Uma condição que define no plano complexo a circunferência que tem centro na imagem geométrica de z e que passa na imagem geométrica de z, é da forma z z = z z, uma vez que z z é a distância entre as imagens geométricas de z e z. Desta forma z z = i ( + i) = i + i = i = + ( ) = = Assim temos que z z = z z z ( i) = z + i = Exame, a fase - a chamada 8. A condição indicada é a conjunção de duas condições distintas, ou seja, os pontos pertencentes à região definida pela condição satisfazem cumulativamente as condições: z z, ou seja, são os pontos que pertencem ao interior da circunferência de centro em z e raio arg (z z ) π, ou seja, são os pontos que definem com a semirreta paralela ao eixo real com origem na representação geométrica do ponto z um ângulo entre zero e π radianos. Assim, na figura ao lado está, a sombreado, a representação geométrica da região definida pela condição. π Exame, Prova para militares 9. A condição indicada é a conjunção de duas condições distintas, ou seja, os pontos que pertençem à região assinalada satisfazem cumulativamente as condições: z + = z i z = z ( i), ou seja, os pontos que pertencem à mediatriz do segmento de reta cujos extremos são as representações geométricas dos números complexos e i, que é a bissetriz dos quadrantes pares Im (z), ou seja, os pontos que pertencem à região do plano compreendida entre as retas definidas pelas condições Im (z) e Im (z) Exame, a fase - a chamada Página de

11 . Resposta: Opção A Sendo z = a + bi (com a R e b R), temos que z = a bi, assim a condição z + z = pode ser escrita como a + bi + a bi = a = a = ou seja a condição z + z = Re (z) = define os números complexos imaginários puros, ou seja o eixo imaginário. A condição Im (z) = define os números complexos da forma z = a + i (com a R) ou seja a reta paralela ao eixo real que contém o ponto de coordenadas (, ) A condição z = define os pontos que estão à distância zero da origem, ou seja define apenas a origem do referencial. Sendo z = a bi (com a R e b R), temos que z = a bi, assim a condição z + z = pode ser escrita como a + bi (a bi) = a + bi a + bi) = bi = b = ou seja a condição z z = Im (z) = define os números reais, ou seja o eixo Real. Exame, a fase - a chamada. A condição indicada é a conjunção de duas condições distintas, ou seja, os pontos pertencentes à região definida pela condição satisfazem cumulativamente as condições: z, ou seja, são os pontos que pertencem ao interior da circunferência de centro na origem e raio arg(z) = π, ou seja, são os pontos que pertencem à parte positiva do eixo imaginário Resposta: Opção A Exame, Ép. especial. Seja w o número complexo + i, se escrevermos w na f.t. temos w = ρ cis θ, em que ρ = w = + i = + = = 5 = 5 e sabemos ainda que θ é um ângulo do o quadrante, porque sen θ > e cos θ > Logo, as raízes( quadradas ) de w são: θ + kπ w = 5 cis, k {, }, ou seja, temos raízes quadradas: k = z = ( ) θ 5 cis k = z = 5 cis ( θ + π ) = 5 cis ( ) θ + π Como < θ < π, porque θ é um ângulo do o quadrante, < θ < π, logo θ também é um ângulo do o quadrante. z π z w E se θ é um ângulo do o quadrante, θ + π é um ângulo do o quadrante. Resposta: Opção A Exame, a fase Página de

12 . Como z = cis π logo arg (z ) = π, ou seja z é número complexo, cuja representação geométrica é o vértice representado no o quadrante. Como o pentágono é regular, sendo z o número complexo cuja representação geométrica é o vértice representado no o quadrante, e arg (z ) = π + π 5 = 5π 5 + 6π 5 = π 5 Assim a região indicada a sombreado é o conjunto dos pontos que são representação geométrica de pontos que satisfazem cumulativamente duas condições: os pontos devem pertencer ao interior da circunferência de centro na origem e raio z, ou seja z < 5 os pontos devem definir com o semieixo real positivo um ângulo compreendido entre π radianos e π 5 radianos, ou seja π arg (z) π 5 Assim, temos que a condição que define a região a sombreado é: z < 5 π arg (z) π 5 Exame, a fase - a chamada. Resposta: Opção D Sendo z = define os números complexos, cujas representações geométricas são pontos do plano complexo, cuja distância ao ponto que é a representação geométrica do número complexo é, ou seja a circunferência de centro no ponto (, ) e raio. A condição mathrmarg (z) = π com o semieixo real positivo um ângulo de π semieixo positivo imaginário. os números complexos cujas representações geométricas são pontos que definem radianos. Ous seja a semirreta que coincide com o Como a z + i = z = i, a condição z + i = representa apenas o ponto (situado sobre a parte negativa do eixo imaginário) que é a representação geométrica do número complexo z = i Como z = z + i z = z ( i), a condição z = z + i define os números complexos, cujas representações geométricas são pontos do plano complexo situados a igual distância das representações geométricas dos complexos e i, ou seja define a mediatriz do segmento de reta de extremos nestes dois pontos, que coincide com a bissetriz dos quadrantes pares. Exame, a Fase 5. Seja M o ponto médio do segmento de reta [AB]. Como A e B são as imagens geométrica dos números complexos e i, M é a imagem geométrica do número complexo w = + i A circunferência inscrita no quadrado tem raio ( ) ( ) w = + = + = = e centro na origem, pelo que é definida pela condição: D A M B z = C Exame, a fase - a chamada Página de

13 6. A parte do conjunto A contida no segundo quadrante é o conjunto dos pontos que são representação geométrica de pontos que satisfazem cumulativamente duas condições: como devem ser pontos do o quadrante (excluíndo os eixos), os pontos devem definir com o semieixo real positivo um ângulo compreendido entre π radianos e π radianos, ou seja π < arg (z) < π como devem pertencer ao conjunto A, os pontos devem estar a uma distância da origem, inferior a, ou seja z < Assim, temos que a condição que define a região a sombreado é: z < π < arg (z) < π Exame, a fase - a chamada Página de