Eduardo. Matemática Matrizes

Transcrição

1 Matemática Matrizes Eduardo

2 Definição Tabela de números dispostos em linhas e colunas. Representação ou Ordem da Matriz Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, dizemos que A tem ordem m por n e escrevemos que a ordem de A é A m x n ou

3 Ordem da Matriz Exemplo: A 3 x = Exemplo: Calcule a quantidade de elementos de cada matriz. 12 elementos a)a 3 x 4 b)(a 3 x 3)² c)(a 3 x 4)² 9 elementos 0 (zero) elementos, pois a matriz A não está definida.

4 Forma Genérica a11 K a1 n = M O M am 1 a L mn A m x n A 3 x 2 a a = a21 a22 a a 31 32

5 Lei de Formação de Matriz Aula 51 Página 97

6 Matrizes Especiais Matriz Quadrada Quando o número de linhas da matriz A for igual ao número de colunas de A, ou seja, A m x n onde m = n, podemos dizer simplesmente matriz A de ordem n. Exemplo A 2-1 = 7 0

7 Matriz Retangular Quando o número de linhas da matriz A for diferente do número de colunas de A, ou seja, toda matriz A m x n onde m n. Exemplo A = Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( F ) (UFPR) Como todo quadrado é um retângulo, toda matriz quadrada é uma matriz retangular. ( V ) Nenhuma matriz retangular possui determinante.

8 Igualdade de Matriz Determine a, b e c. 2a a 2 a + b b c =

9 Igualdade de Matriz Aula 51 Página 97

10 Igualdade de Matriz 2 Exemplo: (UDESC) Sendo a matriz igual à matriz identidade de ordem 2, o valor de 2.x é: a) 4 b) 6 c) 4 d) 8 e) x -6x+9 0 x -3x+4 1 Resolução: 2 x -6x = 2 x -3x x² - 6x + 9 = 1 x² - 3x + 4 = 0 x² - 6x + 8 = 0 x 1 = 1 e x 2 = 4 x 1 = 2 e x 2 = 4 Gabarito: d 2. x = 2(4) = 8

11 Matriz Nula Quando aij = 0, i e j. O m x n Exemplo O = Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( ) (UFSC) Só existe matriz nula se ela for quadrada. F

12 Matriz Oposta Matriz oposta de uma matriz A = (aij)m x n é a matriz B = (bij)m x n tal que bij = - aij. 2-1 = Exemplo A B = - A = 7-5 Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) A oposta de uma matriz nula, é sempre uma matriz nula.

13 Matriz Diagonal Exemplo A 2 0 = 0-3 Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso ( V ) A matriz A = é diagonal ( F ) Toda matriz nula é diagonal.

14 Matriz Unidade (Identidade) É a matriz diagonal de ordem n na qual satisfaz aij = 0, se i j e aij = 1, se i = j 1 0 Exemplo A = 0 1

15 Matriz Transposta A t É a matriz cujas linhas são as colunas da matriz A, t escritas na mesma ordem, e as colunas de A, são as linhas de A = Exemplo A A t = Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) Se a matriz A é de ordem 2 x 3, então A t é de ordem 3 x 2. ( F ) A transposta de uma matriz nula é ela mesma.

16 Matriz Simétrica Quando os elementos de uma matriz quadrada que ocupam posições simétricas em relação a diagonal principal são iguais A = A t. Exemplo A =

17 Matriz Triangular Matriz quadrada, na qual os elementos situados acima (triangular inferior) ou abaixo (triangular superior) da diagonal principal são todos nulos Exemplo A = Exemplo A = Triangular inferior Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso ( V ) A matriz A = é dita só triangular Triangular superior

18 Matriz Singular Uma matriz quadrada é dita singular quando não admitir inversa, ou seja, seu determinante é nulo. 2 6 Exemplo A = 1 3 Matriz Inversível Uma matriz quadrada é dita inversível ou regular, quando admite inversa, ou seja, seu determinante é diferente de zero Exemplo A =

19 Operações com Matrizes Traço da Matriz Quadrada Soma dos elementos da sua diagonal principal. Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( ) Tr (A) = Tr (A t ). V

20 Operações com Matrizes Adição de Matriz Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn é definida por A + B = C = (cij)mxn, então temos cij = aij + bij.

21 Adição de Matriz Aula 51 Página 97

22 Adição de Matriz Aula 51 Página 97

23 Adição de Matriz Exemplo: (UDESC) Sejam X e Y matrizes de ordem 2x2 tais que X+Y= ex-y= Logo, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8

24 Adição de Matriz Exemplo: Logo, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 Resolução: X+Y= X-Y= X = X= = 8 Gabarito: e

25 Multiplicação de um Número Real por Uma Matriz O produto de um escalar α por uma matriz A, é a matriz obtida multiplicando cada elemento de A pelo escalar α. Exemplo: Calcule: =

26 Multiplicação de Matrizes Condição para Multiplicação! A 3x2 xb 2x5 = C 3x5 A 1x3 xb 2x1 Não Existe! A 4x3 xb 3x2! = C 4x2

27 Multiplicação de Matrizes Sejam A e B duas matrizes. Assinale verdadeiro ou falso. ( F ) Se existe o produto de A por B, então, existe o produto de B por A. ( ) Existe o produto da matriz A pela sua transposta. V ( F ) Se A e B são matrizes quadradas, então, existo o produto AB.

28 Multiplicação de Matrizes Aula 52 Página 98

29 Multiplicação de Matrizes Aula 52 Página 99

30 Multiplicação de Matrizes Exemplo: Resolva a equação matricial Resolução: 2x + 6y 8 = x + 4y 2 + 2x + 6y = 8 x + 4y = 2. (- 2) 2x + 6y = 8-2x - 8y = - 4-2y = 4 y = x 8. = 1 4 y 2 2x + 6(- 2) = 8 2x = 20 x = 10 S = {(10, -2)}

31 (UDESC 2014) Se A T e A -1 representam, respectivamente, a transposta e a 2 3 inversa da matriz A=, então o determinante da 4 8 matriz B = A T - 2A -1 é igual a: Transposta Inversa Troca Linha por Coluna Diagonal Principal - Posição Diagonal Secundária - Sinal Divide todos pelo Determinante B) -83/2

32 Propriedades Associativa (A. B). C = A. (B. C) (A. B). C A. (C. B) Distributiva A. (B + C) = A. B + A. C A. (B + C) A. B + C. A

33 Propriedades Potência A 2 = A. A (A deve ser uma matriz quadrada) A 3 = A. A. A A 0 = I

34 Propriedades Comutativa A. B B. A

35 Elemento Neutro A. I = A Desigualdade de Produtos Notáveis (A + B)² A² + 2. A. B + B² (a + b)² = a² + 2. a. b + b² (A + B)² = (A + B). (A + B) = A² + A.B + B.A + B²

36 Propriedades Associativa (A + B) + C = A + (B + C) (Válido na soma)

37 Propriedades Transposta (A t ) t = A (nº de transposta for par è A) (A t ) t ) t = A t (nº de transposta for ímpar è A t ) (A + B) t = A t + B t (A. B) t = B t. A t