Matemática- 2008/ Se possível, dê exemplos de: (no caso de não ser possível explique porquê)

Transcrição

1 Matemática- 00/09. Se possível, dê exemplos de (no caso de não ser possível explique porquê) (a) Uma matriz do tipo ; cujos elementos principais sejam 0. (b) Uma matriz do tipo ; cujo elemento na posição (; ) seja. (c) Uma matriz de ordem três triangular inferior. (d) Uma matriz triangular superior do tipo (e) Uma matriz coluna com três linhas e os elementos todos diferentes. (f) Uma matriz de ordem dois simultaneamente triangular inferior e superior. (g) Uma matriz diagonal não escalar e não nula de ordem. (h) Duas matrizes de ordem, diferentes, mas cujos elementos da primeira linha e da última coluna coincidam. (i) Uma matriz que seja simultaneamente matriz linha e matriz coluna. (j) Uma matriz triangular inferior cujos elementos não principais sejam todos não nulos. (k) Uma matriz escalar não diagonal de ordem três. (l) Uma matriz de ordem quatro em que qualquer entrada (i; j) seja igual à entrada (j; i). Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a rmações (a) Toda a matriz escalar é diagonal. (b) Toda a matriz diagonal é escalar. (c) Numa matriz triangular inferior qualquer elemento acima da diagonal principal é zero. (d) Numa matriz triangular superior qualquer elemento acima da diagonal principal é diferente de zero. (e) Uma matriz triangular superior nunca pode ser simultaneamente matriz diagonal. (f) Existe um número in nito de matrizes nulas. (g) Uma matriz de ordem quatro com a entrada (; ) igual a inferior. pode ser triangular (h) A matriz identidade de ordem tem exactamente 0 entradas iguais a zero. (i) É possível efectuar a soma de quaisquer duas matrizes. (j) Qualquer que seja a matriz A do tipo m n existe uma matriz que somada com A dá a matriz nula. (k) A soma de matrizes do mesmo tipo é uma operação comutativa, isto é, se A e B são matrizes do tipo m n; A + B = B + A. Em cada alínea determine matrizes A e B; diferentes, de ordem ; cuja soma seja (a) O (b) I (c) A

2 Matemática- 00/09. Considere a matriz (a) Diga qual o tipo da matriz A (b) Sabendo que [a ij ] ;indique o valor do elemento a (c) Diga qual a posição ocupada pelo elemento com o valor 9 (d) Calcule a soma dos elementos da segunda linha. (e) Calcule a soma dos elementos da sétima coluna. (f) Escreva a matriz transposta da matriz A (g) A matriz A é triangular? Porquê?. Considere as matrizes ; B = 0 ; C = 0 0 (a) Sabendo que [a ij ] ; B = [b ij ] e C = [c ij ] ; indique (i) a ; a ; b ; c e b (ii) fc ii i f; ; gg (iii) fa ij i jg (iv) fb ij i < jg (v) i e j tais que a ij = b ij = c ij (vi) fc ij i = jg (vii) c i(i+) i f; ; g (viii) i e j tais que b ij = (b) Determine (i) A + B (ii) (A + B) + C (iii) A + (C + B) (iv) A B (v) (A + B) + C (vi) B (vii) ( B) (viii) C (ix) A T (x) A T + B T (xi) CT (xii) A T + B T T (c) Resolva em ordem a X as equações (i) A + X = O (ii)a X = X B

3 Matemática- 00/09. Determine, em cada alínea, a matriz [a ij ] pm de nida por (a) p = ; m = ; a ij = i + j < (b) p = ; m = ; a ij = < (c) p = ; m = ; a ij = (d) p = ; m = ; a ij = (e) p = ; m = ; a ij =. A matriz [a ij ] [a ij ] [a ij ] [a ij ] ; se i + j > ; se i + j = ; se i + j < ; se i + j = ; se i + j é múltiplo de 0; restantes casos ; se i = a (i )j ; se i = ( ( ) i+j+ (i j) ; se i = a (i )j + ; se i = é i; se j = ( ) i+j a i;(j ) ; se j = j; se i = ( ) i+j a (i );j ; se i = i; se j = ( ) i+j a i;(j ) ; se j = j; se i = ( ) i+j a (i );j ; se i = j; se i =. Se [a i;j ] ( ) i+j a i ;j ; se i =, então.

4 Matemática- 00/09 9. Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a rmações (a) É possível efectuar o produto de quaisquer duas matrizes. (b) O produto de matrizes quadradas da mesma ordem é comutativo. (c) É possivel efectuar o produto de uma matriz não quadrada pela sua transposta. (d) Uma matriz e a sua transposta nunca são matrizes do mesmo tipo. 0. Se possível dê exemplos de (a) Duas matrizes, não quadradas, cujo produto seja uma matriz de ordem. (b) Uma matriz simétrica [a ij ] ; de ordem, tal que a = e a = (c) Uma matriz [a ij ] ; de ordem, tal que A T (d) Uma matriz triangular superior e simétrica, não nula, de ordem. (e) Duas matrizes A e B, de ordem, tais que AB = BA. Se 0 e B = 0. Considere as matrizes de elementos reais 0 ; B = 0 0 Determine, quando seja possível ; então AB T é igual a ; C = 0 ; D = CT ; E = I (a) AB (b) AE (c) EA (d) (AB) C (e) BC (f) A (BC) (g) DD T (h) D T D. Considere as matrizes de elementos reais 0 ; B = 0 ; C = ; D = Calcule (a) AB (b) BA (c) AC (d) BAAC (e) CD (f) DC (g) A (B) (h) ( A) ( B) (i) ( A) (B) (j) (A + D) C (l) A (B + C) (m) (BC) D (n) B T B (o) BB T (p) B < ; se i = j. Considere as matrizes [a ij ] ; em que a ij = ; se i = j e i + j é par ; i + j; se i = j e i + j é ímpar e B = Se possível, determine (a) A B (b) AB (c) AB T

5 Matemática- 00/09 0. Considere as matrizes 0 e a seguinte lista de a rmações 0 0, B = ; C = 0 T (i) É possível efectuar o produto BC T (ii) (AB)C = A (BC) (iii) A B = O (iv) A soma A + BB T está de nida. Assinale qual a lista correcta das a rmações verdadeiras (i), (ii), (iii) e (iv) (ii), (iii) e (iv) (ii) e (iv) (ii) e (iii).. Se, então A é 0 0. Se A é uma matriz tal que A = A T, então A pode ser " p # " p. Se A é uma matriz de ordem n; invertível, tal que A = I n, então p p # " 0 A = A A = A A = A A = A. 9. Considere matrizes n n, A e B; em que A é simétrica e invertível. Então h A T i AB + A T + O nn A B BA A AB 0. Sejam 0 0 e B = (a) A entrada (; ) de ( A) (B) é 0 (b) A é uma matriz diagonal triangular superior triangular inferior escalar. (c) A inversa de B é (d) A = #.