Separe em grupos de folhas diferentes as resoluções dos grupos I e II das resoluções dos grupos III, IV e V GRUPO I (60 PONTOS)

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1 Faculdade de Ciências Económicas e Empresariais UCP MATEMÁTICA I Eame - versão A Duração: 8 minutos Durante a prova não serão prestados quaisquer tipo de esclarecimentos. Qualquer dúvida ou questão relativa ao enunciado deverá ser escrita na folha de prova para que possa ser tomada em consideração na correcção. Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar. Justifique as respostas. Simplifique o resultado final o máimo possível. Não é possível desistir após o início desta prova. Considere A = Separe em grupos de folhas diferentes as resoluções dos grupos I e II das resoluções dos grupos III, IV e V α β 5β 3 GRUPO I (6 PONTOS), b = β e I a matriz identidade de ordem 3.. [ pontos] Para α = β =, determine os valores e vectores próprios da matriz A. Quais são os valores e vectores próprios da matriz A?. [ pontos] Para α = e β =, resolva a equação matricial (A + I) T X = bb T + I b, usando a matriz adjunta. 3. [ pontos] Discuta o sistema AX = b em função dos parâmetros α e β. GRUPO II (3 PONTOS). [5 pontos] Determine a epressão simplificada do determinante da matriz quadrada C 3 3 n n 6 6 n n n 3n 8 n n C n n = n 5n n 6n n n + n n + 3n 3 3n + 3 n + n n n n n 3n 3n n e indique o sinal deste determinante para qualquer n.. [5 pontos] Seja a matriz A n n tal que (I A) eiste e A = na. Prove que: a) A e I A são permutáveis b) A e (I A) são permutáveis c) (I A) = I n A Determine:. [ pontos] P 3 +.arctg( ) +. [ pontos] f () se f() = ( + ) 3. [ pontos] lim e.sen() + ln( ) GRUPO III (3 PONTOS) + () + e t dt

2 GRUPO IV ( PONTOS) Considere as funções reais de variável real f() = +, g() = ln( + ) e h() = e.. [ pontos] Determine o domínio da função n = (g h)/f.. [ pontos] Prove, pela definição, que lim ( f()) = [ pontos] Determine as primeiras três derivadas da função m = h + f g. Escreva a equação da recta tangente da função segunda derivada de m no ponto de abcissa.. [ pontos] Represente e determine a área definida pelas seguintes condições: y h() y f() + Essa área é maior que 6/9 ( 3 d? Justifique. ) GRUPO V ( PONTOS) Escolha uma das opções (A,B,C,D). Cada resposta correcta vale 8 pontos, cada resposta incorrecta desconta 3 pontos, sem resposta não desconta. Este grupo pode ter cotação negativa. Não é necessária qualquer justificação. Só se terá em consideração a opção apresentada.. Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Sendo A e B matrizes de ordem n, tem-se que A + B = A B = (B) Se A é uma matriz invertível, então adj ( A ) T = (adj(a)) T (C) Se A é uma matriz invertível, então ( A ) T ( ( )) = adj A T T A (D) A inversa da soma de matrizes é a soma das matrizes inversas, quando as operações estão definidas. Sejam A e B duas matrizes quaisquer e O uma matriz nula. Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Se o produto AA eiste, então A é uma matriz quadrada (B) Se AB = O, então BA = O (C) Se A e B têm a mesma dimensão, então AB tem inversa (D) A A T é simétrica 3. Considere as seguintes afirmações: I. Se uma função f é diferenciável em R, então e f é contínua em R II. Uma função par nunca é injectiva III. Uma função ímpar tem contradomínio R A lista completa das afirmações correctas é: (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) Nenhuma das afirmações. Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA: ( ) ( ) (A) =, R (B) =, R (C) =, R (D) 5. Seja f() = ln( ). Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA: (A) f (e) = (B) f (e) = (C) f (e) = (D) f (e) = e ( ) + =, > +

3 Considere A = Faculdade de Ciências Económicas e Empresariais UCP MATEMÁTICA I Eame - versão A - Tópicos de resolução Duração: 8 minutos GRUPO I (6 PONTOS) α β 5β 3, b = β e I a matriz identidade de ordem 3.. [ pontos] Para α = β =, determine os valores e vectores próprios da matriz A. Quais são os valores e vectores próprios da matriz A?. [ pontos] Para α = e β =, resolva a equação matricial (A + I) T X = bb T + I b, usando a matriz adjunta. 3. [ pontos] Discuta o sistema AX = b em função dos parâmetros α e β.. A = 5 3 A λi = ( λ)(λ + λ 8) = λ = λ = Valores próprios de A: - e 5 + y + z = = z 5 [A + I]X = 6y = y = 5 + y + z = = Vector próprio associado ao valor próprio : ( z,, z) = z (,, ), z R y + z = = z [A I]X = = y = 5 + y 5z = = Vector próprio associado ao valor próprio : (z,, z) = z (,, ), z R Valores próprios de A : e Vectores próprios de A : z (,, ), z R associado ao valor próprio ( 5 z,, z) = z ( 5,, ), z R associado ao valor próprio.. A = 3 [(A + I) T ] =, b = (A + I) T = = / 9/5 3/ /5 / 6 3 8

4 bb T + I b = 6 = 6 (A + I) T X = bb T + I b X = [(A + I) T ] bb T + I b X = 3. α β β 5β 3 L L 3 C C 3 α 5β + 3α β β Conclusão: SPD: β α 5 3 β SPI: β =, α R SI: α = 5 3 β β α β β 3L +L 3 L 3 5β 3 α C C 3 5β + 3α β β 3 36/5 8/5 α β β 5β + 3α GRUPO II (3 PONTOS). [5 pontos] Determine a epressão simplificada do determinante da matriz C 3 3 n n 6 6 n n n 3n 8 n n C n n = n 5n n 6n n n + n n + 3n 3 3n + 3 n + n n n n n 3n 3n n e indique o sinal deste determinante para qualquer n. C n n = 3 3 n n 6 6 n n n 3n 8 n n n 5n n 6n n n + n n + 3n 3 3n + 3 n + n n n n n 3n 3n n =

5 = 3 3 n n n + n n O determinante é positivo quando n =,, 5, 6, 9,,... O determinante é negativo quando n = 3,, 7, 8,,,... = ( 6) 8 ( 5) 8 ( n +n) n. [5 pontos] Seja a matriz A n n tal que (I A) eiste e A = na. Prove que: a) A e I A são permutáveis b) A e (I A) são permutáveis c) (I A) = I n A a) A(I A) = A.I A.A = I.A A.A = (I A)A b) A(I A) = (I A) (I A)A(I A) = (I A) A(I A)(I A) = (I A) A c) Vamos mostrar que a inversa de I A é dada por I n A. Para isso temos de mostrar que (I A).(I A) = I = (I A).(I A). (I A).(I A) = (I A).(I n A) = I n A A + n A = I n A A + n na = I A outra igualdade é agora óbvia.

6 Determine:. [ pontos] P 3 +.arctg( ) +. [ pontos] f () se f() = ( + ) 3. [ pontos] lim e.sen() + ln( ). GRUPO III (3 PONTOS) + () + e t dt P 3 +.arctg( ) + = P P.arctg( ) + = P P + ( ).arctg( ) = = ln( + ) + arctg ( ) + C, C R. f () = ( ) f () = 3. lim () + e t dt + ( + ) [( + ).e ( +) 8.e (() +) ] e t dt + [6 e 5 8 e 5 ] = e 5 = e 5 e.sen() + ln( ) = lim R.C. = lim e.cos() e.sen() R.C. = 3. ( ) ( ) 3 e.sen() + e.cos() + ln( ) = lim R.C. e.cos() = R.C. ( )

7 GRUPO IV ( PONTOS) Considere as funções reais de variável real f() = +, g() = ln( + ) e h() = e.. [ pontos] Determine o domínio da função n = (g h)/f.. [ pontos] Prove, pela definição, que lim ( f()) = [ pontos] Determine as primeiras três derivadas da função m = h + f g. Escreva a equação da recta tangente da função segunda derivada de m no ponto de abcissa.. [ pontos] Represente e determine a área definida pelas seguintes condições: Essa área é maior que. n() = ln(e + ) + + 6/9 y h() y f() ( 3 d? Justifique. ) D n = { R : e + > + } = { R : } = R\ {. Seja δ > dado. Temos de descobrir ɛ tal que se < ɛ, então f() ( 5) < δ, i.e., + 5 < δ, i.e., + < δ, i.e., < δ, i.e., < δ/. Escolha-se, então ɛ = δ/. 3. m() = h() + f() g() = e + ( + ). ln( + ) m () = e + ln( + ) m () = e m () = e ( + ) ( + ) ( + ) 3 =, y = m () =, Declive = m () = 3 Equação da recta tangente: y = 3 + }. ½ A = + 6/9 ( e ) + 3 d = lim ( ) b + [ d = e ] ln + = e ln 3 b 6/9 [ ( = lim 3)d ] b = 3 b + 6/9 e ln 3 < e ln e = e 3 <.3 < 3. Logo não é maior.

8 GRUPO V ( PONTOS) Escolha uma das opções (A,B,C,D). Cada resposta correcta vale 8 pontos, cada resposta incorrecta desconta 3 pontos, sem resposta não desconta. Este grupo pode ter cotação negativa. Não é necessária qualquer justificação. Só se terá em consideração a opção apresentada.. Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Sendo A e B matrizes de ordem n, tem-se que A + B = A B = (B) Se A é uma matriz invertível, então adj(a T ) = (adj(a)) T (C) Se A é uma matriz invertível, então (A T ) = A (adj(at )) T (D A inversa da soma de matrizes é a soma das matrizes inversas, quando as operações estão definidas Solução: B. Sejam A e B duas matrizes quaisquer e O uma matriz nula. Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Se o produto AA eiste, então A é uma matriz quadrada (B) Se AB = O, então BA = O (C) Se A e B têm a mesma dimensão, então AB tem inversa (D A A T é simétrica Solução: A 3. Considere as seguintes afirmações: I. Se uma função f é diferenciável em R, então e f é contínua em R II. Uma função par nunca é injectiva III. Uma função ímpar tem contradomínio R A lista completa das afirmações correctas é: (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) Todas as afirmações Solução: A. Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA: ( ) ( ) (A) =, R (B) =, R (C) =, R (D) Solução: D ( ) + =, > + 5. Seja f() = ln( ). Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA: (A) f (e) = (B) f (e) = (C) f (e) = (D) f (e) = e Solução: C