Preparação para o Cálculo

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1 Preparação para o Cálculo Referencial cartesiano Representação gráfica Um referencial cartesiano é constituído por duas rectas perpendiculares (fias), com ponto de intersecção O: O diz-se a origem do referencial; o eio horizontal diz-se o eio das abcissas (eio do ou eio OX); o eio vertical diz-se o eio das ordenadas (eio do ou eio OY). Os eios dividem o plano em quatro regiões - os quadrantes. Um ponto do plano é um par ordenado de númerosa, b, (ª coordenada - abcissa; ª coordenada - ordenada). Plano XOY - conjunto destes pares ordenados e respectivo referencial. Eio das Ordenadas º Quadrante º Quadrante - º Quadrante P = (,) Eio das Abscissas 0 º Quadrante Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. -

2 Representação gráfica de uma equação Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, chama-se produto cartesiano entre A e B a A B a, b : a A e b B. No plano XOY, a curva associada a uma equação (ou "gráfico da equação") é o conjunto dos pares ordenados que verificam a equação (é um subconjunto do produto cartesiano ). Eemplos:. caracteriza a recta bissectriz dos quadrantes ímpares e caracteriza a recta bissectriz dos quadrantes pares;. r (c/ r 0) caracteriza a circunferência de centro na origem e raio r. Intersecções de gráficos Pontos de intersecção de dois gráficos caracterizados por f e g: são as soluções do sistema f g. Caso particular - pontos de intersecção com os eios Intersecção como o eio do : 0 caracteriza o eio do, portanto faz-se 0 na respectiva equação; Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. -

3 Intersecção com o eio do : 0 caracteriza o eio do, portanto faz-se 0 na respectiva equação. Observação: Uma condição em e representa uma região do plano XOY. Por eemplo, r (c/ r 0) caracteriza o círculo de centro na origem e raio r Questões: Indique uma condição que represente:. o círculo de centro, e raio ;. a metade superior do círculo anterior;. a linha que delimita a região anterior. Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. -

4 Estudo de rectas Declive de uma recta Sendo r uma recta não vertical, o valor da razão é igual para quaisquer dois pontos, e,, com. Este valor traduz a variação na vertical por unidade de variação na horizonal e designa-se por declive da recta (ou coeficiente angular da recta). Assim, o declive m de uma recta não vertical é dado por m, quaisquer que sejam, e,, pontos (distintos) da recta. = = 0 O declive não está definido para rectas verticais. Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. -

5 O sinal de m permite-nos saber se o valor de aumenta ou diminui com a variação de : m>0 m=0 m<0 m indefinido O declive de uma recta é igual ao valor da tangente do ângulo que esta forma com a parte positiva do eio do, isto é, m tg, se 90º. 0 α Quanto maior for o valor absoluto do declive, maior é a taa de variação de (e "mais íngreme" é a recta). Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. - 5

6 Equações de rectas As diferentes formas de equações de uma recta: Equação geral de uma recta: A B C 0; Equação reduzida de uma recta não vertical (com o declive e a ordenada na origem): m b; Equação de uma recta não vertical (com o declive e um ponto): m ; Equação de uma recta horizontal: b; Equação de uma recta vertical: a. Rectas paralelas e perpendiculares Sejam r e r rectas não verticais, com declives m e m : as rectas são paralelas se e só m m (isto é, têm o mesmo declive); as rectas são perpendiculares se e só m m. Rectas paralelas: m=m Rectas perpendiculares: m= -/m Y=m.+b Y=m.+b Y=m.+b Y=m.+b Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. - 6

7 Funções Conceito de função Uma relação (ou correspondência) entre dois conjuntos X e Y é um conjunto de pares ordenados da forma,, com X e Y. Uma função (ou aplicação) f de um conjunto A para um conjunto B é uma correspondência que a cada elemento A associa um único elemento B. Simbolicamente escreve-se f : A B f. Terminologia usual: A designa-se por domínio de f e representa-se por D f ; B é o conjunto de chegada da função; os elementos de A designam-se por objectos; se a A corresponde o elemento de B, diz-se a imagem de ; o conjunto das imagens por f diz-se o contradomínio de f e representa-se por CD f. Uma função cujos domínio e conjunto de chegada são subconjuntos de diz-se uma função real de variável real (f.r.v.r.): f : D f. Nota: Dada a epressão de uma f. r. v. r., salvo indicação contrária, o domínio é o maior subconjunto de onde está definida. Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. - 7

8 Representação gráfica de uma função Sendo f uma função, chama-se gráfico de f a G f, : D f f. Dada a representação gráfica de f : a sua projecção sobre o eio do dá o domínio de f ; a sua projecção sobre o eio do dá o contradomínio de f ; toda a recta vertical correspondente a um valor do domínio da função intercepta o gráfico da função num e num só ponto. Alguma transformações nas representações gráficas f c, com c 0 - deslocamento para a direita; f c, com c 0 - deslocamento para esquerda; f c, com c 0 - deslocamento para baio; f c, com c 0 - deslocamento para cima; f - refleão em torno do eio do ; f - refleão em torno do eio do ; f - refleão relativamente à origem; f f, f 0 f, f 0 - refleão da parte negativa em torno do eio do. Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. - 8

9 Eemplos: deslocamento para a direita deslocamento para a esquerda deslocamento para cima deslocamento para baio refleão em torno do eio do refleão em torno do eio do Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. - 9

10 Classificação de funções Seja f uma função de A em B: f diz-se injectiva se a objectos diferentes correspondem imagens diferentes. f diz-se sobrejectiva se o seu contradomínio coincide com o seu conjunto de chegada. f diz-se bijectiva se é simultaneamente injectiva e sobrejectiva. Simbolicamente, f é injectiva sse, A : f f ; [o que é equivalente a, A : f f ] f é sobrejectiva sse B A : f; f é bijectiva sse B A : f. Nota: Recorde-se que f é uma função de A em B sse A B : f. Daqui para a frente, salvo menção eplícita em contrário, quando nos referimos a uma função estamos a considerar uma função real de variável real. Eemplos: não é injectiva nem é sobrejectiva; é injectiva e é sobrejectiva (é bijectiva); é injectiva mas não é sobrejectiva; é injectiva mas não é sobrejectiva. Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. - 0

11 Simetrias nos gráficos de funções Seja f uma função: f diz-se uma função par se Df : f f. f diz-se uma função ímpar se Df : f f. Eemplos: A função é par e a função é ímpar. Função periódica Seja f uma função e T um número real positivo. Diz-se que f é uma função periódica de período T se Df : f T f. Ao menor número positivo T nestas condições chama-se período de f. Eemplos: As funções sen e cos são periódicas, com período. Polinómios e funções racionais Função polinomial (ou polinómio) p a n n a n n...a a a 0, com a n 0, em que a n,a n,,a 0 são números reais, designados por coeficientes de p, e n 0, designado por grau do polinómio. Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. -

12 Função racional f p q onde p e q são polinómios. Observação: Recorde a decomposição de polinómios e a Regra de Ruffini. Composição de funções Sendo f e g funções, chama-se composta de f com g à função h definida por h fg fg, nos valores do domínio de g cuja imagem por g esteja no domínio de f, isto é, à função fg : D fg fg fg com D fg : D g g D f. Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. -

13 Função inversa Definição: A função g diz-se função inversa da função f se D g CD f e A função g denota-se por f. g f, para todo D f. fg, para todo D g Observação : Uma função tem inversa se e só se é injectiva. Em particular, uma função estritamente monótona num intervalo é invertível nesse intervalo (e a sua inversa tem o mesmo tipo de monotonia). Observação : O gráfico de f contém o ponto a, b se e só se o gráfico de f contém o ponto b, a. Ou seja, os gráficos de f e de f são simétricos relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares. Eemplos: Vejam-se os gráficos das funções e : = [Plot] = Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. -

14 Funções logaritmo e eponencial A função eponencial f e tem domínio, contradomínio e é estritamente crescente. A sua inversa é a função logaritmo neperiano, ln, com domínio e contradomíno, caracterizada por As conhecidas propriedades ln e. e ln, lne, traduzem, precisamente, que estas funções são a inversa uma da outra. =e = ln Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. -

15 Funções trigonométricas (seno, coseno e tangente) A função seno tem domínioecontradomínio,, é periódica (com período, é ímpar, anula-se em k, com k, não é injectiva nem sobrejectiva; tem-se sen sen k k, com k. A função coseno tem domínioecontradomínio,, é periódica (com período, é par e anula-se para k, com k, não é injectiva nem sobrejectiva; tem-se cos cos k k, com k. A função tangente, definida por tg sen cos, tem domínio \ k : k e contradomínio, é periódica (com período, é ímpar e anula-se em k, com k, não é injectiva mas é sobrejectiva; tem-se tg tg k, com k. Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. - 5

16 Algumas fórmulas importantes sen cos Fór. Fundamental da Trigonometria Donde se conclui que tg cos Seno e coseno da soma sen sen cos cos sen; cos cos cos sen sen. Donde se conclui que sen sen cos cos sen; cos cos cos sen sen. e sen sen cos; cos cos sen. Ana Matos (versão de 6 Set. 05) Prep. Calc. - 6