Departamento de Matemática

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1 Departamento de Matemática ALGA e Álgebra Linear Folhas Práticas - /6 EAmb/EC/EGI/EM Determinantes (*) Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes A = + i, B = i, C = 6 i, D = 6 i i E = 6, F = e G = 6 6, (*) Sabendo que a, b, c, d, e, f, g, h e j são parâmetros reais, utilize as propriedades dos determinantes para mostrar que: (a) = ; (b) = ; (c) = ; (d) = ; 6 (e) = ; (f) = 6; (g) = a b c a d g a b c g h i a b c a c b (h) = b e h ; (i) = ; (j) = d f e g h i c f i g h i a b c g h i g i h a (*) Sejam a, b e c parâmetros reais tais que b = Utilizando as propriedades dos determinantes c m m m prove que: = m, com m R a b c a a a + Sabendo que b =, com a; b e c R, calcule b b + c c c

2 Seja A uma matriz de ordem n Mostre que: (a) se A é uma matriz ortogonal então jaj = ; (b) se A = A então jaj = ou jaj = ; (c) jaj = n jaj, com C; (d) se A é uma matriz anti-simétrica de ordem ímpar então jaj = 6 Sejam A e B duas matrizes de ordem n Analise a veracidade das seguintes proposições: (a) jaj = jbj! A = B; (b) ja + Bj = jaj + jbj; (c) jabj 6= $ A e B são matrizes invertíveis (*) Considere as seguintes matrizes reais de parâmetros reais a e b: A = a +, B = 6 a 9 a, C = 6 a e D = 6 b a b (a) Mostre que jaj = a ; jbj = b + ; jcj = 6a a e jdj = a + b + (b) Determine os valores de a e b para os quais: i as matrizes são invertíveis; ii as linhas das matrizes são linearmente independentes; iii a característica é igual à ordem; iv as colunas das matrizes são linearmente dependentes (c) Considere a = e b = : Para as matrizes invertíveis determine: i a matriz dos complementos algébricos; ii a matriz adjunta; iii a matriz inversa (*) Utilize, se possível, a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações lineares: x y = x + y + z = (a) x + y = ; (b) x y + z = ; >: x + y = >: x y z = x w = y + x = z + y + z = (c) z + x + y = 6 ; (d) y w = >: x + z = y >: x z =

3 9 Determine para que valores dos parâmetros reais a e b os seguintes sistemas de equações lineares são possíveis e determinados x + y + z = ( a)x + y + z = (a) x + ay + z = ; (b) ax + y + z = >: x y + bz = >: x + z = Exercícios Complementares Considere as seguintes matrizes A e B e o parâmetro real a a a + a A = e B = a a (a) Aplicando o teorema de Laplace à terceira linha da matriz A, mostre que jaj = a (a ) (a ) : (b) Usando a alínea anterior, indique justi cando, para que valores de a, as colunas da matriz A são linearmente dependentes (c) Determine a inversa da matriz B (d) Considere duas matrizes reais C e D de ordem tais que jcj = e onde D é a matriz que se obtém de C trocando a terceira e a quarta colunas Considerando a =, calcule o determinante das seguintes matrizes C A, DC T e C Considere as seguintes matrizes e o parâmetro real A = 6 +, B = 6 e C = 6 (a) Prove que a matriz A é invertível para todos os valores reais de (b) Existem valores de para os quais as colunas da matriz A são linearmente dependentes? Justi que (c) Para que valores de a matriz B é a inversa da matriz A? (d) Para = ; determine a matriz X que satisfaz a equação matricial AX = CC T + I Considere as seguintes matrizes e os parâmetros reais a, b e c A = 6, B = 6 a, C = 6 e D = 6 b c b a (a) Usando a teoria de determinantes, determine a inversa da matriz A (b) Recorrendo à alínea anterior, determine a e b de modo que AB = C (c) Usando o teorema de Laplace veri que que jdj = c (a + b)

4 (d) Indique para que valores de a; b e c, i a matriz D é invertível ii as linhas da matriz D são linearmente dependentes (e) Considere a =, b = e c = Determine a característica da matriz D (*) Considere as seguintes matrizes e os parâmetros reais a e b A = 6 a e B = 6 a + b a (a) Usando o teorema de Laplace veri que que jaj = (a + ) (b ) : (b) Considerando a alínea anterior, determine para que valores de a e b, i as linhas da matriz A são linearmente dependentes ii a característica da matriz A é igual a iii a matriz A é invertível (c) Considere a = e b = i Usando a teoria de determinantes, calcule a inversa da matriz A ii Sabendo que C é uma matriz invertível, determine a matriz Y que satisfaz a equação matricial CY T A = C + CA iii Usando a regra de Cramer, calcule a última componente da solução do sistema de equações lineares AX = B (*) Sejam A e B matrizes reais invertíveis de ordem n tais que A T B T = BA Mostre que jbj = _ jbj = Sejam A; B e C matrizes de ordem n tais que A T = A, BB T = I e C é invertível (a) Mostre que se n for um número ímpar então jaj = (b) A matriz B será invertível? Justi que (c) Determine a matriz invertível, X, que satisfaz a equação matricial B T CX h + C i T T B = B 6 Sejam A, B, C, D e X matrizes reais invertíveis de ordem n tais que: A + B T é a inversa de C; D = I n X veri ca a equação matricial A X + B X T T = C D Mostre que jxj = n

5 Soluções jaj = + i, jbj = 6, jcj = 6 + i, jdj =, jej =, jf j = e jgj = (a) Tem uma coluna nula (b) L = L (c) Tem uma linha nula (d) L = L + L (e) e (f) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos seus elementos principais (g) Se B é a matriz que se obtém de A multiplicando uma linha de A por então jbj = jaj (h) A T = jaj (i) L $ L (j) C $ C a a + b b + c c = 6 (a) Falsa Contra exemplo: A = e B = (b) Falsa Contra exemplo: A = e B = (c) Verdadeira (a) (b) i Matriz A : a 6= ; Matriz B : b 6= ; Matriz C : a 6= ^ a 6= ; Matriz D : b 6= a : ii Matriz A : a 6= ; Matriz B : b 6= ; Matriz C : a 6= ^ a 6= ; Matriz D : b 6= a : iii Matriz A : a 6= ; Matriz B : b 6= ; Matriz C : a 6= ^ a 6= ; Matriz D : b 6= a : iv Matriz A : a = ; Matriz B : b = ; Matriz C : a = _ a = ; Matriz D : b = a : (c) i A C = e B C = 6 6 ii Adj (A) = 6 e Adj (B) = iii A = e B = 6 (a) Não é possível resolver utilizando a regra de Cramer (b) Não é possível resolver utilizando a regra de Cramer (c) x = ; y = e z = : (d) x = ; y = ; z = e w = : 9 (a) a 6= ^ b 6= : (b) a 6= :

6 (a) (b) Para a = _ a = _ a = : (c) B = 6 : (d) C A =, DC T = 9 e j Cj = : (a) (b) Não Se A é invertível para todos os valores reais de, então jaj 6= ; R e logo as colunas de A são linearmente independentes para qualquer valor de (c) = : (d) X = 6 (a) A = : (b) a = ^ b = : (c) (d) i c 6= ^ a 6= b: ii c = _ a = b: (e) car (D) = : (a) (b) i a = _ b = : ii a 6= ^ b 6= : iii a 6= ^ b 6= : (c) i A = 6 : ii Y = A + I T = 6 (a) 6 iii z = : (b) Sim A sua inversa será B = B T ; pela de nição de matriz inversa (c) X = B C I :