Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP

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1 Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP Matrizes Inversas 1 Matriz Inversa e Propriedades 2 Cálculo da matriz inversa por operações elementares 3 Matriz Adjunta 4 Regra de Cramer Laplace

2 Matriz Inversa Definição: Uma matriz A n n é chamada invertível ou nãosingular se existir uma matriz B n n tal que AB = BA = I n A matriz B é chamada a inversa de A Se essa matriz B não existir, então A é chamda singular ou não-invertível Observação: B Se AB = BA = I n então A é também uma inversa de Exemplo (1) Sejam A = [ ] e B = [ ] Verifique que: AB = BA = I 2 Neste caso, B é a inversa de A e A é uma matriz invertível

3 Matriz Inversa: Teorema Teorema (1) Uma inversa de uma matriz, se existir, é unica Demonstração Sejam B e C inversas de A Então BA = AC = I n Portanto: B = BI n = B(AC) = (BA)C = I n C = C Notação Denotamos a inversa de A, se existir, por A 1 [ ] 1 2 Exemplo (2) Encontre A 1 de A = 3 4 Sabemos que AA 1 = I n, então: [ ] [ 1 2 a b 3 4 c d Exemplo (3) Encontre A 1 de A = ] = [ [ ] ], se existir

4 Propriedades da Inversa (a) Teorema (2a) Se A é uma matriz invertível, então A 1 é invertível e ( A 1 ) 1 = A Demonstração A 1 é invertível se podemos encontrar uma matriz B tal que A 1 B = BA 1 = I n Como A é invertível, A 1 A = AA 1 = I n Como B = A é uma inversa de A 1, e como as inversas são únicas, concĺımos que ( A 1 ) 1 = A Assim, a inversa da inversa da matriz invertível A é A

5 Propriedades da Inversa (b) Teorema (2b) Se A e B são matrizes invertíveis, então AB é invertível e (AB) 1 = B 1 A 1 Demonstração Temos e (AB) ( B 1 A 1) = A ( BB 1) A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n ( B 1 A 1) (AB) = B 1 ( A 1 A ) B = B 1 I n B = B 1 B = I n Portanto, AB é invertível Como a inversa de uma matriz é única: ( BA 1 ) = B 1 A 1 Assim, a inversa de um produto de duas matrizes invertíveis é o produto de suas inversas na ordem contrária

6 Propriedades da Inversa (c) Teorema (2c) Se A é uma matriz invertível, então ( A T ) 1 = ( A 1)T Demonstração Temos AA 1 = I n e A 1 A = I n Transpondo as matrizes, obtemos ( AA 1 )T = I T n = I n e ( A 1 A )T = I T n = I n Então ( A 1 )T A T = I n e A T ( A 1)T = I n Estas equações implicam que ( A T ) 1 = ( A 1)T

7 Propriedades das Inversas: Continuação Exemplo (4) Seja A = (A T ) 1 [ ] Determine A 1, (A 1 ) T, A T e Teorema (3) Suponha que A e B sejam matriz n n (a) Se AB = I n, então BA = I n (b) Se BA = I n, então AB = I n

8 Cálculo da matriz inversa por meio de operações elementares Idéia Se A é uma matriz n n dada, procuramos uma matriz B n n tal que AB = BA = I n Passo 1 Forme a matriz [A I n ] n 2n obtida juntando-se a matriz identidade I n e a matriz A Passo 2 Calcule a forma escalonada reduzida da matriz obtida no Passo 1 utilizando operações elementares nas linhas Lembre-se de que o que fizer em uma linha de A também deverá fazer na linha correspondente de I n Passo 3 Suponha que o Passo 2 produziu a matriz [C D] na forma escalonada reduzida 1 Se C = I n, então D = A 1 ; 2 Se C I n, então C tem uma linha nula Neste caso, A é singular e A 1 não existe

9 Cálculo da matriz inversa por meio de operações elementares: Exemplo Exemplo (5) Encontre as inversas das matrizes abaixo, se existir (a) A 1 = (b) A 2 = Passo 1 (a) [A 1 I 3 ] = (b) [A 2 I 3 ] = Lousa! Lousa!

10 Matriz Adjunta Definição Seja A uma matriz n n Definimos a matriz adjunta (clássica) de A, denotada por adj(a), como a transposta da matriz formada pelos cofatores de A, ou seja, T A 11 A 12 A 1n A 11 A 21 A n1 adj(a) = A 21 A 22 A 2n = A 12 A 22 A n2 A n1 A n2 A nn A 1n A 2n A nn onde A ij = ( 1) i+j det (A ij ) é o cofator do elemento a ij, para i, j = 1 : n Exemplo (6) Seja A = Calcule adj(a) Lousa 1 0 3

11 Matriz Adjunta: Teorema Teorema (4) Se A é uma matriz n n, então A(adjA) = (adja)a = I n Demonstração Temos a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A(adjA) = a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn A 11 A 12 A j1 A n1 A 12 A 22 A j2 A n2 A 1n A 2n A jn A nn O i, j-ésimo elemento na matriz produto A(adjA) é a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn = se i = j a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn = 0 se i j

12 Matriz Adjunta: Demonstração continuação Demonstração cont Isto significa que 0 0 A(adjA) = 0 0 = I n 0 0 O i, j-ésimo elemento na matriz produto (adja)a é a 1i A 1j + a 2i A 2j + + a ni A nj = se i = j a 1i A 1j + a 2i A 2j + + a ni A nj = 0 se i j Assim, (adja)a = I n Exemplo (7) Seja A = adj(a) A = I n Lousa! Verifique A adj(a) =

13 Matriz Adjunta: Corolário Corolário Se A é uma matriz n n e 0, então: A 11 A 12 A 1 = 1 (adj A) = A 12 A 1n A 22 A 2n A 1n A n2 A nn Demonstração Do teorema anterior, temos que A(adjA) = (adja)a = I n Se 0, então: A 1 (adj A) = 1 [A(adj A)] = 1 (I n) = I n Portanto A 1 = 1 (adj A)

14 Matriz Adjunta e Inversa: Exemplo e mais Teorema! (adj A) Lousa! Exemplo (8) Seja A = A 1 = Calcule a sua inversa usando Teorema Uma matriz A é invertível se e somente se 0 Demonstração Como A é invertível, AA 1 = I n então: det(aa 1 ) = det(a 1 ) = det(i n ) = I n, implica que 0 Corolário Para uma matriz A n n, o sistema linear homogêneo Ax = 0 tem apenas uma solução trivial se e somente se 0

15 Regra de Cramer Sistema linear com n equações e n incógnitas, na forma matricial: a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 = b 2 } a m1 a m2 a mn {{ x n }}{{} b n }{{} A X B Suponha que 0 e assim, A seja inversível Então AX = B A 1 (AX) = A 1 B (A 1 A)X = A 1 B I n X = A 1 B X = A 1 B

16 Regra de Cramer (2) Matricialmente Lembrando que A 1 = Então: Note que: x 1 = x 1 x 2 x n }{{} X = det 1 A 11 A 21 A n1 1 A 12 A 22 A n2 } A 1n A 2n {{ A nn } A 1 x 1 = A 11b 1 + A 21 b A nn b n b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a n2 a nn 1 (adj A), temos que: b 1 b 2 b n }{{} B = A 11b 1 + A 21 b A nn b n

17 Regra de Cramer (3): Regra geral Analogamente x i = 1 det = det(a i) a 11 b 1 a 1n a n1 b n a nn = A 1ib 1 + A 2i b A ni b n Passo 1 Calcule Se = 0, a regra de Cramer não é aplicável Caso contrário, vá ao Passo 2 Passo 2 Se 0, para cada i, x i = det(a i), onde A i é a matriz obtida de A substituindo-se a i-ésima coluna de A pelo vetor B

18 (a) Regra de Cramer (4): Exemplo Exemplo (9) Resolva os sistemas lineares abaixo usando a Regra de Cramer (b) 2x 1 + 3x 2 x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 4 2x 1 x 2 + x 3 = 3 2x 1 3x 2 + 7x 3 = 1 x 1 + 3x 3 = 5 2x 2 x 3 = 0