ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE / Matrizes 1. Matrizes

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1 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma aplicação A : f1; ; :::; mg f1; ; :::; ng R: (i; j) A (i; j) Para simpli car, em vez de A (i; j) ; escreve-se habitualmente a i;j : Uma matriz A pode ser representada numa das formas: A = a 1;1 a 1; a 1; a 1;n a ;1 a ; a ; a ;n a ;1 a ; a ; a ;n a m;1 a m; a m; a m;n. A = [a i;j ] i=1;:::;m j=1;:::;n ou A = [a i;j ] mn Atendendo à representação em forma de quadro, quando uma matriz é do tipo m n; considera-se que a matriz tem m linhas e n colunas e, se m = n; a matriz diz-se quadrada, dizendo se nesse caso que a matriz é de ordem n. Os elementos a i;j dizem-se as entradas da matriz, concretamente o elemento a i;j está posicionado na linha de índice i e na coluna de índice j e é a entrada (i; j) da matriz A: Os elementos com o mesmo índice de linha e coluna, isto é, os elementos a i;i ; dizem-se entradas principais da matriz. Duas matrizes A e B são iguais se forem do mesmo tipo e as entradas correspondentes forem iguais. Exemplos de matrizes: A = - matriz de tipo : 1 ( 1 se i + j é par. A = [a i;j ] em que a i;j = é a matriz quadrada de ordem, que 0 se i + j é ímpar pode ser representada por A =

2 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes Matrizes particulares Se a matriz é do tipo 1 n diz-se uma matriz linha. Se a matriz é do tipo n 1 diz-se uma matriz coluna. (Às vezes chamam-se vectores às matrizes linha ou às matrizes coluna) Se A = [a i;j ] nn é uma matriz quadrada, então: a diagonal principal de A é constituída pelas suas entradas principais (elementos com índice de linha igual ao índice de coluna). a matriz diz-se triangular superior se a i;j = 0; sempre que i > j; a matriz diz-se triangular inferior se a i;j = 0; sempre que i < j; a matriz diz-se diagonal se é triangular superior e inferior, ou seja se a i;j = 0; sempre que i = j; Matriz nula de tipo m n é a matriz O mn = [o ij ] mn ; em que o ij = 0, ou seja, O mn = mn Matriz identidade de ordem n é a matriz I n = [a i;j ] mn em que a i;j = ou seja, I n = nn : ( 1 se i = j 0 se i = j ; A simétrica da matriz A = [a i;j ] mn é a matriz A = [b i;j ] mn ; onde b i;j = a i;j. k k 0 Se k é um número real, então a matriz..... diz-se uma matriz escalar. Uma matriz escalar é uma matriz diagonal em que todas as entradas. 0 0 k nn principais são iguais. Nota: A matriz nula de ordem n e a matriz identidade de ordem n são casos particulares de matrizes escalares, com k = 0; no caso da matriz nula, e k = 1,no caso da matriz identidade.

3 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes 1. Matriz linha: Matriz coluna: 1 0. Matriz triangular superior:. Matriz triangular inferior:. Matriz diagonal:. Matriz escalar: : : : : Operações com matrizes Transposição Se A = [a i;j ] mn é uma matriz de tipo m n; a sua transposta é a matriz A T = [b i;j ] nm de tipo n m tal que b i;j = a j;i : Uma matriz quadrada diz-se simétrica se A T = A. 1. Se A = 1 0, então A T = 1 0 :

4 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes. A matriz A = é simétrica pois A = A T : Soma Se A = [a i;j ] mn e B = [b i;j ] mn são matrizes de tipo m n, de ne-se a matriz: A + B = [c i;j ] mn do mesmo tipo, onde c i;j = a i;j + b i;j : Se A = 1 0 e B = 1 1 então A + B = : Produto por um escalar Se A = [a i;j ] mn é uma matriz de tipo m n e é um número real, de ne-se a matriz: :A = [c i;j ] mn do mesmo tipo, onde c i;j = a i;j : Se A = 1 0 então A = 1 0 = 0 1 Produto Se A = [a i;j ] mq é uma matriz de tipo m q e B = [b i;j ] qn é uma matriz de tipo q n, de ne-se a matriz: qx A B = [c i;j ] mn de tipo m n, onde c i;j = a i;k b k;j = a i;1 b 1;j + a i; b ;j + a i;q b q;j : Seguindo a fórmula atrás, para obter o elemento (i; j) da matriz A B, usa-se a linha i da matriz A e a coluna j da matriz B: Multiplica-se o primeiro elemento da linha i pelo primeiro elemento da coluna j; o segundo elemento da linha i pelo segundo elemento da coluna j, e assim sucessivamente até esgotar os elementos, e por m soma-se tudo. O resultado é a entrada (i; j) da matriz produto. k=1

5 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes 1. Sejam A = 1 0 Entrada (1; 1) de A B : e B = Usa-se a primeira linha de A e a primeira coluna de B = 0 Entrada (1; ) de A B : Usa-se a primeira linha de A e a segunda coluna de B ( 1) = Entrada (; 1) de A B : Usa-se a segunda linha de A e a primeira coluna de B + + = 8 Repetindo o procedimento para as outras entradas, obtêm-se 0 18 A B = : Se A = e B = ; então AB = e BA = 1 Observações: 8 1 : 1. Só é possível multiplicar matrizes se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda.. No produto de matrizes omite-se habitualmente o sinal ; designando-se o produto da matriz A pela matriz B por AB:. Seja C = AB: O elemento c i;j obtém-se fazendo o produto interno da linha i de A pela coluna j de B: (i) Multiplicando a matriz A pela coluna j de B obtém-se a coluna j da matriz C: (ii) Multiplicando a linha i da matriz A pela matriz B obtém-se a linha i da matriz C:. O produto de matrizes não goza da propriedade comutativa. Dadas duas quaisquer matrizes A e B, pode não ser possível efectuar ambos os produtos AB e BA: Quando as duas matrizes são quadradas, da mesma ordem, é possível efectuar AB e BA; mas também não se veri ca a comutatividade (a não ser em alguns casos particulares), como se pode veri car com o exemplo acima.

6 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes Propriedades Soma, produto por um escalar e transposição Se A; B e C são matrizes de tipo mn, O é a matriz nula do mesmo tipo e ; são números reais, veri cam-se: 1. A + B = B + A (comutatividade). (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade). A + O = A (elemento neutro). A + ( A) = O (existência de simétricos). (A + B) = A + B. ( + ) A = A + A. (A) = () A 8. 1A = A. O = O 10. A T T = A 11. (A + B) T = A T + B T 1. (A) T = A T Produto Se A; B e C são matrizes, O é a matriz nula e é um número real então, sempre que os produtos sejam possíveis, veri cam-se: 1. (AB) C = A (BC) :. Se A é do tipo m n, então AO nn = O mn = O mm A:. Se A é do tipo m n, então AI n = A = I m A:. (A + B) C = AC + BC e A (B + C) = AB + AC:. (AB) = (A) B = A (B) :. (AB) T = B T A T :

7 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes. Se A e B são matrizes diagonais, AB é uma matriz diagonal. 8. Se A e B são matrizes triangulares superiores, AB é uma matriz triangular superior.. Se A e B são matrizes triangulares inferiores, AB é uma matriz triangular inferior. Inversa de uma matriz Seja A uma matriz de ordem n. Se existe uma matriz X tal que AX = XA = I n ; diz-se que a matriz A é invertível; A matriz X diz-se a inversa de A e denota-se X = A 1. Se a matriz A é invertível, a sua inversa é única A matriz A = é invertível e a sua inversa é A 1 = : A matriz A = não é invertível. Vejamos porquê: 1 a b Considerando uma matriz arbitrária X = ; veri ca-se que a equação c d 8 a + c = 1 1 a b 1 0 a + c b + d 1 0 >< b + d = 0 =, =, 1 c d 0 1 a + c b + d 0 1 a + c = 0 >: b + d = 1 leva a um sistema impossível. Propriedades Se A e B são matrizes invertíveis de ordem n, veri cam-se: (i) A 1 é invertível e (A 1 ) 1 = A. (ii) AB é invertível e (AB) 1 = B 1 A 1. (iii) A T é invertível e A T 1 = (A 1 ) T : (iv) Se A é invertível e = 0 é um número real, então A é invertível e (A) 1 = 1 A 1. (v) Se A é diagonal, A 1 é também diagonal. (vi) Se A é triangular, A 1 é também triangular.

8 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes 8 Matriz em forma de escada Seja A = [a i;j ] mn uma matriz real de tipo m n: A matriz A está em forma de escada (ou em escada de linhas) se, para cada linha i f1; ; :::; mg ; se veri ca: Caso 1 A linha i é nula Então, para todo o r > i; a linha r é nula. Caso A linha i não é nula Se a i;s é o primeiro elemento não nulo da linha i (denominado o pivot); então para todo o l > i e para todo o c s; a l;c = 0. A matriz A = [a i;j ] mn está na forma condensada (ou em escada de linhas reduzida) se está em forma de escada e, para cada linha i f1; ; :::; mg se veri cam: 1. O pivot é igual a 1;. Se a i;s é o pivot, então para todo o l < i; a l;s = A matriz. A matriz está em forma de escada. está em forma condensada. Operações elementares sobre as linhas de uma matriz Tipos de operações elementares Tipo I Trocar duas linhas; Tipo II Multiplicar uma linha por um escalar não nulo; Tipo III Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar. Observação: Podem-se de nir operações elementares análogas sobre as colunas.

9 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes 1. Tipo I: L $ L : 1 1. Tipo II: 1 L 1 : Tipo III: L L 1 + L 0 L L + L 1 1 Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa matriz em forma de escada. Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa matriz condensada. Observação: A partir de uma matriz podem-se obter muitas matrizes em forma de escada, mas só uma matriz condensada, isto é, a forma condensada de uma matriz é única Característica da matriz A característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas (e, portanto, o número de pivots) de uma qualquer matriz em forma de escada que possa ser obtida de A através de operações elementares. É costume representar a característica de uma matriz A por cara: 1. car =, pois por meio de operações elementares obtém-se que está em forma de escada e tem duas linhas não nulas. ;. 8m; n N; caro mn = 0: (Só a matriz nula, de qualquer tipo, tem característica 0)

10 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes 10 Método de eliminação de Gauss Este método permite obter uma forma de escada ou a forma condensada de qualquer matriz. É de especial importância para a resolução de sistemas de equações lineares, que será estudada no capítulo seguinte Seja A = [a i;j ] uma matriz de tipo m n. 1 a FASE - Eliminação descendente Esta fase permite obter uma matriz em forma de escada a partir da matriz inicial. 1. Efectuam-se as trocas de linhas necessárias (operação elementar de tipo I) de modo a que as primeiras k linhas da matriz sejam não nulas e as últimas m k linhas sejam nulas L $ L Faz-se a primeira escolha de pivot. Para isso escolhe-se um elemento da primeira coluna não nula. Se esse elemento estiver na primeira linha, passa-se ao passo três. Se não estiver na primeira linha, efectua-se uma troca de linhas de modo a que passe a estar na primeira linha L 1 $ L Utilizando o pivot escolhido anulam-se todos os outros elementos da coluna respectiva, efectuando operações elementares de tipo III.

11 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes L L L 1 + L L 1 + L Se necessário repete-se o passo 1 e, seguidamente, faz-se nova escolha de pivot, procurando, abaixo da linha 1 a primeira coluna não nula e nesta escolhendo um elemento não nulo. Escolhido o pivot, repete-se o passo L L L + L L 1 + L Repetem-se os passos anteriores, escolhendo sucessivos pivots, até a matriz estar em forma de escada L L + L Quando a matriz está em forma de escada termina a eliminação descendente. a FASE - Normalização dos pivots. Na matriz em forma de escada obtida anteriormente, para cada pivot diferente de 1, multiplica-se a linha correspondente pelo inverso do pivot, isto é, sendo a i;s = 1 um 1 pivot situado na linha i, efectua-se: L i L i : a i;s

12 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes 1 (Com vista a obter uma forma condensada da matriz, esta fase do processo pode ser efectuada entre a fase descendente e a fase ascendente ou ao longo da eliminação ascendente, consoante for mais conveniente.) L 1 L 1 L 1 L a FASE - Eliminação ascendente Estando a matriz em forma de escada, esta fase do método permite obter uma matriz em forma condensada. 8. Usando o último pivot anulam-se todos os elementos não nulos na coluna onde esse pivot esteja situado, efectuando operações elementares de tipo III L L + L 1 L 1 L + L O processo repete-se com os pivots seguintes (de baixo para cima), até a matriz estar em forma condensada L 1 L + L No nal da eliminação ascendente a matriz obtida encontra-se em forma condensada.