Apontamentos de Álgebra Linear

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1 Aontamentos de Álgebra Linear (inclui as alicações não avaliadas) Nuno Martins Deartamento de Matemática Instituto Suerior Técnico Dezembro de 08

2 Índice Matrizes: oerações e suas roriedades Resolução de sistemas de equações lineares e a invertibilidade (ou não) de matrizes9 Esaços lineares Indeendência linear Bases e dimensão de um esaço linear Matriz de mudança de coordenadas Transformações lineares Reresentação matricial de uma transformação linear Determinantes Valores rórios e vectores rórios de uma matriz Diagonalização9 Valores rórios e vectores rórios de uma transformação linear Diagonalização8 8 Produtos internos Ortogonalização8 9 Alicações: Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal0 Raíz quadrada08 Formas quadráticas Mínimos quadrados Produto externo e roduto misto Área do aralelogramo Volume do araleleíedo0 Matrizes elementares e factorização triangular 0 Bibliogra a8

3 Matrizes: oerações e suas roriedades De nição (i) Sejam m; n N Uma matriz A, do tio m n (lê-se m or n), é uma tabela de m n números disostos em m linhas e n colunas: a a a n a a a n A : a m a m a mn Usa-se também a notação A (a ij ) mn ou simlesmente A (a ij ), na qual a ij é a entrada (i; j) da matriz A Se m n, diz-se que A é uma matriz quadrada do tio n n (ou de ordem n) e as entradas a ; a ; :::; a nn formam a chamada diagonal rincial de A Se m n, diz-se que A é uma matriz rectangular (ii) A matriz linha i de A é: a i a i a in, ara i ; :::; m A matriz coluna j de A é: a j a j ara j ; :::; n a mj (iii) À matriz do tio m n cujas entradas são todas iguais a zero, chama-se matriz nula e reresenta-se or 0 mn ou simlesmente or 0 Por exemlo e (iv) À matriz do tio n n a a a nn tal que a ij 0 se i j ara todos os i; j, isto é, à matriz cujas entradas fora da diagonal rincial são todas nulas, chama-se matriz diagonal (v) À matriz (a ij ) do tio n n tal que a ii ara todo o i ; :::; n; e a ij 0 se i j : , 0 0 chama-se matriz identidade e reresenta-se or I nn ou simlesmente or I

4 (vi) À matriz do tio n n a a a n 0 a a n 0 0 a nn cujas entradas or baixo da diagonal rincial são todas nulas, isto é, tais que a ij 0 se i > j, chama-se matriz triangular suerior À matriz do tio n n a 0 0 a a 0 a n a n a nn cujas entradas or cima da diagonal rincial são todas nulas, isto é, tais que a ij 0 se i < j, chama-se matriz triangular inferior Uma matriz diz-se triangular se fôr triangular suerior ou triangular inferior Exemlo As matrizes A, B 0 0, C 0 0 e D são dos seguintes tios: A é, B é, C é, D é Tem-se, or exemlo, a, b, c 0 e d Observação Uma matriz (real) A do tio m n é uma alicação: A : f; :::; mg f; :::; ng! R (i; j)! a ij Notação O conjunto de todas as matrizes reais (comlexas) do tio mn é denotado or M mn (R) (M mn (C)) Tem-se M mn (R) M mn (C) De nição Duas matrizes são iguais se forem do mesmo tio e se as entradas corresondentes forem iguais, isto é, A (a ij ) mn e B (b ij ) q são iguais se m, n q e a ij b ij, ara i ; :::; m e j ; :::; n De nição A soma de duas matrizes do mesmo tio A (a ij ) mn e B (b ij ) mn

5 é a matriz A + B (a ij + b ij ) mn Exemlo Sejam A 0, B 9, C e D : A + B, C + D e não é ossível, or exemlo, somar B com C De nição O roduto de um escalar (número real ou comlexo) or uma matriz A (a ij ) mn é a matriz: A (a ij ) mn Notação A matriz ( )A será denotada or A Exemlo Seja A Tem-se, or exemlo, A 8 Observação A A, 0A 0 (matriz nula) De nição A diferença entre duas matrizes A e B do mesmo tio é de nida or ou seja, é a soma de A com o simétrico de B A B A + ( B), De nição (i) O roduto AB de duas matrizes A e B só ode ser efectuado se o número de colunas da a matriz, A, fôr igual ao número de linhas da a matriz, B Nesse caso, o roduto AB de A (a ij ) m or B (b ij ) n é de nido or:! X AB (a i b j + ::: + a i b j ) mn a ik b kj, isto é, a a b b j b n a i a i b b j b n a m a m k P a k b k k P a mk b k k mn P a ik b kj k P a k b kn k P a mk b kn k

6 Note que sendo b ; :::; b n as colunas da matriz B, então AB A b b n Ab Ab n e sendo a ; :::; a m as linhas da matriz A, então AB a a m B a B a m B (ii) Sejam A uma matriz do tio n n e N A otência de A é de nida or A A:::A {z } vezes e ara 0 de ne-se (se A fôr não nula) A 0 I (iii) Diz-se que duas matrizes A e B comutam se AB BA Exemlo (i) ( ) ( ) 0 + ( ) 0 ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 8 8 (ii) ( ) + + ( ) (iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (iv) N, a a a nn (a ) (a ) (a nn )

7 Observação (i) O roduto de matrizes não é comutativo Por exemlo, ara A e B tem-se AB e BA Logo AB BA (ii) CD 0 ; (C 0 ou D 0), ois, or exemlo, ara C e D ; CD 0: (iii) Se A (B) tem uma linha (coluna) nula então AB tem uma linha (coluna) nula (iv) MUITO IMPORTANTE: Sendo a a a n a a a n A a m a m a mn ; X x x x n então: AX a a x + a a x + ::: + a n a n x n a m a m a mn De nição A transosta de uma matriz A (a ij ) mn é a matriz A T (a ji ) nm, isto é T a a a n a a a m a a a n a a a m : a m a m a mn a n a n a mn De nição 8 Sendo A (a ij ) nn uma matriz quadrada, chama-se traço de A ao número real (ou comlexo) nx tr(a) a + ::: + a nn a ii i Exemlo (i) T (ii) tr

8 Teorema Sejam A, B, C e D matrizes de tios aroriados, e escalares São válidas as seguintes roriedades ara as oerações matriciais (a) (Comutatividade da soma) A + B B + A (b) (Associatividade da soma) A + (B + C) (A + B) + C Note que esta roriedade ermite generalizar a de nição de soma de matrizes à soma de um n o nito de matrizes, desde que as matrizes intervenientes sejam de tios aroriados (c) (Elemento neutro da soma) Existe uma única matriz 0 do tio m n tal que A A A, ara toda a matriz A do tio m n (d) (Simétrico) Para cada matriz A existe uma única matriz B tal que A+B B+A 0 Esta matriz B denota-se or A (e) (Associatividade do roduto or escalares) (A) () A (f) (Distributividade) ( + ) A A + A (g) (Distributividade) (A + B) A + B (h) (Associatividade do roduto de matrizes) A (BC) (AB) C Note que esta roriedade ermite generalizar a de nição de roduto de matrizes ao roduto de um n o nito de matrizes, desde que as matrizes intervenientes sejam de tios aroriados (i) (Distributividade) A (B + C) AB + AC e (B + C) D BD + CD (j) (AB) (A) B A (B) A + {z ::: + A } A (A ) q A q vezes (k) AI A e IB B, ara todas as matrizes A (a ij ) mn e B (b ij ) nm, onde I é a matriz identidade do tio n n (l) A0 0 e 0B 0, ara todas as matrizes A (a ij ) mn e B (b ij ) nm, onde 0 é a matriz nula do tio n n (m) A T T A: (n) (A + B) T A T + B T (o) (A + A + ::: + A n ) T A T + A T + ::: + A T n, com A, A, :::, A n matrizes de tios aroriados () (A) T A T (q) (AB) T B T A T (r) (A A :::A n ) T A T n:::a T A T, com A, A, :::, A n matrizes de tios aroriados (s) Sendo A (a ij ) nn e B (b ij ) nn duas matrizes quadradas e um escalar, tem-se tr(a+b) tr(a)+tr(b), tr(a) tr(a); tr(a T ) tr(a) e tr(ab) tr(ba): 8

9 Resolução de sistemas de equações lineares e a invertibilidade (ou não) de matrizes De nição 9 Uma equação linear com n incógnitas x ; x ; :::; x n é uma equação da forma a x + a x + ::: + a n x n b; em que a ; a ; :::; a n e b são constantes (reais ou comlexas) A b chama-se termo indeendente De nição 0 Um sistema de m equações lineares com n incógnitas x ; x ; :::; x n é um conjunto de equações da forma 8 a x + a x + ::: + a n x n b >< a () x + a x + ::: + a n x n b ::: >: a m x + a m x + ::: + a mn x n b m em que a ij e b k são constantes (reais ou comlexas), ara i; k ; :::; m e j ; :::; n De nição R n f(x ; :::; x n ) : x ; :::; x n Rg De nição Uma solução (caso exista) de um sistema de m equações lineares com n incógnitas reais, é o elemento (s ; s ; :::; s n ) R n que satisfaz as equações desse sistema quando substituímos x s ; x s ; :::; x n s n (No caso das variáveis tomarem valores comlexos ter-se-ia soluções em C n ) Usando o roduto de matrizes, isso equivale a dizer que s s S s n satisfaz a equação matricial em que A a a a n a a a n a m a m a mn AX B;, X x x x n e B b b b m, 9

10 isto é, fazendo X S tem-se a condição verdadeira AS B Ao conjunto de todas as soluções do sistema chama-se conjunto solução (CS) ou solução geral do sistema Observação R n M n (R) De nição A matriz A é a matriz dos coe cientes do sistema AX B, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna dos termos indeendentes A matriz a a a n j b a a a n j b [A j B] a m a m a mn j b m associada ao sistema () chama-se matriz aumentada do sistema Exemlo O sistema linear de duas equações e duas incógnitas x + y x + y 0 ode ser escrito do seguinte modo: x y A solução geral do sistema acima é dada or 0 isto é, X f(x; y) : x + y e x + y 0g f( ; )g ; é a única matriz que satisfaz AX B, com A e B 0 De nição A um sistema de equações lineares da forma 8 a x + a x + ::: + a n x n 0 >< a x + a x + ::: + a n x n 0 ::: >: a m x + a m x + ::: + a mn x n 0 chama-se sistema linear homogéneo Este sistema ode ser escrito na forma AX 0 Observação (i) Todo o sistema linear homogéneo AX 0 admite elo menos a solução trivial: x 0 x X 0 x n 0 Assim, todo o sistema linear homogéneo tem solução Além disso, como iremos ver, ou tem aenas a solução trivial ou tem um número in nito de soluções 0

11 (ii) Num róximo caítulo, à solução geral do sistema linear homogéneo AX 0 dar-se-á o nome de núcleo de A e escrever-se-á N (A) De nição Às seguintes oerações que se odem alicar às equações de um sistema de equações lineares, chamam-se oerações elementares (a) Trocar a osição de duas equações do sistema; (b) Substituição de uma equação or um seu múltilo escalar diferente de zero; (c) Substituição de uma equação ela sua soma com um múltilo escalar de outra equação De nição Dois sistemas de equações lineares que se obtêm um do outro através de um número nito de oerações elementares, dizem-se equivalentes, tendo assim o mesmo conjunto solução Observação Quando alicamos oerações elementares às equações de um sistema de equações lineares, só os coe cientes e os termos indeendentes do sistema são alterados Logo, alicar as oerações elementares anteriores às equações de um sistema linear () equivale a alicar às linhas da matriz aumentada as seguintes oerações [A j B] a a a n j b a a a n j b a m a m a mn j b m De nição As oerações elementares que odem ser alicadas às linhas (i e j) de uma matriz são: (i) Trocar a osição de duas linhas (i e j) da matriz: L i $ L j (ii) Substituição de uma linha (i) da matriz or um seu múltilo escalar () diferente de zero: L i! L i (iii) Substituição de uma linha (j) ela sua soma com um múltilo escalar () de outra linha (i): L i + L j! L j Teorema Se dois sistemas lineares AX B e CX D são tais que a matriz aumentada [C j D] é obtida de [A j B] através de uma ou mais oerações elementares, então os dois sistemas são equivalentes De nição 8 Uma matriz A (a ij ) mn diz-se em escada de linhas se: (i) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente or zeros) estão or baixo das linhas não nulas;

12 (ii) Por baixo (e na mesma coluna) do rimeiro elemento não nulo de cada linha e or baixo dos elementos nulos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas Esse rimeiro elemento não nulo de cada linha tem o nome de ivot Exemlo As seguintes matrizes estão em escada de linhas: A ; B 0 0 ; C De nição 9 O método que consiste em alicar oerações elementares às linhas da matriz aumentada do resectivo sistema de modo a que essa matriz que em escada de linhas, chama-se método de eliminação de Gauss De nição 0 Um sistema de equações lineares diz-se: (i) imossível se não tiver soluções; (ii) ossível e indeterminado se tiver mais do que uma solução; (iii) ossível e determinado se tiver uma única solução De nição Uma matriz diz-se em escada reduzida de linhas se estiver em escada de linhas e: (i) todos os seus ivots forem iguais a, (ii) todas as suas colunas que contiverem os ivots, tiverem todas as restantes entradas iguais a 0, com exceção desses ivots Exemlo 8 As seguintes matrizes estão em escada reduzida de linhas: ,, Teorema Sendo A uma matriz qualquer do tio m n e sendo B e C duas matrizes em escada reduzida de linhas obtidas de A or alicação do Método de eliminação de Gauss, então tem-se B C Isto é, existe um única matriz em escada reduzida de linhas obtida de A (or alicação do Método de eliminação de Gauss) Dem (WH Holzmann) Sejam B e C duas matrizes em escada reduzida de linhas obtidas de A or alicação do Método de eliminação de Gauss Suonhamos com vista a um absurdo que B C Consideremos as matrizes B 0 e C 0 obtidas resectivamente de B e C do seguinte modo Consideremos como última coluna de B 0 e como última coluna de C 0 a rimeira coluna de B que difere da corresondente de C As restantes colunas de B 0 e C 0 serão as corresondentes colunas de B e de C surimindo as colunas sem ivots (à esquerda da rimeira que é diferente entre B e C) Por exemlo, se

13 então Em geral: B B e C e C B 0 Irr j b 0 O j 0 ou B 0 I rr j 0 j O j 0 j j 0, C 0 Irr j c 0 O j 0 ou C 0 I rr j 0 j O j 0 j j 0, com B 0 C 0 As matrizes B 0 e C 0 odem ser vistas como matrizes aumentadas de sistemas Assim, como os sistemas corresondentes a B 0 e a C 0 são equivalentes (têm o mesmo conjunto solução) or alicação do Método de eliminação de Gauss, então ou b 0 c 0 e ambos têm a mesma solução única ou são ambos imossíveis Logo B 0 C 0 o que é um absurdo Assim, tem-se B C Observação (i) O n o de ivots de uma qualquer matriz em escada de linhas obtida de A é igual ao n o de ivots da matriz em escada reduzida de linhas obtida de A: (ii) O n o de colunas sem ivot de uma qualquer matriz em escada de linhas obtida de A é igual ao n o de colunas sem ivot da matriz em escada reduzida de linhas obtida de A: De nição (i) Chama-se característica de A (car A) ao n o de ivots de uma matriz em escada de linhas obtida de A (ii) Chama-se nulidade de A (nul A) ao n o de colunas sem ivot de uma matriz em escada de linhas obtida de A Exemlo 9 Considere-se as matrizes do exemlo Pivot de A: Pivots de B: e Pivots de C: ; e Tem-se: car A, car B e car C Além disso: nul A, nul B e nul C Observação 8 (i) car A n o de linhas não nulas de uma matriz em escada de linhas obtida de A n o de ivots n o de incógnitas não livres: (ii) nul A n o de incógnitas livres grau de indeterminação do sistema

14 Observação 9 Seja A uma matriz do tio m n Então 0 car A min fm; ng e car A + nul A n: Observação 0 Seja [A j B] a matriz aumentada associada a um sistema de equações lineares com n incógnitas (i) Se car A car [A j B] n então o sistema é ossível e determinado (tem uma única solução) (ii) Se car A car [A j B] < n então o sistema é ossível e indeterminado (tem mais do que uma solução) (iii) Se car A < car [A j B] então o sistema é imossível (não tem solução) Observação Aós a alicação do método de eliminação de Gauss à matriz aumentada de um sistema de equações lineares, e aós a classi cação do mesmo ter sido feita comarando as características de A e de [A j B], o sistema ode nalmente ser resolvido elo método de substituição Exemlo 0 O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y e z 8 < : x + z x + y + z y + z é equivalente a 0 0 x y z Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: 0 j 0 j 0 j j! 0 j! 0 j L 0 j +L!L 0 j L +L!L 0 0 j Como car A car [A j B] n (n o total de variáveis); o sistema diz-se ossível e determinado (solução única) 8 8 < < e assim : x + z y + z z, : x y z CS f(; ; )g R : 8 < : Exemlo O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y; z e w x z 9w x + y 0z + 0w é equivalente a 0 0 y z x + y z + w w

15 Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: j j 0 0 j! 8 j 9! L $L j L j +L!L Como! L +L!L L!L j 0 0 j j! L +L!L car A car [A j B] < n; o sistema diz-se ossível e indeterminado, tendo variáveis livres j 0 0 j j 0 x + y z + w z + w x y w, z w + As incógnitas y e w são livres e as incógnitas x e z são não livres A solução geral do sistema é: 9 8> y w < y > w + >: : y; w R >; w ou seja CS f( y w ; y; w + ; w) : y; w Rg R : Exemlo Seja R O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y e z 8 < x + y + z x x + y z é equivalente a y : x + y + ( ) z z Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: j j j! 0 j! L j +L!L L +L!L 0 L j +L!L! L +L!L j 0 j 0 0 ( ) ( + ) j Se a então car A car [A j B] < n e o sistema diz-se ossível e indeterminado com grau de indeterminação x + y + z x z +, y z y z +,

16 a incógnita z é livre, as incógnitas x e y são não livres e a solução geral do sistema é 8 9 < z + z + : z R : ; z isto é, o conjunto solução é dado or: CS f(z + ; z + ; z) : z Rg R : Se a então car A < car [A j B] e o sistema não tem solução e diz-se imossível Se a e a, então car A car [A j B] n e o sistema diz-se ossível e determinado (tem solução única) a + CS a + ; a a + ; R a + Teorema Sejam A uma matriz do tio m n e B uma matriz do tio m Se o sistema de equações lineares AX B tem duas soluções distintas X 0 e X (X 0 X ), então terá um número in nito de soluções Dem Basta veri car que X ( ) X 0 + X é solução do sistema AX B, ara qualquer R Além disso, se 0 então X X 0 uma vez que X X 0 ( 0 ) (X 0 X ) : Teorema Se A (a ij ) mn é tal que m < n, então o sistema linear homogéneo AX 0 tem um número in nito de soluções Dem Como o sistema tem menos equações do que incógnitas (m < n), sendo r o n o de incógnitas não livres, tem-se n r incógnitas livres as quais odem assumir qualquer valor Logo, o sistema linear homogéneo AX 0 tem um número in nito de soluções Teorema Sejam A (a ij ) mn e ; escalares (i) Se Y e W são soluções do sistema AX 0, então Y + W também o é (ii) Se Y é solução do sistema AX 0, então Y também o é (iii) Se Y e W são soluções do sistema AX 0, então Y + W também o é (iv) Sejam Y e W soluções do sistema AX B Se Y + W (ara quaisquer escalares ; ) também é solução de AX B, então B 0 (Sugestão: basta fazer 0)

17 Teorema Seja A uma matriz do tio m n e B 0 uma matriz do tio m Qualquer solução X do sistema AX B escreve-se na forma X X 0 + X onde X 0 é uma solução articular do sistema AX B e X é uma solução do sistema linear homogéneo AX 0 Assim: solução geral de AX B solução articular de AX B + solução geral de AX 0 Dem Sendo X 0 uma solução articular do sistema AX B e X uma solução qualquer de AX 0 então A (X 0 + X ) AX 0 B elo que X 0 + X é também uma solução de AX B Logo solução geral de AX B solução articular de AX B + solução geral de AX 0 : Seja agora X 0 uma solução qualquer de AX B Se car A n então o sistema AX B tem X 0 como solução única e 0 é a única solução de AX 0 tendo-se X 0 X 0 + 0: Se car A < n então o sistema AX B tem in nitas soluções Seja X 0 uma solução concreta de AX B Tem-se A (X 0 X 0 ) AX 0 AX 0 B B 0: Logo X 0 X 0 é uma solução de AX 0 e tem-se X 0 X 0 + X com X solução do sistema linear homogéneo AX 0 Assim, em qualquer dos casos (car A n ou car A < n) tem-se solução geral de AX B solução articular de AX B + solução geral de AX 0 : Como e solução geral de AX B solução geral de AX B solução articular de AX B solução articular de AX B + + solução geral de AX 0 solução geral de AX 0 : então solução geral de AX B solução articular de AX B + solução geral de AX 0

18 De nição Uma matriz A do (tio n n) diz-se invertível se existir uma matriz B (do tio n n) tal que AB BA I À matriz B chama-se matriz inversa de A e denota-se or A Exemlo 0 0 é invertível e Observação (i) Sendo A a matriz inversa de A, então A é invertível e a sua inversa é a rória matriz A, isto é, A A: (ii) A matriz nula não é invertível No entanto, a matriz identidade I é invertível tendo-se I I: (iii) Se uma matriz quadrada tiver uma linha ou uma coluna nula então não é invertível Teorema 8 A inversa de uma matriz invertível é única Dem Sejam B e C as inversas de A Então, B BI B (AC) (BA) C IC C: De nição (i) Uma matriz A diz-se simétrica se A A T, isto é, se a ij a ji ; ara i; j ; :::; n Diz-se que A é anti-simétrica se A A T, isto é, se a ij a ji ; ara i; j ; :::; n Exemlo 0 0 é uma matriz simétrica 0 0 T 0 0 Observação Sendo A uma matriz quadrada então A + A T é simétrica, A A T é anti-simétrica e tem-se A A + AT + A AT 8

19 Teorema 9 (i) Se A (a ij ) nn e B (b ij ) nn são duas matrizes invertíveis, então AB é invertível e (AB) B A : (ii) Sendo um escalar não nulo e A uma matriz invertível então A é invertível e (A) A : (iii) Seja m N Se A (a ij ) nn é uma matriz invertível, então A m é invertível e (A m ) A m e escreve-se A m (A m ) : (iv) Seja A (a ij ) nn uma matriz Se existir l N tal que A l invertível 0 então A não é (v) Sejam A e B matrizes com A invertível tais que AB 0 Então B 0 (vi) Sejam A e B matrizes com B invertível tais que AB 0 Então A 0 (vii) Sejam A, B e C matrizes com A invertível tais que AB AC Então B C (viii) Sejam A, B e C matrizes com B invertível tais que AB CB Então A C (ix) A (a ij ) nn é uma matriz invertível se e só se A T é invertível e A T A T : (x) Se A (a ij ) nn é uma matriz simétrica invertível, então A é simétrica (xi) Se A e B são duas matrizes simétricas então AB é uma matriz simétrica se e só se A e B comutarem Teorema 0 Seja A uma matriz do tio n n (i) O sistema AX B tem solução única se e só se A fôr invertível Neste caso a solução geral é X A B: (ii) O sistema homogéneo AX 0 tem solução não trivial se e só se A fôr não invertível Teorema (i) Sejam A e B duas matrizes do tio n n Se AB é invertível, então A e B são invertíveis (ii) Se A é uma matriz do tio n n tal que AB I então BA I e B A : 9

20 Dem (i) Considere o sistema (AB) X 0 Se B não fosse invertível, então existiria X 0 tal que BX 0 Logo, X 0 seria solução não trivial de ABX 0, o que contraria o teorema anterior uma vez que or hiótese AB é invertível Assim, B é invertível Finalmente, A é invertível or ser o roduto de duas matrizes invertíveis: A (AB) B (ii) Atendendo à alínea anterior, B é invertível Logo B também é invertível e A AI A BB (AB) B IB B, isto é, A é invertível e A (B ) B Teorema (Como inverter matrizes invertíveis do tio n n) Seja A uma matriz do tio n n e consideremos a equação AX B Se A fôr invertível temos isto é, AX B, X A B, AX IB, IX A B Assim, ara determinar a inversa de A, iremos transformar a matriz aumentada [A j I] na matriz [I j A ], or meio de oerações elementares alicadas às linhas de [A j I]: [A j I]! I j A ::: Este método tem o nome de método de eliminação de Gauss-Jordan e consistirá na continuação do método de eliminação de Gauss agora alicado a [matriz triangular suerior j ], efectuando-se as eliminações de baixo ara cima de modo a obter-se [I j A ] Isto é Exemlo Vejamos que De facto L +L!L j 0! j 0 0 j! 0 j L +L!L L!L L!L : Tem-se j 0! 0 j 0 j! 0 j L +L!L I Exemlo (i) Seja A [A j I] j 0 0 j j 0 0 Tem-se! ::: 0 0 j 0 0 j 0 0 j : 0

21 Logo, 0 0 (ii) Seja A não é invertível (iii) Sejam A Tem-se 9 8 Veri que(!) que: AA I Tem-se [A j I]! ::: B C j j j A I X T B C: Logo, A Determine-se X tal que A I X T B C, I X T A CB, I X T A CB,, X T I B C A, X I A T C T B T,, X !, X : Teorema Seja A M mn (R) e considere o sistema de equações lineares AX B (i) Existência de solução: Se m n então o sistema AX B tem elo menos uma solução X ara cada B R m se e só se car A m: (ii) Unicidade de solução: Se m n então o sistema AX B tem no máximo uma solução X ara cada B R m se e só se isto é, se e só se nul A 0: car A n; (iii) Existência e unicidade de solução: Se m n então: isto é, A é invertível, car A n,, ara todo o B o sistema AX B tem uma única solução (X A B); A não é invertível, car A < n,, existe elo menos um B ara o qual o sistema AX B não tem solução

22 Esaços lineares (ou Esaços vectoriais) De nição Um conjunto não vazio V é um esaço linear (real) se existirem duas oerações associadas a V, uma soma de elementos de V e um roduto de escalares (números reais) or elementos de V, com as seguintes roriedades: (a) (Fecho da soma) Para quaisquer u; v V u + v V: (b) (Fecho do roduto or escalares) Para quaisquer R e u V u V: (c) (Comutatividade da soma) Para quaisquer u; v V, u + v v + u: (d) (Associatividade da soma) Para quaisquer u; v; w V, u + (v + w) (u + v) + w: (e) (Elemento neutro da soma) Existe um elemento de V designado or 0 tal que, ara qualquer u V, u + 0 u: (f) (Simétrico) Para cada (qualquer) u V existe v V tal que u + v 0: A v chama-se o simétrico de u e denota-se or u (g) (Associatividade do roduto or escalares) Para quaisquer ; R e u V, (u) () u: (h) (Distributividade em relação à soma de vectores) Para quaisquer R e u; v V, (u + v) u + v: (i) (Distributividade em relação à soma de escalares) Para quaisquer ; R e u V, ( + ) u u + u: (j) Para qualquer u V, u u:

23 De nição Aos elementos de um esaço linear (vectorial) V chamaremos vectores Exemlo Exemlos de esaços lineares Seja R (i) R n f(x ; :::; x n ) : x ; :::; x n Rg, com as oerações usuais: (u ; :::; u n ) + (v ; :::; v n ) (u + v ; :::; u n + v n ), (u ; :::; u n ) (u ; :::; u n ) (ii) M mn (R) (conjunto de todas as matrizes reais do tio m n), com as oerações (usuais): A + B e A (iii) Seja n N xo O conjunto P n fa 0 + a t + ::: + a n t n : a 0 ; a ; :::; a n Rg de todos os olinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as oerações usuais (a 0 + a t + ::: + a n t n ) + (b 0 + b t + ::: + b n t n ) a 0 + b 0 + (a + b ) t + ::: + (a n + b n ) t n (a 0 + a t + ::: + a n t n ) a 0 + (a ) t + ::: + (a n ) t n (iv) O conjunto P fa 0 + a t + ::: + a s t s : a 0 ; a ; :::; a s R e s N 0 g de todos os olinómios reais de variável real, com as oerações usuais (v) O conjunto de todas as funções reais de variável real de nidas num conjunto S R, com as oerações usuais: (f + g)(x) f(x) + g(x), (f)(x) f(x) Observação Existem esaços lineares com oerações não usuais: (i) O conjunto dos números reais R, com a soma de nida or e o roduto or escalares de nido or u v u + v +, u u +, é um esaço linear (Neste caso o elemento neutro é ) (ii) O conjunto dos números reais maiores do que zero, com a soma de nida or e o roduto or escalares de nido or u v uv, u u, é um esaço linear (Neste caso o elemento neutro é )

24 Observação Alterações nos conjuntos considerados anteriormente odem resultar em conjuntos que não são esaços lineares (i) O conjunto f(x; y) R : x 0 e y 0g, com as oerações usuais, não é um esaço linear Por exemlo, os simétricos não estão no conjunto (ii) O conjunto V fa 0 + a t + ::: + a n t n : a 0 ; a ; :::; a n R e a n 0g de todos os olinómios reais de grau igual a n, com as oerações usuais, não é um esaço linear Por exemlo, ara n > : t n ; t n + t V, mas t n + ( t n + t) t V (iii) O conjunto U ff : R! R tais que f() g, com as oerações usuais, não é um esaço linear Por exemlo, se f ; f U, Logo, f + f U (f + f ) () f () + f () + De nição Seja V um esaço linear Diz-se que S é um subesaço de V se S é um subconjunto de V e se S, com as oerações de V, fôr um esaço linear Observação No entanto, ara mostrar que um certo conjunto S V é um subesaço do esaço linear V, não será necessário veri car as 0 roriedades da de nição de esaço linear, como se ode ver no seguinte teorema Teorema Um subconjunto não vazio S de um esaço linear V é um subesaço de V se e só se as seguintes condições (i) e (ii) forem satisfeitas (i) Para quaisquer u; v S tem-se u + v S (ii) Para quaisquer R e u S tem-se u S Exemlo 8 Exemlos de subesaços: (i) Os únicos subesaços do esaço linear R, com as oerações usuais, são f0g e R (ii) Os subesaços do esaço linear R, com as oerações usuais, são: f(0; 0; 0)g, R, todas as rectas que assam ela origem e todos os lanos que assam ela origem (iii) O conjunto de todas as matrizes (reais) triangulares sueriores (do tio n n) é um subesaço do esaço linear M nn (R), com as oerações usuais (iv) O conjunto de todas as funções reais de nidas e contínuas em I R (I é um intervalo) é um subesaço do esaço linear de todas as funções f : I! R, com as oerações usuais

25 De nição 8 Seja A M mn (R) O conjunto C(A) fb R m : Au b tem elo menos uma solução ug é um subesaço do esaço linear R m, com as oerações usuais, ao qual se dá o nome de esaço das colunas de A De nição 9 Seja A M mn (R) O conjunto N (A) fu R n : Au 0g é um subesaço do esaço linear R n, com as oerações usuais, ao qual se dá o nome de núcleo de A Teorema Seja A M nn (R) A invertível, N (A) f0g De nição 0 Seja S um subconjunto não vazio de um esaço linear V Diz-se que um vector u é combinação linear nita dos elementos de S, se existir um n o nito de elementos de S, u ; :::; u k, e de escalares ; :::; k tais que u u + ::: + k u k kx i u i i Seja L(S) f u + ::: + k u k : ; :::; k Rg, (no caso do coro dos escalares ser R) isto é, seja L(S) o conjunto de todas as combinações lineares nitas de elementos de S O conjunto L(S) é (veri que!) um subesaço de V A L(S) chama-se a exansão linear de S ou subesaço de V gerado or S e diz-se que S gera L(S) ou ainda que S é um conjunto gerador do esaço linear L(S) Se S é o conjunto vazio?, escreve-se L(?) f0g Teorema (i) Seja S um subconjunto não vazio de um esaço linear V A exansão linear L(S) de S é o menor subesaço de V que contém S (ii) Sejam S e T dois subconjuntos não vazios de um esaço linear V, com S T Se L(S) V então L(T ) V De nição Seja A uma matriz (real) do tio m n Ao subesaço linear de R n gerado elas linhas de A dá-se o nome de esaço das linhas de A e designa-se or L(A) Exemlo 9 (i) O esaço linear R é gerado or qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: f(; 0); (0; )g, f(; ); ( ; )g e f(; 8); (; )g

26 (ii) O subesaço f(x; y) R : y xg do esaço linear R é gerado or qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: f(; )g, f( ; )g e f(; )g (iii) O esaço linear P n de todos os olinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, é gerado or qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: f; t; t ; :::; t n g, f; + t; ( + t) ; :::; ( + t) n g e f; t! ; t tn ; :::;! n! g (iv) O esaço linear P de todos os olinómios reais de variável real, é gerado elo conjunto in nito de vectores: f; t; t ; :::g (v) Seja U o esaço linear de todas as funções reais com rimeira derivada contínua em R (isto é, ertencentes a C (R)) e tais que f 0 (x) af (x) (em R) com a R Então U é gerado ela função g (x) e ax, tendo-se U L (fgg) (vi) Seja A uma matriz (real) do tio m n O esaço das colunas de A, C(A) fb R m : Au b tem elo menos uma solução ug, é o subesaço (do esaço linear R m ) gerado elas colunas de A, uma vez que: b a a n u a a n u + ::: + u n b m a m a mn u n a m a mn (vii) A , B , C, D C(A) f(0; 0)g, N (A) R, L(A) f(0; 0; 0)g 0 0 C(B) L (f(; 0; 0) ; (; ; 0)g), N (B) L (f(; ; 0)g) ; L(B) L (f(; ; ) ; (0; 0; )g) C(C) L (f( ; ; )g) ; N (C) L (f(; )g) ; L(C) L (f( ; )g) : C(D) L (f(; 0) ; (0; )g), N (D) f(0; 0)g; L(D) L (f(; 0) ; (0; )g) (viii) Seja U fa M (R) : a a a 0 e a + a 0g Tem-se, ara A U, a a a A a a 0 a a a 0, a a a

27 com a ; a R Logo, 08 < U : ; A ; (ix) Seja U f(t) a 0 + a t + a t P : () (0)g Tem-se, ara (t) U, () (0), a 0 + a + a a 0, a + a 0, a a Logo, (t) a 0 a t + a t a 0 + a ( t + t ), com a 0 ; a R Assim, U L ; t + t Teorema Se U e V subesaços do esaço linear W, então U [ V é subesaço de W se e só se U V ou V U Teorema 8 Se U, V, U ;,U k são subesaços de um esaço linear W, então: (i) O conjunto U \ V é um subesaço linear de W (ii) O conjunto U \\U k é um subesaço de W (iii) O conjunto U + V fu + v : u U e v V g é um subesaço de W É o menor subesaço de W que contém U [ V O conjunto U [ V em geral não é um subesaço (iv) O conjunto U ++U k é um subesaço de W Observação (i) U é um subesaço de R n se e só se existir uma matriz A tal que U N (A) : (ii) Sejam U e U subesaços de R n Se U L (S ) e U L (S ) então Se U N (A) e U N (B) então U + U L (S [ S ) : U \ U N A B : (iii) U é um subesaço de P n fa 0 + a t + ::: + a n t n : a 0 ; a ; :::; a n Rg se e só se existir uma matriz A tal que U fa 0 + a t + ::: + a n t n : (a 0 ; a ; :::; a n ) N (A)g

28 (iv) Sejam U e U subesaços de P n Se U L (S ) e U L (S ) então U + U L (S [ S ) : Se e então U \ U U fa 0 + a t + ::: + a n t n : (a 0 ; a ; :::; a n ) N (A)g U fa 0 + a t + ::: + a n t n : (a 0 ; a ; :::; a n ) N (B)g A a 0 + a t + ::: + a n t n : (a 0 ; a ; :::; a n ) N B : (v) U é um subesaço de M mn (R) se e só se existir uma matriz B tal que U fa (a ij ) M mn (R) : (a ; :::; a m ; :::; a n ; :::; a mn ) N (B)g Se e então (vi) Sejam U e U subesaços de M mn (R) Se U L (S ) e U L (S ) então U \ U U + U L (S [ S ) : U fa (a ij ) M mn (R) : (a ; :::; a m ; :::; a n ; :::; a mn ) N (B)g U fa (a ij ) M mn (R) : (a ; :::; a m ; :::; a n ; :::; a mn ) N (C)g B A (a ij ) M mn (R) : (a ; :::; a m ; :::; a n ; :::; a mn ) N C : Exemlo 0 Em R, considere os subesaços: U L (f(; ; ); (; ; )g) e V L (f(; ; ); ( ; ; )g) Seja (x; y; z) U L (f(; ; ); (; ; )g) : Assim, existem escalares ; R tais que (x; y; z) (; ; ) + (; ; ) Logo, o sistema seguinte é ossível j x j y j z 8

29 Atendendo a que j x j y! L j z +L!L L +L!L logo Ou seja: Seja (x; y; z) U, z j x 0 j x + y 0 j z x! L +L!L x y 0, x + y z 0: j x 0 j x + y 0 0 j z U f(x; y; z) R : x + y z 0g N Existem escalares ; R tais que (x; y; z) V L (f(; ; ); ( ; ; )g) : (x; y; z) (; ; ) + ( ; ; ) Logo, o sistema seguinte é ossível j x j y j z Atendendo a que j x j x j x j y! x 0 j y! x 0 j y j z L +L!L x 0 j z L +L!L 0 0 j x y + z L +L!L logo Ou seja: Logo, (x; y; z) V, z y + x 0, x y + z 0: V f(x; y; z) R : x y + z 0g N U \ V N N 0 f(y; y; y) : Rg fy(; ; ) : y Rg L (f(; ; )g) (iii) Seja U o subesaço de M nn (R) das matrizes triangulares sueriores e seja V o subesaço de M nn (R) das matrizes triangulares inferiores Então U + V M nn (R) e U \ V subesaço das matrizes diagonais (iv) Sejam U L(f(; 0)g) e V L(f(0; )g) subesaços de R O conjunto U [ V f(x; y) R : x 0 _ y 0g 9

30 não é um esaço linear ois (; 0) + (0; ) (; ) U [ V No entanto, tem-se U + V R {z } {z } U V Como logo Como logo Assim: Observação 8 Vejamos que se tem: L (f(; ; 0); (0; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g) (; ; 0) (; ; ) + (; ; ) e (0; ; ) (; ; ) (; ; ) L (f(; ; 0); (0; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g) (; ; ) (; ; 0) + (0; ; ) e (; ; ) (; ; 0) + (0; ; ) L (f(; ; ); (; ; )g) L (f(; ; 0); (0; ; )g) L (f(; ; 0); (0; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g) De facto, o que se mostrou foi o seguinte: 0 0 em que, 0 0 : De nição (i) Sejam W e W subesaços de um esaço linear V Diz-se que V é a soma directa dos esaços W e W e escreve-se V W W se V W + W e W \ W f0g: (ii) Sejam W ; :::; W k subesaços de um esaço linear V Diz-se que V é a soma directa dos esaços W ; :::; W k e escreve-se V W ::: W k se V W + ::: + W k e W r \ kx W i f0g, ara todo o r ; :::; k: i ir 0

31 Teorema 9 (i) Sejam W e W subesaços de um esaço linear V Tem-se V W W se e só se todo o vector v V uder ser escrito de modo único na forma com w W e w W v w + w (ii) Sejam W ; :::; W k subesaços de um esaço linear V Tem-se V W ::: W k se e só se todo o vector v V uder ser escrito de modo único na forma com w i W i, ara todo o i ; :::; k Seja Então Logo Isto é v w + ::: + w k Teorema 0 Seja A M mn (R) Tem-se Dem Vejamos que ou seja Logo C(A) L(A T ) e L(A) \ N (A) f0g: N (A) \ C A T f0g : y N (A) \ C A T : Ay 0 e existe x tal que y A T x: y T x T Aey T y x T A y x T (Ay) x T 0 0: nx yi y T y 0 i y (y ; :::; y n ) (0; :::; 0) 0: N (A) \ L (A) N (A) \ C A T f0g : Observação 9 Seja A uma matriz do tio m n No róximo caítulo iremos ver que R n N (A) L(A) Observação 0 Seja A M mn (R) Se A 0 fôr a matriz em escada que se obtem de A or alicação do método de eliminação de Gauss, tem-se C(A) C(A 0 ) Teorema Seja A M mn (R) O esaço das linhas L(A) e o núcleo N (A) mantêmse invariantes or alicação do método de eliminação de Gauss Isto é, sendo A 0 a matriz em escada que se obtem de A or alicação desse método, tem-se L(A) L(A 0 ) e N (A) N (A 0 )

32 Indeendência linear De nição (i) Seja V um esaço linear Seja S fv ; :::; v k g V: Diz-se que o conjunto S é linearmente deendente se e só se algum dos vectores de S se escrever como combinação linear dos restantes, isto é, se e só se existir algum i f; :::; kg e escalares ; :::; i ; i+ ; :::; k R tais que v i v + ::: + i v i + i+ v i+ + ::: + k v k (ii) Seja V um esaço linear Seja S fv ; :::; v k g V: Diz-se que o conjunto S é linearmente indeendente se e só se nenhum dos vectores de S se uder escrever como combinação linear dos restantes, isto é, se e só a única solução do sistema homogéneo v + ::: + k v k 0 fôr a solução trivial, ou seja, ::: k 0 No caso em que V R n, sendo A a matriz cujas colunas são os vectores de S V, diz-se que S é linearmente indeendente se e só se N (A) f0g Teorema Seja A 0 uma matriz em escada de linhas (i) As colunas de A 0 que contêm ivots são linearmente indeendentes (ii) As linhas não nulas de A 0 são linearmente indeendentes (iii) O n o de linhas indeendentes e o n o de colunas indeendentes (de A 0 ) são ambos iguais à característica de A 0 Observação (i) Assim, atendendo ao teorema anterior, a indeendência linear de S fv ; v ; :::; v k g V (esaço linear) ode ser decidida alicando o método de eliminação à matriz A cujas colunas são os vectores de S, de modo a colocá-la em escada de linhas Sendo A 0 essa matriz em escada, tem-se N (A) N (A 0 ) (*) Uma vez que as colunas de A 0 que contêm ivots são linearmente indeendentes então, devido a (*), as colunas de A nas osições corresondentes também serão linearmente indeendentes (ii) Em R, quaisquer dois vectores são linearmente deendentes

33 (iii) Em R, dois vectores são linearmente indeendentes se não forem colineares (iv) Em R, três vectores são linearmente indeendentes se não forem colanares (v) Qualquer conjunto que contenha o vector nulo (elemento neutro) é linearmente deendente Em articular, o conjunto f0g, formado aenas elo vector nulo, é linearmente deendente (vi) O conjunto vazio? é linearmente indeendente Teorema Sejam S e S dois subconjuntos nitos de um esaço linear, tais que S S (i) Se S é linearmente deendente então S também é linearmente deendente (ii) Se S é linearmente indeendente então S também é linearmente indeendente Observação Sejam S e S dois subconjuntos nitos de um esaço linear, tais que S S (i) Se S fôr linearmente deendente então S tanto ode ser linearmente deendente como linearmente indeendente (ii) Se S fôr linearmente indeendente então S tanto ode ser linearmente deendente como linearmente indeendente Exemlo Seja S f(; 0; ); (; 0; ); (0; ; )g Tem-se A 0 0! 0 0! 0 0 L +L!L L 0 0 +L!L A 0 : Logo, como aenas existem dois ivots e ortanto uma variável livre, as três colunas de A são linearmente deendentes, isto é, o conjunto S é linearmente deendente O subconjunto de S: f(; 0; ); (; 0; )g também é linearmente deendente No entanto, uma vez que a a e a colunas de A são indeendentes ois corresondem às colunas da matriz em escada A 0 que contêm os ivots, o subconjunto de S: f(; 0; ); (0; ; )g é linearmente indeendente

34 Bases e dimensão de um esaço linear De nição Chama-se base de um esaço linear V a qualquer subconjunto B de V que veri que as duas condições: (i) B gera V, isto é, L(B) V: (ii) B é linearmente indeendente De nição Seja B fv ; :::; v k g uma base ordenada de um esaço linear V e seja u um vector de V Chamam-se coordenadas do vector u na base ordenada B aos escalares ; :::; k da combinação linear: u v + ::: + k v k Teorema Seja V um esaço linear (i) Um conjunto B de vectores não nulos de V é uma base de V se e só se todo o vector de V uder ser escrito de modo único como combinação linear dos vectores de B (ii) Se dim V n, então dados u; w V e B fv ; :::; v n g uma base ordenada de V, tem-se u w se e só se as coordenadas de u e de w na base B forem iguais Teorema Qualquer esaço linear V f0g tem elo menos uma base Teorema (i) Qualquer esaço linear V f0g tem um n o in nito de bases (ii) Seja V f0g um esaço linear Sejam ; q N tais que fu ; :::; u g é um conjunto gerador de V e fv ; :::; v q g é um subconjunto de V linearmente indeendente Então q: (iii) Todas as bases de um esaço linear V f0g têm o mesmo n o de vectores Dem (i) Se B fu ; :::; u k g fôr uma base de V então ara cada 0 o conjunto fu ; :::; u k g é também uma base de V (ii) Suonhamos que < q Neste caso, como todos os vectores do conjunto fv ; :::; v q g são não nulos or serem LI, oderíamos substituir sucessivamente os vectores do conjunto fu ; :::; u g gerador de V or vectores do conjunto fv ; :::; v q g, ermitindo assim escrever cada vector do conjunto fv + ; :::; v q g como combinação linear do novo conjunto gerador de V : fv ; :::; v g e contrariando o facto dos vectores do conjunto fv ; :::; v q g serem linearmente indeendentes

35 Demonstração alternativa de (ii) Suonhamos que < q Como fu ; :::; u g gera V, ara cada j ; :::; q existem escalares a j ; :::a j tais que v j X a ij u i : i Seja A (a ij ) q Como < q, o sistema homogéneo A 0 é ossível e indeterminado Seja [ ::: q ] T 0 uma solução não nula de A 0, isto é, qx a a q 0 a ij j + ::: + q j a com os j escalares não todos nulos Por outro lado, a q qp a j j qp a j j j j qx j v j j qx j j X X a ij u i i i! qx a j j u + ::: + j 0u + ::: + 0u 0! qx a ij j u i j! qx a j j u j com os j não todos nulos, contrariando o facto dos vectores do conjunto fv ; :::; v q g serem linearmente indeendentes (iii) Sendo fv ; :::; v q g e fu ; :::; u g duas bases de V, or (i) tem-se q e q Logo q: De nição Chama-se dimensão de um esaço linear V f0g ao n o de vectores de uma base qualquer de V, e escreve-se dim V Se V f0g então dim V 0 uma vez que o conjunto vazio? é base de f0g Um esaço linear terá dimensão nita se uma sua base tiver um n o nito de vectores Observação A dimensão de um esaço linear, isto é, o n o de elementos de uma sua base é igual ao n o mínimo de vectores ossam constituir um conjunto gerador desse esaço e é também igual ao n o máximo de vectores que ossam constituir um conjunto linearmente indeendente nesse esaço Exemlo (i) O conjunto fg é uma base de R, chamada base canónica ou natural de R Logo, dim R (ii) O conjunto f(; 0); (0; )g é uma base de R, chamada base canónica ou natural de R Logo, dim R

36 (iii) O conjunto f(; 0; 0); (0; ; 0); (0; 0; )g é uma base de R, chamada base canónica ou natural de R Logo, dim R (iv) Considerando C como coro de escalares: (a) o esaço linear C tem dimensão sendo fg a base canónica de C uma vez que a + bi (a + bi) (b) o esaço linear C tem dimensão sendo f(; 0) ; (0; )g a base canónica de C uma vez que (a + bi; c + di) (a + bi) (; 0) + (c + di) (0; ) (v) Considerando R como coro de escalares: (a) o esaço linear C tem dimensão sendo f; ig a base canónica de C uma vez que com a; b R a + bi a + bi (b) o esaço linear C tem dimensão sendo f(; 0) ; (i; 0) ; (0; ) ; (0; i)g a base canónica de C uma vez que com a; b; c; d R (vi) O conjunto ; (a + bi; c + di) a (; 0) + b (i; 0) + c (0; ) + d (0; i) 0 0 ; ; ; ; 0 0 é uma base de M (R), chamada base canónica ou natural de M (R) Logo, dim M (R) (vii) Tem-se dim R n n e dim M mn (R) mn (viii) O conjunto f; t; t ; :::; t n g é uma base de P n (esaço linear de todos os olinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n), chamada base canónica ou natural de P n Logo, dim P n n + (ix) O conjunto f; t; t ; :::g é uma base de P (esaço linear de todos os olinómios reais de variável real), chamada base canónica ou natural de P Logo, dim P

37 Teorema Sejam V um esaço linear de dimensão nita e W um subesaço de V (i) Seja S fu ; :::; u k g V Se S é linearmente indeendente então S será um subconjunto de uma base de V e ter-se-á dim V k (ii) Se dim V n, então quaisquer m vectores de V, com m > n, são linearmente deendentes (iii) Se dim V n, então nenhum conjunto com m vectores de V, em que m < n, ode gerar V (iv) O subesaço W tem dimensão nita e dim W dim V (v) Se dim W dim V, então W V (vi) Se dim V n, então quaisquer n vectores de V linearmente indeendentes constituem uma base de V V (vii) Se dim V n, então quaisquer n vectores geradores de V constituem uma base de Exemlo (i) Os seguintes conjuntos são todos os subesaços de R: f0g e R (ii) Os seguintes conjuntos são todos os subesaços de R : f(0; 0)g, todas as rectas que contêm a origem e R (iii) Os seguintes conjuntos são todos os subesaços de R : f(0; 0; 0)g, todas as rectas que contêm a origem, todos os lanos que contêm a origem e R Observação O método de eliminação de Gauss ermite determinar a dimensão e uma base ara o esaço das linhas L(A) de uma matriz A Seja A 0 a matriz em escada que se obtem de A or alicação do método de eliminação de Gauss Assim, uma base ara L(A) será formada elas linhas não nulas de A 0 Teorema 8 Seja A uma matriz do tio m n A dimensão de L(A) é igual à característica de A, isto é dim L(A) car A Teorema 9 Seja A uma matriz do tio m n Tem-se dim C(A) dim L(A) car A

38 Dem Suonhamos que car A k Sendo A 0 a matriz m n em escada (reduzida) de linhas, então A 0 tem exactamente k linhas não nulas Sejam R ; :::; R k essas linhas Como L(A) L(A 0 ); então as linhas L ; :::; L m de A odem ser exressas como combinações lineares das linhas R ; :::; R k, ou seja, existem escalares c ij ; com i ; :::; m e j ; :::; k tais que L c R + ::: + c k R k ::: L m c m R + ::: + c mk R k Para i ; :::; m, sejam a ij e r ij as comonentes j das linhas L i e R i resectivamente Assim, tem-se a j c r j + ::: + c k r kj ::: a mj c m r j + ::: + c mk r kj ou seja, matricialmente, Como a j a mj geram C (A) Logo, tem-se a j a mj r j c c m + ::: + r kj c k c mk é a coluna j de A, a última igualdade mostra que os vectores c c m ; :::; c k c mk dim C (A) k dim L (A) Deste modo, substituindo A or A T tem-se também dim C A T dim L A T : {z } {z } dim L(A) dim C(A) Ou seja, tem-se e Isto é, dim C (A) dim L (A) dim L (A) dim C (A) : dim C (A) dim L (A) 8

39 Observação Atendendo ao teorema anterior tem-se car A car A T uma vez que car A dim L (A) dim C (A) dim L A T car A T Observação O método de eliminação de Gauss ermite determinar a dimensão e uma base ara o esaço das colunas C(A) de uma matriz A Seja A 0 a matriz em escada que se obtem de A or alicação do método de eliminação de Gauss Assim, uma base ara C(A) será formada elas colunas de A que corresondem às osições das colunas de A 0 que contêm os ivots Teorema 0 Seja A uma matriz do tio m n A dimensão de N (A) é igual à nulidade de A, isto é dim N (A) nul A Dem Como nul A é igual ao n o total de variáveis livres associadas a N (A) e constituindo um conjunto linearmente indeendente os vectores a elas associados, tem-se dim N (A) nul A uma vez que dim N (A) é o número máximo de vectores que odem constituir um conjunto linearmente indeendente de vectores de N (A) Por outro lado, como os vectores associados às variáveis livres de N (A) constituem um conjunto gerador de N (A) então dim N (A) nul A uma vez que dim N (A) é o número mínimo de vectores que odem constituir um conjunto gerador de N (A) Logo dim N (A) nul A Exemlo Seja A A! L +L!L L +L!L Tem-se ! L +L!L A 0 Logo, f(; ; ; ); (0; 0; ; )g é uma base de L(A) e f(; ; ); (; ; )g é uma base de C(A) Assim, dim L(A) dim C(A) e Por outro lado, L(A) L (f(; ; ; ); (0; 0; ; )g), C(A) L (f(; ; ); (; ; )g) 8 >< N (A 0 ) (x; y; z; w) R : A 0 >: 9 x y z w > >;

40 f(x; x; w; w) : x; w Rg L (f(; ; 0; 0); (0; 0; ; )g) Como o conjunto f(; ; 0; 0); (0; 0; ; )g é linearmente indeendente e gera N (A 0 ) então é uma base de N (A 0 ) Finalmente, uma vez que N (A) N (A 0 ), o conjunto f(; ; 0; 0); (0; 0; ; )g é uma base de N (A) e ortanto dim N (A), com N (A) L (f(; ; 0; 0); (0; 0; ; )g) Exemlo Seja S f; ; ); (; ; ); ( ; ; ); (0; ; 0)g R : Determinemos uma base ara L(S) Considerando a matriz cujas colunas são os vectores de S, tem-se 0 0 0! 0 0! 0 0 L 0 +L!L L L +L!L L!L Logo, S 0 f; ; ); (; ; ); (0; ; 0)g é uma base de L(S) Como dim R, então tem-se mesmo: L(S) R e S 0 é uma base de R Resolução alternativa: Considerando a matriz cujas linhas são os vectores de S, tem-se! 0 L +L!L 0 0 0! 0 L $L 0 0! 0 L +L!L 0 0 L 0 0 +L!L Logo, S 0 f; ; ); (0; ; ); (0; 0; )g é uma base de L(S) Como dim R, então tem-se mesmo: L(S) R e S 0 é uma base de R Exemlo Seja S a;b f; 0; ); (0; ; a); (; ; b); (; ; )g R : Determinemos os valores dos arâmetros a e b ara os quais S a;b não gere R Considerando a matriz cujas colunas são os vectores de S, tem-se ! 0! 0 L a b +L!L al 0 a b 0 +L!L 0 0 b a a Logo, S a;b não gera R se e só se b a 0 e a 0, isto é, se e só se a 0 e b Teorema (i) Seja A M mn (R) As colunas de A geram R m se e só se car A m: 0

41 (ii) Seja A M mn (R) As colunas de A são linearmente indeendentes se e só se car A n: (iii) Seja A M nn (R) A matriz A é invertível se e só se as colunas de A (ou as linhas de A) formarem uma base de R n No caso de A ser invertível tem-se C(A) L(A) R n Teorema Seja A M mn (R) e considere o sistema de equações lineares Au b (i) O sistema Au b é imossível (não tem solução) se e só se b C(A), isto é, se e só se car A < car [A j b] (ii) O sistema Au b é ossível e indeterminado (tem um n o in nito de soluções) se e só se b C(A) e as colunas de A forem linearmente deendentes, isto é, se e só se car A car [A j b] < n; isto é, se e só se car A car [A j b] e nul A 0: (iii) O sistema Au b é ossível e determinado (tem uma única solução) se e só se b C(A) e as colunas de A forem linearmente indeendentes, isto é, se e só se car A car [A j b] n; isto é, se e só se car A car [A j b] e nul A 0: Teorema Sejam W e W dois subesaços de dimensão nita de um esaço linear V Então, dim (W + W ) dim W + dim W dim (W \ W ), Dem Sejam n dim W ; m dim W e k dim (W \ W ) : Se k 0 a igualdade do teorema é imediata Se k 0, seja fw ; :::; w k g uma base de W \W Sejam u k+ ; :::; u n W tais que fw ; :::; w k ; u k+ ; :::; u n g é uma base de W Sejam v k+ ; :::; v m W tais que fw ; :::; w k ; v k+ ; :::; v m g

42 é uma base de W Vejamos que B fw ; :::; w k ; u k+ ; :::; u n ; v k+ ; :::; v m g é uma base de W + W Seja w W + W Existem u W e v W tais que w u + v Ou seja, existem escalares (únicos) ; :::; n e ; :::; m tais que w u + v kx nx mx ( i + i ) w i + j u j + l v l i jk+ lk+ elo que B gera W + W Sejam ; :::; n ; k+ ; :::; m n + m k escalares tais que 0 kx nx mx i w i + j u j + l v l ; i jk+ lk+ isto é,! mx kx nx l v l i w i + j u j W, lk+ i jk+ ou seja mx l v l W \ W : lk+ Atendendo a que fw ; :::; w k g é base de W \ W, existem escalares ; :::; k tais que mx lk+ l v l kx i w i, i isto é, kx i w i + i mx lk+ ( l ) v l 0: Como fw ; :::; w k ; v k+ ; :::; v m g é uma base de W, tem-se Logo 0 kx i w i + i ::: k k+ ::: m 0 nx jk+ j u j + mx lk+ l v l kx i w i + i nx jk+ j u j Assim, como fw ; :::; w k ; u k+ ; :::; u n g é uma base de W, tem-se ::: n 0 Deste modo, como ::: n k+ ::: m 0 então o conjunto B é linearmente indeendente