Exercícios de Álgebra Linear

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1 Exercícios de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente Mestrado Integrado em Engenharia Biológica Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Setembro de

2 Índice a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Sistemas de equações lineares) Resolução da a cha de exercícios a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Matrizes) Resolução da a cha de exercícios9 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Determinante) Resolução da a cha de exercícios8 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Espaços lineares) Resolução da a cha de exercícios a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Transformações lineares)8 Resolução da a cha de exercícios a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Valores próprios e vectores próprios)9 Resolução da a cha de exercícios8 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Produtos internos e ortogonalização) Resolução da a cha de exercícios a Ficha de exercícios facultativos Resolução da a Ficha de exercícios facultativos9 a Ficha de exercícios facultativos Resolução da a Ficha de exercícios facultativos a Ficha de exercícios facultativos Resolução da a Ficha de exercícios facultativos a Ficha de exercícios facultativos Resolução da a Ficha de exercícios facultativos

3 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Sistemas de equações lineares) Quais das seguintes equações são equações lineares em x; y e z? (a) x + p y + z (b) x + z (c) x + y z (d) x yz Diga qual dos seguintes pontos: (; ) ; (; ) ; (; ) ; ( ; ) é a solução do seguinte sistema de equações lineares nas variáveis x; y 8 < : x + y x y x y Diga quais dos seguintes pontos: (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; ; 9; ; do sistema de equações lineares nas variáveis x; y; z e w x y z x + y + z p são soluções Determine valores para x; y; z e w de modo a que nas reacções químicas seguintes os elementos químicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equação (a) xc H 8 + yo zco + wh O (b) xco +yh O zc H O + wo Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando o método de eliminação de Gauss x + y x + y x y (a) (b) (c) x + y x + y x + y 8 8 < x + y z < x + y z (d) x y + z (e) x y + z : : x y z x y + z 8 < (f) : 8 < (h) : 8 >< (j) >: x + y + z x + y + 8z x + y + z x + y z + w x + y + z + w 9 x + y z + 8w x + x x x + 9x x + x x + x x + x x 8 < (g) : 8 < (i) : x + y x y x + y x + y + z w x y + z + w x + y + z w 8 < x y + z w (k) x y + z + w : x + y 9z + w Discuta em função do parâmetro real os seguintes sistemas de equações lineares (nas variáveis x; y e z) quanto à existência ou não de solução (isto é, determine os valores (reais) de para os quais os seguintes sistemas de equações lineares: (i) tenham solução única, (ii) não tenham solução, (iii) tenham mais do que uma solução) Nos casos em que existirem soluções, determine-as

4 8 < (a) : 8 < (d) : x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z (b) x + y + z x + y + 8z 8 < x + y + z (c) x + y + z : x + y z 8 < x + y + z (e) x + y z : x + y + z + Discuta a existência ou não de solução dos seguintes sistemas de equações lineares em termos dos parâmetros reais e Nos casos em que existirem soluções, determine-as 8 8 z + w 8 < x + y + z >< < x + y z + w x + y + z + w (a) x + y z (b) (c) x y + z + w : x + y + z + w : x + y + z >: x y + z + ( + ) w x + y + z + w 8 Determine as condições a que a; b e c devem obedecer de forma a que os seguintes sistemas de equações lineares tenham solução: 8 8 < x + y z a < x y + z a (a) x y + z b (b) x + y z b : : x y + 8z c x + y + z c 9 Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja: (a) S f( + t; (b) S f(t; t) : t Rg t; ) : t Rg (c) S f(t; t; t) : t Rg (d) S f(t s; t + s ; s t + ) : s; t Rg (e) S f(t s; t + s ; s + ; t ) : s; t Rg (f) S f( s; s t; s; t ) : s; t Rg (g) S? (i) Determine os coe cientes a; b; c e d da função polinomial p(x) ax + bx + cx + d; cujo grá co passa pelos pontos P (; ); P (; ); P (; ) e P (; ) (ii) Determine os coe cientes a; b e c da equação da circunferência x + y + ax + by + c ; que passa pelos pontos P ( ; ); P ( ; ) e P (; )

5 Resolução da a Ficha de exercícios As equações das alíneas (a) e (b) são lineares O ponto (; ) é a solução desse sistema de equações lineares Os pontos: (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; ; 9; ; p são soluções desse sistema de equações lineares (a) 8 < Tem-se : x z y z w 8x w e assim, 8 8 x < x z >< w Logo, y z w, y : w 8 z w >: z w A solução geral do sistema é: X dado por: S s; s; s; s : s R x y z w j j 8 j s s s s 8 L +L L j j 8 j, para qualquer s R, isto é, o conjunto solução é Para s, tem-se a seguinte solução da equação química: x ; y ; z ; w : 8 < (b) Tem-se : j j j x z x + y z w y z 8 < x z Logo, y + z w : z + w L +L L 8 <, : e assim, j j j L +L L j j j x w y w A solução geral do sistema é S s; s; s; s : s R z w Para s, tem-se a seguinte solução para a equação química: x ; y ; z ; w : :

6 j (a) j L +L L j j x + y Logo, y, x y A solução geral do sistema é S f(; )g (b) j j L +L L j j Logo, x + y, x y A solução geral do sistema é S f( s; s) : s Rg (c) S? j j L +L L j j Logo, o sistema não tem solução (é impossível) (d) j j j L +L L 8 < Logo, : L +L L L +L L j j j x + y z y + z z 8 < x, y : z j j j L +L L A solução geral do sistema é S f(; ; )g (e) j j j L +L L L +L L j j 8 j 9 Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S? L +L L j j j 8 (f) j 8 j j L +L L L +L L j j 8 j 8 L +L L j j j Logo, x + y + z y + z, x z y z + A solução geral do sistema é S f( s ; s + ; s) : s Rg

7 (g) j j j L $L j j j L +L L L +L L j j 8 j 8 8 L +L L j j j Logo, x y y, x y A solução geral do sistema é S f(; )g (h) j j 9 8 j L +L L L +L L j j j L +L L j j j x + y z + w Logo, z w, x y w + z w + A solução geral do sistema é S s t + ; s; t + ; t : s; t R (i) j j j L +L L L +L L L +L L j j j Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S? j j 8 j L +L L (j) L +L L L +L L j 9 j j j j j j j j j j j L $L 8 < x + x x + x Logo, x x + x : x + x L L L +L L j 9 j j j 8 x 9 9x ><, x x >: j j j j x x + L +L L L +L L

8 A solução geral do sistema é dada por S 9 9s; s ; s + ; s : s R (k) j j 9 j L +L L L +L L j 8 j j Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S? (a) Sejam A [A j B] L +L L L +L L j j j e B L $L j j j j j j L +L L L +L L L +L L j j ( ) ( + ) j Se então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z A solução geral deste sistema é então dada por S f( s t; s; t) : s; t Rg Se então car A {z } < car [A j B] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S {z }? Se e então car A car [A j B] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z ( ) y + ( ) z ( ) ( + ) z A solução geral do sistema é então dada por S, : x ( + ) y ( + ) z ( + ) + ; + ; + (b) Sejam A [A j B] 8 j 8 j e B j L +L L 8 j 8

9 Se então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se 8 >< x ( + ) z x + y + z ( ) y + (8 ) z, >: y + z A solução geral deste sistema é então dada por S ( + ) s; + s; s : s R Se então car A {z } < car [A j B] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S {z }? (c) Sejam A L +L L L +L L e B j j j [A j B ] L +L L j j j j j + j L +L L L +L L Se então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se 8 < x z x + y + z, y z : y + z A solução geral deste sistema é então dada por S f(8 + ( ) s; + ( ) s; s) : s Rg Se então car A car [A j B ] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < x + y + z < x + y + ( ) z, y : : ( + ) z z A solução geral do sistema é então dada por S f( + ; ; )g (d) Sejam A L $L j j j e B L +L L L +L L [A j B ] j j j 9 j j j L +L L L $L

10 L +L L j j ( ) ( ) ( + ) j ( + ) ( ) Se então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z A solução geral deste sistema é então dada por S f( s t; s; t) : s; t Rg Se então car A {z } < car [A j B ] O sistema não tem solução (é impossível) S {z }? Se e então car A car [A j B ] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z ( ) y + ( ) z ( ) ( ) ( + ) z ( + ) ( ) A solução geral do sistema é então dada por S (, : x ( + ) ( + ) y ( + ) z ( + ) ( + ) ) + + ; ( + ) ; < x + y + z (e) x + y z : x + y + z + [A j B] j j j + Sejam A L +L L L +L L e B + j + j + ( ) ( + ) j + Se então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível : e indeterminado, tendo-se x + y + z y : A solução geral deste sistema é então dada por, x z y : S f(s; ; s) : s Rg : Se então então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y z x y, z : z : A solução geral deste sistema é então dada por S f(s ; s; ) : s Rg :

11 Se então car A {z } < car [A j B] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) {z } S?: Se e e então car A car [A j B] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z ( + ) y + ( ) ( + ) z +, : x ( + ) y z ( + ) A solução geral do sistema é então dada por S + ; ; : + (a) Sejam A L +L L L +L L e B j 8 j j L +L L [A j B ] j j j j 8 j j L +L L L +L L Se e então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z x + 9z, y 8z y 8z A solução geral deste sistema é então dada por S ; f( + 9s; 8s; s) : s Rg Se e S ;? então car A {z } < car [A j B ] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) {z } Se então car A car [A j B ] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z y 8z ( ) z, : x ( 9 + ) ( ) y ( 8 + ) ( ) z ( ) ( ) 9 + A solução geral do sistema é então dada por S ; ; 8 + ;

12 (b) Sejam A L $L L +L L L +L L L $L j j j j L $L j j j j j j j j e B : [A j B ] j j j j L +L L L +L L ( )L +L L L +L L L +L L j j j j j j j j L $L j j j j ( ) + L $L Se ( ) então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se 8 < 8 < x y : x + y + z + w z w w, : z w A solução geral deste sistema é então dada por S ; f( s; s; ; ) : s Rg : Se ( S ;? ) então car A {z } < car [A j B ] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) {z } (c) Sejam A L $L (+)L +L L + + j j j e B L +L L L +L L + j j ( ) j + : [A j B ] j j + j + j j + j L $L (+)L +L L Se e então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se

13 8 < : x y + z + ( + ) w y + z w ( ) w + + ( ) A solução geral do sistema é então dada por ( + ( + ) S ; + ( ) 8 >< x + +, + y z + >: w + + ( ) ; s + + ; s; (+) ( ) ) + ( ) + : Se e então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x y + z + w x w, y + z y z A solução geral deste sistema é então dada por S ; f( s; t; t; s) : s; t Rg Se ( e ) ou impossível) S ;? então car A {z } < car [A j B ] Logo, o sistema não tem solução (é {z } 8 (a) Sejam A L +L L L +L L 8 j a j b a j c a e B a;b;c a b c L +L L : [A j B a;b;c ] j a j b 8 j c j a j b a j c b + a Para que haja solução é necessário que car A car [A j B a;b;c ], isto é, é necessário que c b + a : L +L L L +L L (b) Sejam A L +L L L +L L j a 9 j b a j c a e B a;b;c a b c L +L L : [A j B a;b;c ] j a j b j c j a 9 j b a j c b a Como car A car [A j B a;b;c ], este sistema tem solução para quaisquer valores de a; b; c L +L L L +L L

14 9 (a) Sejam x + t e y t Logo x + y : (b) Sejam x t, y t e z Tem-se então o seguinte sistema: 8 < x + y : z (c) Sejam x t, y t e z t Tem-se então o seguinte sistema: 8 < x z : y z (d) Sejam x t s, y t + s e z s t + Logo s t x e assim y t + (t x) t x, t y + x + : Deste modo: s y + x + Com s y x + Tem-se então a seguinte equação linear: x y x + e t y + x + Isto é: z s t + y x + x y + z 8 y + x + + (e) Sejam x t s, y t + s, z s + e w t Logo t w + e s z Assim: 8 >< x (w + ) z >: y w + + z

15 Deste modo, obtém-se o sistema de equações lineares: 8 < x + z w : y z w (f) Seja S f( s; s t; s; t ) : s; t Rg Sejam x s, y s t, z s, w t Uma vez que s x e t w +, tem-se então o seguinte sistema linear não homogéneo y x (w + ) z ( x), x + y + w x + z (g) Por exemplo: 8 < : x + y x + y (i) Para que o grá co da função polinomial p(x) ax + bx + cx + d passe pelos pontos P (; ); P (; ); P (; ) e P (; ), é necessário que 8 >< >: p() p() p() p() O que é equivalente a existir solução para o seguinte sistema de equações lineares nas variáveis a; b; c e d: 8 d >< a + b + c + d a + 9b + c + d >: a + b + c + d Ou seja: 8> < Atendendo a que: j 9 j j >: d a + b + c a + 9b + c a + b + c L +L L L +L L j 8 j j L L

16 tem-se L L j j j 8 >< >: L +L L a b c d j j j ; (ii) Para que os pontos P ( ; ); P ( ; ) e P (; ) pertençam à circunferência de equação x + y + ax + by + c ; é necessário que 8 < : ( ) + + a ( ) + b + c ( ) + + a ( ) + b + c + ( ) + a + b ( ) + c O que é equivalente a existir solução para o seguinte sistema de equações lineares nas variáveis a; b e c: 8 < a + b + c a + b + c : a b + c Atendendo a que: j j j L +L L L +L L j 9 j j 9 L +L L j 9 j 9 j 9 ; tem-se 8 < : a b c 9

17 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Matrizes) Efectue, sempre que possível, as seguintes operações (i) (ii) + (iii) (iv) (v) p (vii) p A (ix) (x) T T 8 9 (xi) C A p (vi) p T T T Determine as características e as nulidades das seguintes matrizes reais, identi cando os respectivos pivots (i) (ii) (iii) (iv) 8 9 (v) (viii) (vi) (ix) (x) (vii) 8 8 Seja R Em função do parâmetro, calcule a característica e a nulidade das seguintes matrizes Em cada alínea, indique ainda (se existirem), justi cando, os valores de para os quais essas matrizes são invertíveis: (i) (iv) (ii) (v) (iii) (vi) +

18 Determine (se existirem) as inversas das seguintes matrizes (i) (ii) (iii) [] (iv) (vi) (ix) (xi) (vii) k k k k 8 Seja A ; 8, com k (x) (v) cos (viii) sen k k k k, com ; R: (xii) 8 9 sen cos, com k ; k ; k ; k (a) Determine a característica e a nulidade de A ; em função de e (b) Determine os valores dos parâmetros e para os quais A ; é invertível Seja A 8, com R (a) Determine a característica e a nulidade de A em função do parâmetro e diga, justi cando, quais são os valores de para os quais A é invertível (b) Para ; determine a inversa da matriz A a Seja B a;b a a b, com a; b R: (a) Determine a característica e a nulidade de B a;b em função de a e b (b) Para a e b calcule a matriz inversa da matriz B ;, isto é, (B ; ) (c) Determine a solução geral do sistema linear B ; X C, C T (d) Para b, determine a solução geral do sistema linear B a; X D, em que D é o simétrico da a coluna de B a; 8

19 (i) Resolução da a Ficha de exercícios [ ] (ii) Não é possível (iii) p p 8 p (iv) (v) Não é possível (vi) Não é possível (vii) p p p p p A T p p p (ix) T 8 9 C A T (x) T 8 (xi) T 8 (i) Seja A car A ; nul A Não existem pivots 9

20 (ii) Assim, sendo A L +L L, tem-se car A e nul A Pivots: e (iii) L $L Assim, sendo A L +L L L +L L L $L, tem-se car A e nul A Pivots: e (iv) 8 9 Assim, sendo A L +L L 9L +L L L +L L 8, tem-se car A e nul A Pivots: e (v) L +L L L $L Assim, sendo A L +L L L +L L, tem-se car A e nul A Pivots: ; e (vi) 9 8 L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L

21 L +L L L +L L Assim, sendo A L +L L 9 8, tem-se car A e nul A Pivots: ; ; e (vii) Assim, sendo A L +L L L +L L L +L L L +L L, tem-se car A e nul A Pivots: e (viii) Sendo A, tem-se car A e nul A Pivots: e (ix) 9 L $L Assim, sendo A 9 9 L +L L L +L L, tem-se car A e nul A Pivot: (x) 8 8 Assim, sendo A L +L L L +L L 8 8 8, tem-se car A e nul A Pivot: (i) L +L L + L +L L +

22 Seja A Se então car A e nul A Se então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se, uma vez que é só neste caso que car A n o de colunas de A (ii) Seja A L +L L L +L L + + Se ou então car A e nul A L +L L Se e então car A e nul A + ( + ) + Assim, A é invertível se e só se e, uma vez que é só neste caso que car A n o de colunas de A (iii) + Seja A + L +L L Se então car A e nul A + + Se e então car A e nul A L +L L Se então car A e nul A ( ) ( + ) + ( + ) Assim, A é invertível se e só se colunas de A e, uma vez que é só neste caso que car A n o de (iv) Seja A L +L L L +L L + L +L L Se ou então car A e nul A +

23 Se e então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se e colunas de A, uma vez que é só neste caso que car A n o de (v) Seja A L +L L L +L L Se então car A e nul A Se e então car A e nul A ( ) ( + ) ( ) Se então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se e colunas de A, uma vez que é só neste caso que car A n o de (vi) Seja A L +L L L +L L L +L L Se então car A e nul A Se então car A e nul A Se então car A e nul A + ( ) ( + ) ( ) ( + ) Se então car A e nul A Se e e então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se e colunas de A, uma vez que é só neste caso que car A n o de (i) j j j L $L j Logo

24 (ii) (iii) [] [] (iv) j j j L +L L j Logo j L +L L j L L j j L +L L (v) L +L L Logo, j j 8 9 j 8 9 L +L L L +L L j j j j j j é singular e como tal não é invertível L +L L (vi) L +L L Logo j j j L +L L j j j L L L L j j j L +L L j j j (vii) j j 8 j L +L L L +L L j 8 j j L +L L

25 L +L L L +L L L +L L L +L L Logo j 8 j j j j 8 j j 8 j 8 L L j j j j 8 j 8 j 8 j 8 j j 8 L L j j j j 8 L +L L L +L L L +L L (viii) Para k ; (k Z) cos sen j sen cos j L +L L cos cos sen j cos (cos )L L sen sen cos j sen (sen )L L j cos sen sen sen cos j sen ( sen )L +L L j cos sen ( sen )L +L L sen cos j sen cos sen ( sen ) sen cos L L cos Logo sen j cos sen j sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos L L L +L L Note que sen cos para todo o k ; (k Z), para todo o k ; (k Z) Se + k; (k Z) ; cos sen sen cos cos sen sen cos

26 Se k; (k Z), cos sen sen cos cos sen sen cos Se + k; (k Z) ; cos sen sen cos cos sen sen cos Se + k; (k Z), cos sen sen cos cos sen sen cos Logo, para todo o R cos sen sen cos cos sen sen cos (ix) Seja k k j k j k j k j k L +L L k L L Logo k k k k k L +L L k L L k L L j k k j k j k k k j k k k j k j k j k k j k k k k k k k k k k k k k L +L L k L L k L +L L k L L j k j k k j k k k j k k k k (x) Sejam k ; k ; k ; k

27 k j k j k j k j k L L L k L L k L L k L Logo L $L L $L j k j k j k j k k k k k k k j k j k j k j k k k k L L k L L L k L L k L (xi) j j j j j j 8 j L +L L L +L L L +L L 8 L $L 8 j j j j 9 j j j : j j j j 8 j j 8 j L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L

28 L +L L L +L L L L L L L L L L L +L L L +L L L +L L L +L L Logo j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j L L L L L L L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L 8 8 j j j j j j j C A 8

29 (xii) j j j j j j j L +L L L +L L L +L L L $L L L L L L +L L L $L j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j L $L L L L L L +L L 9

30 Logo C A A ; L +L L L +L L L +L L L $L L +L L L +L L Se e então car A e nul A + + Se ( e ) ou ( e ) então car A e nul A Se e então car A e nul A L +L L L +L L L +L L Assim, A ; é invertível se e só se colunas de A ; e, uma vez que é só neste caso que car A ; n o de (a) Tem-se A 8 L +L L L +L L L +L L Logo, como car A + nul A, se então car A e nul A ; se então car A e nul A ; se então car A e nul A ; se e e então car A e nul A ( ) ( ) ( + ) ( ) :

31 Assim, A é invertível se e só se Rn f colunas de A ; ; g, uma vez que é só nestes casos que car A n o de (b) A j I Logo j j 8 j j L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L j j j j (A ) j j j j L L L L L +L L L +L L L +L L j j j j : (a) B a;b L $L a a b a a a a b L $L L +L L L +L L a a a b a a a b b L $L Se a ou ( a e b ) então car B a;b e nul B a;b Se a e b então car B a;b e nul B a;b (b) [B ; j I] L +L L L +L L j j j j j j j j L $L L +L L L +L L j j j j L +L L L +L L j j j j L L L L

32 L L L L Logo (B ; ) j j j j L +L L j j j j (c) Como B ; é invertível, B ; X C, X (B ; ) C, X 9 9 : (d) Seja X (x ; x ; x ; x ) B a; X D, A solução geral de B a; X D é dada por: a a a x x x x a a (Solução particular de B a; X D) + (Solução geral de B a; X ) O vector (; ; ; ) é uma solução particular de B a; X D Determinemos a solução geral de B a; X a a Tem-se a a a L +L L L $L L +L L L $L L $L L $L a a a L $L 8 < x + x + ax Logo, x + x : ax ax + x a a a a 8 x x ><, x + a x >: x ax

33 Assim, a solução geral de B a; X é dada por: ( s; + a s; s; as) : s R Logo, a solução geral do sistema linear B a; X D é dada por: f(; ; ; )g + s; + a s; s; as : s R s; + a s; s ; as : s R Resolução Alternativa [B a; j D] L $L L $L a j a a j a j a j a j a j a a j j L +L L L +L L L $L 8 >< x + y + aw Tem-se então y + z >: aw az + w a a j a a j j j a j a j a j a j 8 >< x z a, y >: + (z + ) w a az L $L L $L Logo, a solução geral do sistema linear B a; X D é dada por: a s ; + (s + ) ; s; a as : s R s; + a s; s ; as : s R :

34 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Determinante) Classi que quanto à paridade as seguintes permutações de números de a : (i) () (ii) () (iii) () (iv) () (v) () (vi) () (vii) () (viii) () Na expressão do determinante de uma matriz do tipo diga qual o sinal que afecta cada uma das seguintes parcelas: (i) a a a a a a (ii) a a a a a a (iii) a a a a a a (iv) a a a a a a Veri que que a (i) a a a a a a a a (ii) a a a a a a a a a a a a a a Calcule os seguintes determinantes e diga quais são as matrizes singulares: (i) (ii) (iii) + p p + p p (iv) cos sen sen cos (v) (vi) 8 8 (vii) (viii) (ix) (x) (xi) (xii) (xiii) 8 a b (xiv) b a (xv) (xvi) b a b a b a Que condições devem os parâmetros reais a; b e c veri car para que a matriz a a b b c c seja invertível?

35 Veri que que a matriz a e b f c g d h não é invertível para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h R Determine todos os valores do escalar para os quais a matriz A I é singular, onde A é dada por: (i) (ii) 8 Use a fórmula de inversão de matrizes para inverter: (i) (ii) (iii) 9 Sejam A 9 B Sem calcular A e B, determine a entrada (; ) de A e a entrada (; ) de B Use a regra de Cramer para calcular as soluções dos sistemas: 8 < x + y x + y (i) (ii) x + z x + y : x + y + z Sejam C e D 9 8 Veri que que C e D são invertíveis e calcule: (i) det (C ) (ii) det C (C) (iii) det C T (tr C) C (iv) det C T tr C T C (v) det C T D D T C Sugestão: Sejam m N, escalar, A; B e S matrizes n n com S invertível, tem-se (a) det (AB) (det A) (det B) (b) det (B) n det B (c) det A T det A (d) det (A ) det A (e) tr B tr BT (f) (B) T B T (g) S m (S ) m a b c Sejam a; b; c; d; e; f R Sabendo que d e f ; calcule: g h i

36 d e f (i) g h i a b c (iv) (ii) a b c d a e b f c g h i a b c d e f g h i (v) (iii) a g d b h e c i f a + d b + e c + f d e f g h i a b c Sejam a; b; c R Sabendo que ; calcule: a b c a b c (i) (ii) a + b + c (iii) a + b + c + (iv) a + b + c + Sejam ; R Sabendo que ; calcule + Seja R Veri que que a b c + Seja R Calcule o determinante da seguinte matriz do tipo n n : : : + : : : + + : : : + Veri que que x y y x x y (y x ) (y x ) 8 Mostre que: a b a + b + c (i) a b a + b + c a b a + b + c a b c a b c a b c (ii) b + c c + a b + a a b c

37 (iii) a + b a b c a + b a b c a + b a b c a b c a b c a b c 9 Veri que que a + b c + d a + b c + d a c a c + a c b d + b d a c + b d b d : Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que para x e x se tem x x Sem calcular o determinante, diga qual o coe ciente de x na expressão x x x x 9 8 x Resolva as seguintes equações x (i) (ii) x x x x x x x x x x x x x (iii) x x x x Sabendo que ; e 8 são múltiplos de, justi que que é também múltiplo de, 8 sem calcular o determinante 8 Sem calcular o determinante, veri que que é múltiplo de Seja A (a ij ) nn com n ímpar e tal que a ij + a ji, para todos os i; j ; :::; n: Mostre que A não é invertível

38 Resolução da a Ficha de exercícios (i) () é par pois tem inversões (iii) () é ímpar pois tem inversões (v) () é ímpar pois tem inversões (vii) () é ímpar pois tem 9 inversões (ii) () é par pois tem inversões (iv) () é par pois tem inversões (vi) () é par pois tem inversões (viii) () é ímpar pois tem inversão (i) () é par pois tem inversões e () é par pois tem inversões Logo, tem-se +a a a a a a uma vez que () e () têm a mesma paridade (ii) () é par pois tem inversões e () é ímpar pois tem inversões Logo, tem-se a a a a a a uma vez que () e () têm paridades diferentes (iii) () é ímpar pois tem inversões e () é par pois tem inversões Logo, tem-se a a a a a a uma vez que () e () têm paridades diferentes (iv) () é ímpar pois tem inversão e () é ímpar pois tem 9 inversões Logo, tem-se +a a a a a a uma vez que () e () têm a mesma paridade (i) () é par pois tem inversões e () é ímpar pois tem inversões Atendendo à de nição de determinante, tem-se a a a a a a a a a uma vez que () e () têm paridades diferentes (ii) () é par pois tem inversões e () é par pois tem inversões Atendendo à de nição de determinante, tem-se a a a a a a a a a a a a a a uma vez que () e () têm a mesma paridade (i), logo a matriz é não singular 8

39 (ii) (iii) + p + p (iv) cos sen (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) (xi) (xii) , logo a matriz é não singular p p ( ), logo a matriz é não singular sen cos cos ( sen ), logo a matriz é não singular ( ) 8, logo a matriz é não singular ( ), logo a matriz é não singular 8 por (vi), logo a matriz é não singular, logo a matriz é não singular por (vi), logo a matriz é singular, logo a matriz é não singular ( ) +, logo a matriz é não singular + ( )( )+ [ + + ( ) ( ) ( ) ] + [ + ] + 8 8, logo a matriz é não singular 9

40 (xiii) 8 8, logo a matriz é não singular por (xi) (xiv) , logo a matriz é singular (xv) ( ) + ( ) +, logo a matriz é não singular a b b a (xvi) b a a + b se e só se a b, logo a matriz é não singular se e só se b a b a a b Seja A a a b b c c com a; b; c R A matriz A é invertível se e só se det A Tem-se a a det A b b c c a a b a b a c a c a se a b ou a c Se a b e a c então a a det A b b c c a a b a b a c a c a a a b a b a (c a) [(c + a) (b + a)], a a b a b a c a (c a)(b + a) a a b a b a (c a) (c b) se b c Logo, a matriz A é invertível se e só se a b; a c e b c

41 Seja A a e b f c g d h com a; b; c; d; e; f; g; h R Se a ou h então det A, isto é, A não é invertível Se a e h então a a e b e b det A f c, g d g d h h isto é, A não é invertível Logo, A não é invertível para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h R, Determinemos todos os valores do escalar para os quais a matriz A I é singular, isto é, todos os valores próprios de A (i) det (A I) ( + ) + Logo, det (A I), ( ou ) (ii) det (A I) + ( + ) ( ) + 8 Logo, det (A I), ( ou ou ) 8 (i) A det A (cof A)T (ii) A det A (cof A)T (iii) A det A (cof A)T 8 T T T 9 Tem-se det A 9 ( ) ( ) + ( ) ( + 8 ( ) 9)

42 Logo, Logo, A (cof A) T (;) det A (;) det A (cof A) (;) ( )+ det B 8 ( )( ) + B (cof B) T (;) det B (;) det B (cof B) (;) ( )+ 8 (i) x e y (ii) x det C invertível (i) det (C ) det C ; y e z 9 8, logo C é invertível det D, logo D é (ii) det C (C) (det C) det C (det C) (iii) det det C (iv) det C T tr C T (tr C) C det 88 C tr C (C ) T 8 9 (tr C) det (C ) det (C ) C T C det CT det (C ) det C (det C)

43 det C 8 (v) det C T D D T C 8 (det C) det D (det D) det C 8 (det D) 8 ( ) det C T det D det (D T ) C (i) (iv) d e f g h i a b c (ii) a b c d a e b f c g h i a b c d e f g h i (v) a g d b h e c i f (iii) a + d b + e c + f d e f g h i (i) a b c (ii) a b c a + b + c a + b + c + (iii) a b c (iv) a + b + c + a + b + c + a + b + c + a b c a b c

44 : : : + : : : + + : : : + : : : : : : : : : n x y y x x y x y x y x x y x (y x ) ( ) + det x y x (y x ) (y x ) 8(i) (ii) (iii) a b a + b + c a b a + b + c a b a + b + c b + c c + a b + a a b c a + b a b c a + b a b c a + b a b c a b c a b c a b c a + b + c a + b + c a + b + c a b c a a b c a a b c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 9 a + b c + d a + b c + d a c a c + a c b d + b d a c + b d b d : e O coe ciente de x na expressão x x x x x é

45 (i) (ii) x x x x x x x x x x x x x x,, x x x x x x x x, + x, x, x ( x), (x ou x ) x x (iii) x x, x x x x, x x x x x x x x x, x x x x, x x x x, x x x x x x, x x x x, x x,, x x, (x ) ( x x ), (x ou x ) x x coluna é também múltipla de Logo Como ; e 8 são múltiplos de então a a é múltiplo de de, logo ( ) + ( ) + ( ) ( ) é múltiplo de Como a a coluna é múltipla Seja A (a ij ) nn com n ímpar e tal que a ij + a ji, para todos os i; j ; :::; n: Mostre que A não é invertível Dem (a ij + a ji, para todos os i; j ; :::; n), A T A Logo det A det A T det ( A) ( ) n det A n é ímpar det A, det A : Pelo que A não é invertível

46 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Espaços lineares) Veri que que os seguintes subconjuntos de R, com as operações usuais, não são subespaços de R (i) f(x; y) R : x g (ii) f(x; y) R : xy g (iii) f(x; y) R : y x g Veri que que os seguintes conjuntos, com as operações usuais, são (todos os) subespaços de R (i) f(; )g (ii) V k f(x; kx) : x Rg com k R (iii) U f(; a) : a Rg (iv) R No espaço linear R, considere o subconjunto U k f(x; y; k) : x; y Rg onde k é uma constante real Determine os valores de k para os quais U k é subespaço de R Considere o espaço linear V R Diga quais dos seguintes subconjuntos de V, com as operações usuais, são subespaços de V e indique os respectivos conjuntos geradores (i) f(x; y; z) R : z g (ii) f(x; y; z) R : x + y z g (iii) f(x; y; z) R : x > g (v) f(x; y; z) R : y x e z xg (iv) f(; ; z) : z Rg (vii) f(x; y; z) R : x + y + z e x y z g (viii) f(x; y; z) R : x y ou y zg (vi) f(x; y; z) R : x + y g (ix) f(x; y; z) R : x y e y + z g (x) f(x; y; z) R : xy g Seja P n o espaço linear de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais: Diga quais dos seguintes subconjuntos de P, com as operações usuais, são subespaços de P e indique os respectivos conjuntos geradores (i) fa + a t + a t P : a g (ii) fa + a t + a t P : a a e a g (iii) fa + a t + a t P : a g (iv) fa + a t + a t P : a a g (v) fa + a t + a t P : a a + a g Seja M mn (R) o espaço linear de todas as matrizes do tipo mn com entradas reais Diga quais dos seguintes subconjuntos de M (R), com as operações usuais, são subespaços de M (R) e indique os respectivos conjuntos geradores a b c a b c (i) M (R) : b a + c (ii) M (R) : b < (iii) d a b c d e f d f M (R) : a c e f e + d :

47 Determine o espaço das colunas, o espaço das linhas e o núcleo das seguintes matrizes (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) 8 Veri que que, com as operações usuais, o seguinte conjunto de matrizes 8 9 < ; ; ; : ; gera o subespaço 8 < : do espaço linear M (R) a b c d 9 M (R) : a; b; c; d R ; 9 Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ), v (; ; ) e v (; ; ) Mostre que os seguintes vectores são combinações lineares de v ; v e v (i) (; ; ) (ii) (; ; ) (iii) ( ; ; ) (iv) (; ; ) Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ; ), v (; ; ; ) e v (; ; ; ) Diga quais dos seguintes vectores pertencem ao subespaço L (fv ; v ; v g) (i) ( ; ; ; ) (ii) (; ; ; ) (iii) (; ; ; ) (iv) (; ; ; ) Determine o valor de k para o qual o vector u (; ; k) R é combinação linear dos vectores v (; ; ) e w (; ; ): Considere, no espaço linear P, os vectores p (t) + t + t, p (t) t + t, p (t) t + t e p (t) t t O vector q(t) + t + t pertence à expansão linear L (fp (t); p (t); p (t); p (t)g)? Podem os vectores p (t), p (t), p (t) e p (t) gerar P? Veri que que os seguintes conjuntos de vectores geram R (i) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (ii) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (iii) f(; ; ) ; ( ; ; ); (; ; ); ( ; ; )g Escreva a matriz como combinação linear das matrizes A ; B, C :

48 Encontre uma matriz que não pertença a L ; ; Antes de a determinar, explique porque é que essa matriz existe : Determine os vectores (a; b; c) de R que pertencem a L (fu; v; wg) onde Sejam u (; ; ); v (; ; ) e w (; ; ): A e B Veri que que o espaço das linhas de A é igual ao espaço das linhas de B: Conclua então que os espaços das colunas de A T e de B T são iguais Encontre um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços do espaço linear R (i) f(x; y; z; w) R : x e y + z g (ii) f(x; y; z; w) R : x + y + z + w g (iii) f(x; y; z; w) R : x + y z e x + y + w e y z + w g 8 De na por meio de sistemas de equações homogéneas os seguintes subespaços (i) Em P : L (f t ; + tg) (ii) L (f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g) (iii) L (f(; ; ); ( ; ; )g) (iv) L (f(; ; ); (; ; )g) (v) L (f(; ; ; )g) (vi) L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) 9 Determine as condições que os parametros i ; i (i ; ) devem veri car para que os vectores ( ; ; ) e ( ; ; 9), no espaço linear R, sejam linearmente independentes Diga se os seguintes conjuntos de vectores em R são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Nos casos em que sejam linearmente dependentes, indique (para cada um) um subconjunto linearmente independente com o maior n o possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores (i) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (ii) f(; ; ); (; ; )g (iii) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (iv) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (v) f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (x; y; z)g (com x; y; z R) Determine todos os valores de a para os quais f(a ; ; ); (; a; ); (; ; )g é uma base de R : Sejam U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) e V k L (f(; k; ; ); (; ; ; )g) subespaços de R : Determine os valores de k para os quais dim (U \ V k ) No espaço linear R, construa uma base que inclua os vectores: (i) (; ; ) e (; ; ) (ii) (; ; ) e ( ; ; ) (iii) ( ; ; ) e (; ; ) : 8

49 Veri que que os seguintes subconjuntos do espaço linear de todas as funções reais de variável real são linearmente dependentes Indique (para cada um) um subconjunto linearmente independente com o maior n o possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores (i) S fcos t; sen t; cos tg (ii) S f; sen t; cos tg (iii) S fe t ; e t ; cosh tg (iv) S ; t; t ; (t + ) Determine uma base para cada subespaço L(S) e calcule a respectiva dimensão Seja V o espaço linear de todas as funções reais de variável real Sejam f; g; h V, com f (t) sen t, g (t) cos t e h (t) t Mostre que o conjunto ff; g; hg é linearmente independente Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R Determine bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses conjuntos Em cada base de R encontrada, exprima o vector (; ) como combinação linear dos vectores dessa base ordenada Isto é, determine as coordenadas do vector (; ) em cada base ordenada encontrada Relativamente a cada base ordenada de R, determine ainda o vector cujas coordenadas são (; ) (i) f(; ); (; )g (ii) f(; ); (; )g (iii) f(; )g (iv) f( ; ); (; )g (v) f(; ); (; ); (; )g (vi) f(; ); (; )g Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R Determine bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses conjuntos Em cada base de R encontrada, exprima o vector ( ; ; ) como combinação linear dos vectores dessa base ordenada Isto é, determine as coordenadas do vector ( ; ; ) em cada base ordenada encontrada Relativamente a cada base ordenada de R, determine ainda o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) (i) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (ii) f(; ; ); (; ; )g (iii) f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g (iv) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (v) f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g (vi) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g 8 Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R Determine bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses conjuntos Em cada alínea indique uma base de R que inclua pelo menos dois vectores do conjunto apresentado (i) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (ii) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (iii) S f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (iv) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (v) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (vi) S f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g : Nesta alínea, veri que que (8; ; ; ) L (S) e determine uma base de L (S) que inclua o vector (8; ; ; ) 9 Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de P (espaço linear dos polinómios reais de grau menor ou igual a ) Determine bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses conjuntos Determine as coordenadas do vector t em cada base ordenada de P encontrada Relativamente a cada base ordenada de P, determine ainda o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) (i) f + t t ; t + t ; t g (ii) ft t ; t ; + t; tg (iii) f + t ; t t ; t + t ; + tg (iv) f + t + t ; tg 9

50 (v) f + t t ; + t ; + t t ; + t t g (vi) f; t; t g Mostre que as matrizes ; ; e formam uma base para o espaço linear M (R): Seja S ; ;, ; Seja W um subespaço de M (R) gerado por S Determine uma base para W que inclua vectores de S Determine uma base para M (R) Qual é a dimensão do espaço linear M (R)? Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços de M (R) e calcule a respectiva dimensão: (i) O conjunto de todas as matrizes (reais) diagonais do tipo : (ii) O conjunto de todas as matrizes (reais) simétricas do tipo : Determine as dimensões e indique bases para: o núcleo, o espaço das linhas e o espaço das colunas das seguintes matrizes (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) : Determine tambem a característica e a nulidade de cada uma delas Sejam U e V subespaços de W tais que dim U ; dim V e dim W Diga quais as dimensões possíveis para U \ V Determine bases e calcule as dimensões de U + V e U \ V, dizendo em que casos U + V é a soma directa U V (determine-a) dos subespaços U e V (i) U L (f(; ; ); (; ; )g) ; V L (f(; ; ); ( ; ; )g) em R : (ii) U f(x; y; z) R : x + y z e x + y g ; V L (f(; ; )g) em R : (iii) U L (f(; ; ); ( ; ; )g) ; V f(x; y; z) R : x + y + z g em R : (iv) U f(x; y; z) R : x y zg ; V f(x; y; z) R : x g em R : (v) U L (f + t; t g), V fa + a t + a t P : a a + a g em P (vi) U L (f + t; t g), V L (f + t + t ; t t ; + t + t g) em P (vii) U L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; 8); ( ; ; ; )g) ; V L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; 8)g) em R : (viii) U f(x; y; z; w) R : x + y + z e y + z + w g,

51 V L (f(; ; ; ); (; 9; ; ); ( ; ; ; )g) em R : Neste alínea (viii) mostre que U V (ix) Seja U o subespaço de R gerado por Seja V o subespaço de R gerado por f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g Comece por escrever U e V como soluções de sistemas de equações lineares homogéneas (x) Sejam U e V subespaços de R gerados respectivamente por F e por G, com Seja A F f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ) ; (; ; ; )g ; G f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g : (i) Calcule a nulidade e a característica de A: (ii) Determine bases para o espaço das colunas de A e para o núcleo de A: (iii) Usando a alínea anterior, determine a solução geral do sistema de equações lineares homogéneo Au (iv) Resolva o sistema de equações Au b, com b (; ; ; ; ): Note que b é igual à a coluna de A e use esse facto de modo a encontrar uma solução particular de Au b 8 Utilize a informação da seguinte tabela para, em cada caso, determinar a dimensão do espaço gerado pelas linhas de A, do espaço gerado pelas colunas de A, do núcleo de A e do núcleo de A T Diga tambem se o correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível, determinando para esses casos, o número de parâmetros que entram na solução geral de AX B A 9 9 car A car [A j B] 9 Construa uma matriz cujo núcleo seja gerado pelo vector (; ; ) Existe alguma matriz cujo espaço das linhas contém o vector (; ; ) e cujo núcleo contém (; ; )? Quais são as matrizes do tipo cujo núcleo tem dimensão? Seja A M mn (R) tal que C(A) N (A) Prove que A M nn (R) com n par Dê um exemplo para n Seja A M nn (R) tal que car A n e A A Prove que A I

52 Sejam B f(; ); (; )g e B f(; ); (; )g duas bases ordenadas de R Seja v (; ) (i) Determine as coordenadas de v em relação à base B (ii) Determine a matriz S B B de mudança da base B para a base B (iii) Determine as coordenadas de v em relação à base B, usando as alíneas anteriores (iv) Determine, directamente, as coordenadas de v em relação à base B (v) Determine a matriz S B B de mudança da base B para a base B (vi) Determine as coordenadas de v em relação à base B, usando a alínea anterior, e compare com o resultado obtido em (i) Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de R, onde v (; ), v (; ) Suponha que a matriz S B B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B B Determine B Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P, onde w + t, w + t Suponha que a matriz S B B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B B Determine B Sejam B f; t; t g e B f; + t; + t + t g duas bases ordenadas de P (i) Suponha que as coordenadas de um vector p(t) P em relação à base B são dadas por (; ; ) Determine as coordenadas do mesmo vector p(t) em relação à base B (ii) Determine a matriz S B B de mudança da base B para a base B e utilize-a para determinar as coordenadas do vector t + t na base B 8 Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P, onde w t, w t Suponha que a matriz S B B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B B Determine B

53 9 Sejam B fv ; v ; v g e B fw ; w ; w g duas bases ordenadas de R, onde v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) Suponha que a matriz S B B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B B Determine B Sejam B ; B ;, ; e ;, duas bases ordenadas de M (R) Determine a matriz S B B de mudança da base B para a base B e utilize-a para determinar as coordenadas do vector em relação à base B Seja B fv ; v g uma base ordenada de P Sejam (; ) e (; ) respectivamente as coordenadas de dois polinómios + t e t em relação à base B: Determine B Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P Suponha que (; ) e (; ) são respectivamente as coordenadas de um polinómio p (t) em relação às bases B e B : Suponha ainda que (; ) e (; ) são respectivamente as coordenadas de um polinómio q (t) em relação às bases B e B : Determine a matriz S B B de mudança da base B para a base B

54 Resolução da a Ficha de exercícios (i) Seja U f(x; y) R : x g Por exemplo: (; ) U, mas ( )(; ) ( ; ) U Logo, U não é subespaço de R (ii) Seja U f(x; y) R : xy g Por exemplo: (; ); (; ) U, mas (; ) + (; ) (; ) U Logo, U não é subespaço de R (iii) Seja U f(x; y) R : y x g Por exemplo: (; ) U, mas (; ) (; ) U Logo, U não é subespaço de R Atendendo às respectivas dimensões, os seguintes subespaços de R, com as operações usuais, são todos os subespaços de R (i) f(; )g é subespaço de R (ii) Seja V k f(x; kx) : x Rg com k R ( xo) Sejam (x ; kx ); (x ; kx ) V k e R Tem-se e, com (x; kx) V k, (x ; kx ) + (x ; kx ) (x + x ; k (x + x )) V k (x; kx) (x; k (x)) V k Logo, para todo o k R, V k é subespaço de R Em alternativa, uma vez que V k L (f(; k)g), para todo o k R, conclui-se que V k é subespaço de R (para todo o k R) (iii) Seja U f(; a) : a Rg Sejam (; a ) ; (; a ) U e R Tem-se (; a ) + (; a ) (; a + a ) U e, com (; a) U, Logo, U é subespaço de R Em alternativa, uma vez que conclui-se que U é subespaço de R (; a) (; a) U U L (f(; )g), (iv) R é subespaço de R

55 U k é subespaço de R se e só se k (i) Seja U f(x; y; z) R : z g Ora (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R (ii) Seja U f(x; y; z) R : x + y z g Tem-se Uma vez que para quaisquer x; y R, tem-se: U f(x; y; x + y) : x; y Rg (x; y; x + y) (x; ; x) + (; y; y) x(; ; ) + y(; ; ), U L (f(; ; ); (; ; )g) Logo, U é subespaço de R Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A : (iii) Seja U f(x; y; z) R : x > g Ora (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R (iv) Seja U f(; ; z) : z Rg Uma vez que (; ; z) z(; ; ), para qualquer z R, tem-se: Logo, U é subespaço de R U L (f(; ; )g) (v) Seja U f(x; y; z) R : y x e z xg Tem-se U f(x; x; x) : x Rg Uma vez que (x; x; x) x(; ; ), para qualquer x R, tem-se: U L (f(; ; )g) Logo, U é subespaço de R Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A : (vi) Seja U f(x; y; z) R : x + y g Ora (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R (vii) Seja U f(x; y; z) R : x + y + z e x y z g Tem-se Uma vez que para qualquer y R, tem-se: Logo, U é subespaço de R U f(; y; y) : y Rg (; y; y) y(; ; ), U L (f(; ; )g) Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A (viii) Seja U f(x; y; z) R : x y ou y zg Tem-se: : U (x; y; z) R : x y [ (x; y; z) R : y z

56 Por exemplo: Logo, U não é subespaço de R (; ; ); (; ; ) U, mas (; ; ) + (; ; ) (; ; ) U (ix) Seja U f(x; y; z) R : x y e y + z g Tem-se Uma vez que para qualquer x R, tem-se: Logo, U é subespaço de R U f(x; x; x) : x Rg (x; x; x) x(; ; ), U L (f(; ; )g) Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A (x) Seja U f(x; y; z) R : xy g Por exemplo: (; ; ); (; ; ) U, mas (; ; ) + (; ; ) (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R O conjunto de todos os polinómios reais de grau igual a n: U fa + a t + + a n t n P n : a ; a ; :::; a n R e a n g, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo: o polinómio nulo p(t) U : Seja P o espaço linear de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a, com as operações usuais: (i) Seja U fa + a t + a t P : a g Tem-se Logo, U é subespaço de P U a t + a t : a ; a R L t; t (ii) Seja U fa + a t + a t P : a a e a g Tem-se U a + a t : a R Uma vez que para qualquer a R, tem-se: Logo, U é subespaço de P a + a t a ( + t ), U L + t (iii) Seja U fa + a t + a t P : a g Por exemplo: o polinómio nulo p(t) U Logo, U não é subespaço de P

57 (iv) Seja U fa + a t + a t P : a a g Por exemplo: o polinómio nulo p(t) U Logo, U não é subespaço de P (v) Seja U fa + a t + a t P : a a + a g Tem-se U a + a t + (a a ) t : a ; a R Uma vez que a + a t + (a a ) t a ( t ) + a (t + t ), para quaisquer a ; a R, tem-se: U L t ; t + t Logo, U é subespaço de P Seja M (R) o espaço linear de todas as matrizes do tipo com entradas reais a b c (i) Seja U M d (R) : b a + c Tem-se Uma vez que a a + c c d U a a + c c d a para quaisquer a; c; d R, tem-se: U L : a; c; d R + c ; ; + d Logo, U é subespaço de M (R) a b c (ii) Seja U M d f (R) : b < Por exemplo: a matriz nula U Logo, U não é subespaço de M (R) a b c (iii) Seja U M d e f (R) : a c e f e + d Tem-se U c b c d e e + d : b; c; d; e R, Uma vez que c b c d e e + d b + c + d + e,

58 para quaisquer b; c; d; e R, tem-se: U L ; ; ; Logo, U é subespaço de M (R) : (i) Seja A Seja u (x; y) R Atendendo a que o núcleo de A é dado por: Tem-se C(A) L (f(; )g) e L(A) L (f(; )g) x y, x y, N (A) u R : Au (x; y) R : x y f(x; x) : x Rg fx(; ) : x Rg L (f(; )g) (ii) Seja A Tem-se C(A) L (f(; )g) e L(A) L (f(; ; )g) Seja u (x; y; z) R Atendendo a que x y, x + y + z, z o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au (x; y; z) R : x + y + z f( y z; y; z) : y; z Rg fy( ; ; ) + z( ; ; ) : y; z Rg L (f( ; ; ); ( ; ; )g) (iii) Seja A Tem-se C(A) f(; )g e L(A) f(; ; )g O núcleo de A é dado por: N (A) R (iv) Seja A Tem-se C(A) L (f(; ; ); (; ; )g) e L(A) L (f(; ; ); (; ; )g) : Seja u (x; y; z) R Atendendo a que 8 x < y, : z 8 x + y + z z

59 o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au (x; y; z) R : x + y + z e z f(x; x; ) : x Rg fx(; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) (v) Seja A Tem-se C(A) L (f(; ; ); (; ; )g) e L(A) L (f(; ); (; )g), pois (; ) (; ) + (; ) Seja u (x; y) R Atendendo a que x y 8 ><, >: x x + y x + y o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au (x; y) R : x e x + y e x + y f(; )g (vi) Seja A Tem-se C(A) L (f(; ; )g) e L(A) L (f(; )g) Seja u (x; y) R Atendendo a que 8 < x, y : o núcleo de A é dado por: x + y x + y N (A) u R : Au (x; y) R : x + y f( y; y) : y Rg fy( ; ) : y Rg L (f( ; )g) (vii) Seja A Tem-se C(A) f(; ; )g e L(A) f(; )g 9

60 O núcleo de A é dado por: N (A) R (viii) Seja A Tem-se C(A) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) e L(A) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) Seja u (x; y; z) R Atendendo a que x y z, x y z 8 ><, >: x + z y z z o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au f(; ; )g Observação: Como N (A) f(; ; )g e sendo A quadrada, tem-se L(A) C(A) R 8 Seja 8 < U : a b c d 9 M (R) : a; b; c; d R ; Uma vez que a b c a d com a; b; c; d R, tem-se 8 < U : + b ; + c ; ; + d 9 A ;, 9 Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ), v (; ; ) e v (; ; ) Tem-se (i) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (ii) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + ( )(; ; ) (iii) ( ; ; ) (; ; ) + ( )(; ; ) + ( )(; ; ) (iv) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; )

61 Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ; ), v (; ; ; ) e v (; ; ; ) Tem-se j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j L +L L j j j j L +L L j j j j j j j j Logo, (; ; ; ); (; ; L +L L j j j j j j j j j j j j j j j j ; ) L (fv ; v ; v g), com (; ; ; ) (; ; ; ) + (; ; ; ) + (; ; ; ) : (*) (; ; ; ) (; ; ; ) + ( )(; ; ; ) + ( )(; ; ; ) Atendendo a (*), ( ; ; ; ); (; ; ; ) L (fv ; v ; v g) Tem-se j j j k L +L L j j j k + L +L L j j j k + 8 Logo, 8 é o único valor de k para o qual o vector u (; ; k) R é combinação linear dos vectores v (; ; ) e w (; ; ): : Considere, no espaço linear P, os vectores p (t) + t + t, p (t) t + t, p (t) t + t e p (t) t t O vector q(t) + t + t pertence à expansão linear L (fp (t); p (t); p (t); p (t)g)? Podem os vectores p (t), p (t), p (t) e p (t) gerar P? Tem-se j j j j j L +L L j L +L L L +L L j j j (**) Atendendo a (**), q(t) + t + t L (fp (t); p (t); p (t); p (t)g) Logo, fp (t); p (t); p (t); p (t)g não pode gerar P :

62 (i) Seja U f(; ; ); (; ; ); (; ; )g Seja (x; y; z) R Tem-se Logo, U gera R (x; y; z) x(; ; ) + y(; ; ) + z(; ; ) (ii) Seja U f(; ; ); (; ; ); (; ; )g Seja (x; y; z) R Tem-se Logo, U gera R (x; y; z) x(; ; ) + (y x) (; ; ) + (z y) (; ; ) (iii) Seja U f(; ; ) ; ( ; ; ); (; ; ); ( ; ; )g Seja (x; y; z) R Determinemos os valores dos escalares ; ; ; para os quais se tem x y z Ora a última igualdade é equivalente a x y z j x j y j z L +L L L +L L j x j y x j z x Logo 8>< x + y + s y z + s e assim x y z x + y + s com s R Logo, U gera R + >: x z + s s, s R y z + s + x z + s + s, A + B + C ><, >: <, :

63 Logo Seja U L ; ; Existe D M (R) tal que D U uma vez que a Seja c a c U M (R) e dim {z U} < dim M (R) {z } b a b U Tem-se U se e só se existirem escalares ; ; R tais que d c d a b A + B + C c d 8 a >< b a b A + B + C, +, + b d c d + >: L +L L L +L L j a j b j c j d L +L L L +L L j a j b a j a j b a j c a j d j c a j d + (b + a) c Logo, para que o sistema linear anterior seja possível é necessário que se tenha Deste modo podemos escrever a U c a e assim, sendo V c b d L $L d + (b + a) c L +L L L +L L j a j c a + c d j b a j d + (b + a) c b M d (R) : d + (b + a) c M (R) : d + (b + a) c, tem-se M (R) U V Ou seja, qualquer vector de V que não seja o vector nulo, esse vector não pertence a U Por exemplo U L ; ;