Matriz de mudança de coordenadas: S B1!B 2. (como se faz e para que serve) transformação linear. (como se faz e para que serve)

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1 Matriz de mudança de coordenadas: S B!B (como se faz e para que serve) Transformação linear A matriz de T em relação às bases B e B 0 : M(T ; B; B 0 ) (como se faz e para que serve) As 3 formas (equivalentes) de de nir uma transformação linear Operações com transformações lineares: T, T + T, T T e T (se existir) A inversa T de uma transformação linear invertível T

2 As matrizes de T, T + T, T T e T existir) em bases apropriadas (se O contradomínio de T : I(T ) (calcular bases) O núcleo de T : N (T ) (calcular bases) Se dim U <, dim N (T ) + dim I(T ) = dim U Transformação linear injectiva (e relação com dim) Transformação linear sobrejectiva (e relação com dim) Transformação linear bijectiva (isomor smo) (e relação com dim) Resolução de equações lineares: T (u) = b

3 Matriz de mudança de coordenadas De nição. dim V = n. B = fv ; : : : ; v n g e B = fw ; : : : ; w n g bases ordenadas de V. À matriz (a ij ) nn em que, com j = ; :::; n: v j = nx i= a ij w i chama-se matriz de mudança de coordenadas (da base B para B ) e escreve-se S B!B = (a ij ) nn A de nição anterior pode ser escrita as- Observação. sim: B = B S B!B Teorema. A matriz S B!B é invertível. Além disso, se [u] B forem as coordenadas de u na base B, então as coordenadas [u] B de u na base B são dadas por: [u] B = S B!B [u] B

4 Dem. Por um lado u = B [u] B e por outro u = B [u] B : Assim B [u] B = B [u] B = = B S B!B [u]b = B SB!B [u] B e atendendo à unicidade das coordenadas de um vector em relação a uma base, tem-se [u] B = S B!B [u] B Observação. S B!B = S B!B

5 Exemplo. B = f(; ); (; )g ; B = f(; ); (3; 4)g bases ordenadas de R (; ) = 7 (; )+3 (3; 4) logo [(; )] B = 7 3 (; ) = (; ) + (3; 4) logo [(; )] B = S B!B = 7 3 (3; ) = (; ) + (; ) Coordenadas de (3; ) na base B : e = S B!B 7 3 = 9 5 Logo 9 e 5 são as coordenadas de (3; ) na base B. De facto: (3; ) = 9 (; ) + 5 (3; 4)

6 (; ) = (; ) = h (; ) (; ) i = {z } B 7 (; ) + 3 (3; 4) (; ) + (3; 4) h i 7 (; ) (3; 4) 3 {z } {z } B S B!B = = 3 4 =

7 De nição. U e V espaços lineares T : U! V é uma transformação linear se e só se 8u; v U 8 escalar T (u + v) = T (u) + T (v) T (u) = T (u), 8u; v U 8; escalares T (u + v) = T (u) + T (v) Observação. T linear ) T (0 U ) = 0 V T (0 U ) 6= 0 V ) T não é linear

8 Exemplos de transformações não lineares T : R! R T (x; y) = ( y; x) T : R! R T (x; y) = xy

9 Exemplos de transformações lineares (i) T : R 4! R T (x; y; z; w) = (x y; 3w) (ii) T : R 3! R 4 T (x; y; z) = ( z; y z; y; y+z) (iii) T : R 3! R 3 T (x; y; z) = (x + y; 3z; x z) (iv) T : R n! R m T (u) = Au A M mn (R) xa (v) tr:m nn (R)! R tr(a) = n P a ii i=

10 Exemplos (i) T : P! M (R) T (p (t)) = p () p (0) p (0) p ( ) (ii) T : M (R)! P T a b c d! = c a + (b + c) t (iii) T : M (R)! M (R) T (X) = X X (iv) T : M nn (R)!M nn (R) T (X) = X T

11 Exemplos U espaço linear e k um escalar ( xo) T k : U! U T k (u) = ku T k é uma homotetia Se 0 < k < T k é uma contracção Se k > T k é uma dilatação Se k = T é a transformação identidade I I(u) = u 8 u U Transformação nula T : U! V; T (u) = 0, 8u U

12 Exemplos (i) T : P! P 3 T (p (t)) = tp ( t) tp 0 (t) (ii) T : P 3! P T (p (t)) = p 00 (t) (iii) T : C (R)! C (R) T (f) = f 0 (iv) a R ( xo) T : C (R)! R T (f) = f 0 (a) (v) n N T : C n (R)! C (R) T (f) = f (n) (vi) T : C (R)! C (R) T (f) = Z x 0 f (t) dt

13 Outro modo de de nir uma transformação linear: Sendo T : U! V linear e U = L (fv ; : : : ; v n g) Sendo u U existem escalares ; :::; n tais que u = v + ::: + n v n Então T (u) = T (v ) + ::: + n T (v n ) ou seja, conhecendo-se as imagens T (v ); :::; T (v n ) com U = L (fv ; : : : ; v n g) ca a conhecer-se a expressão geral de T : U! V linear. Além disso, sendo U e V espaços lineares com U = L (fu ; : : : ; u n g) e T ; T : U! V lineares Se T (u i ) = T (u i ) 8 i = ; : : : ; n, então T = T

14 Exemplo. P = L (f t; + tg). Seja T : P! R 3 linear tal que T ( t) = (0; ; ) T ( + t) = ( ; ; ). Vejamos como se obtém a expressão geral de T. Seja a 0 + a t P. Determinemos ; R tais que Tem-se a 0 + a t = ( t) + ( + t). a 0 + a t = (a 0 a ) ( t) + {z } (a 0 + a ) ( + t). {z } Então T (a 0 + a t) = a 0 a ; 3 a 0 + a ; 3 a 0 a

15 Representação matricial De nição. B = fv ; :::; v n g base ordenada de U B = fw ; :::; w m g base ordenada de V T : U! V linear tal que T (v j ) = P m i= a ij w i. A matriz que representa T em relação às bases B e B é de nida por M(T ; B ; B ) = (a ij ) mn A de nição anterior pode ser escrita as- Observação. sim: T (B ) = B M(T ; B ; B ) Teorema. T : U! V linear. Sejam [u] B as coordenadas de u em B e [T (u)] B as coordenadas de T (u) em B. Então T (B ) = B M(T ; B ; B ) ) [T (u)] B = M(T ; B ; B ) [u] B

16 Dem. Como u = B [u] B e T é linear então Por outro lado Assim T (u) = T (B ) [u] B : T (u) = B [T (u)] B : B [T (u)] B = T (B ) [u] B = = (B M(T ; B ; B )) [u] B = B M(T ; B ; B ) [u] B e atendendo à unicidade das coordenadas de um vector em relação a uma base, tem-se [T (u)] B = M(T ; B ; B ) [u] B Observação. Se T = I tem-se M(I; B ; B ) = S B!B

17 Exemplo. (Da fórmula para a matriz.) Seja T : R 3! R linear tal que T (x; y; z) = ( 3x 3y + 9z; x + y 3z), Sejam B = f(; ; ); (0; ; ); (0; 0; )g e B = f(; ); (; ) Vejamos como se obtém M(T ; B ; B ). Como T (; ; ) = (3; ) = (; ) + (; ) T (0; ; ) = (6; ) = (; ) + 4(; ) T (0; 0; ) = (9; 3) = 3(; ) + 6(; ) então M(T ; B ; B ) = 3 4 6,

18 Exemplo. (Da matriz para a fórmula.) Seja T : R 3! R 3 linear tal que M(T ; B ; B ) =, 4 6 com B = f(; ; ); (0; ; ); (0; 0; )g e B = f(; ); (; )g. Vejamos como se obtém a expressão geral de T. Como (x; y; z) = x(; ; )+(y x) (0; ; )+( y + z) (0; 0; ) então as coordenadas de T (x; y; z) em B são dadas por: [T (x; y; z)] B = x y x y + z {z } [(x;y;z)] B = x x y + 3z y + 6z Logo T (x; y; z) = ( x y + 3z) (; )+( x y + 6z) (; ) = = ( 3x 3y + 9z; x + y 3z)

19 Exemplo. (Da matriz para a fórmula passando pelas imagens de geradores.) Seja T : R 3! R linear tal que 3 M(T ; B ; B ) = 4 6 com B = f(; ; ); (0; ; ); (0; 0; )g e B = f(; ); (; ; )g. Vejamos como se obtém a expressão geral de T. Da matriz retiramos: T (; ; ) = (; ) + (; ) = (3; ) T (0; ; ) = (; ) + 4(; ) = (6; ) T (0; 0; ) = 3(; ) + 6(; ) = (9; 3) Como

20 (x; y; z) = x(; ; )+(y x) (0; ; )+( y + z) (0; 0; ) e T é linear então T (x; y; z) = = xt (; ; )+(y x) T (0; ; )+( y + z) T (0; 0; ) = = x (3; ) + (y x) (6; ) + ( y + z) (9; 3) = = ( 3x 3y + 9z; x + y 3z)

21 Teorema. Seja T : R n! R m linear. Sejam B n c a base canónica de R n ; B m c a base canónica de R m e A = M(T ; B n c ; Bm c ) M mn(r). Então T (u) = Au para todo o u R n. Dem. T (u) = [T (u)] B m c = M(T ; B n c ; B m c ) [u] B n c = Au

22 Exemplo. Seja T : R 4! R 3 tal que T (x; y; z; w) = (3x + y z; 0; x + 4z). Como T (; 0; 0; 0) = (3; 0; ), T (0; ; 0; 0) = (; 0; 0) T (0; 0; ; 0) = ( ; 0; 4) e T (0; 0; 0; ) = (0; 0; 0) então A = M(T ; B 4 c; B 3 c) = Observe-se que T (x; y; z; w) = M(T ; B 4 c ; B3 c ) 6 4 x y z w = = (3x + y z; 0; x + 4z)

23 De nição. S; T : U! V, escalar. Então S + T, T : U! V são de nidas por (S + T ) (u) = S(u) + T (u) (T )(u) = T (u) Teorema. S; T : U! V lineares, escalar. Então S + T, T são lineares: Exemplo. T ; T : R 3! R T (x; y; z) = (x + y; x z) T (x; y; z) = (y; x) (T + 3T ) (x; y; z) = (x + 5y; 5x z)

24 De nição. (Composição) T : U! V, S : V! W. Então S T : U! W é de nida por (S T ) (u) = S (T (u)) Observação. Em geral S T 6= T S Teorema. R (S T ) = (R S) T De nição. T 0 = I T k = T T k ; k = ; ; ::: Teorema. T m+n = T m T n (R + S) Q = R Q + S Q (R) Q = (R Q) Teorema. T : U! V, S : V! W lineares. Então S T : U! W é linear Teorema. T linear. Então T (R + S) = T R + T S T (R) = (T R)

25 Exemplo. T : R 3! R T (x; y; z) = (y; x) T 3 : R! R 3 T 3 (x; y) = (x + y; x; x y) T T 3 : R! R (T T 3 ) (x; y) = T (T 3 (x; y)) = T (x + y; x; x y) = = (x; 4x y) T 3 T : R 3! R 3 (T 3 T ) (x; y) = T 3 (T (x; y)) = T 3 (y; x) = = ( x + y; y; x + y)

26 Teorema. B base de U, B base de V, ; escalares, T ; T : U! V lineares: Então M(T +T ; B ; B ) = M(T ; B ; B )+M(T ; B ; B ) Exemplo. T ; T : R 3! R T (x; y; z) = (x + y; x z) T (x; y; z) = (y; x) (T + 3T ) (x; y; z) = (x + 5y; 5x z) M(T + 3T ; B 3 c; B c) = M(T ; B 3 c; B c) + 3M(T ; B 3 c; B c) = = =

27 Teorema. B base de U, B base de V, B 3 base de W, ; escalares, T : U! V; S : V! W lineares: Então M(ST ; B ; B 3 ) = M(S; B ; B 3 )M(T ; B ; B ) Exemplo. T : R 3! R T (x; y; z) = (y; x) T 3 : R! R 3 T 3 (x; y) = (x + y; x; x y) T T 3 : R! R (T T 3 ) (x; y) = T (T 3 (x; y)) = T (x + y; x; x y) = = (x; 4x y) M(T T 3 ; B c; B c) = 0 4 M(T ; B 3 c; B c)m(t 3 ; B c; B 3 c) = = =

28 De nição. dim U = dim V. T : U! V linear diz-se invertível se e só se existir S : V! U tal que e neste caso S = T. S T = I U e T S = I V, Teorema. dim U = dim V, T : U! V linear. Se A = M(T ; B ; B ) então T invertível, A invertível: Se T é linear e invertível então T é linear e A = M(T ; B ; B ): Teorema. dim U = dim V = dim W, T : U! V; T : V! W lineares invertíveis: Então T T é linear, invertível e (T T ) = T T :

29 Exemplo. T : R! R T (x; y) = (x; 4x y) Como M(T ; B c; B c) = 0 4 é invertível então T é invertível e M(T ; B c; B c) = 0 4 = 0 Logo T (x; y) = 0 x y = x; x y De facto T x; x y = (x; y)

30 Teorema. T : U! U linear B, B 0 bases ordenadas de U. Então Isto é (U; B) M(T ;B;B)! T (U; B) S B 0!B I I S B!B 0 U; B 0 T! U; B 0 M(T ;B 0 ;B 0 ) T = I T I,, M(T ; B 0 ; B 0 ) = S B!B 0M(T ; B; B)S B 0!B,, M(T ; B 0 ; B 0 ) = S B!B 0M(T ; B; B) (S B!B 0) B = SAS Quando se tem a última igualdade dir-se-á que A e B são semelhantes e nesse caso ver-se-á que: car A = car B nul A = nul B tr A = tr B det A = det B det (A I) = det (B I)

31 Teorema. Caso geral. T : U! V linear. B e B 0 bases ordenadas de U. B e B 0 bases ordenadas de V. Então (U; B ) M(T ;B ;B )! T (V; B ) S B 0!B I I S B!B 0 U; B 0 V; B 0 T! M(T ;B 0 ;B0 ) Isto é T = I T I,, M(T ; B 0 ; B0 ) = S B!B 0 M(T ; B ; B )S B 0!B

32 Exemplo. T : R! R 3 T (x; y) = (y; x; y x) M(T ; B c; B 3 c) = B = f(; ); ( ; )g B = f(0; 0; ); (0; ; ); (; ; )g bases ordenadas de R e R 3 T (; ) = (; ; 0) = (0; 0; ) + 0(0; ; ) + (; ; ) T ( ; ) = (; ; ) = 3(0; 0; ) (0; ; ) + (; ; ) M(T ; B ; B ) = (; 0; 0) = 0(0; 0; ) (0; ; ) + (; ; ) (0; ; 0) = (0; 0; ) + (0; ; ) + 0 (; ; ) (0; 0; ) = (0; 0; ) + 0(0; ; ) + 0 (; ; ) S B 3 c!b =

33 S B 3 c!b M(T ; B c; B 3 c)s B!B c = = = = = M(T ; B ; B )

34 coordenadas de (; ) na base B c M(T ;B c;b 3 c)! T coordenadas de T (; ) na base B 3 c S B c!b I I S B 3 c!b coordenadas de (; ) na base B T! M(T ;B ;B ) ! T I I 6 4 T! coordenadas de T (; ) na base B

35 De nição. U e V espaços lineares e T : U! V linear (i) O contradomínio ou imagem de T : I(T ) = ft (u) : u Ug (ii) O núcleo de T : N (T ) = fu U : T (u) = 0g Teorema. U e V espaços lineares e T : U! V linear (i) N (T ) é um subespaço de U (ii) I(T ) é um subespaço de V (iii) Seja S = fu ; : : : ; u k g. Se U = L (S) então I(T ) = L (ft (u ) ; : : : ; T (u k )g) = L (T (S)) (iv) Se dim U < e T : U! V é linear então dim U = dim N (T ) + dim I(T )

36 Exemplos. T : U! V T (u) = 0 N (T ) = U I(T ) = f0g I : U! U I(u) = u N (I) = f0g I(I) = U T : C (R)! C (R) T (f) = f 0 I(T ) = C (R) N (T ) = ff : R! R tal que f é constante em Rg A M mn (R) T : R n! R m T (u) = Au N (T ) = N (A) I(T ) = C(A)

37 Exemplo. T (x; y; z; w) = (3x + y z; 0; x + 4z) T (; 0; 0; 0) = (3; 0; ), T (0; ; 0; 0) = (; 0; 0) T (0; 0; ; 0) = ( ; 0; 4) e T (0; 0; 0; ) = (0; 0; 0). A = M(T ; B 4 c; B 3 c) = N (T ) = N (A) = n (x; y; z; w) R 4 : y = 4z e x = 4z o = = f( 4z; 4z; z; w) : z; w Rg = = L (f( 4; 4; ; 0); (0; 0; 0; )g) I (T ) = C (A) = L f(3; 0; ); (; 0; 0)g dim R 4 {z } =4 = dim N (T ) {z } = + dim I (T ) {z } =

38 Teorema. T : U! V linear então A = M(T ; B ; B ) M mn (R) [T (u)] B = A [u] B Observação. Os vectores de N (A) são as coordenadas dos vectores de N (T ) em B. Os vectores de C(A) são as coordenadas dos vectores de I(T ) em B. dim N (T ) = dim N (A) = nul A dim I(T ) = dim C(A) = car A

39 Exemplo. T : R 3! R linear B = f(; ; ); (0; ; ); (0; 0; )g B = f(; ); (; )g A = M(T ; B ; B ) = N (A) = N h 3 i = L (f( ; ; 0); ( 3; 0; )g) N (T ) = L ( ( ) (; ; ) + (0; ; ) + 0(0; 0; ); ( 3) (; ; ) + 0(0; ; ) + (0; 0; ) )! = = L (f( ; ; ); ( 3; 3; )g) C(A) = L (f(; )g) I(T ) = L (f(; ) + (; )gg) = L (f(3; )g)

40 De nição. T : U! V é injectiva se e só se isto é T (u) = T (w) ) u = w u 6= w ) T (u) 6= T (w) Teorema. T injectiva, N (T ) = f0g Teorema. T : U! V linear dim U = dim V. Então T injectiva, T invertível Exemplo. T : R! R T (x; y) = (x; 4x y) T é injectiva pois M(T ; B c; B c) = 0 4 e N (T ) = N 0 4! = f(0; 0)g

41 Teorema. dim U < equivalentes: T : U! V linear então são (i) T é injectiva (ii) N (T ) = f0g (iii) dim U = dim I(T ) (iv) T transforma qualquer conjunto linearmente independente de vectores de U num conjunto linearmente independente de vectores de V (v) T transforma bases de U em bases de I(T )

42 De nição. T : U! V é sobrejectiva se e só se I(T ) = V Teorema. dim U; dim V < Então T : U! V linear. T é sobrejectiva se e só se T transformar um qualquer conjunto gerador de U num conjunto gerador de V Exemplo. T : R 3! R T (x; y; z) = (y; x) T é sobrejectiva pois M(T ; B 3 c; B c) = e I(T ) = C ! =L (f(0; ); (; 0)g)=R

43 Teorema. dim U <, T : U! V linear. Então T é sobrejectiva ) dim U dim V dim U < dim V ) T não é sobrejectiva T é injectiva ) dim U dim V dim U > dim V ) T não é injectiva Teorema. dim U = dim V <, T : U! V linear. Então T é injectiva, T é sobrejectiva

44 De nição. T : U! V é bijectiva se e só se fôr injectiva e sobrejectiva De nição. U e V espaços lineares são isomorfos se e só se existir um isomor smo entre U e V, isto é, se e só se existir uma transformação linear bijectiva T : U! V e escreve-se U = V Teorema. U e V espaços lineares. Então U = V, dim U = dim V Exemplo. T : U! V linear. Se A = M(T ; B ; B ) então Além disso: N (T ) = N (A) e I(T ) = C(A) T é injectiva, nul A = 0, car A = n T é sobrejectiva, car A = m

45 Exemplos de Isomor smos (i) R n = M n (R) T (a ; : : : ; a n ) = T : R n! M n (R) 6 4 a. a n (ii) M mn (R) = R mn T 0 a 4. a m. a n. a mn 3 7C 5 T : M mn (R)! R mn A = (a ; : : : ; a n ; : : : ; a m ; : : : ; a mn ) (iii) R n+ = P n T : R n+! P n T (a 0 ; a ; : : : ; a n ) = a 0 + a t + + a n t n (iv) A M mn (R) C (A) = L (A) dim C (A) = dim L (A) = car A

46 Teorema. T : U! V linear, b V. Então a equação linear T (u) = b (Existência de solução) tem sempre solução (para qualquer b) se e só se T fôr sobrejectiva (T (U) = V ) (Unicidade de solução) a ter solução, ela é única se e só se T fôr injectiva se e só se N (T ) = f0g (Existência e unicidade de solução) tem sempre solução única u se e só se T fôr bijectiva Teorema. T : U! V linear, b V. Então solução geral de T (u) = b = solução particular de T (u) = b + solução geral de T (u) = 0 {z } N (T )

47 Exemplo. T : R 3! R linear B = f(; ; ); (0; ; ); (0; 0; )g B = f(; ); (; )g A = M(T ; B ; B ) = Vamos resolver a equação linear: T (x; y; z) = (6; ) Primeiro note-se que: (6; ) = (; ) + 4(; ) a seguir resolve-se: = 4 obtendo-se f(0; ; 0)g + N (A) = f(0; ; 0)g+L (f( ; ; 0); ( 3; 0; )g) Logo CS = f(0; ; )g+l (f( ; ; ); ( 3; 3; )g)