Álgebra Linear para MBiol MAmb

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Álgebra Linear para MBiol MAmb Teste 3 22 de Dezembro de 212 Duração: 9 minutos Resolução da versão A (1. val.) 1. Considere a seguinte tranformação linear, T : R 3 R 4 T (x, y, z) = (2x + y z, x + z, 2x + y z, x + y) (a) Encontre bases para Nuc(T ) e para o contradomínio de T, T (R 3 ). Resolução. Temos, T (x, y, z) = Aplicando MEG, obtemos, A = 2x + y z x + z 2x + y z x + y = As equações para N uc(a) são então equivalentes ao sistema x y z (1) { x + z = y + z = { x = z y = z, pelo que e uma base é Nuc(A) = {(z, z, z), z R} = L({(1, 1, 1)}) B Nuc(A) = {(1, 1, 1)}.

2 (1. val.) Para o contradomínio de T, tem-se T (R 3 ) = Col(A), e uma base no espaço das colunas de uma matriz A é dada pelas colunas da matriz inicial às quais correspondem pivots no MEG. De (1) concluímos que B T (R 3 ) = {(2, 1, 2, 1), (1,, 1, 1))}. (b) Considere a seguinte base ordenada de R 3, B = ((1, 1, 2), (1,, 1), (, 1, 1)). Encontre a matriz de T na base B e na base canónica de R 4. Resolução 1. Seja B = (v 1, v 2, v 3 ) = ((1, 1, 2), (1,, 1), (, 1, 1)). Para encontrar a matriz A de T nas bases pedidas basta encontrar as imagens dos vectores da base B: Obtemos T (v 1 ) = T (1, 1, 2) = (1, 1, 1, 2) = 1e 1 + 1e 2 + 1e 3 + 2e 4 T (v 2 ) = T (1,, 1) = (1,, 1, 1) = 1e 1 + 1e 3 + 1e 4 T (v 3 ) = T (, 1, 1) = (2, 1, 2, 1) = 2e 1 1e 2 + 2e 3 + 1e 4. A = Resolução 2. A matriz A em (1) é a matriz de T em relação às bases canónicas no domínio (i.e. R 3 ) e no conjunto de chegada (i.e. R 4 ). Temos de encontrar a matriz A de T, mudando, no domínio, da base canónica para a base B e mantendo a base no conjunto de chegada. As matrizes de mudança de base são, respectivamente, pelo que S = R = I = A = R 1 A S = A S = = (2) =

3 (.5 val.) (.5 val.) (c) A equação T (v) = b é sempre possível? Justifique. Resolução. A equação T (v) = b, nem sempre é possível. De facto na alínea (a) vimos que dim(t (R 3 ) = 2 < 4 = dim(r 4 ), pelo que a transformação linear T não é sobrejectiva. 1 Para vectores b R 4 que não pertencem ao contradomínio de T, b / T (R 3 ), a equação é impossível. T (v) = b, (d) Dê um exemplo de vector b para o qual a equação não é possível. Quando a equação é possível a solução é única? Justifique os seus passos. Resolução. Mostremos que, por exemplo para b = e 1 = (1,,, ), a equação é impossível. Aplicando MEG à matriz aumentada do sistema, Ã = Como a característica da matriz aumentada, Ã, é diferente da característica da matriz A, car(ã) = 3 > car(a) = 2, o sistema é impossível. Quando a equação é possível a sua solução não é única porque Nuc(T ) {}. Então, se v é uma solução de T (v) = b, o conjunto de todas as (infinitas) soluções é, S nh = v + Nuc(T ) = {v + u, u Nuc(T )}. 2. Considere a transformação linear (.5 val.) T : P 2 (R) R 3 (a) Seja q(x) = 1 + x 2. Encontre T (q). T (p) = (p(), 2p(1), dp dx (2)). 1 Como a dimensão do domínio é menor que a dimensão do conjunto chegada uma transformação linear nunca poderia ser sobrejectiva.

4 Resolução. Temos, (1. val.) T (q) = (q(), 2q(1), dq (2)) = (1, 2(1 + 1), 2 2) = (1, 4, 4). dx (b) Encontre a matriz de T nas bases canónicas de P 2 (R) (B can = (1, x, x 2 )) e de R 3 (B can = (e 1, e 2, e 3 )). Resolução. Para encontrar a matriz A de T nas bases indicadas (bases canónicas no domínio e no conjunto de chegada) temos de encontrar as imagens dos 3 polinómios da base do domínio (B can = (1, x, x 2 )) e escrevê-las como combinações lineares dos 3 vectores da base do conjunto de chegada (B can = (e 1, e 2, e 3 )). Temos, T (1) = (1, 2 1, ) = (1, 2, ) = 1e 1 + 2e 2 T (x) = (, 2 1, 1) = (, 2, 1) = 2e 2 + 1e 3 T (x 2 ) = (, 2 1, 2 2) = (, 2, 4) = 2e 2 + 4e 3, pelo que a matriz de T nas bases canónicas é, 1 A = (.5 val.) (c) Encontre o núcleo de T, Nuc(T ). Justifique. Resolução. Usando o isomorfismo, Pode concluir que T é um isomorfismo? f : R 3 P 2 (R) f((a, b, c)) = a + bx + cx 2, basta encontrar o núcleo de A uma vez que Nuc(T ) = f(nuc(a)). Aplicando MEG a A obtemos, A = , pelo que Nuc(A) = {} 2 e, portanto, também, Nuc(T ) = f(nuc(a)) = {}. 2 Como A é uma matriz quadrada podíamos ter calculado det(a). Uma vez que det(a) = 6, concluímos que Nuc(A) = {}.

5 Como N uc(t ) = {}, concluímos que T é injectiva. Como o domínio e o conjunto de chegada têm a mesma dimensão uma transformação linear é injectiva se e só se é sobrejectiva 3. Alternativamente, uma vez que obtivemos que car(a) = 3, temos, dim(t ((P 2 (R))) = 3 e, portanto, T ((P 2 (R))) = R 3. A transformação linear T é então injectiva e sobrejectiva pelo que é um isomorfismo. 3. Considere a matriz C = (1. val.) (a) Calcule os valores próprios de C e as suas multiplicidades algébricas e geométricas. Qual a forma canónica de Jordan J desta matriz? Resolução. Como a matriz é triangular inferior o seu polinómio característico é, P C (λ) = det(c λi) = (3 λ) 3. A matriz tem portanto só o valor próprio 3 com multiplicidade algébrica, A sua multiplicidade geométrica é, Aplicando MEG a C 3I, ma(3) = 3. mg(3) = dim(e 3 ) = dim(nuc(c 3I)). C 3I = vemos que esta matriz tem 2 pivots e, consequentemente, Portanto J é um bloco de Jordan, dim(nuc(c 3I)) = 1 = mg(3). J = J3 3 = , (1. val.) (b) Encontre uma matriz não singular S tal que S 1 CS = J. 3 De facto, temos ou, equivalente, Portanto dim(nuc(t )) + dim(t (P 2 (R))) = dim(p 2 (R)) = 3, dim(nuc(t )) = 3 dim(t (P 2 (R))). dim(nuc(t )) = dim(t (P 2 (R))) = 3 T (P 2 (R)) = R 3.

6 Resolução. A matriz S é uma matriz de mudança da base canónica para uma base adequada de cadeias maximais de vectores próprios generalizados (vpg) de C. Como J só tem um bloco de Jordan, só há também uma cadeia maximal de vpg, u 1, u 2, u 3, gerada por u 3. Este vector é igual a uma, qualquer, solução do sistema { (C 3I) 3 u 3 = (C 3I) 2. (3) u 3 Temos, (C 3I) 2 = = 2 (C 3I) 3 = (C 3I) 2 (C 3I) = = = O sistema (3) fica então, 2 u 3 = u 3, pelo que uma solução é u 3 = e 1 = (1,, ). Este vector gera os restantes (dois) vectores da cadeia de vpg de C: 1 u 2 = (A 3I) u 3 = 2 = 2 = 2e 2. 1 u 1 = (A 3I) u 2 = = 2 = 2e 3. A matriz S é a matriz de mudança da base canónica para a base de vpg que encontrámos, S : B can = (e 1, e 2, e 3 ) B vpg = (u 1, u 2, u 3 ), S = 1 2 2

7 (1. val.) (.5 val.) 4. Considere o espaço Euclideano real (C([, 2]), <, >) com produto interno, < f, g >= 2 f(x)g(x)dx. Considere a função f(x) = 1 e seja L o subespaço vectorial (de dimensão 1) que ela gera, L = L({f}). (a) Encontre P L (g), onde g(x) = x. Resolução. Temos, onde < g, f > = P L (g) = < g, f > f 2 f, (4) 2 f 2 = < f, f >= Substituindo (5) em (4), obtemos x 1 dx = ( x2 2 ) 2 = 2 2 P L (g)(x) = = 1. (b) Encontre as distâncias de g à função nula (ou origem) e a L. 1 1 dx = (x) 2 = 2. (5) Resolução. A distância entre duas funções (i.e., entre dois vectores de C([, 2])) é a norma da diferença, d(g, ) = g = g = 2 < g, g > = x 2 dx = = ( x3 3 ) 2 = = 2 3. A distância de g à recta L é igual à distância de g a P L (g) (que é o ponto da recta mais próximo de g), 2 d(g, L) = g P L (g) = x 1 = = ( (x 1)3 2 ) 2 = 3 3. (x 1) 2 dx = (1.5 val.) 5. Seja V um espaço vectorial e S a matriz de mudança da base B 1 = (v 1,..., v p ) para a base B 2 = (w 1,..., w p ). Obtenha a fórmula que relaciona o vector x R p de coordenadas de v V, na base B 2, com o vector y de coordenadas de v na base B 1.

8 Resolução. Temos que e e também w j = v = v = i=1 j=1 i=1 S ij v i (6) x j w j, (7) y i v i, (8) i.e. o mesmo vector v representa-se de forma única, (em (7)) como combinação linear dos vectores da base B 2 = (w 1,..., w p ) (com vector de coeficientes x = (x 1,..., x p )) e (em (8)) como combinação linear dos vectores da base B 1 = (v 1,..., v p ). Para relacionar y com x substituímos (6) em (7), v = = ( ) x j w j = x j S ij v i = j=1 i=1 ( ) S ij x j v i. (9) j=1 i=1 j=1 Comparando (9) com (8) concluímos que y i = S ij y j, i = 1,..., n, j=1 ou, equivalente, y = S x.