Algebra Linear. 1. Funções de Matriz Quadrada 1.1. Teorema de Cayley-Hamilton. pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8. c Reinaldo M.

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1 Algebra Linear Teorema de Cayley-Hamilton pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

2 Considere A R n n associada a transformação linear f : R n R n Polinômios de matriz quadrada Para k positivo e k Z, defina: A 0 = I ; A k = AA A (k vezes) Seja f(λ) um polinômio em λ de grau finito como, eg: f(λ) = λ 2 + 8λ + 15 = (λ + 3)(λ + 5) Uma função f(a) é definida da forma: f(a) A 2 + 8A + 15I = (A + 3I)(A + 5I) pag.2 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

3 Se A assume a forma bloco diagonal A = A A 2 com A 1 e A 2 matrizes quadradas de qualquer ordem, tem-se A k = Ak 1 0 ; f(a) = f(a 1) 0 0 A k 2 0 f(a 2 ) pag.3 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

4 Como é sempre possível escrever  = Q 1 AQ ou A = QÂQ 1, sendo  a representação de A na Forma Canônica de Jordan, então: f(a) = f(qâq 1 ) ( = QÂQ 1) 2 }{{} (QÂQ 1 )(QÂQ 1 ) (Â2 ) = Q + 8 + 15I = Qf(Â)Q 1 +8QÂQ I Q 1 ou f(â) = Q 1 f(a)q pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

5 Definição O polinômio mínimo de A é o polinômio mônico (o coeficiente do termo de grau mais alto é 1) ψ(λ) de menor grau tal que ψ(a) = 0 Note que f(a) = 0 se e somente se f(â) = 0 (matrizes similares têm o mesmo polinômio mínimo...) Obter o polinômio mínimo diretamente de A não é tão trivial, porém o polinômio mínimo de uma matriz na forma de Jordan pode ser obtido por inspeção... Se λ i é um autovalor de A com multiplicidade n i, o polinômio característico de A é dado por (λ) = det(λi A) = i (λ λ i ) n i pag.5 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

6 Suponha que a forma de Jordan de A é conhecida, define-se como o índice de λ i, dado por n i, a maior ordem de todos os blocos de Jordan associados a λ i. Por exemplo, λ 1 tem multiplicidade 4 nas quatro matrizes abaixo: λ λ λ λ Â 1 = ; Â 2 = λ λ λ λ 1 Â 3 = λ λ λ ; Â 4 = λ λ λ λ λ 1 os índices do autovalor λ 1 são, respectivamente, n i = 1, 2, 3 e 4 pag.6 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

7 Usando os índices n i de todos os autovalores λ i, o polinômio mínimo pode ser expresso da forma: ψ(λ) = i (λ λ i ) n i com grau n = n i n i = n = dimensão de A Nas matrizes acima, os polinômios mínimos são: ψ 1 = (λ λ 1 ) ; ψ 2 = (λ λ 1 ) 2 ; ψ 3 = (λ λ 1 ) 3 ; ψ 4 = (λ λ 1 ) 4 Porém note que o polinômio característico é sempre (λ) = (λ λ 1 ) 4 O polinômio mínimo é um fator do polinômio característico, porém, se os autovalores são todos distintos, os dois polinômios são iguais... pag.7 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

8 Exemplo Para a matriz na forma de Jordan  = λ λ λ λ, n i = 4 Compute: ( λi) = ; ( λi) 2 = pag.8 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

9 (Â λi) 3 = ; (Â λi) k = 0 para k 4 Veja que n i = 4... Note ainda que ψ 4 = (λ λ 1 ) 4 Portanto, ψ(a) = 0 e nenhum outro polinômio de grau menor verifica a condição pag.9 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

10 Teorema de Cayley-Hamilton Teorema Seja (λ) = det(λi A) = λ n + α 1 λ n α n 1 λ + α n o polinômio característico de A. Então, (A) = A n + α 1 A n α n 1 A + α n I = 0 isto é, toda matriz A R n n satisfaz sua equação característica Como n i n i, o polinômio característico contém o polinômio mínimo como um fator, ou seja, para algum polinômio h(λ) (λ) = ψ(λ)h(λ) Como ψ(a) = 0, (A) = ψ(a)h(a) = 0 h(a) = 0 pag.10 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

11 Teorema de Cayley-Hamilton Pelo Teorema, A n pode ser escrito como uma combinação linear de {I, A,..., A n 1 }, ie, multiplicando-se (A) = 0 por A tem-se: A n+1 + α 1 A n + + α n 1 A 2 + α n A = 0 tal que A n+1 pode ser escrito como combinação linear de {A, A 2..., A n }, que por sua vez pode se escrever como combinação linear de {I, A,..., A n 1 }, e assim sucessivamente... Para qualquer polinômio f(λ), independentemente do grau, e valores apropriados de β i, f(a) pode ser expresso na forma f(a) = β 0 I + β 1 A + + β n 1 A n 1 Se o polinômio mínimo (grau n) de A é conhecido, A pode ser expressa como combinação linear de {I, A,..., A n 1 } pag.11 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

12 Teorema de Cayley-Hamilton Expressando um polinômio qualquer f(λ) na forma: f(λ) = q(λ) (λ) + h(λ) q(λ): quociente da divisão por (λ) h(λ): resto da divisão (grau menor que n) Obtém-se: f(a) = q(a) (A) + h(a) = q(a) 0 + h(a) = h(a) pag.12 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

13 Uma alternativa à divisão de polinômios em f(λ) é dada a seguir. Defina: h(λ) = β 0 + β 1 λ + + β n 1 λ n 1 sendo β i, i = 0,..., n 1: n incógnitas a serem obtidas Se os n autovalores de A são distintos, β i podem ser obtidos diretamente das n equações f(λ i ) = q(λ i ) (λ i ) + h(λ i ) = h(λ i ), i = 1, 2,..., n Se A tem autovalores com multiplicidade maior do que 1, a expressão acima tem que ser diferenciada (em relação a λ) para fornecer novas equações como a seguir... pag.13 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

14 Teorema Seja f(λ) uma função dada e A R n n com o polinômio característico: (λ) = my (λ λ i ) n i ; n = i=1 mx i=1 n i Defina o polinômio de grau n 1 (com n coeficientes a determinar): h(λ) = β 0 + β 1 λ + + β n 1 λ n 1 Os n coeficientes β i podem ser obtidos do conjunto de n equações dadas por 8 < f (l) (λ i ) = h (l) l = 0, 1,..., n i 1 (λ i ) : i = 1, 2,..., m sendo que f (l) (λ i ) dl f(λ) dλ l λ=λi ; h (l) (λ i ) dl h(λ) dλ l λ=λi Então f(a) = h(a) e diz-se que h(λ) é igual a f(λ) no espectro (conjunto dos autovalores) de A pag.14 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

15 Exemplo Obtenha A 100, sendo A = e (λ) = (λ 1) 2 Faça: h(λ) = β 0 + β 1 λ, ie, até n 1... Espectro de A: λ = 1, f(λ) = λ 100 f(1) = h(1) = β 0 + β 1 d dλ f(1) = d dλ h(1) 100(199 ) = β 1 A 100 = f(a) = h(a) = β 0 I + β 1 A = = β 1 = 100 e β 0 = pag.15 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

16 Exemplo Para A = , com (λ) = (λ 1) 2 (λ 2) n 1 = 2, n 2 = 1 Obtenha e At, ie, se f(λ) = e λt, encontre f(a). Considere: h(λ) = β 0 + β 1 λ + β 2 λ 2 ; h(a) = f(a) = β 0 I + β 1 A + β 2 A 2 Então f(1) = h(1) e t = β 0 + β 1 + β 2 f (1) = h (1) te t = β 1 + 2β 2 f(2) = h(2) e 2t = β 0 + 2β 1 + 4β 2 e... pag.16 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

17 e... β 0 = 2te t + e 2t ; β 1 = 3te t + 2e t 2e 2t ; β 2 = e 2t e t te t e At = f(a) = h(a) 2e t e 2t 0 2e t 2e 2t 0 e t 0 e t + e 2t 0 2e 2t e t pag.17 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

18 Pode-se também obter f(â) genérica, para  na forma de Jordan, e posteriormente ajustar a uma escolha para f(λ)... Exemplo Considere o bloco de Jordan:  = λ λ λ λ 1 (λ) = (λ λ 1 ) 4. Escolhendo (de maneira conveniente): h(λ) = β 0 + β 1 (λ λ 1 ) + β 2 (λ λ 1 ) 2 + β 3 (λ λ 1 ) 3 A condição f(λ) = h(λ) no espectro de  fornece β 0 = f(λ 1 ) ; β 1 = f (λ 1 ) 1! ; β 2 = f (λ 1 ) 2! ; β 3 = f(3) (λ 1 ) 3! pag.18 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

19 Portanto f(â) = f(λ 1 )I+ f (λ 1 ) 1! (Â λ 1 I)+ f (λ 1 ) 2! (Â λ 1 I) 2 + f(3) (λ 1 ) (Â λ 1 I) 3 3! Usando as propriedades de (Â λi) k (e para k 4, (Â λi) k = 0): f(â) = f(λ 1 ) f (λ 1 )/1! f (λ 1 )/2! f (3) (λ 1 )/3! 0 f(λ 1 ) f (λ 1 )/1! f (λ 1 )/2! 0 0 f(λ 1 ) f (λ 1 )/1! f(λ 1 ) pag.19 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

20 Por exemplo, escolhendo: f(λ) = e λt eât = e λ 1t te λ t 2 e λ 1t t 3 e λ 1t 1t 2! 3! 0 e λ 1t te λ t 2 e λ 1t 1t 2! 0 0 e λ 1t te λ 1t e λ 1t pag.20 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

21 Exemplo Considere a matriz (com dois blocos de Jordan) λ λ A = 0 0 λ λ λ 2 Se f(λ) = e λt, então e λ 1t te λ 1t t 2 e λ1t /2! e λ 1t te λ 1t 0 0 e At = 0 0 e λ 1t e λ 2t te λ 2t e λ 2t pag.21 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

22 Se f(λ) = (s λ) 1, então (s λ 1 ) (s λ 1 ) 2 (s λ 1 ) (s λ 1 ) (s λ 1 ) 2 (si A) 1 1 = (s λ 1 ) (s λ 2 ) (s λ 2 ) (s λ 2 ) pag.22 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8

23 O teorema de Cayley-Hamilton fornece uma fórmula expĺıcita para o cálculo da matriz inversa, já que uma matriz deve satisfazer seu próprio polinômio característico. De fato multiplicando (A) por A 1 : A 1 (A) = A 1 ( A n + α 1 A n α n 1 A + α n I ) = 0 ( A n 1 + α 1 A n α n 1 I + α n A 1) = 0 ou A 1 = 1 [ ] A n 1 + α 1 A n α n 1 I α n Veja que a inversa de A é expressão de até n 1 potências de A pag.23 Teoria de Sistemas Lineares Aula 8