3 a Avaliação Parcial - Álgebra Linear

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1 3 a Avaliação Parcial - Álgebra Linear Considere a função T : R 3 R 3 dada por T(x, y, z) = (x y z, x y + z, x y z) e as bases de R 3 B = (1, 1, 1), (1, 0, 1), ( 1,, 0)} (a) Encontre [T] B B. B = ( 1,, 1), (1, 1, 1), (1,, 1)} (b) Explique por que T é um isomorfismo. olução: A rigor, deve-se mostrar que T é uma transformação linear, isto é, que T preserva a soma de vetores e a multiplicação por escalar. Além disso, deve-se verificar que os conjuntos B e B são bases. Tais verificações são simples e são deixadas como exercício. (a) Para encontrar [T] B B, devemos encontrar cada imagem dos vetores da base B escrita como combinação linear da base B, isto é, escrever T(1, 1, 1) = a( 1,, 1) + b(1, 1, 1) + c(1,, 1) e determinar os coeficientes a, b, c. Como a expressão de T é dada, basta substituir. Temos: (0, 0, 3) = ( a + b + c, a b + c, a + b c) que equivale ao sistema a + b + c = 0 a b + c = 0 a + b c = 3 Resolvendo o sistema acima, obtemos a = 9 8, b = 3 e c = 3 8. De maneira análoga, devemos resolver os sitemas T(1, 0, 1) = d( 1,, 1) + e(1, 1, 1) + f (1,, 1) cujas soluções são: T( 1,, 0) = g( 1,, 1) + h(1, 1, 1) + i(1,, 1) d = 0, e = 0, f = 1 g = 1 8, h = 9, i = 1 8 Como cada solução representa uma coluna da matriz procurada, temos: [T] B B =

2 (b) Para mostrar que T é um isomorfismo, basta escalonar [T] B. B escalonada para tal matriz, é: Uma forma que tem posto 3 e nulidade zero, ou seja, dim Im(T) = 3 (o que faz dela uma transformação sobrejetora) e dim N(T) = 0, o que faz de T, injetora. endo T bijetora, temos um isomorfismo.. Considere o operador linear A : R R definido por (a) Encontre os autovalores de A. (b) Encontre os autovetores de A. (c) Encontre os autoespaços de A. olução: A(x, y) = (y x, 3x + y) (a) Primeiro devemos encontrar matriz [A]. endo (1, 0), (0, 1)} a base canônica de R, temos: A(1, 0) = ( 1, 3) = 1.(1, 0) + 3.(0, 1) ou seja A(0, 1) = (, 1) =.(1, 0) + 1.(0, 1) [A] = Para determinar os autovalores de A devemos encontrar as raízes de isto é, as raízes de que são λ 1 = e λ =. p(λ) = det([a] λi) p(λ) = ( 1 λ) 3 (1 λ) = λ (b) Para encontrar os autovetores associados a estes autovalores, devemos resolver a equação A(x, y) = λ(x, y) para cada autovalor. Esta igualdade corresponde ao sistema ( 1 λ)x + y = 0 3x + (1 λ)y = 0 Para o primeiro autovalor, devemos resolver o sistema ( 1 + )x + y = 0 3x + (1 + )y = 0 Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda equação por ( 1 + ), temos: ( )x + 6y = 0 ( )x + (1 )(1 + )y = 0

3 ou seja que se resume a equação Logo, ( )x + 6y = 0 ( )x + 6y = 0 ( 1 + )x + y = 0 y = 1 x e os autovetores associados ao autovalor λ 1 = são da forma ( v 1 = x, 1 ) x, com x 0 De maneira análoga, encontraremos os autovetores associados ao autovalor λ = sendo da forma ( v = x, 1 + ) x, com x 0 (c) A partir dos autovetores, encontramos os autoespaços: ( E 1 = x, 1 ) } x ; x R ( E = x, 1 + ) } x ; x R 3. Considere o operador linear B : R R definido por B(x, y) = ( y, x) (a) Considerando a transformação A : R R da questão anterior, e usando as matrizes dos operadores A e B (associadas às bases canônicas), encontre uma expressão para A B : R R. (b) Verifique que A e B são isomorfismos. (c) Determine [(A B) 1 ], usando apenas as matrizes vistas até aqui. olução: (a) No item (a) da questão anterior, já vimos que 1 [A] = 3 1 endo B(x, y) = ( y, x), então B(1, 0) = (0, 1) = 0.(1, 0) + ( 1).(0, 1) B(0, 1) = ( 1, 0) = ( 1).(1, 0) + 0.(0, 1) 3

4 e, portanto, [B] = [ 0 ] 1 A matriz do operador A B com relação à base canônica, é dado por: [A B] = [A].[B] =. = e de acordo com o lembrete ao final da prova, [(A B)(x, y)] B = [A B] B B.[(x, y)] B como a base considerada é a base canônica, então x [(x, y)] B = y e isto é, 1 [(A B)(x, y)] B =. 1 3 x = y x + y x 3y (A B)(x, y) = ( x + y)e 1 + ( x 3y)e = ( x + y, x 3y) (b) Para verificar que A e B são isomorfismos, basta escalonar as matrizes [A] e [B]. Por exemplo, temos as seguintes formas escalonadas: E [A] = 1, E 0 [B] = Em ambas, observamos que o posto é igual a. endo os operadores definidos em R, isto garante que ambos são operadores sobrejetores. Também observamos que ambas as matrizes tem nulidade zero, isto é, ambos os operadores são injetores. Concluimos que ambos os operadores são isomorfismos. (c) Primeiramente devemos garantir a existência de (A B) 1. Ora, mas isso decorre do fato de A e B serem isomorfismos (item b) e de que a composição de isomorfismos também é isomorfismo. Daí, no item (a) encontramos a matriz [A B]. Portanto, 3 1 [(A B) 1 ] = [A B] 1 = 1 4. Ainda considerando a transformação B da questão anterior, faça o que se pede: (a) Determine os autovalores de B. (b) Determine [B] B B onde B é uma base de R formada por autovetores do operador B. Considere os autovalores em ordem crescente. (c) Escreva [(x, y)] B e [B(x, y)] B. A partir daí, verifique que B(x, y) = ( y, x). 4

5 (d) Agora, considerando a ordem decrescente dos autovalores, encontre uma base B formada por autovetores do operador B. Escreva [(x, y)] B e [B(x, y)] B e, a partir daí, verifique que ainda se tem B(x, y) = ( y, x). olução: (a) Na questão anterior vimos que [B] = [ 0 ] 1 Portanto, os autovalores de B são dados pelas raízes do polinômio p(λ) = det([b] λi) = λ 1 1 λ = λ 1 ou seja λ 1 = 1 e λ = 1. (b) e 1 e 1 são os autovalores de B determinados no item anteior, então uma base de autovetores associados produz uma matriz diagonal, na qual apresentam-se os autovalores do operador, ou seja, [B] B = 0 1 onde B = w 1, w } é uma base formada por autovetores w 1, w associados à λ 1 = 1 e λ = 1 respectivamente. (c) Vamos exibir a base de autovetores. Devemos resolver a equação B(x, y) = λ(x, y), isto é, resolver o sistema λ.x y = 0 ( y, x) = (λx, λy) x λy = 0 Quando λ = 1, temos x y = 0 x + y = 0 ou simplesmente x = y, que produz autovetores na forma Já para λ = 1, temos v 1 = (x, x), com x 0 x y = 0 x y = 0 que se resume a x = y. Assim, os autovetores associados são da forma v = (x, x), com x 0 Desta forma, uma base de autovetores é, por exemplo, B = (1, 1), (1, 1)} Considerando tal base, temos [(x, y)] B = a b 5

6 onde (x, y) = a(1, 1) + b(1, 1). Resolvendo este último sistema, encontramos a = x + y e b = x y. Daí Logo, ou seja, [(x, y)] B = [B(x, y)] B = [B] B.[(x, y)] B = B(x, y) = x y.w 1 + x y x + y x y. 0 1.w = x y x + y x y = x y x y.(1, 1) + x y.(1, 1) = ( y, x) (d) Basta refazer o item (c) trocando a ordem dos autovalores, o que consequentemente altera a ordem dos vetores da base de autovetores: B = (1, 1), (1, 1)} Lembrete: [B(x, y)] B = [B] B 1 B.[(x, y)] B1. 6