3 a. Lista de Exercícios

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1 Última atualização 07/05/008 FACULDADE Engenharia Disciplina: Álgebra Linear Professor(: Data / / Aluno(: urma a Lista de Exercícios Dentre as aplicações, as mais importantes são as aplicações lineares Uma boa parte da Matemática é dedicada à redução de questões relativas a aplicações arbitrárias para questões que envolvam aplicações lineares De qualquer forma, as aplicações são interessantes em si mesmas e muitas delas são lineares Por outro lado, freqüentemente é possível aproximar uma aplicação arbitrária por uma linear, cujo estudo é mais simples do que o estudo da aplicação original (Serge Lang)

2 Álgebra Linear ransformações lineares Autovalores e autovetores RANSFORMAÇÕES LINEARES Questão Verifique quais das seguintes aplicações são lineares: : definida por ( x,y, ( x, = b) : R definida por ( x, x y c) : R = definida por ( x) x = d) : definida por ( x,y, ( x,y = definida por ( x) sen( x) e) :R = f) definida por ( x, = ( x+ y, x, Questão Determine a transformação linear para cada uma das aplicações abaixo: b) c) d) S : tal que (, ) = (, 5, ) ( 0, ) = (,, 4) e tal que ( 0,, 0) = (, 0), ( 00,, ) = (, ) ( 0, 0, ) = ( 0, ) e tal que (,, ) = (,, ), ( 00,, ) = (, 5, ) ( 0, 4, ) = ( 0,, ) e tal que S(,, ) = (, ), S( 00,, ) = ( 0, ) e S( 0, 0, ) = ( 0, 0) Questão Qual a transformação linear b) Determine ( 0, ) e ( 0, ), usando o item ( tal que (, ) = (,, ) ( 0, ) = ( 00,, ) e? Questão 4 Determinar a dimensão do núcleo e da imagem e suas respectivas bases da aplicação linear do: Exercício, itens (, (d) e (f) b) Exercício, item (b) Questão 5 Sendo para () e Im() definida por ( x, y, ( x+ y, x z, x+ =, determine uma base

3 Álgebra Linear ransformações lineares Autovalores e autovetores Questão 6 Determinar uma transformação linear: b) c) cuja imagem seja gerada por ( ) ( 4 5 6) tal que ( ) ( ) ( ),,,,, [, 0, 0, 0,, 0 ] e Im ( ) [(, 4) ] Considere β= {( 0 0)( 0 0)( 0 0) } = = [ ] tal que Im ( ) (,,),(,,0) =,,,,,,,, base do R Questão 7 Verifique se as transformações abaixo são injetoras b), tal que ( x, ( x y, y x, x =, tal que ( x, y, ( x+ z, x y = Questão 8 Seja vetores estão em Im()? (, -4) b) (5, 0) c) (-, ) operador linear dado por ( x, ( x y, 8x+ 4 = Quais dos seguintes Questão 9 Seja vetores estão em ()? operador linear dado por ( x, ( x y, 8x+ 4 = Quais dos seguintes (5, 0) b) (, ) c) (, ) Questão 0 Determinar a transformação linear (,, ) (,,, ) 0 0 = tal que ( ) ( ) {,, ; } = x y z R z= x y e Questão Considere a transformação linear definida por ( x,y, ( x+ y z,x+ A bases A = {(,0,0)(,,,0)(, 0,, )} dor e B= {(, )(, 0,) } dor Determine a matriz [ ] B = e as Questão Considere a transformação linear, ( x, = ( x y, x+ y, e as bases A A = {(, )(,,) } e = {( 0,0, )(, 0,, )(,,,0 )}, onde C é a base canônica do R? B Determine [ ] Qual a matriz [ ] A C B

4 Álgebra Linear ransformações lineares Autovalores e autovetores Questão R e = (,, )(,,,0),(,0,) Sabendo que a matriz de uma transformação linear B do R é encontre a expressão de ( x, e a matriz [ ] A B = 5, [ ] nas bases = (, ),(,0) A do Questão 4 Seja [ ] = 0 a matriz canônica de uma transformação linear ( v) = (,4, ), determine v R Se Questão 5 Seja o operador linear dado pela matriz [ ] = 0 Calcule () e dim () b) Calcule Im() e dim Im() 4

5 Álgebra Linear ransformações lineares Autovalores e autovetores AUOVALORES E AUOVEORES Questão Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores dos operadores lineares: e, tal que = ; ( ) [ ] v=, 0 e = b) v= (,,), tal que [ ] Questão Determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares: R ; (x, = (x + y, x + 4; b) ; ( x, ( x+ y, x+ c) R d) R = ; ; (x, = (5x y, x + ; ; (x, = (y, x); e) ; ( x, y, = ( x+ z, z, Questão Os vetores v = (, ) e v = (, ) são autovetores de um operador linear, associados a = 5 λ =, respectivamente Determinar a imagem do vetor v= ( 4, ) por esse operador λ e Questão 4 Determine o operador linear cujos autovalores são λ = e λ = associados =, e v (0,, respectivamente aos autovetores ( ) ) v = b) Mesmo enunciado para =, λ = λ e (,), v = (,0 ) v = Questão 5 Se λ = 4 e λ =, são autovalores de, associados aos autovetores u = (,) e v = (,), respectivamente, determine (u v) Questão 6 Considere um operador linear, tal que (u) = u e (v) = v para algum vetor u ( e v) R Determine (w) se u = (0,), v = (,6) e w = (,7) 5

6 Álgebra Linear ransformações lineares Autovalores e autovetores Respostas ransformações Lineares Q São lineares as aplicações dos itens (,(d) e (f) Q ( x, = ( x+ y, x+ y, x 4 b) ( x,y, = ( x+ y, y c) ( x,y, = ( 5x+ y 8z, x+ y z, x+ 5y 8 d) S( x,y, = x, ( 5x 6 ( ) x,y ( x, 5x y, x) b) (, 0) = (, 5, ) ( 0, ) = ( 0,, 0) Q ( ) = ( ) e d) β ( ) = {( 0,, )} e β Im ( ) = {( 0, ),( 0, )} f) β ( ) = {(,,0 Im ),(,0, )} β = {,, } e β Im ( ) {(, ),(, )} Q4 β ( ) = ( 0, 0, ) e β Im ( ) = ( 0, ),( 0, ) b) b) ( ) ( ) Q5 β ( ) = {(,,) } b) ( ) = {(,,)(,,,0) } β Im Q6 ( x, ( x+ 4 y, x+ 5y, x+ 6 b) ( x,y, = ( z, 4 c) ( x,y, = ( x+ y, x+ y, x) = 0 0 = Q7 ()=[(,)], não é injetora b) ()=[(0,,-)], não é injetora Q8 ( e (c) Q9 ( Q0 x,y,z = 0, 0, 0, z x+ y Q0 ( ) ( ) Q 0 Autovalores e autovetores Q Sim b) Não Q λ =, v = ( y, ; λ =, v = (y, b) λ =, v = ( y, ; λ = 4, v = ( y, c) λ =λ = 4, v= ( x, x) d) Não existem e) λ = λ =, v = ( x, y, ; λ = 4, v = ( x, x, ) Q (8,) Q4 x Q4 ( x, ( x,x+ = 5 b) ( x, = x+ y, y Q5 (6,6) 5 Q6, 0 Q 5 e 5 Q ( x, = ( 8x+ 8y,6x+ y, x 4 e [ ] Q4 v = (,0) 8 = Q5 ( ) = {( z, z, 4 ; z R},dim ( ) = b) Im { R ; x z= 0},dim Im( ) = ( ) = ( x, y, 6