0.1 Lista: Autovalores, autovetores

Transcrição

1 0. Lista: Autovalores, autovetores (Prof. Patricia, Katiani, Graciela). Encontre os autovalores das transformações lineares dadas: (a) T : R 2 R 2 tal que T(x,y) = (2y,x). (b) T : R 2 R 2 tal que T(x,y) = (x+y,2x+y). (c) T : R 3 R 3 tal que T(x,y,z) = (x+y,x y +2z,2x+y z). (d) T : P 2 P 2 tal que T(ax 2 +bc+c) = ax 2 +cx+b. (e) T : M(2,2) M(2,2) tal que A A t 2. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: a) A = 0 2 ; b) B = 0 ; c) C = (ENADE) Uma transformação lineart : R 2 R 2 faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal, como indica a figura a seguir: Essa transformaçãot : (a) é dada por T(x,y) = ( x,y).? (b) tem autovalor igual a 2 com autovetor associado igual a(0, ).? (c) tem autovalor igual a com autovetor associado(2,0).? (d) tem autovalor de multiplicidade 2? (e) não é inversível.? 4. Construa uma matriz 2 2 não diagonal com autovalorese. 5. Encontre a transformação linear T : R 2 R 2 ; tal que T tenha autovalores 2 e 3 associados aos autovetores (3y, y) e( 2y, y) respectivamente. 6. Que vetores não nulos do plano, quando cisalhados por C(x,y) = (y 3x,y) e em seguida girados de 45 o (no sentido anti-horário) ficam ampliados / reduzidos (na mesma direção)? Em quantas vezes? 7. Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador linear T : R 3 R 3 obtido quando se faz uma rotação deπ rad em torno do eixox; seguida de uma contração de fator/2. 9. SejaT : M 2 2 M 2 2 com autovetores [ [ 0 0 v = ; v 2 = ; v 3 = [ 0 0 ev 4 = [ 0 0 associados aos autovalores λ = ;λ 2 = ;λ 3 = 2;λ 4 = 0; respectivamente. Determine T. (isto é, determine [ a b T( ) c d

2 0. Dada a transformação linear T : R 2 R 2 que é a projeção sobre a reta y = x Encontre os autovalores e autovetores da transformaçãot.. Considere P = conjunto dos polinômios de grau menor o igual a. Seja o operador linear D : P P dado pord(p) = xp +p. Determine os autovalores e autovetores ded. 2. Seja A uma matriz quadrada e A t sua transposta. As matrizes A e A t possuem os mesmos autovalores e autovetores? Justifique sua resposta. 3. Encontre os autovalores e autovetores da transformação linear que a cada vetor v R 3 associa a sua projeção ortogonal no planox+y = 0 4. SejaT : V V linear (a) Seλ = 0 é autovalor det, mostre que T não é injetora. (b) A recíproca é verdadeira? Ou seja, set não é injetora,= 0 é autovalor det? (c) Quais são os autovalores e autovetores do operador derivaçãod : P 2 P 2 ; D(p) = p 5. SejamA,B M(n,n) matrizes triangulares com a mesma diagonal principal. Existe alguma relação entre seus autovalores? Qual? 6. Mostre que o conjunto de todos os autovetores de um operador lineart : V V associados a um autovalor é um subespaço vetorial dev. 7. Discuta a veracidade da afirmação: Seλnão é um autovalor dea, então o sistema linear(a λi)v = 0 só tem a solução trivial. [ [ A matriz A = é semelhante à matriz B = Determine uma matriz P. que realiza esta semelhança. 9. Verifique se as matrizes dadas são semelhantes (a) [ 4 [ 2 e 3 [ 3 (b) 6 2 [ 2 e SejamAeB matrizesn n. Mostre que seb é semelhante aa, então as duas matrizes tem o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores. 2. SeB = R AR e v é um autovetor deb associado a um autovalorλentãorv é autovetor deaassociado aλ 22. SejamAeB matrizes semelhantes. Prove que: (a)a I eb I são semelhantes. (b)a k eb k são semelhantes, para cada inteiro positivo k. (c) SeAeB são inversíveis, entãoa e B são semelhantes. 23. SejaT o operador linear emr 3 definido por T(x,y,z) = (2y +z,x 4y,3x) e considere a base canônica der 3 e a base ={(,,);(,,0);(,0,0)}. (a) Mostre que as matrizes[t e[t β são semelhantes. (b) T é inversível? Se for determine a lei que define T. 24. Sejam T : V V é um operador linear e α e β bases distintas de V. Mostre que se [T α e [T β são matrizes semelhantes entãodet[t α = det[t β 25. SejaT : R 2 R 2 o operador linear definido port(x,y) = (7x 4y, 4x+y) (a) Determinar uma base dor 2 em relação à qual a matriz do operadort é diagonal. (b) Dar a matriz det nessa base. 26. Considere uma transformação linear T : V V abaixo. Se possível, encontre uma base β para V tal que a matriz[t β de T ; em relação à base; seja diagonal. (a) T : P 2 P 2 definida port(a+bx) = (4a+2b)+(a+3b)x. 2

3 (b) T : P 2 P 2 definida port(p(x)) = p(x+). 27. Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P AP. 2 0 [ 2 5 (a) A = (b) A = 3 (c) A = Considere o operador T : R 3 R 3 definido por T(x,y,z) = (5x+4z,x 5y,3z) e o operador S : R 3 R 3 definido pela reflexão através do planox+2z = 0. (a) DetermineST : (b)s o T é diagonalizável? Se for, encontre D e P tal que D = P [S o TP. 29. Determine o valor dek para que a matriza = 2 k seja diagonalizável. 30. Determine a de modo que a matriz A seja diagonalizável. Para o valor de a encontrado, determine uma matriz inversívelp e uma matriz diagonal D tais que P AP = D A = 0 a Encontre os autovalores dea 9 sea = 32. CalculeA 0 paraa = [ / SejaT um operador linear que preserva o comprimento do vetorv = (,0,0) duplica o comprimento do vetor v 2 = (0,2,0) e inverte o sentido do vetorv 3 = (0,2,). Determine o operador linear T Seja T : V V o operador linear que tem autovalores λ =,λ 2 = 2 ;λ n = n associados aos autovetores v,v 2,,v n respectivamente. Sabendo que β = {v,..,v n } e que [v β = 2. determinar[t(v) : n 35. SejaAuma matriz inversível. Prove que, se A é diagonalizável,a também é. 36. Seja A uma matriz 4 4 e seja um autovalor de multiplicidade 3. Se A λi tem posto, A é diagonalizável? Explique. 37. Classifique cada afirmação como verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta. (a) Se A é diagonalizável, então A tem n autovalores distintos. (b) SeAéinversível entãoaédiagonalizável. (c) Uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes é diagonal izável. (d) Se A é diagonalizável, então cada um de seus autovalores tem multiplicidade: (e) Se nenhum dos autovalores deaénulo, entãodeta 0. (f) Se u e v são autovetores de A associados, respectivamente, aos autovaloes distintos λ e λ 2 então u+v é um autovetor deaassociado ao autovalor λ +λ 2. (g) Sev é autovetor dos operadorest : V V es : V V entãov é autovetor do operadort +S. 3

4 Lista Autovetores, autovalores Gabarito. a) Paraλ = 2 tem-se v = ( 2y,y) e paraλ 2 = 2 tem-sev 2 = ( 2y,y). b) Paraλ = + 2 tem-sev = ( 2 2 y,y) e paraλ 2 = 2 tem-se v 2 = ( 2 2 y,y) c) Para λ = 2 tem-se v = (x, 3x,x); para λ 2 = tem-se v 2 = ( 2z,4z,z) e para λ 3 = 2 tem-se v 3 = (y,y,y) d) Paraλ = λ 2 = tem-sep (x) = ax 2 +bx+b e paraλ 2 = tem-se p 2 (x) = bx+b [ [ a b 0 c e) Paraλ = λ 2 = tem-sea = e paraλ 3 = λ 4 = tem-se A 2 = b c c 0 2. a) Paraλ = λ 2 = tem-sev = (x,0,0) b) Para λ = tem-se v = ( z, 2z,z); para λ 2 = tem-se v 2 = ( x,x,0) e para λ 3 = 3 tem-se v 3 = (x,0,x) 3. letra c) c) Para λ = tem-se v = ( 3 x,0,x,0) para λ 2 = tem-se v 2 = (0, t,0,t) e para λ 3 = 6, temos v 3 = ( 4 x,0,x,0) 5. T(x,y) = ( 6y, x+y) 6. Paraλ = tem-sev = (x, 3 5 x) e paraλ 2 = 2 tem-se v 2 = (0,y) 7. Paraλ = λ 2 = /2 tem-se v = (x,0,0) e paraλ 2 = λ 3 = /2 tem-se v 2 = (0,y,z) [. a)t(x,y) = ( 29x 5y, 5x+2y 5 ) c) 24 [ a b 9. T( c d [ a+c d b ) = 2c 2d 0 0. Paraλ = 0 tem-sev = (2y,y) e paraλ 2 = 0 tem-se v 2 = (x, 2x). Paraλ = tem-sep (x) = a e paraλ 2 = tem-se p 2 (x) = b+bx Para concluir que os autovalores são os mesmos, mostre que A e A t tem o mesmo polinômio característico. 3. Paraλ = 0 tem-sev = (x,x,0) e paraλ 2 = λ 3 = tem-se v 2 = ( y,y,z) 4. c)λ = 0 p(x) = 0 7. Verdadeiro. [. P é da forma P = que P é inversível. 9. a) Sim b) Não a a 3 2 d d [, então uma matriz que realiza a semelhança pode ser P = 3/2 Note 20. Partir da hipótese A = PBP e mostrar que det(a λi) = det(b λi). 23. b)t (x,y,z) = z 3, y 4 + z 2,x+ y 2 z 6 ) [ a)β = {(/2,),( 2,) b) [T β = a)β = {(,),(2,)} e[t β = [ b) Não existe baseβ para a qual [T β seja diagonal. 4

5 27. a) Não b)p = c) Não 2. a) T(x,y,z) = (3x,x 5y, 4x 5z) 29. k = 0 b) Paraλ = 0 tem-sev = (0,y,0) paraλ 2 = 3 tem-sev 2 = ( 2z, 7 3 z,z) e paraλ 3 = 5 tem-sev 3 = (0,y,y) 30. a = 4, P = 3. A 9 = 32. A 0 = [ T 20 (x,y,z) = (x,04576y z,z) 34. [T(v) = [ n 2 t 37. F F F F F V V e D =