MAT 138 Noções de Àlgebra Linear

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1 MAT 8 Noções de Àlgebra Linear a LISTA DE EXERCÍCIOS.I. Dentre as transformações T : R R abaixo, verifique quais são lineares. a) Tx, y) = x y, x + 5y) b) Tx, y) = y, x) c) Tx, y) = x +, y) d) Tx, y) = senx, y). Encontre a matriz A que define a transformação linear T : R R dada por: a) T x, x ) = x x, x + ) b) T x,, x ) = x,7 8 x ). Dada a transformação linear T : R R tal que T x, x ) = x x, x + ). a) Determine T, ) e T, ). b) Determine o conjunto dos vetores do n R cuja imagem é o vetor nulo do. Esboçar a imagem do quadrado de vértices P =, ), P =,), P =,), P =,) usando o operador linear T : IR x x IR definido port =. Faça o desenho. y y 5. Achar a matriz da transformação linear T : IR a) sua reflexão em torno da reta y = -x. b) sua reflexão através da origem. c) Sua projeção ortogonal sobre o eixo y. m R. IR que leva um ponto x, y) ver figura abaixo) em: x,y) x,y) x,y) 6. Seja T : IR Tu), Tv) e Tu + v). IR uma transformação linear que leva u =, 5) em, ) e v =, ) em, ). Determine 7. Determine a transformação linear T : IR 8. Determine a transformação linear T : IR IR em que T, ) =,, ), T, -)=,, ). 9. Seja o operador linear T : R R definido pela matriz A a) A imagem dos vetores:,,),,,), -,,) por T. b) O núcleo do operador linear. c) O operador inverso T. d) A imagem dos vetores,, ),,, ),, -, ) por IR em que T,, ) =, ), T, -, )=, ) e T,, )=, ). =, determine: T.

2 . Em cada item, seja T: R R tal que TX) = AX. Determine se T tem uma inversa. Se tiver encontre-a. a) 5 A = b) A = c) A =.. Encontre a matriz A do operador linear T definido pela fórmula: a) T x, x ) = x x, x + ) b) T x, x ) = x, ) c) T x, x, x ) = x,7x, 8 ). Sejam A = e u =. a) Determine a expressão da transformação linear T tal que TX) = AX. b) Encontre a imagem do vetor u, por T. Seja T : R R uma transformação linear tal que Tx, y) = x - y, x - y). x a) Encontre a matriz A de T tal que TX) = AX b) Justifique por que T é um inversível e encontre a transformação inversa de T. c) Encontre um vetor X cuja imagem, por T, seja o vetor Y = d) Represente, geometricamente, a imagem por T do triângulo de vértices O =, ), A =, ) e B =, ) representado na figura abaixo. T. Descreva em palavras o efeito geométrico de multiplicar um vetor X pela matriz A a) A = b) A = 5. Um fabricante de móveis faz cadeiras e mesas, cada uma das quais passa por um processo de montagem e outro de acabamento. O tempo necessário para esses processos é dado em horas) pela matriz: A = Montagem Acabamento Cadeira Mesa a) Encontre a transformação linear que descreve o tempo necessário para a produção de cada produto. b) Qual o tempo necessário para a produção de 8 cadeiras e mesas? O fabricante tem uma fábrica em Belo Horizonte e outra em Ubá. O custo, por hora, para cada um dos processos são dadas em reais) pela matriz: B = Belo Horizonte 9 Ubá Montagem Acabamento

3 c) Construa uma matriz de custo unitário cujas linhas descrevem o custo de produção de cada produto em cada cidade. d) Encontre a transformação linear que representa o custo de produção dos produtos, por cidade. e) Qual o custo de produção na fabricação de 8 cadeiras e mesas? 6. Uma empresa fabrica dois tipos de ração animal B e C. O custo unitário de produção, em reais, de cada produto é dado no quadro abaixo. Ração B Ração C Insumos Mão de Obra Custos adicionais 6 Seja X = x, y) o vetor produção correspondendo às quantidades x de ração B e y de ração C produzidas. a) Encontre a transformação linear T : R R que leva um vetor produção no vetor custo total, ou seja, no vetor onde as coordenadas expressem, respectivamente, os custos de insumos, mão de obra e custos adicionais relativas a quantidade produzida. b) Determine o custo de mão de obra se o vetor produção é X =, 8). O quadro abaixo mostra as alíquotas de impostos que incidem nos custos de produção. Insumos Mão de Obra Custos adicionais Alíquota,,, c) Se o vetor produção é X =, 8), determine a quantia em reais) que a empresa irá recolher de impostos. 7. Uma construtora constrói casas de alvenaria, madeira e mistas. A tabela abaixo descreve a quantidade de material utilizado em cada tipo de construção. Tipo de Construção/ Material Tábuas unidade) Tijolosmil) Telhasmil) Tintalitros) Mão-de-obradias) Alvenaria Madeira 5 5 Misto a) Encontre uma transformação linear que descreve as quantidades de componentes gastos na produção de x casas de alvenaria, y casas de madeira e z casas mistas. O preço de cada unidade de cada um dos componentes é dado pela tabela abaixo: Tipo de Construção/ Material Tábuas unidade) Tijolosmil) Telhasmil) Tintalitros) Mão-de-obradias) b) Encontre uma transformação linear que descreve o custo de construção de x casas de alvenaria, y casas de madeira e z casas mistas. 8. Considere os adubos I, II, III e IV com características descritas nas tabelas abaixo. Encontre a transformação linear que determina as quantidades de fósforo, nitrato e potássio a partir de x kg do adubo I, y kg do adubo II, z kg do adubo III e t kg do adubo IV. Substânciapor Kg) Fósforo Nitrato Potássio Adubo I 5g 5g 7g Adubo II g 5g g Adubo III 6g g 55g Adubo IV 5g g 6g

4 9. Um fabricante de farinha produz três tipos de farinha: de mandioca, de milho e de trigo. Para produzir cada um dos tipos de farinha o produto bruto passa por três processos: seleção, processamento e embalagem. O tempo necessário em horas), para cada processo, para produzir uma saca de farinha, é dado na tabela abaixo: Processos/ Tipo de Farinha Seleção Processamento Embalagem Mandioca Milho 5 Trigo,5 a) Encontre uma transformação linear que descreve o tempo necessário para a produção de x Kg de mandioca, y Kg de milho e z Kg de trigo. Processos/ Preços Seleção Processamento Embalagem b) Encontre uma transformação linear que descreve o custo de produção de x Kg de mandioca, y Kg de milho e z Kg de trigo.. Em uma certa região, cerca de % da população urbana se mudam para os subúrbios vizinhos a cada ano e cerca de % da população suburbana se mudam para a cidade. Em 99, existiam. residentes na cidade e. nos subúrbios. a) Monte uma equação de diferenças xk + = Mx, para k ) que descreve essa situação, onde k x é a população inicial em 99. b) Obtenha uma estimativa da população na cidade e nos subúrbios dois anos mais tarde, em 99.. Verifique se o vetor v dado é autovetor da correspondente matriz A. a) v =,), A =. b ) v =,, ), A =.. Determine o operador linear respectivamente, aos autovalores v, ) e v =,). T : IR IR cujos autovalores são λ e λ =, associados, =. Suponha que o polinômio característico de A seja pergunta e explique seu raciocínio. a) Qual o tamanho de A? b) A é invertível? c) Quantos auto-espaços tem A? = p x) x x ) x ) x ) d) O que você pode dizer sobre as dimensões dos auto-espaços de A? = +. Em cada item responda a e) O que você pode dizer sobre as dimensões dos auto-espaços de A, se você souber que A é diagonalizável? f) Seja { v, v, v } um conjunto LI de autovetores de A, todos associados ao mesmo autovalor de A. O que você pode dizer sobre esse autovalor?. Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das matrizes 5 e.

5 Procure observar neste exercício, as seguintes propriedades: a) Se um operador T : V V admite λ = como autovalor, então T não é invertível; b) Uma matriz A e sua transposta T A possuem os mesmos autovalores; c) Os autovalores de uma matriz triangularou diagonal) são os elementos da diagonal principal 5 5. Seja T um operador linear do R. Sabendo que T duplica o vetor, -) e triplica o vetor, ) sem alterar o sentido deles, determine T x, y ). A transformação T é diagonalizável? Justifique sua resposta! Se for, dê a base do IR com relação à qual a matriz de T é diagonal e escreva a matriz de T com relação a esta base. 6. Dê exemplos de: a) Um operador do b) Um operador do i. T é diagonalizável; R que não possui autovalores reais. R que satisfaça todas as condições abaixo: ii. T v) v, v R, v ; iii. λ = é autovalor de T; iv. v =,, ) é autovetor de T; v. T v ) v o o 7. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta. a) Se Ax = λx para algum escalar não nulo λ, então x é um autovetor de A. b) Se λ é um autovalor de A então o sistema linear λi A) x = só tem a solução trivial. 8. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. a) Defina autovalor de A. b) Se λ é autovalor de A, mostre que λ é autovalor de A. c) Se λ é autovalor de A, mostre que λ é autovalor de A. 9. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta! n m a) Seja T : R R uma transformação linear. Se x, x R são tais que T x ) = e T x ) = y, então T x + x ) = y. b) Seja T : V W uma transformação linear. Se um vetor v é combinação linear dos vetores u e T u e T u ). é combinação linear de ) c) Se uma matriz A não tem autovetores, então A é invertível. n u então T v) d) Uma matriz A é dita diagonalizável se existem uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tal T A = P DP. Se P = P então A é simétrica. e) Se v é um autovetor de um operador T associado ao autovalor λ, então u = v é também um autovetor de T associado ao mesmo autovalor λ.

6 6. Uma espécie de pássaro admite duas fases de vida: juventude até ano de idade) e adulta. Em uma determinada reserva florestal, suponha que o número de fêmeas jovens no ano k + é % do número de fêmeas adultas no ano k baseado na taxa de nascimentos). Cada ano, % das jovens sobrevivem e se tornam adultas e 5% das adultas sobrevivem. Para k, seja xk = jk, ak ), onde as componentes de x k representam os números das fêmeas jovens e adultas no ano k. a. Obtenha a matriz de fase M tal que x + = Mxk, para k. k 5 b. Suponha que x =, isto é, existem 5 fêmeas jovens e fêmeas adultas nesse ano. Estime a população dessa espécie de pássaro na reserva no ano seguinte. c. Sabendo-se que λ =. e λ =.6 são os autovalores de M, justifique por que M é diagonalizável e mostre que B = {, ),, )} é uma base de autovetores. d. Justifique usando os dados do item anterior) por que, após muitos anos, essa espécie tente a desaparecer dessa reserva.. Seja a matriz. A = a. Mostre que λ = e λ = são os autovalores de A. b. Determine uma base e a dimensão do autoespaço associado ao autovalor λ =. c. A é invertível? Justifique! d. Verifique se A é diagonalizável e, em caso positivo, determine uma matriz diagonal D tal que A = PDP, onde P é uma matriz invertível.. Uma população de plantas se encontra distribuída nas quantidades a n, b n e c n de todos os tipos possíveis de genótipos AA, Aa e aa respectivamente. Deseja-se implantar um programa de melhoramento genético no qual toda planta é sempre fertilizada por um individuo AA. As equações abaixo exprimem a distribuição da população na geração n + a partir da distribuição populacional na geração n. a n + = a n + b n b = b + c c n + = n + n n a) Construa a matriz de fase F do processo de melhoramento genético. b) Determine os autovalores de F. c) O sistema é estável para alguma distribuição populacional? Justifique. d) F é diagonalizável? Justifique. e) Supondo o vetor população inicial x =,, ) determine a distribuição da população na segunda geração.