UFV Universidade Federal de Viçosa DMA Departamento de Matemática MAT 138 Noções de Álgebra Linear

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1 UFV Universidade Federal de Viçosa DMA Departamento de Matemática MAT 138 Noções de Álgebra Linear 1 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS /I Lista de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 1. Construa uma matriz e identifique a ordem, em cada caso: a) linha b) coluna c) quadrada d) triangular superior e) simétrica f) anti-simétrica g) diagonal Dadas as matrizes: A 1 2 = 0 3 e B = 2 1 a ) Obtenha as matrizes A 2, AB, B 2, (A+B), e (A+B) 2 ; b ) Verifique se vale a identidade: A A.B + B 2 = (A + B) 2 ; c ) Verifique se vale a identidade: A 2 B 2 = (A + B) (A B) d ) Qual é a condiçã o necessária para que as identidades dos itens (b) e (c) sejam verdadeiras? 3. Obtenha as matrizes que comutam com a matriz: 1 1 A = Dadas as matrizes A = e B = determine os elementos (AB) 12, (BA) Dadas as matrizes: A 2 x = B = y a ) determine x e y tais que AC = BC. b ) Sendo AC = BC, é possível cancelar C? c ) E se a matriz C tivesse determinante diferente de zero? 9 3 C = Se A é uma matriz 2x4, definida pela lei i + j, se i a ij = i j, se i > j j,determine a matriz A e A t Dadas as matrizes: A 2 4 = 1 1 e B = 1 2 a ) Encontre uma matriz X tal que A + X = B. Essa matriz X é única? b ) Encontre uma matriz X tal que AX = B. Essa matriz X é única? Por quê? c ) Encontre uma matriz X tal que BX = A. Essa matriz X é única? Por quê? 8. Dada uma matriz quadrada A, se existir um número inteiro p>0, tal que nilpotente. Se A = p A, diz-se que A é uma matriz p, mostre que A é nilpotente. Determine o menor inteiro p para o qual A. 9. Calcule o valor de x, para que o produto da matriz 2 x A = pela matriz 3 1 (observação: dizemos que uma matriz A é simétrica se A = A t.) 3 1 B = seja uma matriz simétrica. 2 1

2 a c 11. Seja a matriz A = b d a ) Calcule det A, det A t, e compare os resultados; b ) Se k é um número (escalar), calcule: i ) det (ka) ii ) Escreva esses resultados em termos de det A. c ) Seja M uma matriz anti-simétrica. i ) Se M for de ordem 2, mostre que M pode ser inversível; ii ) Se a ordem de M for 3, entã o M não tem inversa Calcule o determinante das seguintes matrizes e identifique as que sã o inversíveis C = D = E = Dada a matriz A, determine sua inversa se isso for possível. Use neste primeiro exercício o método que trabalha com operaçõ es elementares sobre linhas. Classifique as matrizes como singular ou não singular. 14. Considere a matriz A = A = B = C = a) Determine o polinômio px () = det( A xi ) sendo I 3 a matriz identidade de ordem 3 e x R. b) Verifique que pa= ( ) 0 (matriz nula) c) Use o item b) para calcular a inversa de A. 15. Sendo A e B matrizes inversíveis de ordem n, isolar a matriz X de cada equação abaixo: (a) AXB = I (b) ( AX) t = B (c) ( AX) 1 = (d) ( A+ X) t = B (e) AXB = BA (f) AX 1 ( ) t = B I 16. Sejam A, B e C, matrizes reais de ordem 3, satisfazendo a seguintes relações; AB = C 1, B = 2A. Se o determinante da matriz C vale 32, qual é o módulo do valor do determinante da matriz A? 17. Seja Q uma matriz de ordem 4, tal que det( ) 0 Q e Q 3 + 2Q 2.Calcule o valor de det( Q ). a+ c b+ c 2c 18. Use algumas propriedades dos determinantes para mostrar que: det a b c 1 1 1

3 x Sejam A = 4 0 1, X= x, B 2 1 = 2 e B 2 = x3 3 a) Determine, se possível, a inversa da matriz A; b) Utilize o item a) para resolver a equaçã o matricial AX Bk =, k = 1, (Custo de Produção) Um fabricante de móveis faz cadeiras e mesas, cada uma das quais passa por um processo de montagem e outro de acabamento. O tempo necessário para esses processos é dado (em horas) pela matriz Montagem Acabamento 2 2 Cadeira A = 3 4 Mesa O fabricante tem uma fábrica em Belo Horizonte e outra em Ubá. As taxas por hora para cada um dos processos são dadas (em dólares) pela matriz Belo Horizonte 9 B = 10 Qual o significado dos elementos do produto matricial AB? Ubá Montagem Acabamento 21. (Ecologia-Poluição) Um fabricante faz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma de suas fábricas, X e Y. Ao fazer esses produtos, são produzidos dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas de outros materiais poluentes. As quantidades de poluente são dadas (em quilos) pela matriz Dióxido de enxofre 300 A = 200 Óxido nítrico Párticulas Pr oduto P Pr oduto Q Leis estaduais e federais exigem a remoção desses poluentes. O custo diário para remover cada quilo de polu entes é dado (em dólares) pela matriz Fábrica X 8 B = 7 15 Qual é o significado dos elementos do produto matricial? Fábrica Y Dióxido de enxofre Óxido nítrico Partículas 22. (Medicina) Um projeto de pesquisa alimentar conta com a participaçã o de adultos e crianças de ambos os sexos. A composição dos participantes no projeto é dada pela matriz Adulto 80 A = 100 Criança 120 Sexo 200 Sexo masculino fe min ino O número de gramas diários de proteínas, gordura e carboidratos consumido por cada criança e cada adulto é dado pela matriz Pr oteína Gordura Carboidrat o 20 B = Adulto Criança a. Quantos gramas de proteína sã o consumidos diariamente pelos homens que participam do projeto? b. Quantos gramas de gordura sã o consumidos diariamente pelas mulheres que participam do projeto?

4 4 23. A tiragem diária na cidade de Mimosa dos jornais: Dia a Dia, Nossa Hora, Acontece e Urgente, durante o ano de 2002 está representada na seguinte tabela: Dia a Dia Nossa Hora Acontece Urgente Dias úteis Feriados Sábados Domingos Determine: a) A tiragem de cada jornal em Mimosa em 2002, sabendo-se que 2002 tivemos 52 sábados, 52 domingos, 12 feriados e 249 dias úteis. b) A estimativa da tiragem total de cada jornal em Mimosa para o ano de 2005, sabendo-se que a previsã o é que até o final deste ano (2005) a tiragem tenha um aumento de 60% em relaçã o à Uma construtora está fazendo o orçamento de 47 estabelecimentos rurais sendo estes divididos em: 20 de alvenaria, 30 mistos e 15 de madeira. A tabela abaixo descreve a quantidade de material utilizado em cada tipo de construção. Pede-se: Tipo de Construção/ Material Tábuas (unidade) Tijolos(mil) Telhas(mil) Tinta(litros) Mão-de-obra(dias) Alvenaria Madeira Misto a) Determinar, utilizando produto de matrizes, a matriz A que descreve quantas unidades de cada componente serã o necessárias para cumprir o orçamento. b) Dar o significado do produto de matrizes AB, onde A é a ma triz obtida no item (a) e B é obtida pela tabela abaixo. Valor da Compra (em reais) Transporte(em reais) Tábuas 12 0,08 Tijolos Telhas Tinta 3 0,5 Mão-de-obra 40 1,5 25. Considere os adubos I, II, III e IV com características e preços descritos nas tabelas abaixo: Substância(por Kg) Fósforo Nitrato Potássio Adubo I 25g 15g 70g Adubo II 30g 25g 40g Adubo III 60g 10g 55g Adubo IV 15g 30g 60g Adubos I II III IV Preço por Kg (em reais) 7,5 5 4,5 6,5 Um agricultor necessita de uma mistura com a seguinte especificação: 6 kg do adubo I, 7 kg do adubo II, 5 kg do adubo III e 8 kg do adubo IV. Usando produto de matrizes: a) determine a quantidade de cada substância na mistura descrita acima; b) o preço (da mistura). 26. Um fabricante de farinha produz três tipos de farinha: de mandioca, de milho e de trigo. Para produzir cada um dos tipos de farinha o produto bruto passa por três processos: seleçã o, processamento e embalagem. O tempo necessário (em horas), em cada processo, para produzir uma saca de farinha, é dado na tabela abaixo: Processos/ Tipo de Farinha Seleçã o Processamento Embalagem Mandioca Milho Trigo 1,5 4 1

5 5 O fabricante produz as farinhas em duas usinas uma em Cacha Pregos (BA) e outra em Cacimba de Dentro (PB), as taxas por hora para cada um dos processos sã o dadas (em reais) na tabela abaixo: Cacha Pregos Cacimba de Dentro Seleção 2 1,5 Processamento 1 1,8 Embalagem 0,5 0,6 Encontre A e B matrizes obtidas pelas primeira e segunda tabelas, respectivamente. Qual o significado do produto AB? 27. A secretaria de meio ambiente de uma cidade constatou que as empresas que trabalham nos ramos de suinocultura, cunicultura e piscicultura são as grandes poluidoras de três regiõ es do município. Diariamente despejam dejetos destas culturas segundo a descriçã o da tabela abaixo: Quantidade de Dejetos Por dia (em Kg) Regiã o I Região II Região III Cunicultura Piscicultura Suinocultura A secretaria decidiu então aplicar multas diárias sobre estas empresas a fim de angariar fundos para despoluir tais regiõ es, as multas foram estabelecidas de acordo com a tabela abaixo: Multa Cobrada(em R$reais) por Kg de objetos depositados Região I Região II Região III Cunicultura Piscicultura Suinocultura Considerando A a matriz obtida através da tabela 1 e B a matriz obtida através da tabela 2, determine os elementos da T matriz AB quem fornecem a arrecadaçã o da secretaria nas regiõ es, por ramo de atividade, ao aplicar tais multas. 28. Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. (a) Um sistema linear com menos equações do que incógnitas tem um número infinito de soluçõ es. (b) Um sistema linear com mais equaçõ es que incógnitas pode ter uma infinidade de soluçõ es. (c) Se A 3 é inversível, então A 2 é inversível. (d) det(-a) = - det(a) (e) det(a+b) = det (A) + det(b). t (f) Sejam A, B e P matrizes reais de ordem n, tais que B = P AP, sendo P inversível. Entã o det ( A) = det( B). 2 (g) Dada a equaçã o matricial X + 2X, onde X é uma matriz quadrada de ordem n, nã o singular. Então esta equação tem única soluçã o. (h) Se A e B Mnn ( IR ) são tais que AB (matriz nula), entã o BA também é a matriz nula. (i) Se A e B Mnn ( IR ) são tais que AB (matriz nula), entã o A ou B. (j) A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica. (k) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica. (l) Se um sistema quadrado Ax tem somente a soluçã o trivial, entã o Ax = b tem uma única soluçã o. (m) A soma de dois vetores soluções de um sistema linear é sempre um vetor soluçã o do sistema. (n) A soma de dois vetores soluçõ es de um sistema linear homogêneo é também um vetor soluçã o do sistema (o) Um múltiplo escalar de um vetor solução de um sistema linear homogêneo é também um vetor soluçã o do sistema. (p) Um sistema linear compatível, com matriz dos coeficientes A quadrada, tem infinitas soluçõ es se e somente se A pode ser linha-reduzida a uma matriz escalonada que contem alguma linha nula (q) Para toda matriz quadrada A, temos det(aa t )= det(a t A)= [det(a)] 2

6 (r) Se uma matriz A de ordem n é multiplicada por um escalar c, entã o o determinante da matriz resultante é c n det(a). Nas afirmativas abaixo, A, B e C sã o matrizes cujos tamanhos sã o apropriados para as operaçõ es indicadas (s) Se AC = BC e C é inversível, entã o A = B (t) Se AB e B é inversível, então A (u) Se AB = C e duas das matrizes sã o inversíveis, então a terceira também é. (v) Se AB = C e duas das matrizes sã o singulares (nã o inversíveis), entã o a terceira também é n n Sejam as matrizes A = e I = 1 0. Definamos A = I e A = A. A para todo número natural n, 0 1 com n 1. Então mostre que: A 2n = I e, para todo natural n. 2 A n +1 = A 30. Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igu al a 4, qual o valor de x na equaçã o det 2AA t = 4. ( ) x 31. Diz-se que um número real λ é autovalor de uma matriz real T de ordem n quando existir uma matriz coluna X nx1 não nula tal que TX = λx. Considere uma matriz real P nxn satisfazendo PP = P. Denote por λ1um autovalor de P e por λ 2 um autovalor de PP. Prove que λ 1 e λ 2 pertencem ao conjunto { 01, } [ ] [ ] A11 A (Multiplicação em bloco) Se duas matrizes sã o particionadas em submatrizes, por exemplo: A = [ A21] [ A22 ] [ B11] [ B12 ] [ B ] [ B ] B = 21 22, entã o, AB pode ser expresso como: [ AB A12B21] [ AB A12B22] [ A B + A B ] [ A B + A B ] AB = e desde que os tamanhos das submatrizes de A e B permitam as operaçõ es indicadas. Use o procedimento acima, e obtenha se possível o produto AB segundo as seguintes partições: a) A= ; B = b) A= ; B = d) Particione convenientemente as matrizes e obtenha o produto AB: c) A= ; B = A ; B= (matriz ortogonal). Determine o valor de x para que a matriz x , seja ortogonal. x

7 34. Resolva os sistemas abaixo e classifique-os quanto ao número de soluçõ es: x + 2y z = 2 x + y 3z + t = 1 x + 3y + 2z = 2 a) 3x + 3y + z + 2t b) 3x + 5y + 4z = 4 c) 2x y + z = 5 2x + y + z 2t = 4 5x + 3y + 4z = 10 x + 3y + 2z = 9 3x y + 4z = 13 2x1 + 2x2 x3 + x5 4x 8y = 12 d) x1 x 2 + 2x3 3x 4 + x5 x+ 6y 8z = 1 3x 6y = 9 e) f) 2x + 4y = 6 x1 + x2 2x3 x5 2x+ 6y 4z x3 + x 4 + x Para que valores dos coeficientes a e b o sistema ax + 2y 6z = 2 3x 5y 2z = 6 x + y 3z = b tem infinitas soluções? x+ y z = Determine os valores de a, de modo que o seguinte sistema 2x+ 3y+ az = 3 tenha: x + ay + 3z = 2 a) nenhuma soluçã o mais de uma soluçã o uma única soluçã o 37. No seguinte sistema estabeleça as condições que devem ser sat isfeitas pelos termos independentes para que o sistema seja compatível: a+ 3b = x x 2 y z = a 2 a b = y a) b) 2 x+ y+ 3z = b 2 a + b = z 4x 3 y + z = c 3 a+ b= t 38. No meu bairro há três cadeias de supermercados: A, B e C. A tabela abaixo apresenta os preços ( em reais por quilo) do produto X, do produto Y e do produto Z, nessas cadeias. Produto X Produto Y Produto Z A B C Comprando-se x quilos do produto X, y quilos do produto Y e z quilos do produto Z em qualquer dos supermercados, pagarei R$31,00. Determine x,y e z. 39. Num concurso, foram aplicadas a quatro candidatos três provas A, B e C de pesos a, b e c, respectivamente. O quadro abaixo mostra as notas obtidas em cada prova e a nota final de cada um dos candidatos desse concurso. Prova A Prova B Prova C Nota Final 1 o candidato o candidato o candidato o candidato Cada nota final foi obtida calculando-se a média ponderada das notas obtidas nas provas pelo candidato. Calcula-se a média ponderada somando-se os produtos das notas de cada prova pelo seu respectivo peso e dividindo-se a soma assim obtida pela soma dos pesos. O quarto candidato alegou que se as notas dos outros três candidatos estivessem corretas a sua estaria incorreta. Supondo que as notas finais dos outros três candidatos estejam corretas, calcule a nota final do quarto candidato.

8 8 40. Uma indústria produz três produtos, A, B e C, utilizando dois tipos de insumos, X e Y. Para a manufatura de cada quilo de A sã o utilizados 1 grama do insumo X e 2 gramas do insumo Y; para cada quilo de B, 1 grama do insumo X e 1 grama do insumo Y e, para cada quilo de C, 1 grama do insumo X e 4 gramas do insumo Y. O preço da venda do quilo de cada um dos produtos A, B e C é de R$ 2,00, R$ 3,00 e R$5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de A, B e C manufaturada com 1 quilo de X e 2 quilos de Y, essa indústria arrecadou R$ 2500,00. Determine quantos quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos. 41. Dois metais x e y são obtidos de dois tipos de minérios I e II. De 100 kg de I se obtém 3 gramas de x e 5 gramas de y e de 100 kg de II obtém-se 4 gramas de x e 2,5 gramas de y. Quantos quilos de minério de cada tipo serã o necessários para se obter 72 gramas de x e 95 gramas de y, usando-se simultaneamente os dois minérios? 42. Necessita-se corrigir um terreno acrescentando a cada 10 m 2, 140 g de nitrato, 190 g de fósforo e 205 g de potássio. Dispõ e-se de quatro tipos de adubo, com as seguintes características por Kg: o adubo I contém 10 g de nitrato, 10 g de fósforo e 100 g de potássio e custa R$ 5,00; o adubo II contém 10 g de nitrato, 100 g de fósforo e 30 g de potássio e custa R$ 15,00; o adubo III contém 50 g de nitrato, 20 g de fósforo e 20 g de potássio e custa R$ 5,00; e o adubo IV contém 20 g de nitrato, 40 g de fósforo e 35 g de potássio e custa R$ 10,00. Quanto de cada adubo deve ser misturado para conseguir o efeito desejado, podendo-se gastar R$ 40,00 para cada 10m 2 de adubaçã o? 43. Uma firma fabrica dois produtos: A e B. Cada um deles passa por duas máquinas: I e II. Para se fabricar uma unidade de A gasta-se 1h da máquina I e 1h e 30 min da máquina II. Cada unidade de B gasta 3h de I e 2h de II. Quantas unidades de cada produto poderão ser fabricadas em um mês se, por motivos técnicos, I só funciona 300 horas e II só 250 horas por mês? 44. Necessitando construir casas de madeira, alvenaria e mistas em uma propriedade, quanto ser á gasto de material em cada tipo de construçã o considerando as seguintes especificaçõ es: tábuas Tijolos(mil) Telhas(mil) Tinta(litro) Mã o de obra(dias) Madeira Mista Alvenaria a) Tendo-se 2030 tábuas, 123 mil tijolos, mil telhas, 1660 litros de tinta e 243 dias para construir, quantas construçõ es de casa tipo poderão ser feitas? b) Calcule o custo de cada componente, sabendo-se que foi gasto R$ 2.930,00 para casa construçã o de madeira, R$ 4.065,00 para cada construção de alvenaria e R$ 3.040,00 para cada construção mista. 45. Um grupo teatral esteve em Viçosa para duas apresentações. Na primeira, foi cobrado R$ 5,00 para professores, R$ 3,00 para estudantes universitários e R$ 2,00 para crianças. Na segunda, foi cobrados R$ 6,00 para professores e estudantes universitários e R$ 4,00 para crianças. Em cada apresentação foram vendidos x ingressos para professores, y ingressos para estudantes universitários e z ingressos para crianças. Quantas pessoas de cada grupo (professores, estudantes e crianças) assistiram à peça, considerand o que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaçã o, a renda da primeira apresentação foi de R$ 600,00 e da segunda foi de R$ 1000,00?

9 9 46. Durante 3 dias foi tomada a temperatura (em o C) numa região de uma cidade, por três vezes no período das 6 às 10 horas. Determinar, usando todos os dados da tabela abaixo, a média das temperaturas dos três dias às 9 horas. Hora/dia Uma refinaria de petróleo processa dois tipos de petróleo: com alt o teor de enxofre e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de refinaria; já o petróleo com alto teor são necessários 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura está disponível por 3 horas, e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combustível devem ser processadas de modo que os dois setores não fiquem ociosos? 48. Um fabricante de plástico produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Para produzir uma tonelada de plástico normal sã o necessárias duas horas na fábrica A e 5 horas na fábrica B; já na produçã o de uma tonelada de plástico especial sã o necessárias 2 horas na fábrica A e 3 horas na fábrica B. Se a fábrica A funciona 8 horas por dia e a fábrica B funciona 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente para que as duas fábricas se mantenham totalmente ocupadas? 49. Um nutricionista está ela borando uma refeiçã o que contenha os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidrato. Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. Já o alimento no alimento C encontramos 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refeiçã o deve fornecer exatamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantos gramas de cada tipo de alimento devem ser utilizados? 50. Um cooperativa produz três tipos de ração: X, Y e Z, utilizando farelo de soja, gordura animal e milho. Cada quilograma da ração X contém 100g de farelo de soja e 200g de milho e não contém gordura animal; cada quilograma da raçã o Y contém 300g de farelo de soja, 100g de gordura animal e 400g de milho; cada quilograma da ração Z contém 200g de farelo de soja, 200g de gordura animal e 100g de milho. Sabendo que a disponibilidade destes produtos na cooperat iva nos meses de abril, maio e junho foi dada como na tabela abaixo: Quant./Mês(ton.) Farelo de Soja Gordura Animal Milho Abril 1,3 0,8 1,3 Maio 1,8 1,2 1,7 Junho 1,7 0,6 2,3 Pede-se para determinar qual a quantidade de cada tipo de ração foi produzido em cada um destes meses. 51. Uma empresa de transporte de carga transporta os contêineres de duas companhias, A e B. Cada contêiner da companhia A pesa 40Kg e mede 0,054m 3 de volume. Cada contêiner da companhia B pesa 50Kg e mede 0,081m 3 de volume. Por cada contêiner transportado, a empresa de transporte de carga cobra R$2,20 de frete da companhia A e R$3,00 de frete da companhia B. Sabendo que um caminhã o da empresa nã o pode carregar mais do que Kg e não comporta mais do que 54 m 3, quantos contêiner es das companhias A e B o caminhão deveria transportar para maximizar o valor do frete? 52. Um fabricante produz sacos de raçã o para galinhas a partir de dois ingredientes, A e B. Cada saco deve conter pelo menos 625g do nutrie nte N1, pelo menos 500g do nutriente N2 e pelo menos 750g do nutriente N3. Cada quilo do ingrediente A contém 125g do nutriente N1, 125g do nutriente N2 e 375g do nutriente N3. Cada quilo do ingrediente B contém 312,5g do nutriente N1, 187,5g do nutrie nte N2 e 250g do nutriente N3. Se o ingrediente A custa 8 centavos por quilo o ingrediente B custa 9 centavos por quilo, quanto de cada ingrediente o fabricante deveria usar em cada saco de ração para minimizar seus custos? 53. Encontre a reta de ajuste linear de mínimos quadrados dos quatro pontos (0,1); (2,0); (3,1) e (3,2). 54. O dono de um negócio em rápida expansão descobre que nos cinco primeiros meses do ano as vendas (em milhar es de reais) foram R$ 4,0 ; R$ 4,4 ; R$5,2 ; R$ 6,4 e R$ 8,0. O dono coloca estes dados num gráfico e conjectura que, pelo resto do ano, a curva de vendas pode ser aproximada por um polinômio. Encontre o polinômio quadrático de melhor ajuste de mínimos quadrados para a curva de vendas e use-o para projetar as vendas no último mês do ano.