, a segunda coluna da matriz A é um múltiplo da primeira coluna.

Transcrição

1 Lista de exercícios - 2º ano - Matemática Aluno: Série: Turma: Data: Questão 1 Segundo diversos estudos, a função relaciona o número de dias y necessários para que um corpo, após sua morte, se torne esqueleto, quando submetido à temperatura média de x graus Celsius do local onde ele se encontra durante o processo de decomposição. Julgue os itens (certo ou errado), tendo como referência as informações dadas e considerando a matriz A =. Para θ =, a segunda coluna da matriz A é um múltiplo da primeira coluna. Considere as matrizes e P = e Q =, em que x e y são tais que o par ordenado (x, y) está sobre a curva y =, P= A Q e θ =. Então Y 2 X 2 > Considere que, ao se fazer a análise de um cadáver encontrado em determinada região, observouse que havia 10 dias que o corpo fora reduzida ao esqueleto e que o óbito teria ocorrido entre 50 e 60 dias anteriores ao momento dessa análise. Nessa situação, é correto concluir que a temperatura média nessa região, calculada com base no tempo em que o corpo esteve em decomposição, ficou entre 21 C e 26 C. Considerando que, ao nível do mar, o gelo se funde a 32 F, e a água entra em ebulição a 212 F, é correto afirmar que o número de dias, y, que um corpo leva para se tornar esqueleto está relacionado à temperatura média, z, em graus Fahrenheit, pela expressão. Questão 2 Assinale, na coluna I, as afirmativas verdadeiras e, na coluna II, as falsas. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, defina det(a) = determinante de A, sabendo que A 1 é a matriz inversa da matriz A e A T, a matriz transposta da matriz A. Então: I II 0 0 det(a A T ) = det(a) se A T = A 1, então det( A ) = 1

2 2 2 se P é uma matriz inversível e B = P A P 1, então det(b) = det(a) 3 3 se A = A 1, então det(a) = ±1 4 4 se A é inversível, então det(a) det(a 1 ) = 1 Questão 3 A figura a seguir ilustra a rede de conexões entre os aeroportos A, B e C de uma cidade, e os aeroportos D, E e F de outra cidade. O número sobre a linha unindo os nomes de dois aeroportos representa o número de linhas aéreas voando na rota de um aeroporto ao outro. Podemos representar os aeroportos de uma cidade como as linhas de uma matriz, os aeroportos da outra como as colunas da matriz e em cada interseção linha-coluna o número de conexões entre os dois aeroportos. Qual das matrizes a seguir não contém as informações corretas sobre os voos entre as duas cidades? A) B) C) D) E)

3 Questão 4 A. Determine a e b de forma que a matriz verifique que A 2 = 2A e depois calcule A 11. B. Nos meses de abril e maio, uma família adquiriu as mesmas quantidades de açúcar, arroz e feijão em um mesmo supermercado, mas os preços sofreram uma leve alteração: Preço por quilo Abril Maio Açúcar R$ 1,00 R$ 1,20 Arroz R$ 2,50 R$ 2,00 Feijão R$ 3,00 R$ 3,00 Quantidade de pacotes de 1 kg Açúcar Arroz Feijão Mediante um produto de matrizes, expresse, por meio de uma matriz, quanto a família gastou em cada mês. Questão 5 As matrizes A, B e C são quadradas de ordem 3, e O é a matriz nula, também de ordem 3. Assinale a alternativa correta. A (A + B)(A B) = A 2 B 2 B Se AB = O, então, A = O ou B = O. C AC = CA D (A B)C = AC BC E (B + C) 2 = B 2 + 2BC + C 2 Questão 6 Assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

4 01) O único número real x para o qual é um número primo. 02) Os valores reais de x para os quais a matriz satisfaz A t = A, em que A t denota a transposta da matriz A, têm produto igual a 5. 04) Existe uma única matriz do tipo, em que a, b e c são números reais, cuja inversa seja a própria matriz. 08) A matriz quadrada A = (a ij ), de ordem 2 2, definida por a ij = 2 2j-i, para todo i = 1,2 e para todo j = 1,2, é solução da equação matricial A 2 ka = 0 para alguma constante real k. 16) O determinante da matriz é igual a cos2x, para todo x real e x + kπ (k número inteiro). Questão 7 Assinale o que for correto, considerando as matrizes A = (a ij ) 3 3 e B = (b ij ) 3 3, em que os elementos a ij e b ij são números reais, para 1 i 3 e 1 j 3. 01) Se A é tal que seus elementos a ij são definidos por, para 1 i 3 e 1 j 3, então A B = B. 02) (A B)(A+ B) = A 2 B 2. 04) Se B é a matriz inversa da matriz A, então para 1 i 3 e 1 j 3. 08) Se b ij = i + j, para 1 i 3 e 1 j 3, então B t = B. 16) Se b ij = i j, para 1 i 3 e 1 j 3, então det B = 0.

5 Questão 8 Conforme J. L. Pastore Mello (Folha de S. Paulo, 01 jan. 2004), uma forma alternativa de definir o conjunto dos números complexos consiste na utilização do conceito de matrizes e suas operações, da forma a seguir: Dada uma matriz quadrada, onde a e b são números reais, a matriz I = representa a unidade e U = representa a unidade imaginária. Assim podemos identificar o número complexo z = a + bi pela matriz Z = ai + bu. Utilizando essa identificação, é CORRETO afirmar que o produto entre as matrizes e a) i b) i c) 3 28 i d) 28 3 i representa o seguinte número complexo: Questão 9 Considerando as matrizes de números reais, quadradas e de ordem 3, A = (a ij ) e B = (b ij ), definidas, respectivamente, por a ij = e b ij = e que A t indica a transposta da matriz A, assinale o que for correto. 01) A matriz B é invertível. 02) AB BA. 04) Existe um valor inteiro positivo n para o qual B n é a matriz quadrada nula de ordem 3. 08) A matriz A A t = (c ij ) satisfaz c ij = c ji para todo i e para todo j. 16) A matriz A A t = (d ij ) satisfaz d ij = d ji para todo i e para todo j.

6 Questão 10 Considere a matriz, em que x. Assinale a alternativa correta. A) para todo x. B) A matriz A é invertível para todo x. C) A inversa da matriz A é distinta da matriz A para todo x. D) O determinante da matriz é. E) Se, com a, b, c, d, então AB = BA se, e somente se, x = 0. Questão 11 Considere as afirmações a seguir: I Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não nula e não inversível, então existe matriz nãonula N, de mesma ordem, tal que MN é matriz nula. II Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que det(m 2 M) = 0, então existe matriz não nula X, de ordem n 1, tal que MX = X. III A matriz inversível, θ, k Z. Destas, é(são) verdadeira(s) A) apenas II. B) apenas I e II. C) apenas I e III. D) apenas II e III. E) todas. Questão 12

7 Considere as matrizes e : ; e. a) Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equação matricial AX = B tenha solução única. b) Se a 2 b 2 = 0; a 0 e B = [ ] t, encontre X tal que AX = B. Questão 13 Considere as seguintes afirmativas, atribuindo V às verdadeiras e F às falsas: ( ) Nenhuma matriz quadrada antissimétrica de ordem 3 é inversível. ( ) Existe pelo menos um triângulo cujos ângulos internos têm tangentes maiores do que 2. ( ) O gráfico da equação não é uma elipse. A sequência CORRETA é: a) V, F, F. b) V, V, F. c) F, F, V. d) V, F, V. Questão 14 Dada a matriz A = com x um arco tal que 0 x 2π e sabendo-se que A t é a matriz transposta da matriz A, A 1 é a matriz inversa da matriz A, caso exista, e Z o conjunto dos números inteiros, assinale a(s) proposição(ões) verdadeira(s).

8 (001) Nem sempre existe matriz A 1, depende do valor de x. (002) Nos valores de x para os quais existe A 1 tem-se que A 1 = A t. (004) Para todo valor de x = k π, com k Z, tem-se que A t = A. (008) O valor do determinante da matriz A 2 é igual a 1, para qualquer x no intervalo citado. (016) Nos valores de x para os quais existe A 1, a matriz resultante da operação (A + A 1 ) é uma matriz diagonal. Questão 15 Em uma cidade há duas fábricas que produzem telas LCD para computadores. A fábrica A produz 50 telas de 17 polegadas e 30 telas de 21 polegadas por dia. A fábrica B produz 60 telas de 17 polegadas e 35 telas de 21 polegadas por dia. A jornada semanal de trabalho na fábrica A é de 5 dias enquanto, na fábrica B, trabalha-se 6 dias por semana. Podemos expressar essas informações na forma de matrizes: A. Obtenha o produto PQ e interprete o significado do elemento da matriz produto que está na 2 a linha e 1 a coluna. B. Expresse na forma de uma matriz R de ordem 2 2 a produção semanal de telas de 17 e de 21 polegadas das duas fábricas. Na primeira coluna represente a produção semanal da fábrica A e, na segunda coluna, da fábrica B. C. Obtenha uma matriz T tal que PT = R e interprete o significado dos elementos da diagonal principal da matriz T, isto é, dos elementos t ij com i = j.