A matriz das incógnitas é uma matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema.

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1 MATEMÁTICA MÓDULO 1 SISTEMA LINEAR Um sistema linear de m equações a n incógnitas é um conjunto de m (m 1) equações lineares a n incógnitas e pode ser escrito como segue: a a a b a a a b n n n n a a a b m1 1 m mn n m onde 1,,..., n são as incógnitas. O sistema acima pode ser escrito na forma matricial. a a a a a a a a a n 1 n m1 m mn 1 n = b1 b bm A matriz dos coeficientes das equações é chamada matriz incompleta do sistema. A = a a a a a a a a a n 1 n m1 m mn A matriz das incógnitas é uma matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema. X = 1 n A matriz dos termos independentes é uma matriz-coluna formada pelas constantes do º membro. C = b1 b bm 1

2 MATEMÁTICA MÓDULO 1 1. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR A solução de um sistema linear de m equações e n incógnitas é uma ênupla ordenada ( 1,,..., n ) que satisfaz cada uma das m equações, onde na posição i aparece o valor a ser atribuído à incógnita i. De acordo com a quantidade de soluções, o sistema linear pode ser classificado como segue: SISTEMA POSSÍVEL OU COMPATÍVEL DETERMINADO (S.P.D.) INDETERMINADO (S.P.I.) SISTEMA IMPOSSÍVEL OU INCOMPATÍVEL (S.I.) UMA ÚNICA SOLUÇÃO INFINITAS SOLUÇÕES NENHUMA SOLUÇÃO Alguns eemplos simples são apresentados abaio: S.P.D. y 3 S = {(, 1)} y 1 S.P.I. y 3 S ={(t, 3 t)tr} infinitas soluções y 6 S.I. y 3 S = y 7. REGRA DE CRAMER Seja um sistema linear de n equações e n incógnitas e A a sua matriz incompleta. Se det A 0, então o sistema é possível e determinado e a solução é tal que deta deta i i para i = 1,,..., n onde Ai é a matriz obtida de A, substituindo-se a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes. Nesse caso, diz-se que o sistema é um Sistema de Cramer. det A = a a a n a a a 1 n a a a m1 m mn 0 sistema de Cramer Vamos aplicar o Teorema de Cramer na resolução do sistema abaio: y z y z 1 det A = 1 1 = y z sist. de Cramer sistema possível e determinado

3 MATEMÁTICA MÓDULO det A = 10 det Ay 1 1 = z det A = 30 deta 10 = 1 deta 10 deta z z 30 = 3 deta 10 S = {(1,, 3)} deta y y 0 deta 10 = A Regra de Cramer permite identificar os sistemas possíveis e determinados e obter a sua solução. Entretanto quando det A = 0, o sistema não é de Cramer, podendo ser possível e indeterminado ou impossível. Nos nossos concursos, encontraremos no geral sistemas 3 3. Nestes casos, a abordagem será eliminar uma das variáveis, para reduzir a um sistema, onde a análise será bem mais simples. 3

4 MATEMÁTICA MÓDULO 1 EXERCÍCIOS DE COMBATE 1. Na figura a seguir, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo epressa em graus. Em quaisquer três quadros consecutivos temos os três ângulos internos de um triângulo. Determine o valor do ângulo X. a) 10 b) 15 c) 0 d) 5 e) 30. O conjunto de todas as soluções do sistema y 3z 0 4 5y 6z 0 a) é vazio. b) consiste apenas no vetor nulo 0,0,0. c) consiste apenas no vetor 1,,1. d) consiste em todos os múltiplos a, a, a de 1,,1. e) consiste em todos os múltiplos a,a, a de 1,1,. 3. Assinale a afirmativa correta. O sistema y z 1 y z 1 a) não tem solução. b) tem uma solução única = 1, y = 0, z = 0. c) tem eatamente duas soluções. 4

5 MATEMÁTICA MÓDULO 1 d) tem uma infinidade de soluções. e) tem uma solução com z = O valor de a tal que no sistema a) b) 1 c) 0 d) 1 e) 3y z 3 y az 1 z y z 5 se tenha z = 3 é: 4z 7 5. Se 3y 8, então +y +z é igual a: y z 1 a) b) 1 c) 0 d) 1 e) (k ) y z 0 6. O sistema linear ky z 0 é possível e determinado, eceto para um número finito de valores de (k 1)z 4 k. A soma de todos esses valores de k é: a) 1 b) 1/ c) 0 d) 1/ e) 1 5

6 MATEMÁTICA MÓDULO 1 7. Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear abaio: y z y z y z a) Ache as raízes da equação: det A=0. b) Ache a solução geral desse sistema para =. 8. Se S é o conjunto dos valores de a para os quais o sistema + y + z = 0 + (log3a) y + z = 0 é indeterminado, então: 7 + y + (log 3 )z 0 a a) S [ 3, 3] b) S é vazio c) S [, 4] d) S [1, 3] e) S [0, 1] 9. Sejam a 1, a, a 3, a 4 quatro números reais (com a 1 0), formando nessa ordem uma progressão geométrica. a1 a3y 1 Então, o sistema em e y é um sistema a1a a1a4y a a) impossível. b) possível determinado. c) possível indeterminado. d) possível determinado apenas para a 1 > 1. e) possível determinado apenas para a 1 < (AFA) O sistema de equações lineares a) K = 7/6 b) K= 7/5 ou K = c) K = 7/3 ou K = d) K = 7/ ou K = 3 Ky z 0 5 4y 5z 0 y Kz 0 admite mais de uma solução se: 6

7 MATEMÁTICA MÓDULO A equação matricial y z k a) é impossível para todos os valores de k b) admite solução qualquer que seja k c) admite solução somente se k = 4 d) admite solução somente se k = 8 e) admite solução somente se k = 1 1. Considere o sistema linear: a a... a b a a... a b n n n n a a... a b n1 1 n nn n n onde a ij R, b i R ; 1 < i, j < n. A afirmação correta está contida na alternativa: a) A solução nula é a única solução do sistema. b) O conjunto das soluções do sistema contém a solução nula. c) Se (r 1, r,..., r n ) é a solução do sistema, então (Kr 1, Kr,..., Kr n ) também é solução. d) Se a ij 0, para 1 < i < n, então o sistema pode não ter solução. e) nra 13. O sistema de equações: y 3z 1 y 3z 1 4 7y 3z 5 a) Não possui solução b) Possui uma infinidade de soluções. c) Possui um número finito, maior que um soluções. d) Possui uma única solução, na qual o valor de z é positivo. e) Possui uma única solução, na qual o valor de z é negativo. 14. Sabendo-se que a) 1 b) 0 c) 1 d) 1 a b = 4 3 0, então, ab é igual a: 7

8 MATEMÁTICA MÓDULO Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 ícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 ícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 4,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 ícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de a) R$ 17,50 b) R$ 16,50 c) R$ 1,50 d) R$ 10,50 e) R$ 9,50 3 y z Analisando o sistema y z 0 y z 1 a) possível e determinado com yz = 7 b) possível e determinado com yz = 8 c) possível e determinado com yz = 6 d) possível e indeterminado e) impossível concluímos que este é: z w 0 ky k w Considere o sistema: (P) (k 1)z w 1 z kw Podemos afirmar que (P) é possível e determinado quando: a) k 0 b) k 1 c) k 1 d) k 0 e k 1 e) n.d.a. 8

9 MATEMÁTICA MÓDULO 1 GABARITO a X 180 a X b 180 X b b = 0 b = 100 X = 180 X = 15 RESPOSTA: B. RESPOSTA: D 3. RESPOSTA: D 4. RESPOSTA: D 5. RESPOSTA: E 6. RESPOSTA: A 7. a) 1 1 det A 1 1 ( 1)( ) raízes: = 1, = 1 e = y z 0 y z 0 b) = y z 0 3y 3z 0 y z 0 3y 3z 0 9

10 MATEMÁTICA MÓDULO 1 y z 0 y = z e = z S = {(k, k, k): k R} y z 0 RESPOSTA: a) 1 (dupla) e b) S = {(k, k, k): k R} 8. RESPOSTA: A 9. RESPOSTA: C 10. Para que o sistema tenha mais de uma solução (SPI), devemos ter o determinante da matriz dos coeficientes nulo: 3 k k 17k 14 0 k k 1 1 k 7 5 Veja que o sistema admite a solução (0,0,0). Assim, havendo uma solução, como o sistema não é possível determinado, ele deve ser SPI para os dois valores de k que encontramos. RESPOSTA: B 11. RESPOSTA: E 1. RESPOSTA: D 13. RESPOSTA: B 14. RESPOSTA: B 15. RESPOSTA: D 16. y z 0 y z 0 y z 1 y 1 3 y z 7 5y 4z 7 y = 1 10

11 MATEMÁTICA MÓDULO z = 7 z = = 0 = yz = 6 RESPOSTA: C 17. (P) é possível e determinado se, e somente se, o sistema é de Cramer k 0 k 1 0 k k Laplace 0 k ( 1) 1 k ª col. 1 1 k k(k k) 0 (k 0 e k 1) RESPOSTA: D 11