; b) ; c) Observação: Desconsidere o gabarito dado para esta questão no Caderno de Exercícios e considere a resposta acima.
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- Ian Vilaverde Quintão
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1 01 a) A = (a ij ) 2x2, com a ij = i + j A = a 11 a12 a21 a22 a 11 = = 2 a 12 = = 3 a 21 = = 3 a 22 = = 4 Assim: A = b) A = (a ij ) 2x2, com a ij = i j A = a 11 a12 a21 a22 a 11 = 1 1 = 0 a 12 = 1 2 = 1 a 21 = 2 1 = 1 a 22 = 2 2 = 0 Assim: A = i j,se i j c) A = (a ij ) 2x3, com a ij = 2i + j,se i = j A = a 11 a12 a13 a21 a22 a23 a 11 = = 3 a 12 = 1 2 = 1 a 13 = 1 3 = 2 a 21 = 2 1 = 1 a 22 = = 6 a 23 = 2 3 = 1 Assim: A = Respostas: a) ; b) ; c) Observação: Desconsidere o gabarito dado para esta questão no Caderno de Exercícios e considere a resposta acima. 1
2 02 M = [a ij ] 3 x 2, com M = a a a a a a ai j = 2(i j),sei j ai j = 2i + j,sei j a 11 = 2. ( 1 1) = 0 a 12 = = 4 a 21 = = 4 a 22 = 2. (2 2) = 0 a 31 = = 7 a 32 = = 8 Assim, M = Resposta: C 2
3 03 A = a b c 2, B = 3 d 1 4 Como A = B, a b c 2 = 3 d 1 4 Daí, a + 1= 3 a = 2 2 = d b = 1 c 2 = 4 c = 6 Portanto, a + b + c + d = = 11 Resposta: b 3
4 04 x + 3 y + x z 1 z x + 3 y + x z 1 z = = x + 3 = 1 (I) y + x = 0 (II) z 1= 0 (III) z = 1 (IV) Da equação (I), x = 2 Substituindo x = 2 na equação (II), y 2 = 0 y = 2 Das equações (III) e (IV), z = 1 Resposta: x = 2, y = 2; z = 1 4
5 05 A = , B = , C = a) A + B = = b) B C = = c) 2. (A t + B t ) = (A t + B t ) = (A t + B t ) = d) 3A B + C = A B + C = = Respostas: a) b) c) d)
6 06 A = , B = B 1 2 A = B 1 2 A = 1 3 Resposta: B
7 07 A = e B = X + Y = A X Y = 2B 2X = A + 2B X = 1 2 (A + 2B) X = X = X = A soma dos elementos da diagonal principal de X vale = 5 2 Resposta: C 7
8 08 A = (a ij ) 3 x 3, com a ij = i B = (b ij ) 3 x 3, com b ij = j C = 2A + B t Assim, c 23 = 2. a 23 + b 32 c 23 = = 6 Resposta: D 8
9 09 C = A 2B A = (a ij ) 2 x 2, com a ij = i + j B = (b ij ) 2 x 2, com b ij = i 2 j Como C = A 2B, então C é quadrada de ordem 2 e seu traço é dado por: c 11 + c 22 = (a b 11 ) + (a b 22 ) c 11 + c 22 = (1 2 1) (2 2 2) c 11 + c 22 = c 11 + c 22 = 2 Resposta: C 9
10 x 2 y 49 y 3x x = 49 (I) 2 y = 1 (II) 3x = 21 (III) Da equação (III), x = 7 Da equação (II), y = 3 = x y 21 2 y 3x 0 Da equação (I), x = 7 (não convém) ou x = 7 Assim, x + 2y = = 1 Resposta: B 10
11 11 A = A t 1 2 y x z 6 2 = x y = 3 5 = z = 1 x z y 5 6 Assim, x + y + z = = 10 Resposta: C 11
12 12 A t = A x 2 1 y 0 3 z 3 0 x = x (I) y = 2 z = 1 = x y z Da equação (I), 2x = 0 x = 0 Assim, x + y + z = 0 + ( 2) + 1 = 1 Resposta: D 12
13 13 A = a b + 2c b + c 3a c 2a + b 2 Como a matriz A possui posto 1, temos: 3a b + 2c = 4 (I) b + c 3a = 2 (II) c 2a + b = 3 (III) Somando as equações (I) e (II), 3a b + 2c + b + c 3a = c = 6 c = 2 Substituindo c = 2 na equação (I), 3a b = 4 3a b = 0 b = 3a Substituindo c = 2 e b = 3a na equação (III), 2 2a + 3a = 3 a = 1 Como b = 3a e a = 1, b = 3 Resposta: a = 1; b = 3; c = 2 13
14 14 B = I. Verdadeira. b 21 (340 significa que a fábrica 1 produziu 340 unidades do produto 2) b 24 (80 significa que a fábrica 4 produziu 80 unidades do produto 2) b 23 (420 significa que a fábrica 3 produziu 420 unidades do produto 2) Como = 420, as fábricas 1 e 4 produzem, juntas, a mesma quantidade do produto 2 produzido pela fábrica 3. II. Falsa. Da matriz, a fábrica 2 produz 270 unidades do produto 3, a fábrica 2 produz 270 unidades do produto 3 e a fábrica 4 produz 380 unidades do produto 3. Dessa forma, das quatro fábricas, a que mais produz o produto 3 é a fábrica 4. III. Verdadeira. Da matriz, a fábrica 3 produz 420 unidades do produto 2 e 210 unidades do produto 3. Como 420 = , a fábrica 3 produz do produto 2 o dobro do que produz do produto 3. Resposta: A 14
15 15 A = , B = 1 1 = ( 1) ( 1) ( 1) a) A. B = 1 1 b) A = [ ] A. B = [ ] A. B = [ 4 7 ] c) A = , B = A. B = ( 1) ( 1) 3 A. B = Respostas: a) b) [ ] c)
16 16 A 3x4 e B pxq A 3x4 B pxq = (AB) 3xq e p = 4 Mas, do enunciado, (AB) 3x5, logo, q = 5 Resposta: B 16
17 17 A = ; B = ; Z = ; I = B A = = I A. B = = B A 2B = = A B Z = = A I, pois A I = A Assim, as afirmações a, b, c, d são falsas. Resposta: E 17
18 18 A = , B = , C = (A + B) C = (A + B) C = (A + B) C = ( 4) ( 4) 2 (A + B) C = Resposta: D 18
19 19 A = e B = 8 6 A 2x2 X 2x1 = B 2x1 X = x 11 x x 11 x21 = x x21 = 8 (I) 1 x x21 = 6 (II) Da equação (I), x 21 = 4 Substituindo x 21 = 4 na equação (II), x = 6 x 11 = 2 Assim, x = 2 4 Resposta: B 19
20 A = 1 y e B = 2 x A t B = 1 y. 2 x 2 1 A t x 1 B = y A t 4 + x B = + 1 2y = x = 0 x = y = 0 y = 1 2 Então: x y 2 = = = 1 Resposta: D Observação: Desconsidere a alternativa e dada para esta questão no Caderno de Exercícios e considere a seguinte: y e) 8 x = 20
21 21 A = (a ij ) 3x3, com a ij = ( 2) j B = (b ij ) 3x3, com b ij = ( 1) i C = A B C 23 = a 21. b 12 + a 22. b 23 + a 23. b 33 Assim, c 23 = ( 2) 1. ( 1) 1 + ( 2) 2. ( 1) 2 + ( 2)3. ( 1) 3 c 23 = = 14 Resposta: A Observação: Considere a matriz B quadrada de ordem
22 22 A = , A. B = Como A 2 x 2 e (A. B) 2 x 3, B 2 x3 Queremos B 11 + B 21 Observe: A. B = b 11 b12 b13 b21 b22 b23 = b b21 = 4 (I) 3 b b21 = 11 ( II) Da equação (I), b 11 = 4 2b 21 (III) Das equações (II) e (III), 3. (4 2b 21 ) + 5b 21 = b b 21 = 11 b 21 = 1 b 21 = 1 Substituindo b 21 = na equação (III), b 11 = = 2 Logo, b 11 + b 21 = = 3 Resposta: C 22
23 23 Do enunciado e das matrizes, temos: = x y = x y = x y Resposta: C 23
24 24 π 2 < x π 2, com 0 < β < π tgx β cos = tgx + 6cosβ = 0 ( 2) 6tgx + 8cos β = 2 3 ( + ) 3 tgx + 6cosβ = 0 4 cos β = 2 3 Assim, cos β = 3 2 e tg x = 3 Como 0 < β < π e cos β = 3 2, β = π 6 π Como < x < π 2 2 e tg x = 3, x = π 3 Daí, x + β = π + π 3 6 = π 6 Resposta: B 24
25 25 A = (a ij ) 3 x 2, com a ij = i j B = (b ij ) 2 x3, com b ij = j C = A. B c 23 = a 21. b 13 + a 22. b 23 Observe que a 22 = 2 2 = 0 Daí, c 23 = a 21. b 13 Resposta: E Observação: Desconsidere a alternativa b dada para esta questão no Caderno de Exercícios e considere a seguinte: b) igual ao produto de a 23 por b
26 26 A B = B A y x = y x 0 4 2y + x 3y + 4x 4 16 = 2y 2x 12 + y x 16 2y + x = 2y (I) 3y + 4x = 2x 12 (II) 4 = y (III) 16 = x+ 16 (IV) Das equações (I) e (IV), x = 0 Das equações (II) e (III) e x = 0, y = 4 Assim, x + y = = 4 Resposta: D 26
27 27 A 2 = = I A 3 = A 2. A = I. A = A A 4 = A 3. A = A. A = A 2 = I Assim, A 50 = I Resposta: D 27
28 28 A = A 2 = I A 3 = A A 15 = A Resposta: C 28
29 29 A = A 2 = I A 3 = A A 4 = I A 15 = A A 22 = I Daí, A 15 A 22 = A 15 = A Resposta: C 29
30 30 A = A 2 = A 3 = A 16 = A 16 x = B x 0 1 y = x + 16y = 170 (I) y = 10 (II) Substituindo x = 10 na equação (I), x = 170 x = 10 x = Resposta: D 30
31 31 a) (A + B) 2 = (A + B). (A + B) (A + B) 2 = A. A + A. B + B. A + B. B (A + B) 2 = A 2 + AB + BA + B 2 A 2 + 2AB + B 2 (Falsa) b) BC = CB (Falsa) c) (A + B). (A B) = A. A A. B + B. A B. B (A + B). (A B) = A 2 AB + BA B 2 A 2 B 2 (Falsa) d) CI = C (Verdadeira) e) IA = I (Falsa) Resposta: D 31
32 32 M N = [ 2p ] q r 25 M N = [2pr + 2qs] (Custo da produção de 2 dias) Resposta: B 32
33 33 A B = I x y z w = x + z = 1 (I) z = 0 (II) 2y + w = 0 (III) w = 1 (IV) Da equação (II), z = 0 Substituindo z = 0 na equação (I), 2x + 0 = 1 x = 1 2 Da equação (IV), w = 1 Substituindo w = 1 na equação (III), 2y 1 = 0 y = 1 2 Assim, x + y + z + w = = 0 Resposta: A 33
34 34 x y 0 1 [ ] 1 0 = [ y x ] Sem perda de generalidade, tomemos x e y positivos. Daí, temos esta figura. Resposta: A Observação: Desconsidere a primeira matriz dada no enunciado desta questão, no Caderno de Exercícios, e considere a seguinte: x y corresponde um ponto 34. (ESPM-SP) A toda matriz não nula [ ] P(x, y)... 34
35 35 a) b) = (4 1) [2 ( 2)] = 8 = (3 3) [( 2) ( 1)] = 7 c) = [( 2 + 1) ( 2 1)] (2 1) = 1 d) sen15º cos15º sen15º cos15º = (sen 15º cos 15º) [cos 15º ( sen 15º)] sen15º cos15º sen15º cos15º = 2 sen 15º cos 15º = sen 30º = 1 2 Respostas: a) 8 b) 7 c) 1 d)
36 a) = = ( ) ( ) = b) = ( ( 1) ) ( ( 1) 4 2) = 0 c) = = ( ( 3) ) ( ( 3) ) = 15 Respostas: a) 12 b) 0 c) 15 Observação: Desconsidere o gabarito dado para o item b desta questão, no Caderno de Exercícios, e considere resposta acima. 36
37 37 A + B = a a 1 a + 3a = 4a 2 a + 2 a 1 det (A + B) = 0 4a 2 a + 2 a 1 = 0 4a (a + 1)) ((2 a) 2) = 0 4a 2 + 4a ((2 a) 2) = 0 4a 2 + 4a 4 + 2a = 0 4a 2 + 6a 4 = 0 O produto das raízes da equação vale Resposta: E 4 4 = 1 37
38 38 A xb = x 0 0 2x = 6 2x x det (A xb) = 0 6 2x x = 0 ((6 2x). (1 2x)) ( 2. 2) = 0 2x 2 7x + 1 = 0 x = ou Como 49 = 7, 41 < 7, logo > 0. Assim, as duas raízes da equação são positivas. Resposta: C 38
39 39 x + y 0 x y y 1 x 2y 0 x y = (x + y) (x y) 2y (x y) x + y 0 x y y 1 x 2y 0 x y = (x y). ((x + y) 2y) x + y 0 x y y 1 x 2y 0 x y = (x y). (x y) = (x y) 2 Resposta: A 39
40 40 D = sec x tgx 0 tgx sec x = 0, com π x 2π sec 2 x tg 2 x sec x = 0 sec 2 x (sec 2x 1) sec x = 0 2 sec x sec x = 1 1 cos x = 1 2 sec x + 1 sec x = 0 cos x = 1 x = 2π Resposta: B 40
41 41 6cos x tgx sen2x cos x = 0, com 0 < x < π 2 6 cos x cos x tg x sen 2x = 0 6 cos 2 x senx cos x 2 sen x cos x = 0 6 (1 sen 2 x) 2sen 2 x = 0 sen 2 x = 3 4 Como 0 < x < π 2, sen x = 3 2 sec 2 x = 4 Resposta: A 41
42 42 x y = sen( x) cos x 0 cos y sen y 0 = sen x cos x 0 cos y sen y sen( x) cos x 0 cos y sen y 0 = sen x sen y + cos x cos y = cos (x y) = = cos 0 = 1 Resposta: A 42
43 43 det A = senθ cosθ sec θ θ θ θ cos sen cossec, com 0 < θ < π 2 2 tgθ 1 sec θ det A = sen 2 θ sec 2 θ + cos θ cossec θ tg θ + + sec θ cos θ sec θ sen θ tg θ sen θ cossec θ cos 2 θ sec 2 θ det A = sec 2 θ. + 1 cos θ 1 cos. cos θ 2 θ 1 cosθ + cos θ. 1 sen θ. sen θ cos θ +. senθ. tgθ sen θ. 1 senθ 2 cos θ. 1 cos 2 θ det A = 2 tg θ tg θ 1 1 = 0 Resposta: D Observação: No enunciado desta questão, no Caderno de Exercícios, considere a seguinte notação para a matriz A: sen θ cos θ sec θ A = cos sen cossec θ θ θ 2 tg θ 1 sec θ 43
44 44 p(x) = det A = x = 2x + 8 a) p(5) = = 18 kg b) 30 = 2x + 8 x = 11 anos Respostas: a) 18 kg b) 11 anos 44
45 45 A = (a ij ) 2 2, com a ij = 3i j A = det (A 2 ) = det A det A = 3 3 = 9 Resposta: D 45
46 46 A B = I a b = a 4 = 1 a = 5 4 4b = 0 b = 1 A = det A = 5 ( 1) 1 ( 4) = 1 det 2 A = det A det A = 1 Resposta: A 46
47 47 det 3 A = = 8 (det A) 3 = 8 det A = 3 8 det A = 2 Resposta: C 47
48 48 det (A 2B) = det A det (2B) det (A 2B) = det A 2 3 det B det (A 2B) = det (A 2B) = 96 Resposta: E 48
49 49 det A = p 2p 2p p p 2p = p = p 5 2p 2p p Resposta: C 49
50 50 4 a m det A = 4 b n 4 c p 1 a m 4. 1 b n 1 c p = 2 1 a m 1 1 b n = 2 1 c p det B = m a 3 3 a m 1 a m n b 3 = 3 b n = 3 1 b n p c 3 3 c p 1 c p det B = = 3 2 Resposta: D 50
51 A2 = A I A 4 0 A 2 A A 2 6 = 4 0 2A 2 6 = 2 A 2 = A 2 = det A 2 = = 6 Como det A > 0, det A = 6 Resposta: E 51
52 x 4y 4z r s t = x y z r s t = x y z r s t = r 2x 1 5r x 1 5s y = 2 1 5s y 1 5t z 1 5t z 2 10r 2x 1 r x 1 5s y = s y 1 5t z 1 t z 2 10r 2x 1 5s y 1 5t z = r s t x y z 2 10r 2x s y = 10 ( 1) x y z 1 5t z r s t 2 10r 2x 1 5s y = = t z Resposta: A 52
53 53 a b 2 m n = a b 4 2m 2n = 2m 2n 4 a b = Resposta: C 53
54 54 A = e B = det A = 10 3 det B = 3 3 = 27 det (AB) = deta detb = det(ab) = Resposta: A 54
55 55 a b c p q r = 1 x y z 2a 2b 2c 2p + x 2q + y 2r + z = 2 3 3x 3y 3z a b c 2p + x 2q + y 2r + z z y z 2a 2b 2c 2p + x 2q + y 2r + z = 6 3x 3y 3z a b c a b c 2p 2q 2r + x y z x y z x y z zero 2a 2b 2c 2p + x 2q + y 2r + z = 6 2 3x 3y 3z a b c p q r x y z 2a 2b 2c 2p + x 2q + y 2r + z 6 2 ( 1) = 12 3x 3y 3z Resposta: D 55
56 56 det (A B) = 28 det A det B = 28 (1 5x) (2x 4) = 28 5x 2 11x 12 = 0 A soma das raízes da equação vale: ( 11) 11 = 5 5 Resposta: E 56
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