Determinante x x x. x x (Ime 2013) Seja o determinante da matriz. O número de possíveis valores

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1 Determinante. (Ime 0) Seja o determinante da matriz de x reais que anulam é a) 0 b) c) d) e) x x x. x x O número de possíveis valores. (Uepg 0) Sobre a matriz cos 0 sen 0 0) A sen 0 cos 0 0) det A. t cos 0 0 0) A A cos 0 08) det A 6) det A 0 cos 5 sen 5 A, sen 5 cos 5 assinale o que for correto.. (Uepb 0) A equação a) e 0 b) 0 e c) e d) e e) e log(x ) log(x ) log(x ) tem como solução real os valores de x:. (Feevale 0) Sendo x y x 8 6, o valor de y 8 a) 6 b) 8 c) d) 8 e) é: Página de

2 5. (Acafe 0) Analise as afirmações abaixo, sabendo que: a b c d e f g h i d e f I. a b c g h i II. III. a b c d e f 6 g h i a b c g h i a b c IV. d a e b f c g h i Assinale a alternativa correta. a) Apenas I, III e IV são verdadeiras. b) Apenas a afirmação III é verdadeira. c) Apenas I e II são verdadeiras. d) Todas as afirmações são verdadeiras. 6 y 6. (Uern 0) Sejam as matrizes A x e B, cujos determinantes 6 y x são, respectivamente, iguais a 6 e 9. Sendo y = x +, então a soma dos valores de x e y é a) 7. b) 8. c) 0. d). 7. (G - ifal 0) Se a). 0 A e B 0 0. O determinante da matriz (AB) é: b). 0 c). 0 d). 0 e) nda. Página de

3 .senx senx 8. (Ifsul 0) Sendo o determinante D cos x.senx intervalo a) [0,] b) [,5] c) [5,7] d) [7,9] π, o valor do D 6 está no x x 9. (Espm 0) Dadas as matrizes A e B a diferença entre os valores de x, tais que det(a B) x, pode ser igual a: a) b) - c) 5 d) - e) 0. (G - cftmg 0) Dada f: definida por afirmar que essa função a) possui raiz em x 0. π b) assume máximo apenas em x. c) é constante para qualquer valor de x. d) tem como representação gráfica uma senoide. - cos x f(x) cos x sen x sen x, é correto. (Epcar (Afa) 0) Sendo a) 80 b) 0 c) 70 d) 0 a b 0 c 70, o valor de a b 7 0 b c é:. (Eewb 0) O determinante da matriz x A onde os elementos da primeira linha são,, 5 e ; os elementos da segunda linha são 0,, 0 e ; os da terceira linha são, 7, 0 e 0 e os da quarta linha, 8, 6, 0 e, a) - 5 b) 0 c) 5 d) 5 Página de

4 . (Udesc 0) Classifique cada proposição e assinale (V) para verdadeira ou (F) para falsa. ( ) Se A (a ij) é uma matriz de ordem tal que aij i j, então o elemento que ocupa a posição da segunda linha e primeira coluna da matriz transposta de A é. ( ) O determinante da matriz inversa de B é. 7 ( ) Se T 5 C e D então (C D). 0 Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo. a) V F F b) F V V c) F F F d) V V F e) V F V. (Mackenzie 00) Dadas as matrizes A = (a ij ) x tal que que bij,se i j bij 0,se i j o valor de det(ab) é a) 7 x 0 b) 9 x 0 c) 7 x 0 d) x 0 e) 7 x 0, aij 0,se i j aij 0,se i j e B = (b ij ) x tal 5. (Fgv 00) Uma matriz x que admite inversa é a) b) c) d) e) Página de

5 6. (Ufpr 00) Considere a função f definida pela expressão cos(x) senx 0 f(x) det cos x 0 0 a) Calcule f(0) e f =. b) Para quais valores de x se tem f(x) = 0? 7. (Pucpr 00) Considere as seguintes desigualdades: I. 5 II III É correto afirmar que: a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II. b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III. c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III. d) As três desigualdades são verdadeiras. e) As três desigualdades são falsas. 8. (Uel 009) Se o determinante da matriz é nulo, então: a) x = - 7 b) x c) x = - d) x = 0 7 e) x Página 5 de

6 9. (G - cftsc 008) Calcule o valor de x para que se tenha a) -. b) 6. c) 0. d). e) (Pucrs 008) Sendo: o determinante de B é igual a a) b) c) d) e) - Página 6 de

7 Gabarito: Resposta da questão : [C] Temos: x x x x x x x x x x (x x x ) x (x ) (x x ). Portanto, como x x 0 não possui raízes reais, segue que apenas x 0 e x anulam. Resposta da questão : = 0. [0] (Verdadeira), pois cos 5 sen 5 cos5.sen5 cos5 sen5 A cos5 sen5 cos5 sen5 cos 5 sen 5 cos0 sen0 sen0 cos0 [0] (Verdadeira). det(a) cos 5 sen 5. [0] (Falsa). t cos5 0 A A. 0 cos5 [08] (Falsa). [6] (Falsa). Resposta da questão : Temos log(x ) det( A) det(a). deta (deta) log(x )[log(x ) ] 0 log(x ) log(x ) log(x ) 0 ou log(x ) 0 x ou x. Página 7 de

8 Resposta da questão : x y 6 x y 6 ( I ) x 8 y 8 8.(x ) 8.(y ) x y (x y) ( II ) Substituindo (I) em (II), temos: x 8 y 8.6 Resposta da questão 5: [A] I. Verdadeira. Ao permutarmos duas filas paralelas de uma matriz quadrada A, obtemos uma matriz B, tal que detb det A. II. Falsa. Como: a b c a b c d e f d e f, g h i g h i vem a b c a b c d e f d e f 7 ( ) 5 6. g h i g h i III. Verdadeira. Se uma matriz quadrada apresenta uma fila de zeros, então seu determinante é nulo. IV. Verdadeira. Sabendo que uma matriz quadrada com duas filas paralelas proporcionais tem determinante nulo, vem: a b c a b c a b c d a e b f c d e f a b c 0. g h i g h i g h i Resposta da questão 6: [A] O determinante da matriz A em função de x e de y é dado por det A y x 8 8 xy x y xy. Mas det A 6 e y x. Logo, x (x ) x(x ) 6 x x 8 0 Daí, (x, y) (, 5) ou (x, y) (9, ). x ou x 9. Por outro lado, o determinante da matriz B é dado por detb xy 8x 8 y 8x y xy 0. Página 8 de

9 Assim, dado que detb = 9, concluímos, por inspeção, que x e y 5 e, portanto, x y 5 7. Resposta da questão 7: Como A B, segue que det(ab) det(a ). det(a ) (det A) Portanto, det A 0 ( ) det(ab). 0 Resposta da questão 8: [A] O valor numérico do determinante para x é dado por 6 sen sen sen x sen x 6 6 D cos x sen x cos sen 6 6 Portanto, 0,9 [0, ].. Resposta da questão 9: [C] De acordo com o Teorema Binet, segue que det(a B) x det A detb x (x ) (x ) x x x 0 x ou x. Portanto, a diferença entre os valores de x, tais que det(a B) x, pode ser igual a ( ) 5. Página 9 de

10 Resposta da questão 0: [C] Desenvolvendo o determinante, temos f(x) sen x cos x senx cos x senx cos x Portanto, é constante para qualquer x. Resposta da questão : [D] A nova matriz foi obtida de A da seguinte forma:. Foram trocadas as posições das colunas e, (o determinante fica multiplicado por -).. A nova quarta linha foi multiplicada por (o determinante fica multiplicado por ).. Somou-se a terceira linha com a quarta linha, originando uma nova quarta linha (determinante não se altera). Logo, o novo determinante será (-)..70 = - 0. Resposta da questão : [B] Todo o determinante com filas paralelas e proporcionais vale zero. Resposta da questão : [A] Verdadeira. Seja b o elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz transposta de A. Temos que b a. Falsa. O determinante da matriz B é dado por detb ( ) 7. Sabendo que detb, obtemos detb detb. detb Falsa. 0 Temos que C D. 0 T 5 Logo, (C D). Página 0 de

11 Resposta da questão : [A] 0 A 0 0 B det( A) det( B) 0 det(a.b) = det(a).det(b) = 0. = 7.0 Resposta da questão 5: a) Não admite inversa, pois a linhas e são proporcionais e seu determinante vale zero. b) Não admite inversa, pois a terceira linha é uma combinação linear das duas primeiras. Seu determinante também é zero c) Não admite inversa, pois as linhas da matriz são proporcionais, seu determinante vale zero. d) Não admite inversa, pois a terceira linha é igual ao dobro da segunda menos a primeira, seu determinante vale zero. e) Seu determinante é 66 (diferente de zero). Logo, admite inversa. Resposta da questão 6: Calculando o determinante, temos: f(x) = cosx,senx.cosx f(x) = cosx senx a) f(0) = cos(.0) sen(.0) =.. b) f cos sen cos sen 0 Resposta da questão 7: [B] I) 8 (- ) > 5 - (falsa). II) < 0 + 7(verdadeira). III) > -6 + (verdadeira). Resposta da questão 8: Resposta da questão 9: Resposta da questão 0: det B m a t b k c a m b t c k det A. Página de

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