Matrizes e Linearidade

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1 Matrizes e Linearidade 1. Revisitando Matrizes 1.1. Traço, Simetria, Determinante 1.. Inversa. Sistema de Equações Lineares. Equação Característica.1. Autovalor & Autovetor 4. Polinômios Coprimos 5. Função Linear 6. Sistemas Dinâmicos Lineares & Não-Lineares pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

2 Matrizes e Vetores A m n = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n... ; x = x 1 x. a m1 a m a mn x n A R m n : matriz real, A C m n : matriz complexa x R n (real), x C n (complexo) pag. Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

3 Matrizes e Vetores Transposição: A = 6 4 a 11 a 1 a m1 a 1 a a m ; x = h x 1 x x n i a 1n a n a mn (A + B) = A + B ; (AB) = B A Traço: soma dos elementos da diagonal de uma matriz quadrada A n n Tr (A) = nx a ii ; Tr(AB) = Tr(BA) ; Tr(αA+B) = αtr(a)+tr(b) i=1 pag. Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

4 Matrizes Matriz conjugada Ā (A C m n ) j A = j j 1 5j ; Ā = 4j 1 + j 1 1 j + j j 1 + 5j 4j 1 j Matriz conjugada transposta A = 1 + j 1 j j 4j 1 + 5j 1 j (A + B) = A + B ; (AB) = B A ; c C (ca) = ca pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

5 Matrizes Simetria: A = A (a ij = a ji ) Anti-simetria: A = A (a ij = a ji ) Se A R n n, então A + A é simétrica ; A A é anti-simétrica Se A R m n, então A A é simétrica ; AA é simétrica Hermitiana: A = A (a ij = ā ji ) Anti-hermitiana: A = A Toda matriz quadrada A pode ser expressa de maneira única como A = X + jy ; X = 1 (A + A ) ; Y = 1 j (A A ) X, Y : hermitianas pag.5 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

6 Determinantes det(a) é o determinante da matriz quadrada A n n, função escalar que pode ser computada a partir de uma linha arbitrária k da matriz det(a) = n j=1 a kj C kj ou ainda a partir de uma coluna l qualquer det(a) = n a il C il i=1 sendo C pq os cofatores dados por C pq = ( 1) p+q M pq e M pq os menores associados aos elementos a pq da matriz A n n. O menor M pq é o determinante da matriz de dimensão (n 1) (n 1) obtida a partir da eliminação da linha p e da coluna q da matriz A pag.6 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

7 Determinantes Determinantes de A n n, para n = 1, e : A = h a 11 i det(a) = a 11 A = 4 a 11 a 1 a 1 a 5 det(a) = a 11 a a 1 a 1 A = 6 4 a 11 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a a 7 5 det(a) = a 11a a + a 1 a a 1 + a 1 a 1 a a 1 a a 1 a 1 a 1 a a 11 a a pag.7 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

8 Propriedade dos Determinantes Se duas linhas (colunas) são trocadas, troca-se o sinal Se uma matriz tem duas linhas (colunas) idênticas o determinante é nulo det(a ) = det(a) ; det(a ) = det(ā) det(ab) = det(a) det(b) det(αa) = α n det(a) (A R n n ) det A B D = det A C D = det(a) det(d) pag.8 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

9 + sobre Matrizes Ortogonal: A R n n, A A = AA = I Unitária: A C n n, A A = AA = I Note que o determinante de uma matriz hermitiana é sempre real det(a) = det(a ) = det(ā ) = det(ā) Se det(a) = a matriz A é chamada singular pag.9 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

10 Inversa de Matrizes A n n possui uma inversa B n n = A 1 se AB = BA = I n n A inversa de uma matriz é dada por A 1 = 1 Adj (A), sendo det(a) Adj (A) a matriz adjunta da matriz A, definida como Adj (A) = [Co (A)] e Co (A) é a matriz cofatora de A, composta pelos cofatores C ij da matriz A Relembrando, Cofator: C ij = ( 1) i+j M ij M ij o menor, do det(a), formado quando se remove a i-ésima linha e j-ésima coluna do det(a) pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

11 Inversa de Matrizes Uma identidade matricial AB = C pode ser particionada de várias maneiras: 4 A 1 A 5 h B 1 B i = 4 A 1B 1 A 1 B A B 1 A B 5 = 4 C 1 C C C A 1 A A A B 1 B 5 = 4 A 1B 1 + A B A B 1 + A 4 B 5 = 4 C 1 C 5 4 A 1 A A A B 1 B B B 4 5 = 4 A 1B 1 + A B A 1 B + A B 4 A B 1 + A 4 B A B + A 4 B 4 5 = 4 C 1 C C C 4 5 pag.11 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

12 Inversa de Matrizes A inversa de uma matriz ortogonal é igual à sua transposta A 1 = A A inversa de uma matriz unitária é igual à sua conjugada transposta: A 1 = A Inversa de uma matriz A R a b c d 1 = 1 ad bc d c b a pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

13 Fórmulas para Matrizes Invertíveis Para uma matriz quadrada A = A 11 A 1 A 1 A com A 11 e A quadradas Se A 11 é não-singular A 11 A 1 A 1 A = I A 1 A 1 11 I A 11 A 1 11 A 1 I I A A 1 A 1 11 A 1 ; A é não-singular sse é não-singular pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

14 Fórmulas para Matrizes Invertíveis Se A é não-singular A 11 A 1 A 1 A = I A 1A 1 I ˆ A I A 1 A 1 I ˆ A 11 A 1 A 1 A 1 ; A é não-singular sse ˆ é não singular (ˆ ) é chamado de complemento de Schur de A 11 (A ) pag.14 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

15 Fórmulas para Matrizes Invertíveis Se A é não singular A 11 A 1 A 1 A 1 = A A 1 11 A 1 1 A 1 A 1 11 A 1 11 A A 1 A A 11 A 1 A 1 A 1 = ˆ 1 ˆ 1 A 1 A 1 A 1 A 1 ˆ 1 A 1 + A 1 A 1 ˆ 1 A 1 A 1 (A 11 A 1 A 1 A 1) 1 = A A 1 11 A 1(A A 1 A 1 11 A 1) 1 A 1 A 1 11 (A A 1 A 1 11 A 1) 1 = A 1 +A 1 A 1(A 11 A 1 A 1 A 1) 1 A 1 A 1 pag.15 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

16 Fórmulas para Matrizes Invertíveis Para A bloco-triangular A 11 A 1 A 1 = A 1 11 A 1 A 1A 1 11 A 1 A 11 A 1 A 1 = A 1 11 A 1 11 A 1A 1 A 1 pag.16 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

17 Se A 11 é não-singular Se A é não-singular Fórmulas para Matrizes Invertíveis det(a) = det(a 11 ) det(a A 1 A 1 11 A 1) det(a) = det(a ) det(a 11 A 1 A 1 A 1) Para matrizes quaisquer B C m n e C C n m det I m B = det(i n + CB) = det(i m + BC) C I n Para quaisquer x, y C n det(i n + xy ) = 1 + y x pag.17 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

18 Sistema de Equações Lineares y 1 y y m = a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = a 1 x 1 + a x + + a n x n. = a m1 x 1 + a m x + + a mn x n Escrito na forma matricial: y = Ax y = 6 4 y 1 y. 7 5 ; A = 6 4 a 11 a 1 a 1n a 1 a a n ; x = 6 4 x 1 x. 7 5 y m a m1 a m a mn x n Interpretação: y é a medida (ou valor observado) e x é a incógnita; ou y é a saída (resultado) e x é a entrada (ou a ação); y = Ax define um mapeamento (função ou transformação) que leva x R n y R m pag.18 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

19 Equação Característica Considere a equação linear λx = Ax (λ um escalar), reescrita da forma (λi A)x = um solução x sse det (λi A) =, ie, (λi A) é singular Se A R n n, a expansão fornece uma equação polinomial de ordem n, com n raízes características λ i, i = 1,..., n chamadas de autovalores da matriz A. λ i x i = Ax i ; i = 1,..., n x i : autovetor associado à raiz característica (autovalor) λ i Equação Característica: det(λi A) = A R n n = λ C e x C n pag.19 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

20 Polinômios Coprimos São polinômios que não possuem fator comum. Dados dois polinômios p e p 1, com o grau de p 1 menor ou igual ao grau de p, pode-se usar o algoritmo de Euclides para determinar se p e p 1 possuem ou não um fator comum Determine os polinômios p,..., p k tais que p i+1 seja o resto da divisão de p i 1 por p i Dessa forma, garante-se que os polinômios p i possuem grau estritamente decrescente e que existem polinômios q i, i = 1,..., k tais que p i 1 = q i p i + p i+1 A seqüência termina quando encontra-se um p k que divide p k 1, ou, se p e p 1 não possuem fator comum, a seqüência termina com p k igual a uma constante não nula. Se houver um fator comum, o maior denominador comum entre p e p 1 é dado pelo p k que divide p k 1 pag. Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

21 Polinômios Coprimos Exemplo: Considere p = s 6s + 11s 6 e p 1 = s 5s + 4 p = (s 1) p 1 + (s ) }{{}}{{} q 1 p p 1 = (.5s ) p + }{{}}{{} q p p = (s 1) é o maior denominador comum Exemplo: p = s + 4s s + 1 e p 1 = s + s 1 p = (s + )p 1 + ( 5s + ) p 1 = (.s.5)p +.56 = não possuem fator comum pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

22 Polinômios Coprimos A matriz de Sylvester pode ser usada para se determinar se dois polinômios são ou não coprimos. Considere, por exemplo, os polinômios p(s) = p + p 1 s + p s + p s q(s) = q + q 1 s + q s + q s A existência de um fator comum implica que existem polinômios tais que a(s) = a + a 1 s + a s ; b(s) = b + b 1 s + b s p(s) q(s) = a(s) b(s) = p(s)b(s) + q(s)( a(s)) = pag. Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

23 Polinômios Coprimos Agrupando as incógnitas (coeficientes de a(s) e b(s)) em um vetor da forma: h i x = a b a 1 b 1 a b e de forma correspondente os coeficientes de p(s) e q(s) em uma matriz, obtém-se: q p q 1 p 1 q p q p q 1 p 1 q p Sx x =, x sse det(s) =... q p q p q 1 p q p q p 7 5 q p S é denominada matriz de Sylvester associada aos polinômios p(s) e q(s), podendo ser construída de diversas maneiras equivalentes, dependendo do empilhamento escolhido para o vetor x Os polinômios são coprimos sse det(s) pag. Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

24 Função Linear Uma função f : R n R m é linear se: f(x + y) = f(x) + f(y), x, y R n f(αx) = αf(x), x R n, α R ie, verifica-se o princípio da superposição y f(y) x x + y f(x) f(x + y) Exemplo: f(x) = Ax, A R m n Qualquer função linear f : R n R m pode ser escrita na forma f(x) = Ax pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

25 Funções Linear y = f(x) Afim y = f(x) + k Linear por partes y = f(x) x k x x pag.5 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

26 Transformação Linear Interpretação y = Ax y i = n j=1 a ij x j ; i = 1 m a ij : fator de ganho da j-ésima entrada x j para a i-ésima saída y i i-ésima linha de A se relaciona com a i-ésima saída j-ésima coluna de A se relaciona com a j-ésima entrada a ij = implica que a i-ésima saída não depende da j-ésima entrada pag.6 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

27 Exemplo Circuito Linear x j são as tensões das fontes independentes e y i as variáveis (tensão ou corrente): x 1 R y y 1 R 1 y R + x y 1 R 1 + y R + y = y 1 = x 1 + y y = R y + x 6 4 1/R 1 1/R R {z } M 6 4 y 1 y y 7 5 {z } y y 1 y y 7 5 = 6 4 = M 1 {z } transformação 6 4 x 1 x x 1 x {z } x = Solução? pag.7 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

28 Exemplo Circuito Linear M 1 = 1 det(m) Adj (M) = 1 R 1 R +R 1 R +R R R 1 R Adj (M) sendo Adj (A) a transposta da matriz cofatora: Adj (A) = [Co (A)] Cofatores: C 11 = R, C 1 = R, C 1 = 1, C 1 = R 1 R = (R +R ) R, C = R, C R = 1, C 1 R 1 = 1, C = 1, C = 1 1 = (R 1+R ) 1 R 1 R R1R Adj (A) = 6 4 (R R +R ) R 1 R R R R 1 (R 1+R ) R 1 R 7 5 então... pag.8 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

29 Exemplo Circuito Linear 6 4 y 1 y y 7 5 {z } y = 1 R 1 R +R 1 R +R R R 1 R 6 4 (R R +R ) R 1 R R R R 1 (R 1+R ) R 1 R x 1 x 7 5 {z } x ou, reduzindo y 1 y y 7 5 {z } y = R 1 (R + R ) R 1 R 1 6 R 1 R + R 1 R + R R 4 R R R 1 R 7 4 x x R (R 1 + R ) {z } {z } x A transformação pag.9 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

30 Linearização Funções não-lineares f : R n R m diferenciáveis em x R n Para x próximo de x, f(x) aproxima-se de f(x ) + Df(x )(x x ) Df(x ) ij = f i x j x Matriz Jacobiana Se y = f(x), y = f(x ), definem-se: δx x x (variação da entrada) e δy y y (variação da saída) δy Df(x )δx Para pequenas variações em torno de x aproximadamente linear pag. Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

31 Sistemas Dinâmicos Lineares Considere o sistema dinâmico linear: ẋ(t) = x(t) + 1 }{{} A u(t) }{{} B y(t) = [ ] 1 1 x(t) + }{{} C [ ] u(t) }{{} D condições iniciais: x 1 () = 1 ou x () = 1 pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

32 Sistemas Dinâmicos Lineares Sistema autônomo com entrada nula (u = ) e condição inicial x 1 (): x 1 x time [sec] time [sec] pag. Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

33 Sistemas Dinâmicos Lineares Sistema autônomo com entrada nula (u = ) e condição inicial x (): 1.5 x time [sec] 1.5 x time [sec] pag. Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

34 Sistemas Dinâmicos Lineares O sistema pode ser comandado através da entrada u (note a escala Tempo): To: Out(1) Step Response Amplitude To: Out() Time (sec) pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

35 Sistemas Não-Lineares PCCHUA pag.5 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

36 cements Resistor não-linear g Diodo de CHUA v C1 (t) = x 1 R v C (t) = x i d (t) = x u 1 (t) g C 1 C u (t) + + L u (t) + - pag.6 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

37 Modelo? dv C1 (t) dt = ẋ 1 (t) = 1 C 1 { x (t) R x 1(t) R } g(x 1(t)) dv C (t) dt = ẋ (t) = 1 C { x1 (t) R x (t) R } + x (t) di d (t) dt = ẋ (t) = x (t) L R L x (t) pag.7 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

38 Sistemas Não-Lineares depende da condição inicial, x() = [ ] pag.8 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

39 Sistemas Não-Lineares Ainda com condição inicial: x() = [ ] 1 x x x Tempo( 1 s) pag.9 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

40 Sistemas Não-Lineares Outra condição inicial, x() = [... ] pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

41 Sistemas Não-Lineares Ainda com a outra condição inicial, x() = [... ] 1 x x x Tempo( 1 s) pag.41 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

42 O sistema pode ser comandado? forçar, eg, x 1 ir para zero entre 5s e 5s: 5 x1(t) Tempo (s) pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1

43 MATLAB det(a) determinante de uma matriz quadrada A inv(a) inversa de uma matriz quadrada A A conjugada transposta de uma matriz A eig(a) retorna os autovalores de uma matriz quadrada A [V,D]=eig(A) retorna duas matrizes: V corresponde ao autovetores de A e D (diagonal) corresponde aos autovalores de A lsim simula a resposta temporal de um modelo linear e invariante no tempo para entradas arbitrárias pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 1