Recados. Listas 1 e 2 - disponíveis no site. Procurar Monitoria GAAL 2013/1 UFMG no Facebook. Primeira Prova: sábado, 06 de abril
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- Caio Guimarães Câmara
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1 Recados Listas 1 e 2 - disponíveis no site Procurar Monitoria GAAL 2013/1 UFMG no Facebook Primeira Prova: sábado, 06 de abril Horário: 10:00-12:00 no ICEx
2 Da aula anterior:
3 Da aula anterior: Teorema: Se A é uma matriz quadrada, então o sistema linear AX = B possui uma única solução quando A é invertível.
4 Da aula anterior: Teorema: Se A é uma matriz quadrada, então o sistema linear AX = B possui uma única solução quando A é invertível. Neste caso X = A 1 B.
5 Da aula anterior: Teorema: Se A é uma matriz quadrada, então o sistema linear AX = B possui uma única solução quando A é invertível. Neste caso X = A 1 B. Teorema: Seja A uma matriz quadrada. Então A tem inversa se, e somente se, det(a) 0.
6 Da aula anterior: Teorema: Se A é uma matriz quadrada, então o sistema linear AX = B possui uma única solução quando A é invertível. Neste caso X = A 1 B. Teorema: Seja A uma matriz quadrada. Então A tem inversa se, e somente se, det(a) 0. Como devemos calcular determinantes?
7 Da aula anterior: Teorema: Se A é uma matriz quadrada, então o sistema linear AX = B possui uma única solução quando A é invertível. Neste caso X = A 1 B. Teorema: Seja A uma matriz quadrada. Então A tem inversa se, e somente se, det(a) 0. Como devemos calcular determinantes? Matrizes 2 2 [ a b Se A = c d ], então det(a) = ad bc. A 1 = [ 1 ad bc d c ] b a
8 Da aula anterior: Matrizes 3 3:
9 Da aula anterior: Matrizes 3 3: pode ser utilizada a regra de Sarrus det(a) = ( ) = 8 22 = 30
10 Da aula anterior: Matrizes 3 3: pode ser utilizada a regra de Sarrus det(a) = ( ) = 8 22 = 30 Se você tem dúvidas em como utilizar a regra de Sarrus... treine bastante.
11 Da aula anterior: Matrizes 3 3: pode ser utilizada a regra de Sarrus det(a) = ( ) = 8 22 = 30 Se você tem dúvidas em como utilizar a regra de Sarrus... treine bastante. Em todos os casos, o determinante também pode ser calculado via escalonamento.
12 Determinante Escalonamento
13 Determinante Escalonamento Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L j, então det(b) = det(a).
14 Determinante Escalonamento Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L j, então det(b) = det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i αl i, então det(b) = α det(a).
15 Determinante Escalonamento Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L j, então det(b) = det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i αl i, então det(b) = α det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L i + αl j, então det(b) = det(a).
16 Determinante Escalonamento Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L j, então det(b) = det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i αl i, então det(b) = α det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L i + αl j, então det(b) = det(a). O determinante de uma matriz triangular é o produto dos números da diagonal principal.
17 Determinante Escalonamento Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L j, então det(b) = det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i αl i, então det(b) = α det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L i + αl j, então det(b) = det(a). O determinante de uma matriz triangular é o produto dos números da diagonal principal. Toda matriz pode ser escalonada até uma matriz triangular.
18 Determinante Escalonamento Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L j, então det(b) = det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i αl i, então det(b) = α det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L i + αl j, então det(b) = det(a). O determinante de uma matriz triangular é o produto dos números da diagonal principal. Toda matriz pode ser escalonada até uma matriz triangular. Estas propriedades permitem o cálculo do determinante de qualquer matriz.
19 Exemplo 1 Calcule o determinante de A =
20 Exemplo 1 Calcule o determinante de A = Solução:
21 Exemplo 1 Calcule o determinante de A = Solução: L 2 L 2 2L
22 Exemplo 1 Calcule o determinante de A = Solução: L 2 L 2 2L 1 A 1 =
23 Exemplo 1 Calcule o determinante de A = Solução: L 2 L 2 2L 1 A 1 = det(a 1 ) = det(a)
24 Exemplo 1 A 1 = det(a 1 ) = det(a)
25 Exemplo 1 A 1 = det(a 1 ) = det(a) L 3 L 4
26 Exemplo 1 A 1 = det(a 1 ) = det(a) L 3 L 4 A 2 = det(a 2 ) = det(a 1 )
27 Exemplo 1 A 1 = det(a 1 ) = det(a) L 3 L 4 A 2 = det(a 2 ) = det(a 1 ) = det(a)
28 Exemplo 1 A 1 = det(a 1 ) = det(a) L 3 L 4 A 2 = det(a 2 ) = det(a 1 ) = det(a) Como A 2 é matriz triangular, det(a 2 ) = = 50.
29 Exemplo 1 A 1 = det(a 1 ) = det(a) L 3 L 4 A 2 = det(a 2 ) = det(a 1 ) = det(a) Como A 2 é matriz triangular, det(a 2 ) = = 50. Daí det(a) = det(a 2 ) = 50.
30 Uma possível história do determinante Vale a pena clicar para ler um pouco sobre como pode ser demorado, complicado, e como é necessária a contribuição de várias pessoas até que apareça um conceito matemático como o conhecemos hoje.
31 Cálculo do determinante via cofatores Dada uma matriz quadrada A, o menor do elemento a ij, denotado por Ãij, é a matriz obtida de A pela eliminação da linha i e da coluna j.
32 Cálculo do determinante via cofatores Dada uma matriz quadrada A, o menor do elemento a ij, denotado por Ãij, é a matriz obtida de A pela eliminação da linha i e da coluna j. Por exemplo se A =
33 Cálculo do determinante via cofatores Dada uma matriz quadrada A, o menor do elemento a ij, denotado por Ãij, é a matriz obtida de A pela eliminação da linha i e da coluna j. Por exemplo se A = então
34 Cálculo do determinante via cofatores Dada uma matriz quadrada A, o menor do elemento a ij, denotado por Ãij, é a matriz obtida de A pela eliminação da linha i e da coluna j. Por exemplo se A = então
35 Cálculo do determinante via cofatores Dada uma matriz quadrada A, o menor do elemento a ij, denotado por Ãij, é a matriz obtida de A pela eliminação da linha i e da coluna j. Por exemplo se A = então
36 Cálculo do determinante via cofatores O cofator do elemento a ij, denotado por ã ij, é o número real ) ã ij = ( 1) i+j det (Ãij.
37 Cálculo do determinante via cofatores O cofator do elemento a ij, denotado por ã ij, é o número real ) ã ij = ( 1) i+j det (Ãij. Por exemplo se A =
38 Cálculo do determinante via cofatores O cofator do elemento a ij, denotado por ã ij, é o número real ) ã ij = ( 1) i+j det (Ãij. Por exemplo se A = então
39 Cálculo do determinante via cofatores O cofator do elemento a ij, denotado por ã ij, é o número real ) ã ij = ( 1) i+j det (Ãij. Por exemplo se A = então
40 Cálculo do determinante via cofatores O cofator do elemento a ij, denotado por ã ij, é o número real ) ã ij = ( 1) i+j det (Ãij. Por exemplo se A = então
41 Cálculo do determinante via cofatores
42 Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo.
43 Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo. Seja dada uma matriz quadrada A n n.
44 Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo. Seja dada uma matriz quadrada A n n. Escolha uma linha i qualquer de A.
45 Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo. Seja dada uma matriz quadrada A n n. Escolha uma linha i qualquer de A. Então
46 Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo. Seja dada uma matriz quadrada A n n. Escolha uma linha i qualquer de A. Então det(a)
47 Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo. Seja dada uma matriz quadrada A n n. Escolha uma linha i qualquer de A. Então det(a) = a i1 ã i1
48 Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo. Seja dada uma matriz quadrada A n n. Escolha uma linha i qualquer de A. Então det(a) = a i1 ã i1 + a i2 ã i2
49 Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo. Seja dada uma matriz quadrada A n n. Escolha uma linha i qualquer de A. Então det(a) = a i1 ã i1 + a i2 ã i2 + + a in ã in.
50 Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo. Seja dada uma matriz quadrada A n n. Escolha uma linha i qualquer de A. Então det(a) = a i1 ã i1 + a i2 ã i2 + + a in ã in. Deste modo, para o cálculo do determinante de A n n é necessário o cálculo de n determinantes de matrizes (n 1) (n 1).
51 Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo. Seja dada uma matriz quadrada A n n. Escolha uma linha i qualquer de A. Então det(a) = a i1 ã i1 + a i2 ã i2 + + a in ã in. Deste modo, para o cálculo do determinante de A n n é necessário o cálculo de n determinantes de matrizes (n 1) (n 1). Podemos então ir diminuindo a ordem da matriz até chegar em uma 3 3 onde pode ser aplicado Sarrus, ou ainda, até uma de tamanho 2 2, onde det = ad bc.
52 Exemplo 2 Calcule o determinante de A =
53 Exemplo 2 Calcule o determinante de A = Solução: Escolhendo a primeira linha,
54 Exemplo 2 Calcule o determinante de A = Solução: Escolhendo a primeira linha, det(a) = 2 ã ã ã 13
55 Exemplo 2 Calcule o determinante de A = Solução: Escolhendo a primeira linha, det(a) = 2 ã ã ã 13 [ det(a) = 2( 1) det 8 1 ] [ + 1( 1) 1+2 det ]
56 Exemplo 2 Calcule o determinante de A = Solução: Escolhendo a primeira linha, det(a) = 2 ã ã ã 13 [ det(a) = 2( 1) det 8 1 ] [ + 1( 1) 1+2 det ] det(a) = 2 ( 10) 1 10 = = 30
57 Exemplo 2...que coincidência. Dá o mesmo resultado aplicando a regra de Sarrus det(a) = ( ) = 8 22 = 30
58 Exemplo 3 Calcule o determinante de A =
59 Exemplo 3 Calcule o determinante de A = Solução: Escolhendo a terceira linha, det(a) = 4( 1) 3+2 det ( 1) 3+4 det
60 Exemplo 3 Calcule o determinante de A = Solução: Escolhendo a terceira linha, det(a) = 4( 1) 3+2 det ( 1) 3+4 det det(a) = ( 5) = = 17
61 Determinante - propriedades
62 Determinante - propriedades Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0.
63 Determinante - propriedades Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0. Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0.
64 Determinante - propriedades Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0. Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0. det(a t ) = det(a).
65 Determinante - propriedades Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0. Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0. det(a t ) = det(a). Daí o desenvolvimento do determinante por cofatores tambem pode ser feito fixada uma coluna de A.
66 Determinante - propriedades Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0. Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0. det(a t ) = det(a). Daí o desenvolvimento do determinante por cofatores tambem pode ser feito fixada uma coluna de A. Se A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho, det(ab) = det(a) det(b).
67 Determinante - propriedades Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0. Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0. det(a t ) = det(a). Daí o desenvolvimento do determinante por cofatores tambem pode ser feito fixada uma coluna de A. Se A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho, det(ab) = det(a) det(b). Se A tem inversa, então det(a 1 ) = 1 det(a).
68 Exercícios
69 Exercícios Ex 1. Se A e B são matrizes 3 3 tais que det(a) = 3 e det(b) = 2, calcule det(2a), det( A 2 ) e det(3a 1 B 2 )
70 Exercícios Ex 1. Se A e B são matrizes 3 3 tais que det(a) = 3 e det(b) = 2, calcule det(2a), det( A 2 ) e det(3a 1 B 2 ) Ex 2. Considere a matriz A = (a) Determine todos os valores de λ para os quais o sistema linear homogêneo (A λi 3 )X = 0 tem solução não trivial. (b) Para cada λ, dê a solução geral do sistema linear homogêneo do item anterior..
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