Determinantes. det A = a 11. Se A = a11 a 12 a 21 a 22. é uma matriz 2 2, então. det A = a 11 a 22 a 12 a 21. Exemplo 1. det 3 4. = 1; det 3 4 = 0.

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1 Determinantes Definição Definição Se A = [a 11 é uma matriz 1 1, então Se é uma matriz, então Exemplo 1 [ A = A = a 11 [ a11 a 1 a 1 a A = a 11 a a 1 a 1 [ 1 0 = ; 0 1 [ 6 8 = 1; 3 4 = 0 Para definir o erminante de matrizes quadradas n n para n 3, introduzimos o conceito de menor e cofator Definição Dada uma matriz A = (a ij ) n n o menor do elemento a ij, denotado Ãij, é a submatriz (n 1) (n 1) obtida de A eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A Exemplo Se A = 7 8 9, então Ã3 = [ Definição Dada uma matriz A = (a ij ) n n o cofator do elemento a ij, denotado A ij, é o número A ij = ( 1) i+j Ãij Exemplo 3 Se A = 7 8 9, então A 3 = ( 1) +3 [ = ( 1)[1 8 7 = 6 Definição Seja A = (a ij ) n n O erminante de A, denotado A, é o número definido por n A = a ij A ij j=1 n = ( 1) i+j a ij Ãij j=1 onde i é qualquer inteiro fixado entre 1 e n 1

2 Desta definição, está implícito o fato que o erminante pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofatores segundo qualquer linha (ou seja, obtemos o mesmo resultado qualquer que seja a linha que escolhamos para calcular o erminante) Para uma demonstração deste fato não trivial, veja o livro texto Este fato é muito útil no cálculo de erminantes de matrizes: na prática, procura-se desenvolver em cofatores escolhendo a linha que torne os cálculos mais fáceis Exemplo 4 = [ [ [ = = = π = = 0 Observe que se formos usar a definição para calcular o erminante, precisaremos de mais de n! operações Para ver isso, note que o primeiro passo se reduz a calcular n produtos por erminantes de matrizes (n 1) (n 1) Para calcular o erminante de cada uma destas matrizes, precisamos calcular n 1 produtos por erminantes de matrizes (n ) (n ) Logo, temos que calcular n(n 1) produtos por erminantes de matrizes (n ) (n ) E assim por diante, o k-ésimo passo se reduz a calcular n(n 1)(n k) produtos por erminantes de matrizes (n k 1) (n k 1), até o último passo, que se reduz ao cálculo de n(n 1)(n (n )) = n(n 1) = n! produtos de erminantes de matrizes (n (n ) 1) (n (n ) 1) = 1 1, isto é, n! produtos de n números Se um PC possui um processador de 1GHz, ele processa aproximadamente um bilhão (10 9 ) de operações por segundo Para calcular o erminante de uma matriz 0 0 diretamente da definição ele levaria mais que 0! = 10 9 segundos 100 anos Felizmente, como veremos logo mais, existe um método mais eficiente, o método de escalonamento, que requer apenas n 3 operações No caso de uma matriz 0 0, usando este método o computador levaria pouco mais de = = segundos, ou 8 milionésimos de segundo = 0

3 Propriedades 1) Multilinearidade A i + B i αa i Veja a justificativa desse fato no livro texto = α = A i A i, + Como conseqüência da função erminante ser multilinear temos várias propriedades úteis que simplificam o cálculo do erminante: a) (αa) = α n A B i Exemplo = = 70 = 4 I = b) Se A possui uma linha nula, então A = 0 Pois A = α A para todo α R, em particular para qualquer α 0, logo necessariamente A = 0 Exemplo e π π = 0 c) Se A possui duas linhas iguais, então A = 0 Este fato é claramente verdadeiro para matrizes Mas se ele é verdadeiro para matrizes (n 1) (n 1), então ele também é verdadeiro para matrizes n n: se as linhas k e l de A são iguais, basta desenvolver o erminante por cofatores a partir de uma outra linha i diferente de k e l; teremos então uma soma de n múltiplos de erminantes de matrizes (n 1) (n 1) cada uma delas com duas linhas iguais e portanto com erminante igual a 0 Exemplo π 3 = 0

4 d) Quando trocamos duas linhas de uma matriz, o erminante muda de sinal Este fato segue do anterior: 0 = = + + = + = Exemplo = 4 6 = ( 1) = 1 ) Determinante da Transposta (A t ) = A Para uma justificativa deste fato veja o livro texto Conseqüência: Podemos calcular o erminante desenvolvendo em cofatores a partir de qualquer coluna da matriz Exemplo 9 3) Determinante do Produto e π e π (AB) = A B Para uma demonstração deste fato, veja o livro texto 4 = 0

5 Conseqüência: Se A é invertível, então A 0 e De fato, (A 1 ) = 1 A (AA 1 ) = I A (A 1 ) = 1 Cálculo do Determinante através de Escalonamento Escalonamos a matriz até chegar em uma matriz triangular, pois o erminante de uma matriz triangular é facilmente calculado: ele é simplesmente o produto dos elementos na diagonal principal: Proposição Se A = (a ij ) n n é uma matriz triangular, então A = a 11 a nn Prova: Faça, sucessivamente, o desenvolvimento em cofatores a partir da linha em que se situa um vértice do triângulo de elementos não-nulos da matriz Ao escalonar a matriz, usamos as propriedades de erminantes dadas acima para tomar nota de como o erminante é modificado cada vez que realizamos uma operação elementar: 1) Ao trocarmos duas linhas, o sinal do erminante se modifica ) Quando dividimos uma linha por um número, o erminante da matriz anterior é igual ao erminante da matriz resultante multiplicado por este número 3) O erminante não se altera quando somamos a uma linha a mesma somada de um múltiplo escalar de outra linha Exemplo L 1 L = L1 = 3 L 3 L 1 = 3 L 3 5L = = 3 1 ( 30) = 180 5