Determinantes - Parte 02

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1 Determinantes - Parte 02 Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de outubro de / 33

2 Sumário 1 Matrizes elementares 2 Exemplos 3 Determinante da Matriz Inversa 4 Condição de existência da Matriz Inversa 5 Observações 2 / 33

3 Sumário 1 Matrizes elementares 2 Exemplos 3 Determinante da Matriz Inversa 4 Condição de existência da Matriz Inversa 5 Observações 3 / 33

4 Considere a matriz identidade de ordem n n I = Lembrando que as operações elementares sobre as linhas de uma matriz são: 1 Permuta de linhas; 2 Multiplicação de linha por escalar; 3 Combinação de linhas; Uma matriz elementar é aquela obtida de I a partir da aplicação de uma operação elementar sobre as suas linhas 4 / 33

5 O que acontece com o determinante de uma matriz elementar? 1 Mudança de linha, provoca mudança no sinal do determinante; 2 Multiplicação de linha por escalar α, significa multiplicar o deteminante por α 3 Combinação de linhas não altera o determinante. 5 / 33

6 Dada uma matriz A quadrada, o que acontece se fizermos o produto E.A onde E é uma matriz elementar? Considere a matriz A = Considere a matriz E 1 = Qual o resultado de E 1.A? E 1.A = / 33

7 Considerando ainda a matriz A = elementares E 2 = Qual o resultado de E 2.A? Qual o resultado de E 3.A? , E 3 = e as matrizes 7 / 33

8 Conclusão: Aplicar uma operação elementar em uma matriz A corresponde ao produto E.A onde E é a matriz elementar correspondente a operação sobre as linhas de A 8 / 33

9 Teorema Sejam A e B matrizes de ordem n n. Então det(ab) = det(a).det(b) Daí, se realizarmos uma operação elementar em A, estaremos mudando o determinante de A de acordo com o que vimos anteriormente para as matrizes elementares. 9 / 33

10 Exemplo [ ] 3 2 Considere a matriz A =. 1 1 Se E 1 é a matriz de ordem 2 2 obtida por meio de permutação entre as linhas de I 2, determine E 1.A. Se E 2 é a matriz de ordem 2 2 obtida de I 2 pela multiplicação de sua linha 2 por 1, determine a matriz 3 E 2.E 1.A. Se E 3 é a matriz de ordem 2 2 obtida de I 2 pela substituição de sua linha 2 pela soma das linhas 1 e 2, determine a matriz E 3.E 2.E 1.A. Qual o determinante da matriz E 3.E 2.E 1.A? Qual o determinante da matriz A? 10 / 33

11 Exemplo No exemplo anterior, aconteceu o seguinte: Construímos a matriz T = E 3.E 2.E 1.A onde E 3, E 2, E 1 são matrizes elementares! Veja que T é uma matriz triangular, cujo determinante é simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal principal. Pelo teorema anterior, dett = dete 3.detE 2.detE 1.detA Ou seja, dett deta = dete 3.detE 2.detE 1 11 / 33

12 Generalizando, deta = dett dete k.dete k 1..detE 1 Veja que se ao final do escalonamento, a matriz não tiver posto máximo, então o(s) último(s) elemento(s) da diagonal principal é(são) nulo(s). Isso significa que det T = 0 e, consequentemente, det A = 0. TEOREMA Se A é uma matriz de ordem n n, então det A 0 se, e somente se, posto(a) = n. 12 / 33

13 Exemplo Exemplo: Calcular o determinante de A = Resposta / 33

14 Sumário 1 Matrizes elementares 2 Exemplos 3 Determinante da Matriz Inversa 4 Condição de existência da Matriz Inversa 5 Observações 14 / 33

15 Exemplo Calcular o determinante de A = Resposta / 33

16 Exemplo Calcular o determinante de A = Resposta / 33

17 Dúvida Seria possível triangularizar a matriz A de modo que a matriz T tivesse mesmo determinante que A? T = E n. E 2.E 1.A = deta = dett dete n..dete 2.detE 1 17 / 33

18 Exemplo [ ] 3 2 Voltemos à matriz A =. 1 1 Como sabemos, seu determinante é igual a 1. Se fizermos a seguinte mudança: L 2 L L 1 [ ] 3 2 Obtemos T = Cujo determinante é igual a 1, também. O que foi feito de diferente? 18 / 33

19 Exemplo Calcule novamente o determinante da matriz abaixo, agora obtendo uma matriz triangular cujo determinante já nos dê o determinante de A. Resposta A = / 33

20 Sumário 1 Matrizes elementares 2 Exemplos 3 Determinante da Matriz Inversa 4 Condição de existência da Matriz Inversa 5 Observações 20 / 33

21 Determinante da Matriz Inversa Seja A uma matriz não singular. Então A.A 1 = I Portanto, det(a.a 1 ) = det(i ) e det(a). det(a 1 ) = 1 Como A e A 1 são matrizes quadradas e de mesma ordem, certamente existem os determinantes de ambas. Se o produto de tais determinantes é diferente de zero, então cada um deles é não nulo. Daí, det(a 1 1 ) = det(a). 21 / 33

22 Exemplo: Encontrar o determinante da inversa da matriz Resposta... A = det A 1 = / 33

23 Sumário 1 Matrizes elementares 2 Exemplos 3 Determinante da Matriz Inversa 4 Condição de existência da Matriz Inversa 5 Observações 23 / 33

24 Condição de existência da Matriz Inversa Teorema A é não singular se, e somente se, det(a) 0 De fato, para encontrar o determinante de A devemos triangularizá-la, obtendo uma matriz T. Podemos fazer a triangularização de modo que det(a) = det(t ). Para que det(t ) = 0, necessariamente um (ou mais!) dos elementos de sua diagonal principal é nulo! Ora, mas isso implica que posto(t ) < n. Consequentemente, posto(a) < n e A é singular. Conclusão: det(a) = 0 = não existe A 1 Isto é, Se A 1 existe então det(a) 0 24 / 33

25 Teorema A é não singular se, e somente se, det(a) 0 Reciprocamente, se A é singular, então posto(a) < n. Portanto, uma triangularização de A resulta em uma matriz T cujo posto também é menor do que n. Esta matriz não terá n pivots. Portanto, det(t ) = 0. Se det(t ) = 0, então det(a) = 0 Conclusão: Se não existe A 1, então det(a) = 0 Isto é, Se det(a) 0 então A 1 existe. 25 / 33

26 Sumário 1 Matrizes elementares 2 Exemplos 3 Determinante da Matriz Inversa 4 Condição de existência da Matriz Inversa 5 Observações 26 / 33

27 Observação Conjugada transposta det(a ) = det(a)? Nem sempre! [ ] 1 2 A = 0 i [ 1 0 A T = 2 i deta = i, ], A = A T = deta = i [ ] i 27 / 33

28 Sistemas Lineares Seja S um sistema onde o número de variáveis é igual ao número de equações. Qual a relação entre SOLUÇÃO DO SISTEMA e DETERMINANTE DA MATRIZ DOS COEFICIENTES? 28 / 33

29 Produto de linha por escalar O que acontece com o determinante de uma matriz quadrada A se multiplicarmos UMA LINHA APENAS por uma constante α? 29 / 33

30 Seja d o determinante de uma matriz A. Qual o determinante de α.a? Resposta α n.d onde n n é a ordem de A. 30 / 33

31 Uma matriz tem duas colunas iguais. O que se pode dizer sobre o seu determinante? 31 / 33

32 Uma matriz tem duas linhas proporcionais. O que se pode dizer sobre o seu determinante? 32 / 33

33 Uma das colunas da matriz A n n é combinação linear de duas outras colunas da mesma matriz. O que se pode dizer sobre o seu determinante? 33 / 33