Lista de exercícios 5 Determinantes

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1 Universidade Federal do Paraná semestre 015. Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic Lista de exercícios 5 Determinantes Exercício 1: Seja A := Encontre os valores dos menores det(m,1 ), det(m, ) e det(m,3 ), Encontre os valores dos cofatores,1,,,,3. Use suas respostas da parte para calcular det(a). Exercício : Use determinantes para determinar se as seguintes matrizes são não singulares Exercício 3: Calcule os seguintes determinantes: d) e) f) g) h) Exercício 4: Calcule os seguintes determinantes por inspeção: d) Exercício 5: Calcule o seguinte determinante. Escreva sua resposta como um polinômio em x. a x b c 1 x x 1

2 Exercício 6: Ache todos os valores de λ para os quais o seguinte determinante será igual a 0. λ λ. Exercício 7: Avalie cada um dos seguintes determinantes por inspeção: Exercício 8: Para cada uma das seguintes matrizes, determine e diga se a matriz é singular ou não e) 1 f) d) Exercício 9: Considere a matriz de Vandermonde 3 3: V = 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 3 x 3 Mostre que det(v ) = (x x 1 )(x 3 x 1 )(x 3 x ). [Sugestão: use a operação em linhas III.] Que condições devem os escalares x 1, x e x 3 vericar para que V seja não singular? Exercício 10: Suponha que uma matriz 3 3 é fatorada em um produto: u 1,1 u 1, u 1,3 A = l, u, u,3 l 3,1 l 3, u 3,3 Determine o valor de det(a). Exercício 11: Seja A e B matrizes n n. Demostre que o produto AB é não singular se e somente se A e B ambas são não singulares.

3 1 Correções Correção do Exercício 1: Os menores da segunda linha de A := são dados por: det(m,1 ) = 3 = 8, det(m, ) = 3 4 =, det(m,3 ) = 3 3 = 5. O cofator i,j é obtido multiplicando o menor det(m i,j ) por ( 1) i+j. Usualmente, este sinal obtémse usando simplesmente a seguinte tabela: Neste caso, obtemos os seguintes cofatores:,1 = ( 1) +1 det(m,1 ) = det(m,1 ) = 8,, = ( 1) + det(m, ) = + det(m,1 ) =,,3 = ( 1) +3 det(m,3 ) = det(m,1 ) = 5. Deduzemos o determinantes de A desenvolvendo na segunda linha: 3 det(a) = = ( ) = ( 1) ( 8) ( ) 3 5 = 3 Correção do Exercício : Calculemos: = = 0, logo a matriz é não singular = = 0, logo a matriz é singular. 3

4 3 6 ( 3 6 = 3.4.( 6) = 4 0, logo a matriz ) é não singular. Correção do Exercício 3: Calculemos os determinantes. Sempre vale a pena efetuar algumas operações em linhas ou colunas para simplicar as contas: Aplicando a formula para o determinante de matrizes, obtemos: 3 5 = 4 ( ) 5 =, Aplicando a formula para o determinante de matrizes, obtemos: = ( ) = 36, Efetuando a operação em colunas (C C C 1 ) pois desenvolvendo na segunda coluna, obtemos: 5 5 = = = 0, d) Efetuando a operação em colunas (L 3 L 3 +L ) pois desenvolvendo na terceira coluna, obtemos: = = = 58, e) Efetuando sucessivamente as operações em linhas (L L L 3 ) e (L 1 3L 3 ), pois desenvolvendo na segunda coluna, obtemos: = = = = 39, 4

5 f) Efetuando sucessivamente as operações em linhas e colunas, pois a formula para o determinante de matrizes 3 3, obtemos: = (C 3 C 3 /) = (C C + C 3 ) = (C C /4) = (L 3 L 3 L ) 4 0 = (C 3 C 3 C ) 4 0 = (C 1 C 1 C ) 4 0 = 0, g) Efetuando a operação em linha (L 4 L 4 + L 3 ), desenvolvendo na terceira coluna, pois aplicando a formula do determinante para matrizes 3 3, obtemos: = = = ( ) = 8, h) Usando técnicas semelhantes, pode-se calcular facilmente que: = Correção do Exercício 4: Calculemos direitamente que: 3 5 = =. 5

6 Desenvolvendo na ultima coluna, vemos que: = Desenvolvendo na primeira linha, vemos que: = = 4. = 0. d) Desenvolvendo na segunda coluna, vemos que: = Correção do Exercício 5: Calculemos que: a x b c 1 x 0 = (a x) ( x) ( x) c + 0 b 0 c ( x) (a x) ( x) b x = (a x) x + c + b x = x 3 + ax + bx + c. Correção do Exercício 6: Calculemos o determinante em relação a λ: λ λ = ( λ) (3 λ) 3 4 = λ 5λ 6. Esta expressão é um polinômio de grau na variável λ, para saber quando se anula, basta fatorar = λ 5λ + 6. Usando o método de Báscara, calculemos que = ( 5) 4 ( 6) = 49, logo λ 5λ 6 tem duas raízes reais: λ 1 = = 6, e λ = 5 49 = 1. ou seja, temos que λ 5λ 6 = (λ + 1) (λ 6). Concluamos que: λ λ = λ 5λ 6 = (λ + 1) (λ 6). Logo este determinante é igual a 0 se e somante se: λ = = 6, ou λ = 5 49 = 1. 6

7 Correção do Exercício 7: Desenvolvendo na primeira linha = = 3 ( 8) = 4. Usando a operação em linha (L 4 L 4 + L 1 ), pois desenvolvendo na cada vez na ultima linha: = = = = 5 3 = 30. Usando a operação em linha (C 1 C 4 ), obtemos: = = 1. Correção do Exercício 8: Usando técnicas semelhantes ao exercício 3, obtemos: = 0, logo esta matriz não é invertível, = 0, logo esta matriz é invertível, = 3 0, logo esta matriz é invertível, d) = 0, logo esta matriz é invertível, e) 1 = 0, logo esta matriz não é invertível, f) = 0, logo esta matriz não é invertível

8 Correção do Exercício 9: Efetuando operações em linhas, calculemos facilmente que: 1 x 1 x 1 det(v ) = 1 x x 1 x 3 x 3 1 x 1 x 1 = 0 x x 1 x x 1 0 x 3 x 1 x 3 x 1 = 1 x x 1 x x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 = (x x 1 ) (x 3 x 1) (x 3 x 1 ) (x x 1) = (x x 1 ) (x 3 x 1 ) (x 3 + x 1 ) (x 3 x 1 ) (x x 1 ) (x + x 1 ) = (x x 1 ) (x 3 x 1 ) (x 3 + x 1 x x 1 ) = (x x 1 ) (x 3 x 1 ) (x 3 x ). A matriz V seja não singular se e somente se x 1, x, e x 3 são distintos dois a dois (isso é, se e somente se x 1 x, x x 3, e x 3 x 1 ). Correção do Exercício 10: Calculando os determinantes separadamente, obtemos: det l,1 1 0 = = 1, l 3,1 l 3, 1 u 1,1 u 1, u 1,3 det 0 u, u,3 = u 1,1 u, u 3, u 3,3 Logo, usando a propriedade multiplicativa do determinante, obtemos facilmente que: u 1,1 u 1, u 1,3 det(a) = det l, u, u,3 l 3,1 l 3, u 3,3 = det l,1 1 0 l 3,1 l 3, 1 det u 1,1 u 1, u 1,3 0 u, u,3 0 0 u 3,3 = u 1,1 u, u 3,3. Correção do Exercício 11: É uma consequência da propriedade multiplicativa do determinante, pois temos: det(a B) = det(a) det(b). Logo det(a B) é diferente de zero se e somente se ambos det(a) e det(b) são diferentes de zero. Concluemos que o produto AB é não singular se e somente se A e B ambas são não singulares. 8

9 Referências [1] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8 a edição, LTC