Lista de exercícios 12 Similaridade

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1 Universidade Federal do Paraná Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios Similaridade Exercício : Para cada um dos seguintes operadores lineares L em R, determine a matriz A representando L em relação a {e, e } e a matriz B representando L em relação a {u (,, u (, } a L(x ( x, x, b L(x x, c L(x (x, x T, d L(x x, e L(x x e Exercício : Sejam B {u, u } e B {v, v } bases odrenadas de R, onde: u :, u :, v :, v : Seja L a transformação linear definida por L(x ( x, x, e seja B a matriz representando L em relação a {u, u } (do exercício -a a Encontre a matriz de transição S corespondente à mudança de base de B {u, u } para B {v, v } b Encontre a matriz A representando L em relação a {v, v } calculando SBS c Verifique que: L(v a, v + a, v L(v a, v + a, v Exercício 3: Seja L a transformação linear em R 3 definida por: x x x 3 L(x x x x 3 x 3 x x e seja A a representação matricial padrão de L (ver exercício 4 da folha Se: u (,,, u (,,, u 3 (,,, então {u, u, u 3 } é uma base ordenada para R 3, e U {u, u, u 3 } é a matriz de transição correspondente à mudança de base de {u, u, u 3 } para a base padrão {e, e, e 3 } Determine a matriz B representando L em relação à base {u, u, u 3 } calculando U AU

2 Exercício 4: Seja L o operador linear representando R 3 em R 3 definido por L(x Ax, onde 3 A e sejam: v :, v :, v 3 : Encontre a matriz de transição V correspondente à mudaça de base de {v, v, v 3 } para {e, e, e 3 } e use-a para determinar a matriz B representand L em relação a {v, v, v 3 } Exercício 5: Seja L o operador em P 3 definido por: L(p(x xp (x + p (x a Encontre a matriz A representando L em relação à base {, x, x }, b Encontre a matriz B representando L em relação à base {, x, + x }, c Encontre a matriz S tal que B S A S d Se p(x a + a x + a ( + x, calcule L n (p(x Exercício 6: Seja V o subespaço de C([a, b] coberto por, e x, e x e seja D o operador diferenciação em V a Encontre a matriz de transição S representando a mudança de coordenadas da base ordenada [, e x, e x ] para a base ordenada [, cosh, sinh], onde: cosh(x (ex + e x, e sinh(x (ex e x b Encontre a matriz A representando D em relação a [, cosh x, sinh x] c Encontre a matriz A representando D em relação a [, e x, e x ] d Verifique que B S AS Exercício 7: Mostre que se A é similar a B, e B é similar a C, então A é similar a C Exercício 8: Suponha que A SΛS onde Λ é uma matriz diagonal com elementos na diagonal λ,, λ n i Mostre que As i λ i s i ii Mostre que se x α s + + α n s n, então: A k x α λ k s + α nλ k ns n iii Soponha que λ i <, i n O que acontece com A k x quando k? Exercício : Sejam A e B matrizes n n Mostre que se A é similar a B, então existem matrizes n n, S e T, com S não singular tais que A ST e B T S Exercício : Sejam A e B matrizes similares Mostre que: a A e B são similares b A k e B k são similares para todo k N Exercício : Mostre que se A e B são similares, então det(a det(b Exercício 3: Sejam A e B matrizes similares e seja λ qualquer escalar Mostre que

3 a A λi e B λi são similares b det(a λi det(b λi Exercício 4: Mostre que se A é similar a B e A é não singular, e A e B são similares Exercício 5: O traço de uma matriz n n, A, escrito tr(a, é a soma de seus elementos diagonais, isso é: tr(a a i,i Mostre que: a tr(uv tr(v U b se A é similar a B, então tr(a tr(b in 3

4 Resoluções Resolução do Exercício : Notemos B a base padrão e B : {u (,, u (, } Jà calculamos a matriz A M(L B de L em relação à base padrão na folha Para encontrar a matrix B M(L B de L na base B, é so aplicar a formula: M(L B M B B M(L B M B B, ou, seja: B S A S, ( onde S denota a matriz de transição de B para B : S : M B B Para aplicar ( é preciso calcular a inversa: S M B B a Nesse caso, A M(L B B / / / / ( [ ] / / / /, segue aplicando ( que: b De maneira semelhante, temos nesse caso M(L B B c Nesse caso, M(L B B / / / / logo: / / / / d De maneira semelhante, para M(L B B / / / / e Finalmente, para M(L B B / / / / (, obtemos: [ ], segue aplicando ( que: [ ] [ ] (, tem se que: ( [ ] [ ] ( / / ( / / / / Resolução do Exercício : 4

5 a A matriz de transição corespondente à mudança de base de B {u, u } para B {v, v } é dada por: S M B B M B B M B B M B B M B B 3 b Já calculamos a matriz B M(L B representando L na base B no exercício -a Deduzemos a matriz representando L em relação a B pela fórmula: A M(L B M B B M(L B M B B S B S ( 3 ( 3/ / / / c Os coeficientes de A são dados por: a, a A, a, a, 4 Verifiquemos que: L(v L((, (, (, 4(, a, v + a, v, L(v L((, (, (, (, a, v + a, v Resolução do Exercício 3: Jà calculemos exercício 4 da folha que a representação matricial de L na base padrão B era dada por: A M(L B A matriz de transição correspondente à mudança de base de B : {u, u, u 3 } para a base padrão {e, e, e 3 } é dada por: U M B B 5

6 Deduzimos a matriz representando L em relação à base B pela fórmula: M(L B M B B M(L B M B B U A U / / / / / / / / / Resolução do Exercício 4: A representação matricial de L na base padrão B é dada por: 3 M(L B A A matriz de transição correspondente à mudança de base de B : {v, v, v 3 } para a base padrão {e, e, e 3 } é dada por: V M B B Deduzimos a matriz representando L em relação à base B pela fórmula: B M(L B M B B M(L B M B B V A V 3 Resolução do Exercício 5: a Notemos B a base B : {, x, x } Calculemos as imagens dos elementos, x e x da base B por L, temos: L( + x + x, L(x x + x + x, L(x x + + x + x 6

7 Logo a matriz de L na base B : {, x, x } é dada por: A M(L B b Notemos B a base B : {, x, + x } Calculemos as imagens dos elementos, x e + x da base B por L, temos: L( + x + ( + x, L(x x + x + ( + x, L( + x x + + x + ( + x Logo a matriz de L na base B : {, x, + x } é dada por: B M(L B c Temos que A M(L B e B M(L B, segue que a matriz S tal que B S A S é a matriz de transição de B para B, dada por: S M B B d Temos p(x a + a x + a ( + x logo o vetor de coordenadas de p(x na base B é dado por [p(x] B (a, a, a Obtemos o vetor de coordenadas em B da imagem L(p(X multiplicando [p(x] B pela matriz B de L na base B, isso é: [L(p(x] B M(L B [p(x] B B a a Aplicando L de novo, obtemos o vetor de coordenadas em B da imagem L (p(x : L(L(p(X multiplicando [L(p(x] B pela matriz B de L na base B, ou seja: [L (p(x] B [L(L(p(x] B M(L B[L(p(x] B M(L BM(L B[p(x] B BB a a De maneira equivalente, a matriz da aplicação linear L L L na base B é dada por: M(L B M(L L B M(L B M(L B B B Iterando o processo, é fàcil ver que a matriz de L n L L na base B é dada por: M(L n B M(L} {{ L} B M(L B M(L B B }{{}} {{ B} B n Logo basta calcular B n Tentando fazer a conta, é facil ver que B n mais n para provar isso de maneira rigorosa, temos que fazer por indução Notemos P n a propriedade seguinte: P n : B n n 7 a a

8 Jà sabemos que P é verdeira, isso é P : B Soponha que P n é verdeira, então temos: B n+ B n B n n+ Logo P n P n+ e deduzemos por indução que P n é verdeira para qualquer n N Podemos finalmente deduzir L n (p(x pois temos a matriz de L n : a [L n (p(x] B M(L n B [p(x] B B n [p(x] B a a + a n a a Concluemos que: L n (a + a x + a ( + x (a + a x + n a ( + x Observação: seria muito mais difícil calcular L n usando a base padrão, pois teria que calcular A n (tente fazer a mão para ver A matriz de L na base B sendo mais simples, facilitou as contas Observe tambem que, emborra A n seja difícil calcular direitamente, podemos usar B n para obter A n da maneira seguinte: A n A A }{{} S B S S B S }{{} SBS } {{ S} B B } S {{ S} BS S B } {{ B} S, ou seja, temos que A n S B n S Isso é um truque muito prático que se usa por exemplo para calcular a exponential de uma matriz e A : + A + A + + n! An + que aparece em particular na resolução de sistemas de equações diferenciais lineares Resolução do Exercício 6: a Notemos B a base ordenada [, e x, e x ], e B a base ordenada [, cosh, sinh] Temos cosh(x ex + e x, e sinh(x ex e x, logo a matriz de transição da base B para B é dada por: M B B / / / / Deduzemos a matriz de transição S representando a mudança de coordenadas da base ordenada B para B por inversão: S M B B M B B / / [ ] / / b Calculemos as imagens por D dos elementos da base B, temos: D( D(cosh x (ex e x sinh(x, D(sinh x (ex + e x cosh x 8

9 Logo a matriz de D na base B é dada por B : M(D B c Calculemos as imagens por D dos elementos da base B, temos: D( D(e x e x D(e x e x Logo a matriz A de D na base B é dada por A : M(D B d Verifiquemos que B S AS, ou seja M(D B M B B M(D BM B B, calculando: / / / / Resolução do Exercício 7: Soponha que A é similar a B, e B é similar a A, isso é, existem matrizes não singulares S e S tais que: Consideremos a matrix S : S S, então calculemos que: A S BS ( B S CS (3 S C S (S S C (S S S } S {{ C S } S S B S A B Logo A e C são similares Resolução do Exercício 8: i Por definição, s j é a j a coluna de A, ou seja: S ( s s n Observe primeiro que a coluna s j pode ser obtida multiplicando S pelo vetor coluna e j (,,,, ou seja s j S e j A matriz S sendo não singular, segue que temos tambem que e j S s j Uma outra observação é que para uma matriz diagonal, temos: λ Λ e j e j λ j e j λ n Assim, podemos calcular facilmente que: A s j S Λ S s j S Λ e i λ }{{}}{{} j S e j λ j s j }{{} e j λ j e j s j 9

10 Observação: Notemos B a base B {s,, s n } e B a base padrão Consideremos L a aplicação linear L : R n R n cuja matriz na base padrão é A Então, S é a matrix de transição de B para B Assim, podemos interpretar Λ como a matriz de L na base B, pois temos: A S Λ S Λ S A S M B B M(L B M B B O fato de Λ ser diagonal significa que a base B, é tal que L(s i λ j s j, ou seja L opera por dilatações de varios fatores λ j em cada elemento da base B Diz-se que L é uma aplicação linear diagonalizavel, ou que A é uma matriz diagonalizavel ii Segue fàcilmente por indução de a que para qualquer k N, temos: A k s j A } {{ A} s j A } {{ A} A s j A }{{}} {{ A} λ j s j [ ] λ k s j k vezes k- vezes λ j s k- vezes j Usando as propriedades do cálculo matricial, segue que: A k (x A k (α s + + α n s n iii No case λ i <, i n, tem-se que λ k i tende ao infinito, pois: α A k (s + + α n A k (s n α λ k s + + α n λ k ns n A k (x α λ k s }{{} + + α n λ k n }{{} k k Segue que A k x tende a quando k k s n k Resolução do Exercício : Soponha que A é similar a B, isso é, exite S não singular tal que A SBS Definemos T : BS, então: A S } B {{ S } S T T T S (B S S B S S B Resolução do Exercício : Consideremos duas matrizes similares A e B, isso é existe uma matriz não singular S tal que B S AS a Lembre que (U V V U, assim (U V W W V U, e calculemos que: B (S A S S A (S S A (S S A S onde S : S Logo A e B são similares b Calculemos que: B k B B }{{} k vezes Logo A k e B k são similares S A S S A S }{{} k vezes S A } {{ A} S S A k S k vezes

11 Resolução do Exercício : Se B S AS, segue das propriedades do determinantes que: det(b det(s AS det(s det(a det(s det(a det(s det(a det S Resolução do Exercício 3: Consideremos duas matrizes similares A e B, isso é existe uma matriz S tal que B S AS a Calculemos que: S (A λis S AS λ } S {{ IS} B λi S SI Logo as matrizes A λi e B λi são similares b Temos: det(b λi det(s (A λis det(s det(a λi det(s det(b λi }{{} det(s Resolução do Exercício 4: Uma matriz A é não singular se e somante se det(a Vimos no exercício que se A e B são similares, então det(a det(b, logo para A e B similares, A é não singular se e somente B não o é Lembre que para matrizes não singulares (U V V U, assim (U V W W V U jà que U, V e W são não singulares No caso B S AS, segue que: Logo A e B são similares Resolução do Exercício 5: B (S A S S A (S S A S a O coeficientes i, j das matrizes UV e V U são dados por: (UV i,j u i,k v k,j (V U i,j Segue que: tr(uv in (UV i,i kn i,kn u i,k v k,i k,in ln v k,i u i,k v i,l u l,j kn b Se B S AS, aplicado às matrizes U : S A e V : S, obtemos: Referências tr(b tr(s AS tr(ass tr(b [] Steven J Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8 a edição, LTC (V U k,k tr(v U