Álgebra Linear Equações Diferenciais Parciais Problemas de Sturm Liouville. Ney Lemke. logo

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1 Revisão Matemática Ney Lemke Mecânica Quântica 2011

2 Outline 1 Álgebra Linear 2 Equações Diferenciais Parciais 3 Problemas de Sturm Liouville

3 Outline 1 Álgebra Linear 2 Equações Diferenciais Parciais 3 Problemas de Sturm Liouville

4 Espaço Vetorial Formalmente definimos vetor como sendo um elemento de um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto que possui duas operações, chamadas de soma e multiplicação por escalar. Estas operações obedecem estas propriedades: 1 x + y = y + x 2 ( x + y) + z = x + ( y + z) 3 x + 0 = x 4 x y tq x + y = 0

5 Espaço Vetorial Sejam α e β quantidades escalares: 1 α(β x) = (αβ) x 2 (α + β) x = α x + β x 3 α( x + y) = α x + α y

6 Exercício Mostre que os números complexos formam um espaço vetorial, se considerarmos multiplicação por escalar, multiplicação por real.

7 Combinação Linear n α i x i α n x n = α i x i i=1

8 Vetores linearmente independentes n vetores são considerados linearmente independentes se e somente se: n α i x i = 0 implicar que i α i = 0. i=1

9 Subespaço Vetorial Considere k vetores x i,..., x k e o conjunto de vetores na forma: y = k α i x i i=1 Este conjunto é chamado de sub-espaço vetorial. Observe que este conjunto é um espaço vetorial.

10 Subespaço Vetorial Se os vetores x i,..., x k forem linearmente independentes dizemos que eles formam uma base para o sub-espaço vetorial. Se k for a dimensionalidade do espaço dizemos que o conjunto é uma base para o espaço vetorial.

11 Subespaço Vetorial Suponha que os vetores e i sejam uma base para um espaço vetorial, ou seja n x = x i e i i=1 Representamos o vetor usando o vetor coluna: x 1 x =... x n

12 Operadores Um operador é uma função que associa um elemento do espaço vetorial a outro elemento do espaço vetorial: y = F( x)

13 Operador Linear Um operador Linear deve satisfazer asseguintes condições: 1 L(α x) = αl x 2 L( x + y) = L x + L y 3 L(0) = 0

14 Operador Linear n L( e i ) = a i = a ji e j j=1 y = L y = L x n x i e i = ij i=1 x i a ji e j y k = i a ki x i

15 Composição de Operadores Lineares y = A x z = B y y i = j a ij x j z k = j d ki y i z k = ij a ij d ki x j h kj = i d ki a ij

16 Exemplos de Operadores Lineares I: I x = x N: N x = x Rotação

17 Mudança de Base x = i x i e i x = i x i g i g = j g ji e j G = [g ij ] e j = i t ij g i T = [t ij ] x = j x j e j = ji x j t ij g i = i g i t ij x j j x i = j t ij x j x i = j g ij x j

18 Mudança de Base x = Gx x = T x x = TG x TG = I

19 Mudança de Base y = A x y = A x y = T y x = T x T y = A T x y = T 1 A T x A = T 1 A T A = TAT 1

20 Matriz Transposta Seja uma matriz: A = [A ij ] a matriz transposta A T é dada por: A T ij = A ji

21 Determinantes Definition: O determinante de uma matriz quadrada é definido por: det A = σ S n sgn(σ) n i=1 A i,σi a soma é calculada sobre todas as permutações σ, o sinal de uma permutação está relacionado ao número de trocas a partir da seq. ordenada {1,..., n}, se o número de trocas for par o sinal é positivo e negativo caso contrário.

22 Determinantes Propriedades 1 det AB = det A det B 2 deta T = det A 3 det(αa) = α n deta 4 det I=1 5 dett 1 = 1/(detT ) 6 dettat 1 = deta

23 Traço O Traço de uma matriz quadrada e dado por: TrA = Propriedades 1 TrA T = TrA 2 Tr(A + B) = TrA + TrB 3 TrAB = TrBA (propriedade circular) 4 TrTAT 1 = TrA (Traços são invariantes a mudanças de base) n i=1 A ii

24 Produto Interno O produto interno é um escalar ( x, y) obtido a partir de dois vetores x e y e que satisfaz as propriedades: Espaço Reais Espaço Complexos ( x, y) = ( y, x) ( x, y) = ( y, x) ( x, y + z) = ( x, y)+( x, z) ( x, y + z) = ( x, y)+( x, z) ( x, x) 0 ( x, x) 0 ( x, x) é denominado a norma do vetor.

25 Produto Interno Espaço Reais ( x, y) = n i=1 x iy i = x T y Espaço Complexos ( x, y) = n i=1 x i y i = x y A é a matriz transposta e conjugada de A. Lê-se dagger ou adaga.

26 Base ortonormal Dois vetores são ditos ortogonais se: Uma base é dita ortonormal se: ( x, y) = 0 ( e i, e j ) = δ ij

27 Classes de Matrizes Unitárias U U = I Ortogonais G T G = I Hermitianas G = G

28 Autovalores e Autovetores A x = λ x x é um autovetor λ é um autovalor Equação característica: det(a λi) = 0

29 Teorema 1: Se uma matriz possui m autovalores distintos então a matriz possui m autovetores ortogonais.

30 Lema (AB) = B A (AB) = [AB ik ] = ( j A ij B jk ) = j A ji B kj (AB) = B A

31 Teorema 2: Os autovalores de uma matriz hermitiana são todos reais. Demonstração: A x = λ x x A = λ x x A = λ x x A x = λ x x λ x x = λ x x λ = λ

32 Teorema 3: Os autovalores de uma matriz hermitiana correspondentes a dois autovalores distintos são ortogonais. Demonstração: A x = λ 1 x A y = λ 2 y x A = λ 1 x

33 Teorema 3: y A = λ 2 y y A x = λ 1 y x Como λ 1 λ 2 y x = 0 y A x = λ 2 y x

34 Exemplo: A = ( ) Encontre os autovetores e os autovalores. 2 A matrix é hermitiana? 3 Mostre que os autovalores são ortogonais.

35 Exercício: Considere a mudança de base: x 1 = x 1 x 2 = x 3 x 3 = x 2 1 Escreva T. 2 Escreva T 1 3 Calcule TT 1 4 Seja: A = um operador linear representado na base x i escreva A na base x i.

36 Outline 1 Álgebra Linear 2 Equações Diferenciais Parciais 3 Problemas de Sturm Liouville

37 Equação da Onda 2 u x 2 = 1 2 u c 2 t 2 u(0) = u(l) = 0

38 Separação de Variáveis u(x, t) = X(x)T (t) Aplicando na eq. da onda: c 2 X T (t) = X(x)T c 2 X X = T T A única forma dessa equação ser satisfeita é: d 2 X dx 2 = λx X = A cos( λ x) + B sin( λ x) Usando as condições de contorno temos que: A = 0 λ n = n2 π 2 L 2

39 Separação de Variáveis u n (x, t) = d 2 T dt 2 = c2 λt ( ) ( ) nπct nπct T n (t) = C n cos + D n sin L L [ A n cos ( nπct L ) + B n sin ( nπct L )] ( nπx ) sin L Qualquer combinação linear dessas funções é uma solução da equação, a solução mais geral possível é: y(x, t) = n=0 [ A n cos ( nπct L ) + B n sin ( nπct L )] ( nπx ) sin L

40 Condição Inicial h y(x, 0) = { 2h L x se x < L/2 2h 2h L x se x > L/2 ẏ(x, 0) = 0

41 Solução Usando as condições iniciais temos que: y(x, 0) = ẏ(x, 0) = ( nπx ) A n sin L n=1 n=0 B n nπc L B n = 0 A n =? ( nπx ) sin = 0 L

42 Determinando A n Vamos usar a seguinte identidade: L 0 sin Usando a condição inicial: L 0 y(x, 0) sin ( nπx ) ( mπx ) sin dx = L/2δ nm L L ( mπx ) L = L 0 A n sin n=1 ( nπx ) sin L ( mπx ) L L 0 A m = 2 L y(x, 0) sin L 0 ( mπx ) = LA m L 2 y(x, 0) sin ( mπx ) L

43 Determinando A n Até agora esta solução é geral, particularizando para a nossa função. Temos: A m = 2 L L/2 0 2hx L ( mπx ) L ( sin dx+ 2h 2hx ) ( mπx ) sin dx L L/2 L L Use o resultado: x sin { 0 se m é par A m = 8( 1) (m+1)/2 se m é impar m 2 π 2 ( mπx ) L dx = L2 sin ( ) 2πx L Lx cos 4π 2 ( 2πx L ) 2π

44 Aproximação Comparação entre a aproximação para 5 termos e o resultado esperado

45 Interpretação dos resultados Qualquer função no intervalo [0, L] pode ser representada como uma soma de senos e cossenos. Podemos considerar o espaço de todas as funções que podem ser expressas como a soma de senos e cossenos no intervalo [0, L]. Este espaço é vetorial. (Mostre!).

46 Interpretação dos resultados As funções 2 ( mπx ) L sin 2 ( mπx ) L L cos L formam uma base ortonormal para esse espaço. f (x) = Note que: m=0 2 ( mπx ) A n L sin L 2 ( mπx ) + B n L cos L L 0 2 ( mπx ) L sin 2 ( nπx ) L L cos = 0 L

47 Interpretação dos resultados Considere duas funções f e g. A integral: L 0 f (x)g(x) dx pode ser interpretada como um produto interno. Para se convencer disso discretize a função e pense no vetor: (f (x 1 ),..., f (x n ))

48 Exercício Considere a base formada pelos senos e cossenos, ignore o caso n = 0. Escreva o operador paridade P[f (x)] = f ( x). Escreva a representação matricial do operador derivada. Escreva a representação matricial do operador integral. Ordene os vetores da base de uma forma conveniente.

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50 Problemas de Sturm Liouville Equação característica para λ: [ d p(x) dy ] s(x)y + λr(x)y = 0 dx dx x [a, b] Operador linear: L = d dx [ p(x) d ] s(x) dx Autofunções e autovalores: y m e λ m

51 Problemas de Sturm Liouville Vamos demonstrar que as autofunções formam uma base ortogonal para as funções em [a, b].

52 Problemas de Sturm Liouville d dx d dx Temos que: y n d dx y m d dx [ p(x) dy n dx [ p(x) dy m dx [ p(x) dy m dx [ p(x) dy n dx Subtraindo as eqs. acima: y m d dx ] s(x)y n + λ n r(x)y n = 0 ] s(x)y m + λ m r(x)y m = 0 ] s(x)y n y m + λ n r(x)y n y m = 0 ] s(x)y n y m + λ n r(x)y n y m = 0 [ p(x) dy n dx ] [ d y n p(x) dy ] m dx dx = (λ m λ n )r(x)y n y m

53 Problemas de Sturm Liouville Integrando: b a [ d y m p(x) dy ] [ n d y n p(x) dy ] m dx = dx dx dx dx = b a ( λ m λ n )r(x)y n y m dx Realizando a integração por partes: { y n p(x) dy m dx y mp(x) dy } b n p(x) dy m dy n dx a dx dx + p(x)dy m dy n dx dx = b a (λ m λ n )r(x)y n y m dx

54 Problemas de Sturm Liouville { [ ]} dy m p(x) y n dx y dy b b n m = (λ m λ n ) r(x)y n y m dx dx a a Assumindo λ n λ m, para que tenhamos: Basta que: b a r(x)y n y m = 0 y(a) = y(b) = 0 ou y (a) = y (b) = 0 Neste caso dizemos que as funções y m e y n são ortogonais com peso r(x).

55 Problemas de Sturm Liouville Além disso: f (x) = m a m y m (x) b a f (x)r(x)y n (x) = m b a b y m y n r(x) dx = a n ym(x)r(x) 2 dx a a n = b a f (x)r(x)y n(x) dx b a y 2 n (x)r(x) dx

56 Membrana Circular u(a) = 0 u (r, θ; 0) = 0 u(r, θ; 0) = f (r, θ) 2 u = 1 c 2 2 u t 2

57 Membrana Circular u(r, θ, t) = Λ(r, θ)t (t) = R(r)Θ(θ)T (t) 2 u(r, θ, t) = T 2 Λ = 1 c 2 T Λ(r, θ) T T = 2 Λ ω2 Λ = ω2 c 2 T = A cos ωt + B sin ωt

58 Parte Espacial [ 2 2 λ = r r 2 r ] r 2 θ 2 RΘ = ω2 c 2 RΘ [ R Θ + 1 r ΘR + 1 ] r 2 RΘ = ω2 c 2 RΘ Θ [ Θ = r 2 R R 1 R ] r R ω2 c 2

59 Parte Angular Para que Θ seja periódica: α = 0, 1, 2, 3... Θ Θ = α2 Θ = A sin αθ + B cos αθ

60 Parte Radial n 2 R = r 2 R rr c 2 ω 2 r 2 R Esta é a equação de Bessel. r 2 R + rr + (c 2 ω 2 r 2 n 2 )R = 0

61 Equação de Bessel r 2 R + rr + (k 2 r 2 n 2 )R = 0 x = kr R r = R x x r = k R x

62 Equação de Bessel Método das séries: x 2 R + xr + (x 2 n 2 )R = 0 R(x) = a l x l+s l=0 a l (l + s)(l + s 1)x l+s + a l (l + s)x l+s + a l x l+s+2 + l=0 l=0 l=0 ( n 2 )a l x l+s = 0 l=0

63 Equação de Besse é SL [ d p(x) dy ] s(x)y = λr(x)y = 0 dx dx (rr ) + (k 2 r n 2 /r)r = 0 p(x) = x s(x) = n 2 /r r(x) = r λ = k 2

64 Equação de Bessel Drible da Vaca: a l x l+s+2 = a l 2 x l+s l=0 l=2 [a l (l + s) 2 + a l 2 n 2 a l ]x l+s + l=2 [a o s 2 n 2 a o ]x s + [a 1 (s + 1) 2 n 2 a 1 ]x s+1 = 0 s 2 = n 2 s = ±n

65 Equação de Bessel s = n a l = a l 2 n 2 (l + n) 2 = a l = a l 2 n 2 n 2 2ln l 2 a l 2 l(l + 2n) a 1 [(n + 1) 2 n 2 ] = a 1 (2n + 1) = 0 a 1 = 0

66 Equação de Bessel s = n Padronização: a 2(k 1) a 2k = 2k(2k + 2n) = a 2k = a 2(k 1) 2 2 k(k + n) ( 1) k 2 2k k!(n + 1)(n + 2)... (n + k) a o = 1 2 n n! J n (x) = a 2k = l=0 ( 1) k 2 n+2k k!(n + k)! ( 1) l x n+2l 2 n+2l (n + l)!l!

67 Equação de Bessel s = n a 2k = a l = a l 2 n 2 (l 2 2ln + n 2 ) = a l 2 l(l 2n) a 2(k 1) 2 2 k(k n) = ( 1) k a 0 2 2k ( n).( n + 1)... ( n + k) Problemas se n é inteiro. Este caso deveria ser analisado com mais cuidado. Se procedessemos nesta direção iríamos obter as funções de von Neumann que não nos interessam pois estas divergem na origem.

68 Equação de Bessel Lembrando que x = kr. R(a) = 0 J n (ka) = 0 ka = γ n,m m-ésima raiz da n-ésima função de Bessel.

69 Solução Geral u(r, θ, t) = n=0 m=1 ω nm = γ n,mc a ( γn,m r ) J n (A nm cos(nθ) + B nm sin(nθ)) a (C nm cos ω nm t + D nm sin(ω nm t))

70 Caso Particular u(r, θ, 0) = f (r, θ) u(r, θ, 0) = 0 f (r, θ) = n=0 m=1 ( γn,m r ) J n (A nm sin(nθ) + B nm cos(nθ)) a A nm = 2 a 2π 0 B nm = 2 a 2π 0 ( γn,mr ) 0 f (r, θ)rj n a sin(kθ) a ) 0 rj2 n ( γn,mr a ( γn,mr ) 0 f (r, θ)rj n a cos(kθ) a ) 0 rj2 n ( γn,mr a

71 Exercício Considere f (r, θ) como sendo um cone de altura h e raio a centrado na origem. Considere apenas os 10 primeiros termos da expansão de Fourier generalizada.