Transformação de Coordenadas
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- Filipe Gusmão
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1 Geração de Malhas SME5827 Transformação de Coordenadas Afonso Paiva ICMC-USP 28 de agosto de 2013
2 Cálculo Vetorial Revisitado Notação de Einstein
3 Cálculo Vetorial Revisitado Notação de Einstein Índices repetidos representam soma
4 Cálculo Vetorial Revisitado Notação de Einstein Índices repetidos representam soma a 1 x 1 + a 2 x a n x n = n a i x i a i x i i=1
5 Cálculo Vetorial Revisitado Notação de Einstein Índices repetidos representam soma a 1 x 1 + a 2 x a n x n = n a i x i a i x i i=1 Os índices repetem no máximo duas vezes. Uma expressão do tipo a ii x i não tem sentido na notação de Einstein.
6 Cálculo Vetorial Revisitado Notação de Einstein Índices repetidos representam soma a 1 x 1 + a 2 x a n x n = n a i x i a i x i i=1 Os índices repetem no máximo duas vezes. Uma expressão do tipo a ii x i não tem sentido na notação de Einstein. Exemplo (no quadro) Substitua y i = a ij x j na equação Q b ij y i x j = i j b ijy i x j.
7 Notação de Einstein Exemplo (no quadro) Escreva explicitamente todas as equações representadas pela expressão y i = a ij x j com 1 i 3 e 1 j 3.
8 Notação de Einstein Exemplo (no quadro) Escreva explicitamente todas as equações representadas pela expressão y i = a ij x j com 1 i 3 e 1 j 3. No exemplo anterior o índice não somado i é chamado de índice livre e o índice repetido j é chamado de índice falso.
9 Notação de Einstein Exemplo (no quadro) Escreva explicitamente todas as equações representadas pela expressão y i = a ij x j com 1 i 3 e 1 j 3. No exemplo anterior o índice não somado i é chamado de índice livre e o índice repetido j é chamado de índice falso. Os índices falsos fazem a expressão crescer em número de termos e os índices livres fazem crescer o número de expressões.
10 Notação de Einstein Exemplo (no quadro) Escreva explicitamente todas as equações representadas pela expressão y i = a ij x j com 1 i 3 e 1 j 3. No exemplo anterior o índice não somado i é chamado de índice livre e o índice repetido j é chamado de índice falso. Os índices falsos fazem a expressão crescer em número de termos e os índices livres fazem crescer o número de expressões. Exemplo (Álgebra Linear) produto escalar: se u = (u i ) e v = (v i ) então u v = u v = u i v i multiplicação de matriz: se A [a ij ] mp e B [b ij ] pn então AB [a ik b kj ] mn
11 Notação de Einstein Exemplo (no quadro) Mostre que Q a ij s ij = 0, se A é uma matriz anti-simétrica (a ij = a ji ) e S é uma matriz simétrica (s ij = s ji ).
12 Notação de Einstein Exemplo (no quadro) Mostre que Q a ij s ij = 0, se A é uma matriz anti-simétrica (a ij = a ji ) e S é uma matriz simétrica (s ij = s ji ). Exemplo (Regra da Cadeia) Sejam w = f (x 1, x 2,..., x n ) e x i (u 1, u 2,..., u m ) com 1 i n funções reais de classe C 1, então w u j = f x i x i u j (1 j m)
13 Delta de Kronecker Definição (Delta de Kronecker) δ ij δ i j δ ij { 1 i = j 0 i j
14 Delta de Kronecker Definição (Delta de Kronecker) Propriedades 1. δ ij = δ ji δ ij δ i j δ ij { 1 i = j 0 i j
15 Delta de Kronecker Definição (Delta de Kronecker) Propriedades 1. δ ij = δ ji 2. δ ik δ kj = δ ki δ kj = δ ij δ ij δ i j δ ij { 1 i = j 0 i j
16 Delta de Kronecker Definição (Delta de Kronecker) Propriedades 1. δ ij = δ ji 2. δ ik δ kj = δ ki δ kj = δ ij 3. δ jk a ik = a ij δ ij δ i j δ ij { 1 i = j 0 i j
17 Delta de Kronecker Definição (Delta de Kronecker) Propriedades 1. δ ij = δ ji 2. δ ik δ kj = δ ki δ kj = δ ij δ ij δ i j δ ij { 1 i = j 0 i j 3. δ jk a ik = a ij 4. e i e j = δ ij (vetores da base canônica do R n )
18 Delta de Kronecker Definição (Delta de Kronecker) Propriedades 1. δ ij = δ ji 2. δ ik δ kj = δ ki δ kj = δ ij δ ij δ i j δ ij { 1 i = j 0 i j 3. δ jk a ik = a ij 4. e i e j = δ ij (vetores da base canônica do R n ) 5. [δ ij ] nn = I n (matriz identidade de ordem n)
19 Delta de Kronecker Definição (Delta de Kronecker) Propriedades 1. δ ij = δ ji 2. δ ik δ kj = δ ki δ kj = δ ij δ ij δ i j δ ij { 1 i = j 0 i j 3. δ jk a ik = a ij 4. e i e j = δ ij (vetores da base canônica do R n ) 5. [δ ij ] nn = I n (matriz identidade de ordem n) 6. [δ ii ] 33 = 3
20 Delta de Kronecker Definição (Delta de Kronecker) Propriedades 1. δ ij = δ ji 2. δ ik δ kj = δ ki δ kj = δ ij δ ij δ i j δ ij { 1 i = j 0 i j 3. δ jk a ik = a ij 4. e i e j = δ ij (vetores da base canônica do R n ) 5. [δ ij ] nn = I n (matriz identidade de ordem n) 6. [δ ii ] 33 = 3 Exercício 1 Mostre que (x) i = x e i = x i.
21 Símbolo de Levi-Civita em 3D Volume do Paralelepípedo V = (a b) c = det a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3
22 Símbolo de Levi-Civita em 3D Volume do Paralelepípedo V = (a b) c = det a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 Definição (Símbolo de Levi-Civita) ε ijk = (e i e j ) e k
23 Símbolo de Levi-Civita em 3D Volume do Paralelepípedo V = (a b) c = det a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 Definição (Símbolo de Levi-Civita) ε ijk = (e i e j ) e k e 3 e 2 Se {e 1, e 2, e 3 } for uma base ortonormal do R 3 temos e 1
24 Símbolo de Levi-Civita em 3D Nesse caso ε ijk coincide com o tensor de permutação +1 se (i, j, k) for uma permutação par de (1, 2, 3) e ijk e ijk 1 se (i, j, k) for uma permutação ímpar de (1, 2, 3) 0 caso contrário
25 Símbolo de Levi-Civita em 3D Nesse caso ε ijk coincide com o tensor de permutação +1 se (i, j, k) for uma permutação par de (1, 2, 3) e ijk e ijk 1 se (i, j, k) for uma permutação ímpar de (1, 2, 3) 0 caso contrário
26 Símbolo de Levi-Civita em 3D Nesse caso ε ijk coincide com o tensor de permutação +1 se (i, j, k) for uma permutação par de (1, 2, 3) e ijk e ijk 1 se (i, j, k) for uma permutação ímpar de (1, 2, 3) 0 caso contrário Exemplo ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1 ε 132 = ε 321 = ε 213 = 1 ε 113 = ε 122 = ε 333 = 0
27 Visualização do Símbolo de Levi-Civita em 3D matriz (tensor de ordem 3) onde i é a profundidade, j a linha e k a coluna
28 Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D 1. e i e j = ε ijk e k
29 Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D 1. e i e j = ε ijk e k 2. x y = ε ijk x i y j e k
30 Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D 1. e i e j = ε ijk e k 2. x y = ε ijk x i y j e k 3. (x y) m = ε ijm x i y j
31 Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D 1. e i e j = ε ijk e k 2. x y = ε ijk x i y j e k 3. (x y) m = ε ijm x i y j 4. ε ijk ε lmn = det δ il δ im δ in δ jl δ jm δ jn δ kl δ km δ kn
32 Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D 1. e i e j = ε ijk e k 2. x y = ε ijk x i y j e k 3. (x y) m = ε ijm x i y j 4. ε ijk ε lmn = det δ il δ im δ in δ jl δ jm δ jn δ kl δ km δ kn 5. ε ijk ε lmk = δ il δ jm δ im δ jl
33 Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D 1. e i e j = ε ijk e k 2. x y = ε ijk x i y j e k 3. (x y) m = ε ijm x i y j 4. ε ijk ε lmn = det 5. ε ijk ε lmk = δ il δ jm δ im δ jl 6. ε ijk ε ijl = 2δ kl δ il δ im δ in δ jl δ jm δ jn δ kl δ km δ kn
34 Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D 1. e i e j = ε ijk e k 2. x y = ε ijk x i y j e k 3. (x y) m = ε ijm x i y j 4. ε ijk ε lmn = det 5. ε ijk ε lmk = δ il δ jm δ im δ jl 6. ε ijk ε ijl = 2δ kl 7. ε ijk ε ijk = 6 δ il δ im δ in δ jl δ jm δ jn δ kl δ km δ kn
35 Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D 1. e i e j = ε ijk e k 2. x y = ε ijk x i y j e k 3. (x y) m = ε ijm x i y j 4. ε ijk ε lmn = det 5. ε ijk ε lmk = δ il δ jm δ im δ jl 6. ε ijk ε ijl = 2δ kl 7. ε ijk ε ijk = 6 δ il δ im δ in δ jl δ jm δ jn δ kl δ km δ kn Identidade de Lagrange (no quadro) (a b) (c d) = (a c)(b d) (a d)(b c)
36 Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D 1. e i e j = ε ijk e k 2. x y = ε ijk x i y j e k 3. (x y) m = ε ijm x i y j 4. ε ijk ε lmn = det 5. ε ijk ε lmk = δ il δ jm δ im δ jl 6. ε ijk ε ijl = 2δ kl 7. ε ijk ε ijk = 6 δ il δ im δ in δ jl δ jm δ jn δ kl δ km δ kn Identidade de Lagrange (no quadro) Exercício 2 (a b) (c d) = (a c)(b d) (a d)(b c) Mostre que (a b) c = (a c)b (b c)a e det([a ij ] 33 ) = ε ijk a 1i a 2j a 3k.
37 Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas Notação Vamos denotar funções escalares f (x) por f (x i ), funções vetoriais F(x) por F(x i ) e o operador / x i por i.
38 Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas Notação Vamos denotar funções escalares f (x) por f (x i ), funções vetoriais F(x) por F(x i ) e o operador / x i por i. Operações Diferenciais Gradiente: = e i i
39 Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas Notação Vamos denotar funções escalares f (x) por f (x i ), funções vetoriais F(x) por F(x i ) e o operador / x i por i. Operações Diferenciais Gradiente: = e i i Gradiente de f : f = e i i f
40 Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas Notação Vamos denotar funções escalares f (x) por f (x i ), funções vetoriais F(x) por F(x i ) e o operador / x i por i. Operações Diferenciais Gradiente: = e i i Gradiente de f : f = e i i f Divergente de F: F = i F i
41 Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas Notação Vamos denotar funções escalares f (x) por f (x i ), funções vetoriais F(x) por F(x i ) e o operador / x i por i. Operações Diferenciais Gradiente: = e i i Gradiente de f : f = e i i f Divergente de F: F = i F i Laplaciano de f : 2 f = i i f
42 Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas Notação Vamos denotar funções escalares f (x) por f (x i ), funções vetoriais F(x) por F(x i ) e o operador / x i por i. Operações Diferenciais Gradiente: = e i i Gradiente de f : f = e i i f Divergente de F: F = i F i Laplaciano de f : 2 f = i i f Laplaciano de F: 2 F = e j 2 F j = e j i i F j
43 Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas Notação Vamos denotar funções escalares f (x) por f (x i ), funções vetoriais F(x) por F(x i ) e o operador / x i por i. Operações Diferenciais Gradiente: = e i i Gradiente de f : f = e i i f Divergente de F: F = i F i Laplaciano de f : 2 f = i i f Laplaciano de F: 2 F = e j 2 F j = e j i i F j Rotacional de F: F = ε ijk i F j e k
44 Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas Notação Vamos denotar funções escalares f (x) por f (x i ), funções vetoriais F(x) por F(x i ) e o operador / x i por i. Operações Diferenciais Gradiente: = e i i Gradiente de f : f = e i i f Divergente de F: F = i F i Laplaciano de f : 2 f = i i f Laplaciano de F: 2 F = e j 2 F j = e j i i F j Rotacional de F: F = ε ijk i F j e k k-ésima componente de F: ( F) k = ε ijk i F j
45 Identidades Vetoriais em R 3 1. j x i = δ ij
46 Identidades Vetoriais em R 3 1. j x i = δ ij 2. x = 3
47 Identidades Vetoriais em R 3 1. j x i = δ ij 2. x = 3 3. (a b x) = a b (a e b vetores constantes)
48 Identidades Vetoriais em R 3 1. j x i = δ ij 2. x = 3 3. (a b x) = a b (a e b vetores constantes) 4. (f A) = f A + f A
49 Identidades Vetoriais em R 3 1. j x i = δ ij 2. x = 3 3. (a b x) = a b (a e b vetores constantes) 4. (f A) = f A + f A 5. (f A) = f A + f A
50 Identidades Vetoriais em R 3 1. j x i = δ ij 2. x = 3 3. (a b x) = a b (a e b vetores constantes) 4. (f A) = f A + f A 5. (f A) = f A + f A 6. f = 0
51 Identidades Vetoriais em R 3 Exercício 3 Verifique as seguintes identidades: 1. i r = x i /r (com r = x 2 = x i x i ) 2. (a x) = 0 (a é um vetor constante) 3. (a x) = 2a (a é um vetor constante) 4. (A B) = B A A B 5. ε ijk (A B) k = A i B j A j B i 6. ε ijk ( B) k = i B j j B i 7. F = 0 8. (A B) = (B )A B( A) (A )B + A( B) 9. (A B) = (B )A + (A )B + B ( A) + A ( B) 10. ( A) = ( A) 2 A
52 Transformação de Coordenadas Domínio Computacional Domínio Físico x 2 0 F 1 2 F(x,x 0) x 2 x 1 0 y F(x,x ) 0 x 1 y 1
53 Transformação de Coordenadas Domínio Computacional Domínio Físico x 2 0 F 1 2 F(x,x 0) x 2 x 1 0 y F(x,x ) 0 x 1 y 1 Definição Dados dois sistemas de coordenadas (x i ) e (y i ) no R n. Uma função F : Ω R n R n de classe C 2 com F : y i = y i (x 1, x 2,..., x n ) i = 1,..., n. é chamada de transformação de coordenada quando for bijetora.
54 Coordenadas Curvílineas Definição Se (y i ) são coordenadas cartesianas, as coordenadas (x i ) são chamadas de coordenadas curvílineas se G = F 1 : x i = x i (y 1,..., y n ) é uma aplicação não linear. Quando G é uma transformação linear, (x i ) são chamadas de coordenadas afim.
55 Coordenadas Curvílineas Definição Se (y i ) são coordenadas cartesianas, as coordenadas (x i ) são chamadas de coordenadas curvílineas se G = F 1 : x i = x i (y 1,..., y n ) é uma aplicação não linear. Quando G é uma transformação linear, (x i ) são chamadas de coordenadas afim. Exemplo: coordenadas polares (x 1, x 2 ) = (r, θ) e (y 1, y 2 ) = (x, y) { y1 = x F : 1 cos(x 2 ) y 2 = x 1 sin(x 2 ) { x G : 1 = (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 x 2 = arctan(y 2 /y 1 )
56 Coordenadas Curvílineas Definição Se (y i ) são coordenadas cartesianas, as coordenadas (x i ) são chamadas de coordenadas curvílineas se G = F 1 : x i = x i (y 1,..., y n ) é uma aplicação não linear. Quando G é uma transformação linear, (x i ) são chamadas de coordenadas afim. Exemplo: coordenadas cilíndricas (x 1, x 2, x 3 ) = (ρ, ϕ, z) e (y 1, y 2, y 3 ) = (x, y, z) F : G : y 1 = x 1 cos(x 2 ) y 2 = x 1 sin(x 2 ) y 3 = x 3 x 1 = (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 x 2 = arctan(y 2 /y 1 ) x 3 = y 3
57 Coordenadas Curvílineas Definição Se (y i ) são coordenadas cartesianas, as coordenadas (x i ) são chamadas de coordenadas curvílineas se G = F 1 : x i = x i (y 1,..., y n ) é uma aplicação não linear. Quando G é uma transformação linear, (x i ) são chamadas de coordenadas afim. Exemplo: coordenadas esféricas (x 1, x 2, x 3 ) = (ρ, ϕ, θ) e (y 1, y 2, y 3 ) = (x, y, z) G : y 1 = x 1 sin(x 2 ) cos(x 3 ) F : y 2 = x 1 sin(x 2 ) sin(x 3 ) y 3 = x 1 cos(x 2 ) x 1 = (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2 x 2 = arccos(y 3 / (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2 ) x 3 = arctan(y 2 /y 1 )
58 O Jacobiano Quando a aplicação F admite inversa G = F 1?
59 O Jacobiano Quando a aplicação F admite inversa G = F 1? Matriz Jacobiana J F = y 1 y 1 x y 1 2 y 2 x 1. y n x 1 y 1 x n y 2 x n x 2 x y n x 2 y n x n = [ yi x j ] nn
60 O Jacobiano Quando a aplicação F admite inversa G = F 1? Matriz Jacobiana y 1 y 1 y 1 x 1 x 2 x n y 2 y 2 y 2 [ ] x J F = 1 x 2 x n = yi x j nn y n y n y n x 1 x 2 x n o seu determinante J F det(j F ) é o Jacobiano da aplicação F.
61 O Jacobiano Quando a aplicação F admite inversa G = F 1? Matriz Jacobiana y 1 y 1 y 1 x 1 x 2 x n y 2 y 2 y 2 [ ] x J F = 1 x 2 x n = yi x j nn y n y n y n x 1 x 2 x n o seu determinante J F det(j F ) é o Jacobiano da aplicação F. Teorema da Função Inversa Seja U R n um aberto, F : U R n uma aplicação de classe C 1 e a U. Se F (a) é bijetora (isto é, J F 0) e b = F (a), então 1. existem abertos U a e V b do R n tal que F : U V é bijetora. 2. G : V U é de classe C 1, G = F 1. Em suma, F é um difeomorfismo local de classe C 1. (Demonstração: livro Análise no Espaço R n, Elon Lages Lima, SBM.)
62 O Jacobiano Exercício 4 Mostre que J G = (J F ) 1 e conclua que J G = 1/J F. Notação Vamos adotar índices em subscrito para coordenadas cartesianas (y i ) e índices em sobrescrito para coordenadas curvílineas (x i ).
63 O Jacobiano Exercício 4 Mostre que J G = (J F ) 1 e conclua que J G = 1/J F. Notação Vamos adotar índices em subscrito para coordenadas cartesianas (y i ) e índices em sobrescrito para coordenadas curvílineas (x i ).
64 O Jacobiano Exercício 4 Mostre que J G = (J F ) 1 e conclua que J G = 1/J F. Notação Vamos adotar índices em subscrito para coordenadas cartesianas (y i ) e índices em sobrescrito para coordenadas curvílineas (x i ). Exemplo (no quadro) Seja (y i ) coordenadas curvílineas em R 2 definidas em termos das coordenadas cartesianas (x i ): G : { y 1 = x 1 x 2 y 2 = (x 2 ) 2 Determine as regiões do plano onde G admite mudança de coordenadas, isto é, onde G é bijetora.
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