Matrizes - ALGA /05 1. Matrizes

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Emanuel Penha Cunha
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1 Matrizes - ALGA - 004/0 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n a uma função A de nida no conjunto f(i; j) : i f1; ; :::; mg e j f1; ; :::; ngg e com valores em R. A matriz A é usualmente representada como um quadro, numa das formas: A = 6 4 a 11 a 1 a 1 a 1n a 1 a a a n a 1 a a a n a m1 a m a m a mn A = [a ij ] i=1;:::;m onde a ij = A (i; j). Os elementos a ij dizem-se as entradas da matriz; o elemento a ij está posicionado na linha i (denominado índice de linha) e na coluna j (denominado índice de coluna) da matriz A: Os elementos com o mesmo índice de linha e coluna, isto é, os elementos a ii ; i f1; ; :::; ng dizem-se entradas principais da matriz; Duas matrizes A e B são iguais se forem do mesmo tipo e as entradas correspondentes forem iguais. Se m = n a matriz diz-se quadrada, dizendo se nesse caso que a matriz é de ordem n. Matrizes particulares Se m = 1 a matriz diz-se uma matriz linha. Se n = 1 a matriz diz-se uma matriz coluna. Se A = [a ij ] i=1;:::;n é uma matriz quadrada, então: a diagonal principal de A é constituída pelas suas entradas principais. a matriz diz-se triangular superior se a ij = 0; sempre que i > j; a matriz diz-se triangular inferior se a ij = 0; sempre que i < j; a matriz diz-se diagonal se é triangular superior e inferior, ou seja se a ij = 0; sempre que i 6= j;

2 Matrizes - ALGA - 004/0 Matriz nula de tipo m n é a matriz O mn = [o ij ] i=1;:::;m ; em que o ij = 0, ou seja, O = ( 1 se i = j Matriz identidade de ordem n é a matriz I n = [a ij ] i=1;:::;n em que a ij = 0 se i 6= j ; ou seja, I n = : A simétrica da matriz A = [a ij ] i=1;:::;m é a matriz A = [b ij ] i=1;:::;m ; onde b ij = a ij. Se é um número real, então a matriz I n diz-se uma matriz escalar. Operações com matrizes Transposição é uma matriz de tipo mn; a sua transposta é a matriz A T = [b ij ] i=1;:::;n j=1;:::;m de tipo n m tal que b ij = a ji : Uma matriz quadrada diz-se simétrica se A T = A. Soma e B = [b ij ] i=1;:::;m A + B = [c ij ] i=1;:::;m são matrizes de tipo m n, de ne-se a matriz: do mesmo tipo, onde c ij = a ij + b ij : Produto escalar é uma matriz de tipo m n e é um número real, de ne-se a matriz: :A = [c ij ] i=1;:::;m do mesmo tipo, onde c ij = a ij :

3 Matrizes - ALGA - 004/0 Produto j=1;:::;q de ne-se a matriz: é uma matriz de tipo m q e B = [b ij ] i=1;:::q é uma matriz de tipo q n, A B = [c ij ] i=1;:::;m de tipo m n, onde c ij = qx a ik b kj : k=1 Sejam Cj B a coluna j da matriz B; L A i a linha i da matriz A, Cj AB a coluna j da matriz AB e L AB i a linha i da matriz AB. Tem-se: (i) AC B j = C AB j (ii) L A i B = L AB i Propriedades Soma e produto escalar Se A; B e C são matrizes de tipo mn, O é a matriz nula do mesmo tipo e ; são números reais, veri cam-se: 1. A + B = B + A (comutatividade). (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade). A + O = A (elemento neutro) 4. A + ( A) = O (existência de simétricos). (A + B) = A + B 6. ( + ) A = A + A. (A) = () A 8. 1A = A 9. O = O 10. A T T = A 11. (A + B) T = A T + B T 1. (A) T = A T

4 Matrizes - ALGA - 004/0 4 Produto Se A; B e C são matrizes, O é a matriz nula e é um número real então, sempre que os produtos estejam de nidos veri cam-se: 1. (AB) C = A (BC) :. AO = O:. AI n = A = I n A: 4. (A + B) C = AC + BC e A (B + C) = AB + AC:. (AB) = (A) B = A (B) : 6. (AB) T = B T A T : Nota: O produto de duas matrizes diagonais é uma matriz diagonal e o produto de duas matrizes triangulares superiores (inferiores) é uma matriz triangular superior (inferior) Inversa de uma matriz Seja A uma matriz de ordem n. Se existe uma matriz X tal que AX = XA = I n ; diz-se que a matriz A é invertível; A matriz X diz-se a inversa de A e denota-se X = A 1. Se a matriz A é invertível, a sua inversa é única. Propriedades Se A e B são matrizes invertíveis de ordem n, veri cam-se: (i) A 1 é invertível e (A 1 ) 1 = A. (ii) AB é invertível e (AB) 1 = B 1 A 1. (iii) A T é invertível e A T 1 = (A 1 ) T : (iv) Se A é invertível e 6= 0 é um número real, então A é invertível e (A) 1 = 1 A 1. (v) Se A é diagonal, A 1 é também diagonal. (vi) Se A é triangular, A 1 é também triangular

5 Matrizes - ALGA - 004/0 Matriz em forma de escada Seja A = [a ij ] i=1;:::;m uma matriz real de tipo m n: A matriz A está em forma de escada (ou em escada de linhas) se, para cada linha i f1; ; :::; mg ; se veri ca: Caso 1 A linha i é nula Então, para todo o r > i; a linha r é nula. Caso A linha i não é nula Se a is é o primeiro elemento não nulo da linha i (denominado o pivot); então para todo o l > i e para todo o c s; a lc = 0. A matriz A = [a ij ] i=1;:::;m está na forma condensada (ou em escada de linhas reduzida) se está em forma de escada e, para cada linha i f1; ; :::; mg se veri cam: 1. O pivot é a identidade;. Se a is é o pivot, então para todo o l < i; a ls = 0. Operações elementares sobre as linhas de uma matriz (OP1) Trocar duas linhas; (OP) Multiplicar uma linha por um escalar não nulo; (OP) Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar. Nota: Podem-se de nir operações elementares análogas sobre as colunas. Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa matriz em forma de escada. Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa matriz condensada. Característica da matriz A característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas de uma qualquer matriz em forma de escada que possa ser obtida de A através de operações elementares.

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