Aula 7 - Revisão de Álgebra Matricial

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Aula 7 - Revisão de Álgebra Matricial"

Heitor Mascarenhas Sabala
5 Há anos
Visualizações:

1 23 de Abril de 2018 // 26 de Abril de 2018

2 Introdução Objetivo da revisão: revisar a notação matricial, técnicas de álgebra linear e alguns resultados importantes Conteúdos: 1 Vetores e matrizes 2 Operações com vetores e matrizes 3 Inversa de uma matriz 4 Sistemas de equações lineares 5 Posto de uma matriz 6 Determinante de uma matriz 7 Dicas importantes Bibliografia: Álgebra Linear e suas Aplicações, David C Lay Introductory Econometrics, Wooldridge Appendix D: Summary of Matrix Algebra Introductory Econometrics, Wooldridge Appendix E: The Linear Regression Model in Matrix Form

3 Vetores e matrizes Um vetor é uma lista de valores ordenada em forma de coluna: x 11 x 12 x 1K x 21 x 1 =, x x 22 2 =,, x x 2K K = x N1 x N2 x NK Uma matriz consiste em um agrupamento de vetores Uma matriz n x k possui n linhas e K colunas: x 11 x 12 x 1K X = [ ] x 21 x 22 x 2K x 1 x 2 x K = x N1 x N2 x NK em que xij representa o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna

4 Vetores e matrizes Um vetor linha (matriz 1 x k) é disposto horizontalmente: x 1 = [ x 11 x 12 x 1K ] x 2 = [ x 21 x 22 x 2K ] x N = [ x N1 x N2 x NK ] Então: x x 11 x 12 x 1K 1 X = x 2 x 21 x 22 x 2K = x N x N1 x N2 x NK

5 Vetores e matrizes A principal aplicação de matrizes e vetores é dada pela transcrição de sistemas de equações lineares: b 1 x 11 + b 2 x b K x 1K = y 1 b 1 x 21 + b 2 x b K x 2K = y 2 b 1 x N1 + b 2 x N2 + + b K x NK = y N Matricialmente: x 11 x 12 x 1K x 21 x 22 x 2K x N1 x N2 x NK Sinteticamente: b 1 b K = y 1 y 2 y N Xb = y, ou b 1 x 1 + b 2 x b K x K = y

6 Vetores e matrizes Para a Econometria: dada uma amostra de N observações e dadas K + 1 variáveis (K explicativas e 1 explicada), dispõem-se os valores da seguinte forma: 1 y 1 y = y 2 x 1k, x k = x 2k, x i = [ ] 1 x i1 x i2 x ik y N x Nk Onde y é o vetor de observações da variável dependente (n x 1), x k é o vetor de observações da variável explicativa k (n x 1) e x i é o vetor dos valores das variáveis explicativas para a observação i (1 x (k + 1))

7 Vetores e matrizes Regressão linear simples: dada uma amostra aleatória {(y i, x i )} N i=1, o modelo y i = β 0 + β 1 x i + ɛ i implica em K = 2, b 1 = β 0, b 2 = β 1 e x i1 = 1 para todo i Adicionalmente, há um vetor ɛ = (ɛ 1,, ɛ N ) β 0 + β 1 x 1 + ɛ 1 = y 1 β 0 + β 1 x 2 + ɛ 2 = y 2 β 0 + β 1 x N + ɛ N = y N Matricialmente: Sinteticamente: 1 x 1 1 x 2 1 x N [ β0 ɛ 1 y 1 ] ɛ 2 + β 1 = y 2 ɛ N y N X β + ɛ = y, ou β 0 x 1 + β 1 x 2 + ɛ = y

8 Vetores e matrizes Regressão linear múltipla: dada uma amostra aleatória {(y i, x i1, x i2,, x ik )} N i=1, o modelo y i = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 + + β K x ik + ɛ i pode ser escrito da seguinte forma: β 0 + β 1 x β K x 1K + ɛ 1 = y 1 β 0 + β 1 x β K x 2K + ɛ 2 = y 2 β 0 + β 1 x N1 + + β K x NK + ɛ N = y N Matricialmente: 1 x 11 x 1K β 0 ɛ 1 y 1 1 x 21 x 2K β 1 + ɛ 2 = y 2 1 x N1 x NK β K ɛ N y N Sinteticamente: X β + ɛ = y, ou β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β K x K + ɛ = y

9 Definições de matrizes Matriz Diagonal: uma matriz quadrada A (n x n) é uma matriz diagonal quando todos os elementos fora da sua diagonal principal são nulos Isto é, a ij = 0 sempre que i j: a a 22 0 A = 0 0 a nn Matriz Identidade: uma matriz quadrada I n é a matriz identidade n x n quando for uma matriz diagonal com todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 Isto é, a ij = 0 sempre que i j e a ij = 1 sempre que i = j: I n = 0 0 1

10 Transposta de uma matriz Seja uma matriz X (n x k) A matriz transposta X T (ou X ) é obtida ao trocarmos as linhas pelas colunas da matriz X : x 11 x 12 x 1K x 11 x 21 x K1 x 21 x 22 x 2K X =, X T x 12 x 22 x K2 = x N1 x N2 x NK x 1N x 2N x KN Propriedades da transposição: dadas matrizes A (m x n) e B (n x m): 1 (A T ) T = A 2 (A + B) T = A T + B T 3 (ra) T = ra T 4 (AB) T = B T A T

11 Operações com vetores e matrizes Sejam A, B e C matrizes de um mesmo tipo (m x n), e o escalar θ R: Soma de Matrizes: adição de elemento por elemento: a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 a 1n + b n1 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 2n + b 21 A + B = a m1 + b m1 a m2 + b m2 a m3 + b m3 a mn + b mn Multiplicação por escalar: multiplicação de cada elemento da matriz pelo escalar: a 11 θ a 12 θ a 13 θ a 1n θ a 21 θ a 22 θ a 23 θ a 2n θ Aθ == a m1 θ a m2 θ a m3 θ a mn θ

12 Operações com vetores e matrizes Sejam A e B matrizes de um mesmo tipo (m x n), e o escalar θ R: Multiplicação de Matrizes: para multiplicarmos a matriz A pela matriz C, AC, a dimensão-coluna de A (n) terá que ser igual à dimensão-linha de C (considere uma matriz (n x m)) Na multiplicação, o elemento (i, j) da matriz resultante, AC, será igual ao somatório de cada elemento da linha i da matriz A multiplicado pelos elementos da coluna j da matriz C Propriedades gerais: 1 A + B = B + A 2 (A + B) + C = A + (B + C) 3 θ(a + B) = θa + θb 4 A(BC) = (AB)C 5 C(A + A) = CA + CB 6 θ(ab) = (θa)b = A(θB) 7 Em geral, AB BA

13 Dicas importantes É importante sempre se atentar às dimensões das matrizes de um produto Exemplo: se X é (n x K), Z é (n x L) e Ω é (n x n), qual a dimensão de X T ΩZ? Destaca-se a seguinte igualdade: se X = [x1 T x 2 T x N T ]T, onde x i é um vetor 1 x K para todo i {1,, N}, então vale que: N X T X (X X ) = xi T x i X T X será sempre definido e será uma matriz simétrica i=1

14 Inversa de uma matriz Dada uma matriz quadrada A (n x n), A 1 é a inversa de A se: AA 1 = I n e A 1 A = I n Onde I n é a matriz identidade n x n Propriedades de matrizes inversas: dadas matrizes quadradas (n x n) A e B: 1 Se A é inversível, então A 1 é inversível e (A 1 ) 1 = A 2 Se A e B são inversíveis, então AB é inversível e (AB) 1 = B 1 A 1 3 Se A é inversível, então A T é inversível e (A T ) 1 = (A 1 ) T Obtenção geral de uma matriz inversa: [AI ] [IA 1 ]

15 Independência Linear Vetores linearmente dependentes: os vetores do R N {x 1,, x K } são linearmente dependentes se, e somente se, pelo menos um destes vetores for combinação linear dos demais Por exemplo: x k = λ 1x 1 + λ 2x λ k 1 x k 1 + λ k+1 x k λ K x K Obs: se K > n, então necessariamente o conjunto de vetores acima é linearmente dependente Obs: se um conjunto de vetores dispuser do vetor nulo, então tal conjunto é necessariamente linearmente dependente

16 Posto de uma matriz Posto: Seja X uma matriz (n x K) O posto da matriz X, posto(x ), será igual ao número de colunas linearmente independentes de X Se todas as colunas de X forem LI, então posto(x ) = K e dizemos que X tem posto pleno Caracterização de matrizes inversíveis: uma matriz C (m x n) é inversível se, e somente se, posto(c) = n (posto pleno)

17 Álgebra Matricial em Econometria Soluções de um sistema de equações lineares: Dada uma matriz X (n x K), um vetor β (K x 1) e um vetor Y (n x 1), se X X tiver inversa, então: X Y = (X X )β β = (X X ) 1 X Y Dessa forma, β é solução única do sistema Para a Econometria: o que a hipótese de ausência de multicolinearidade perfeita implica com relação ao posto da matriz X?

18 Determinante de uma matriz Determinante de uma matriz 2 x 2: seja uma matriz X (2 x 2): [ ] a b X = c d Então, det X = ad bc Inversa de uma matriz 2 x 2: seja X uma matriz (2 x 2) dada por: [ ] a b X = c d Então: X 1 = 1 ad bc [ d ] b c a Uma matriz quadrada A (n x n) é inversível se, e somente se, det A 0 Propriedades de determinantes: dadas matrizes quadradas n x n A e B: 1 det A T = det A 2 det AB = det Adet B

19 Dicas importantes Valor Esperado seja a seguinte matriz A (m x n): a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Então: E(a 11 ) E(a 12 ) E(a 1n ) E(a 21 ) E(a 22 ) E(a 2n ) E(A) = E(a m1 ) E(a m2 ) E(a mn ) Se X for uma matriz (m x n) e b um vetor (n x 1), ambos não aleatórios, então E(Ay + b) = AE(y) + b

20 Dicas importantes Matriz de variância: seja x = (x 1,, x K ) um vetor K x 1 de variáveis aleatórias, então: Var(x) = E[(x E(x)(x E(x)) T ] Que consiste em uma matriz K x K com Var(x k ) sendo o k-ésimo elemento da diagonal principal e Cov(x i, x j ) sendo o elemento de posição (i, j) Para a Econometria: dado o vetor de variáveis aleatórias ˆβ = ( ˆβ 0, ˆβ 1 ), a matriz de variância de ˆβ representa: [ Var( ˆβ) Var( ˆβ0 ) Cov( = ˆβ 0, ˆβ ] 1 ) Cov( ˆβ 0, ˆβ 1 ) Var( ˆβ 1 )

Documentos relacionados

Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares

Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37 Definições Equação linear Uma equação (algébrica)