Baseado no Capítulo 2 do livro: Material preparado pelo

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1 Baseado no Capítulo 2 do livro:.. h,.. h 2. (28) h &,. Material preparado pelo.. é ç Departamento de Ciências Exatas / ESALQ USP Fevereiro de 22

2 Í N D I C E 2.. Matrizes e vetores Matrizes, vetores e escalares Igualdade de matrizes Matriz transposta Alguns tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Adição de duas matrizes Produto de um escalar por uma matriz Produto de duas matrizes ou dois vetores Produto de Hadamard de duas matrizes ou dois vetores Soma direta de duas matrizes Produto direto ou de Kronecker Potência de matriz quadrada Matrizes particionadas Posto () de uma matriz Inversa de uma matriz Matrizes positivas definidas Sistemas de equações Inversa generalizada Definição e propriedades Inversas generalizadas e sistemas de equações Determinantes Vetores ortogonais e matrizes Traço de uma matriz Autovalores e autovetores Definição Funções de uma matriz Produtos Matrizes simétricas Matriz positiva definida e positiva semidefinida Matrizes idempotentes Cálculo vetorial e matricial Derivadas de funções de vetores e matrizes Derivadas envolvendo inversa de matrizes e determinantes Maximização ou minimização de uma função de um vetor Referências citadas no texto Exercícios propostos... 5 Apêndice. Introdução ao uso do é ç

3 2.. MATRIZES E VETORES Este material está baseado no capítulo 2 do livro do Rencher (28), onde apresentamos uma revisão de elementos da teoria de matrizes que serão importantes na disciplina de Modelos Lineares I Matrizes, vetores e escalares. Uma matriz é um arranjo retangular de números ou de variáveis em linhas e colunas. No presente texto estaremos considerando matrizes de números reais, que serão denotadas por letras maiúsculas em negrito. Os seus elementos serão agrupados entre colchetes. Por exemplo: 2 A = B = Para representar os elementos da matriz X como variáveis, nós usamos: X = ( ) = A notação X = ( ) representa uma matriz por meio de um elemento típico. O primeiro índice indica a linha e o segundo índice identifica a coluna. Uma matriz genérica X tem linhas e colunas. A matriz X do exemplo anterior tem = 4 linhas e = 3 colunas e nós dizemos que X é 4 3, ou que a dimensão de X é 4 3. Para indicar a dimensão da matriz podemos usar ( ). Um vetor é uma matriz com uma única coluna e é denotado por letras minúsculas e em negrito. Os elementos de um vetor são muitas vezes identificados por um único índice, por exemplo, y = Geralmente o termo vetor está associado a um vetor coluna. Um vetor linha é expresso como o transposto do vetor coluna. Por exemplo: y = = (A transposta de uma matriz será definida mais adiante). No contexto de matrizes e vetores, um número real é chamado de um escalar. Assim, os números 2,5, -9 e 3,4 são escalares. Uma variável representando um escalar será denotada por uma letra minúscula e sem negrito. Por exemplo: = 3,4 indica um escalar. Rencher, A. C; Schaalje, G. B. Linear models in statistics. 2nd ed., Wiley, 28.. é ç

4 Geometricamente, um vetor de n elementos está associado a um ponto no espaço dimensional. Os elementos do vetor são as coordenadas do ponto. Em algumas situações nós estaremos interessados em calcular: ) a distância () da origem ao ponto (vetor); ) a distância () entre dois pontos (vetores); ) o ângulo (θ) entre as linhas formadas da origem até os dois pontos Igualdade de Matrizes Duas matrizes (ou dois vetores) são iguais se têm a mesma dimensão e se os elementos de posições correspondentes são iguais. Por exemplo: mas = Matriz Transposta Se trocarmos de posição as linhas e as colunas de uma matriz A, a matriz resultante é conhecida como a transposta de A e é denotada por A ou. Formalmente, se A = ( ) então a sua transposta é dada por: A = = ( ) = ( ) (2.3) Esta notação indica que o elemento na -ésima linha e -ésima coluna da matriz A é encontrado na -ésima linha e -ésima coluna da matriz A. Por exemplo: A = A = 2 3 é a sua transposta. 4 7 Se A é então A é. Se uma matriz é transposta duas vezes, o resultado é a matriz original. Teorema 2.a. Se A é uma matriz qualquer, então: (A A ) = A (2.4). é ç

5 2..4 Alguns tipos especiais de matrizes Se a transposta de uma matriz A é igual à matriz original, isto é, se A = A, ou equivalentemente, ( ) = ( ), então dizemos que a matriz A é é. Por exemplo: A = é simétrica. É evidente que toda matriz simétrica é quadrada. A de uma matriz quadrada A = ( ) de dimensão, consiste dos elementos,,,, ou seja, () = ( ). No exemplo anterior, a diagonal de A é formada pelos elementos 3, e 9. Se uma matriz contém zeros em todas as posições fora da sua diagonal, ela é uma, como por exemplo, 8 3 D = 4 Que também pode ser denotada como D = (8, 3,, 4). Usamos a notação (A) para indicar a matriz diagonal com os mesmos elementos da diagonal de A, como por exemplo, A = 2 7 (A) = Uma matriz diagonal com o número em cada posição da sua diagonal é chamada de e é denotada por I. Por exemplo: I(3) = (,, ) = Uma é uma matriz quadrada com zeros abaixo da diagonal, como por exemplo, T = Um vetor de s é denotado por j: j =. é ç

6 5 Uma matriz quadrada de s é denotada por J, como por exemplo, J(3 3) = Nós denotamos um vetor de zeros por e uma matriz de zeros por Ο ou Φ ; por exemplo, (3) =, Ο (3 3) = Φ = OPERAÇÕES COM MATRIZES 2.2. Adição de duas matrizes Se duas matrizes têm a mesma dimensão, sua é encontrada adicionando os elementos correspondentes. Assim, se A é e B é, então C = A + B também é e é encontrada como C = ( ) = ( + ). Por exemplo, = A ç D = A B entre as matrizes A e B é definida de maneira similar como: D = ( ) = ( ). Duas propriedades importantes da adição de matrizes são dadas a seguir. Teorema 2.2a. Se A e B são, então: ) A + B = B + A (2.9) ) (A + B) = A + B (2.) Produto de um escalar por uma matriz Qualquer escalar pode ser multiplicado por qualquer matriz. O produto de um escalar e uma matriz é definido como o produto de cada elemento da matriz e o escalar. Por exemplo: se A é e é um número real, tem-se: = ( ) = (2.) Desde que =, o produto de um escalar e uma matriz é comutativo, ou seja: = (2.2). é ç

7 Produto de duas matrizes ou dois vetores Para que o AB de duas matrizes seja possível, o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas de B. Neste caso, dizemos que as matrizes A e B são. Então, o ()-ésimo elemento do produto C = AB é definido como: = (2.3) Que é igual à soma dos produtos dos elementos da -ésima linha de A pelos elementos da -ésima coluna de B. Assim, nós multiplicamos todas as linhas de A por todas as colunas de B. Se A é e B é então C = AB é. Por exemplo, Então 2A 33 B2 = 2C2 = 3B 22 A3 = 3D3 = A(2 3) = e B(3 2) = (2)() + ()(2) + (3)(3) (4)() + (6)(2) + (5)(3) (2)(4) + ()(6) + (3)(8) 3 38 (4)(4) + (6)(6) + (5)(8) = 3 92 Se A é e B é, onde, então o produto AB é definido, mas o produto BA não é definido. Se A é e B é então o produto AB é e o produto BA é. Neste caso, certamente, AB BA, como ilustrado no exemplo anterior. Se A e B são então AB e BA têm o mesmo tamanho, mas, em geral: AB BA (2.4) A matriz identidade I é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Isto quer dizer que, se A e I forem matrizes então A I = I A = A. A multiplicação de matrizes não é comutativa e algumas manipulações familiares com números reais não podem ser feitas com matrizes. Entretanto, a multiplicação de matrizes é çã à çã: A(B ± C) = AB ± AC (2.5) (A ± B)C = AC ± BC (2.6) Usando (2.5) e (2.6) nós podemos expandir produtos como (A B)(C D): (A B)(C D) = (A B)C (A B)D = AC BC AD + BD (2.7) A multiplicação envolvendo vetores segue as mesmas regras definidas para as matrizes. Suponha que A é, b é, c é e d é. Então: Ab é um vetor coluna d A é um vetor linha de dimensão. é ç 6

8 7 b c é um escalar correspondendo à soma de produtos bc é uma matriz cd é uma matriz Desde que b c é uma soma de produtos (um escalar!) tem-se que b c = c b: b c = + + c b = + + b c = c b (2.8) A matriz cd é dada por Similarmente: cd = = (2.9) b b = = = (2.2) bb = = Assim, b b é uma soma de quadrados e bb é uma matriz quadrada e simétrica. (2.2) A raiz quadrada da soma de quadrados dos elementos de um vetor ( ) é igual à distância da origem ao ponto b e é conhecida como a, ou o comprimento do vetor b: b = = = (2.22) que: Se j é um vetor de s como definido em (2.6), então por (2.8) e (2.9) temos j j =, jj = = J (2.23) onde J é uma matriz quadrada ( ) de s como ilustrada em (2.7).. é ç

9 Se a é um vetor e A é uma matriz, então: j A = j = j = (2.24) e A j = 8 (2.25) Assim, j = j é a soma dos elementos em, j A contem os totais das colunas de A e Aj contem os totais das linhas de A. Note que em j, o vetor j é ; em j A A, o vetor j é e em Aj, o vetor j é Exemplo. Seja a matriz A = e o vetor = então: ) j'a = = (totais das colunas de A) ) Aj = = (totais das linhas de A) 2 5 ) j = = j = = 6 (total dos elementos de ) 8 A do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas em ordem reversa. Teorema 2.2b. Se A é e B é, então: (AB AB) = B A (2.26) Para ilustrar os passos dessa prova, vamos usar as matrizes A2 3 e B3 2: AB = Mas = é ç

10 9 (AB AB) = Então: = (AB AB) = = B A Corolário. Se A, B e C são conformes, então (ABC ABC) = C B A. Exemplo 2. Seja y = um vetor de pesos de frangos de corte. Para calcular a média e a variância dos pesos desses frangos, nós usamos: = = ( ) Matricialmente, a média pode ser calculada por = j y y, onde j é um vetor de s e = j j. Para calcular a variância precisamos, primeiramente, calcular o vetor de desvios: y = y j = y j = y jj y = y Jy = y Onde I é a matriz identidade e J é uma matriz de s. Para calcular a soma de quadrados de desvios fazemos: n ( y i y) i= t 2 = I J y n = y n I J t I I n n J y J y = y I'I n IJ J' I + n 2 n J'J y Mas J = J, I I = I, IJ = J, J I = J = J, j j = e J J = j jj j = J. Assim temos: n ( y i y) i= 2 = y I 2 n J + n 2 nj y = y 2 I J + J y = y I J y n n n A variância amostral pode ser calculada por: = ( ) = y' I J y n n. é ç

11 Supondo que A é e B é, seja a -ésima linha da matriz A e, a -ésima coluna da matriz B, de tal forma que: A = =, B = = Então, por definição, o ()-ésimo elemento de AB é calculado por. Tem-se: AB = ( ) = ( ) = = (2.27) ( ) A primeira coluna de AB pode ser expressa em termos de A como = = De forma análoga, a segunda coluna de AB é e assim por diante. Podemos escrever AB em termos das colunas de B da seguinte forma: AB = = (2.28) Qualquer matriz A pode ser multiplicada pela sua transposta para formar A A ou AA. Algumas propriedades desses produtos são dadas no próximo teorema. Teorema 2.2c. Seja A uma matriz. Então A A e AA têm as seguintes propriedades: ) A A é e é obtida como produto das de A. ) AA é e é obtida como produto das h de A. ) Ambas as matrizes A A e AA são é. ) Se A A = Φ então A = Φ. Seja A uma matriz quadrada e D = (,,, ). No produto DA, a -ésima linha de A é multiplicada por e em AD, a -ésima coluna de A é multiplicada por. Por exemplo, se = 3, nós temos:. é ç

12 DA = = (2.29) AD = = (2.3) DAD = (2.3) Vale notar que DA AD. Entretanto, no caso especial onde a matriz diagonal é a matriz identidade, (2.29) e (2.3) temos: IA = AI = A (2.32) Se A é retangular a igualdade (2.32) continua valendo, mas as matrizes identidade das duas igualdades são de dimensões diferentes. Se A é uma matriz simétrica e y é um vetor, o produto: y Ay = + 2 (2.33) é chamado de á. Se x é, y é e A é, o produto: x Ay = (2.34) é chamado de Produto de Hadamard de duas matrizes ou dois vetores Algumas vezes é interessante um terceiro tipo de produto, chamado produto de Hadamard ou elemento-a-elemento. Se duas matrizes ou dois vetores têm a mesma dimensão (conformes para a adição), o é obtido multiplicando os elementos correspondentes. A # B = =. é ç

13 Soma Direta de duas matrizes Se a matriz A é e B é definimos a de A e B como A B = A B = C em que C é ( + ) ( + ). Algumas propriedades interessantes da soma direta: ) A ( A) Φ ) Se as dimensões são favoráveis, então: (A B) + (C D) = (A + C) (B + D) (A B)(C D) = AC BD Exemplo 3. Sejam as matrizes: Então, A B = 3 5, B = 4 A = [ 5] A C = e C = [ 5] 5 5 Φ (Perceba que A + C = Φ) Produto direto ou de Kronecker Se A é e B é definimos o ou de A por B como a matriz C de dimensão ( ) obtida como: C = A B = Algumas propriedades interessantes do produto direto de matrizes: ) A B B A, em geral. ) Se e são vetores, então = =. ) Se D = (,,, ) e A é uma matriz qualquer, então: ) Se as dimensões são favoráveis, então: D A = A A A (A B)(C D) = AC BD. é ç

14 Exemplo 4. Sejam as matrizes: A(2 2) = 3 Então A B = , B(2 3) =, y(3 ) = B A = A y = y A = Potência de matriz quadrada Dada uma matriz quadrada A e um número (conjunto dos números inteiros e positivos), definimos a -ésima potência da matriz A como: = AAA 42 L 43 A k vezes Em relação à sua segunda potência, uma matriz quadrada A será chamada de: ), se = A. ), se = Φ. ), se = I. Teorema A. Se P é uma matriz e se I é a matriz identidade de ordem, então a matriz (I P) é MATRIZES PARTICIONADAS Muitas vezes é conveniente particionar uma matriz em submatrizes. Por exemplo, uma partição de uma matriz A em quatro submatrizes (quadradas ou retangulares) de dimensões apropriadas, pode ser indicada simbolicamente como: A = A A Para ilustrar, seja a matriz A(4 5) particionada como: 2 A A é ç

15 4 7 3 A = A A2 = A2 A22 Onde: A = , A2 = 3 4, A2 = e A22 = Se duas matrizes A e B são conformes, e se A e B são particionadas de tal forma que as submatrizes sejam apropriadamente conformes, então o produto AB pode ser obtido usando a maneira usual de multiplicação definida em (2.3) tendo as submatrizes como se fossem elementos únicos. Por exemplo: A AB = A 2 A A 2 22 B B 2 AB + A2B2 AB2 + A2B22 = A2B + A22B2 A2B2 + A22B22 B B 2 22 (2.35) Se B é trocada por um vetor b particionado em dois conjuntos de elementos e se A é correspondentemente particionada em dois conjuntos de colunas, então (2.35) fica: b Ab = A A2 = Ab + A2b2 (2.36) b2 Em que o número de colunas de A (A2) é igual ao número de elementos de b (b2). A multiplicação particionada em (2.36) pode ser estendida para colunas individuais de A e elementos individuais de b: Ab = = (2.37) Assim, o produto Ab pode ser expresso como uma çã A, em que os coeficientes são os elementos de b Exemplo 5. Sejam A = 2 e b = 2, então Ab = Usando (2.37) podemos escrever:. é ç

16 5 Ab = = (4)2 + (2) + ( ) = = Por (2.28) e (2.37), as colunas do produto AB são combinações lineares das colunas de A. Os coeficientes para a -ésima coluna de AB são os elementos da -ésima coluna de B. O produto de um vetor linha por uma matriz, a B, pode ser expresso como uma combinação linear das linhas de B, em que os coeficientes são os elementos de a : a B = = (2.38) Por (2.27) e (2.38) as linhas do produto AB são çõ h de B. Os coeficientes da -ésima linha de AB são os elementos da -ésima linha de A. Finalmente, notamos que se uma matriz A é particionada como A = A A2, então: A = A A2 = (2.39) 2.4 POSTO ( (RANK) ) DE UMA MATRIZ Antes de definir o (ou ) de uma matriz, nós introduziremos a noção de dependência e independência linear de vetores. Um conjunto de vetores {,,, } é dito (..) se pudermos encontrar um conjunto de escalares,,, (nem todos nulos) de tal forma que: = (2.4) Se não encontrarmos um conjunto de escalares,,, (nem todos nulos) que satisfaçam (2.4), o conjunto de vetores {,,, } é dito (..). Por (2.37), podemos reescrever essa definição da seguinte forma: As colunas de A são se Ac = implica em c =. Observe que se um conjunto de vetores incluir um vetor nulo, este conjunto de vetores é linearmente dependente. Se (2.4) é satisfeita então existe pelo menos um vetor que pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto. Entre vetores linearmente independentes não existem redundâncias desse tipo.. é ç

17 Definição A. O () de qualquer matriz A (quadrada ou retangular) é definido como o número de colunas (linhas) linearmente independentes de A. Pode-se mostrar que o número de colunas.. de qualquer matriz é igual ao número de linhas.. desta matriz. Se a matriz A tem um único elemento diferente de zero, com todos os demais elementos iguais a zero, então (A) =. O vetor e a matriz Φ têm zero. Se a matriz retangular A é de, onde <, então A tem o maior possível e dizemos que A tem. Em geral, o maior posto possível de uma matriz A é o (, ). Assim, em uma matriz retangular, as linhas, as colunas ou ambas são linearmente dependentes. Nós ilustramos esse fato no próximo exemplo. 6 Exemplo 6. O posto da matriz: A = é igual a 2, porque as duas linhas são linearmente independentes (nenhuma linha é múltipla da outra). Consequentemente, pela definição de, o número de colunas.. também é 2. Portanto, as três colunas de A formam um conjunto de vetores.. e por (2.4) existem constantes, e (nem todas nulas) tais que: Por (2.37) nós escrevemos (2.4) na forma = (2.4) = ou Ac = (2.42) A solução (não trivial) para (2.42) é dada por qualquer múltiplo de c = 4 2. Neste caso o produto Ac =, mesmo com A e c. Isso só é possível por causa da dependência linear dos vetores (colunas) de A. Nem sempre é fácil perceber que uma linha (ou coluna) é uma combinação linear de outras linhas (ou colunas). Nesses casos pode ser difícil calcular o de uma matriz. Entretanto, se conseguirmos obter a forma escalonada canônica (...) da matriz, o seu corresponderá ao número de linhas (ou colunas) que tenham o número como líder. A obtenção da... de uma matriz é feita através de operações elementares em suas linhas (ou colunas). Definição A2. São chamadas de operações elementares nas linhas da matriz A (e de modo similar nas suas colunas): ) Trocar a posição de duas linhas da matriz. ) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar ( = ). ) Somar a uma linha da matriz um múltiplo de outra linha ( = + ).. é ç

18 Teorema A2. Uma matriz A é equivalente por linhas a uma matriz B se B pode ser obtida de A aplicando-se uma sequencia de operações elementares sobre as suas linhas. 7 Definição A3. Dizemos que uma matriz A ( ) está na sua ô ou se ocorrer simultaneamente que: a) o primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é o número (pivô); b) toda coluna que tem um pivô, tem todos os outros elementos nulos; c) o pivô da linha + ocorre à direita do pivô da linha ( =, 2,, ). d) todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas. Definição A4. Dizemos que uma matriz está na sua se ela satisfaz as propriedades (c) e (d), mas não necessariamente as propriedades (a) e (b). Das matrizes apresentadas a seguir, B não está na forma escalonada, A e C estão nas suas formas escalonadas canônicas e D, na forma escalonada. A =, B = 4 2 2, C =, D = 3 3 Teorema A3. Dada uma matriz real A ( ) é sempre possível obtermos a sua forma escalonada canônica (...) através de operações elementares. Assim, calcular o posto da matriz A é o mesmo que calcular o da... de A, pois são equivalentes. Portanto, calcular o da... de A é o mesmo que contar o seu número de s pivôs. Exemplo 7. Vamos obter a... da matriz A do Exemplo 6: 2 A = 5 2 ) Fazendo = 5, nós obtemos: ) Fazendo = /2, nós obtemos: ~ ~. /2. é ç

19 8 ) Fazendo = + 2, nós obtemos: / 6 ~ /2 / 2 7 / 6... de A é a matriz o (A) = 2. / 2 Definição A5. Dizemos que uma matriz quadrada está na (Graybill 969, p.2) se satisfaz as seguintes condições: a) é uma matriz triangular superior; b) tem apenas valores zero ou um na sua diagonal; c) se tem o valor zero na diagonal, os elementos restantes na linha são zeros; d) se tem o valor um na diagonal, os elementos restantes da coluna em que aparece o número um, são nulos. Definição A6. Dizemos que uma matriz quadrada está na h (Graybill, 969, p.286) se ela satisfaz as condições de uma e apresenta as linhas de zeros abaixo das linhas que não são nulas. Nós podemos estender (2.42) para produtos de matrizes. É possível encontrar matrizes A e B, tais que: AB = (2.43) Por exemplo, = 3 Nós também podemos explorar a dependência linear das linhas ou colunas de uma matriz para criar expressões tais como AB = CB, onde A C. Assim em uma equação matricial, nós não podemos, em geral, cancelar uma matriz de ambos os lados da equação. Uma exceção a esta regra ocorre quando as matrizes envolvidas são quadradas e B é uma matriz não singular (será definida na Seção 2.5). Exemplo 8. Nós ilustramos a existência de matrizes A, B e C tais que AB = CB, onde A C. Sejam as matrizes: A = 3 2 2, B =, C = AB = 5 CB = 3 4. O teorema seguinte dá um caso geral e dois casos especiais para o do produto de duas matrizes.. é ç

20 Teorema 2.4a. ) Se A e B são matrizes conformes, então (AB AB) (A) e (AB AB) (B). ) A multiplicação por uma matriz não singular (ver Seção 2.5) não altera o da matriz, isto é, se B e C são não singulares (AB AB) = (CA CA) = (A). ) Para qualquer matriz A, (A A A A) = (AA AA ) = (A A ) = (A). : ) Todas as colunas de AB são combinações lineares das colunas de A (ver um comentário no Exemplo 2.3) consequentemente, o número de colunas.. de AB é menor ou igual ao número de colunas.. de A, e (AB AB) (A). Similarmente, todas as linhas de AB são combinações lineares das linhas de B ver comentário em (2.38) e daí, (AB AB) (B). ) Se B é não singular, existe uma matriz tal que = I ver (2.45) a seguir. Então, de () nós temos que: (A) = ( ) (AB AB) (A). Assim ambas as desigualdades tornam-se igualdades e (A) = (AB AB). Similarmente, (A) = (CA CA) para C não singular INVERSA DE UMA MATRIZ Uma matriz quadrada de posto completo é dita ã. Uma matriz A não singular tem inversa única, denotada por, com a propriedade que: A = A = I (2.45) Um algoritmo simples (que é trabalhoso se a dimensão da matriz é grande!) para obtenção da inversa de uma matriz consiste em justapor à matriz A uma matriz identidade de mesma ordem. Opera-se simultaneamente sobre as linhas das duas matrizes até que no lugar da matriz A apareça a sua... (neste caso, uma matriz identidade). Nesse momento, no lugar da matriz identidade estará a inversa de A. Ou seja: A I ~ ~ I Exemplo 9. Seja a matriz quadrada: () Fazendo = (/2) : A = ~ 5/ 2 / 2. é ç

21 2 (2) Fazendo = (2/5) : 4 (3) Fazendo = + ( 7) : 4 (4) Fazendo = (/4) : Então / / 2 ~ / 5 2/ 5 4 2/ 5 4/ 5 / 5 2/ 5 ~ / 5 2 / 5 2/ 5 / 5 4/ 5 3/ 5 7 / 2 / 5 ~ / 5 2/ 5 3/ 5 7 / ~ ~.6 = / 5 2/ Se a matriz B é não singular e AB = CB, então nós podemos multiplicar à direita por os dois lados da igualdade, obtendo: AB = CB AB = CB A = C Importante: Se a matriz B é singular ou retangular, ela não pode ser cancelada nos dois lados da igualdade AB = CB. Similarmente, se A é não singular então o sistema = tem a solução única: = (2.47) Teorema 2.5a. Se A é não singular, então A é não singular e a sua inversa pode ser encontrada como: (A A ) = ( ) (2.48) Teorema ema 2.5b. Se A e B são matrizes não singulares de mesma dimensão, então AB é nãosingular e (AB AB) = (2.49) Se a matriz A é simétrica, não singular e particionada como: A = A A 2 Se B = A22 A2(A) A2, então supondo que (A) e B existem, a inversa de A é dada por: A A é ç

22 A = A A A2B A2 A2A B A A B A 2 B 2 (2.5) Como um caso especial de (2.5), consideremos a matriz não singular: A = ( ) onde A é quadrada, é um escalar e é um vetor. Então se (A) existe, a inversa de A pode ser expressa como: onde = ( ). = + ( ) ( ) Como outro caso especial de (2.5) temos: que tem a inversa A = A = (2.5) (2.52) Se uma matriz quadrada da forma B + cc é não singular, onde c é um vetor e B é uma matriz não singular, então: (B + cc ) = B B cc'b (2.53) + c'b c 2.6 MATRIZES POSITIVAS DEFINIDAS Formas quadráticas foram introduzidas em (2.33). Por exemplo, a forma quadrática pode ser expressa como: Onde = y Ay y = e A = 6. 2 Entretanto, essa forma quadrática pode ser expressa em termos da matriz simétrica: 3 2 5/2 (A + A ) = / é ç

23 Em geral, qualquer forma quadrática y Ay pode ser expressa como: A + A' y Ay = y y (2.54) 2 Assim a matriz-núcleo da forma quadrática pode sempre ser escolhida como uma matriz simétrica (e única!). 22 Exemplo. A variância amostral definida como = y' I J y n n é uma forma quadrática e a sua matriz núcleo é simétrica: A = n n n M n n n M n L L L n n n = n M M n n n M L ( n ) n( n ) L ( n ) n n( n ) M L ( n ) n( n ) n As somas de quadrados encontradas na análise de regressão (Capítulos 6 a ) e análise de variância (Capítulos a 4) podem ser expressas na forma y Ay, onde y é um vetor de observações. Tais formas quadráticas são positivas (ou no mínimo não negativas) para todos os valores de y. Se a matriz simétrica A tem a propriedade de y Ay > para todos os possíveis vetores de observações y, com exceção de y =, então a forma quadrática y Ay é dita positiva definida e A é dita. Similarmente, se y Ay para todos os possíveis vetores de observações y, com exceção de y =, então a forma quadrática y Ay é dita positiva semidefinida e A é dita. Exemplo. Para ilustrar uma, considere: 2 A = 3 A forma quadrática associada é: y Ay = = 2(,5 ) + (5/2) que é claramente positiva a menos que e sejam ambos iguais a zero.. é ç

24 Para ilustrar uma matriz positiva semidefinida, considere: (2 ) 2 + (3 ) 2 + (3 2 ) 2 que pode ser expresso na forma y Ay, com A = Se 2 =, 3 = e 3 = 2, então (2 ) 2 + (3 ) 2 + (3 2 ) 2 =. Assim y Ay = para qualquer múltiplo de y = 2 3. Para todos os outros casos (com exceção de y = ), tem-se y Ay >. Teorema 2.6a. ) Se A é positiva definida, então todos os elementos da sua diagonal são positivos. ) Se A é positiva semidefinida, então todos. (Ver prova na página 23 do livro do Rencher). Teorema 2.6b. Seja P uma matriz não singular. ) Se A é positiva definida, então P AP é positiva definida. ) Se A é positiva semidefinida, então P AP é positiva semidefinida. (Ver prova na página 23 do livro do Rencher) Corolário. Seja A uma matriz ( ) positiva definida e seja B uma matriz ( ) de. Então a matriz BAB é positiva definida. Corolário 2. Seja A uma matriz ( ) positiva definida e seja B uma matriz ( ). Se > ou se (B) =, onde < e <, então a matriz BAB é positiva semidefinida. 23 Teorema 2.6c. Uma matriz simétrica A é positiva definida se e somente se existe uma matriz não singular P tal que A = P P. (Ver prova na página 23 do livro do Rencher). Corolário. Uma matriz positiva definida é não singular. Um método de fatorar uma matriz positiva definida A em um produto P P é chamado de çã h ver Seber (977, pág.34-35), pelo qual A pode ser fatorada de modo único em A = T T, onde T é uma matriz não singular e triangular superior. Teorema 2.6d. Seja B uma matriz. ) Se (B) =, então B B é positiva definida. ) Se (B) <, então B B é positiva semidefinida.. é ç

25 : ) Para mostrar que y B By > para y, notamos que y B By = By) (By é uma soma de quadrados e portanto, é positiva definida, a menos que By =. Por (2.37) nós podemos expressar By na forma By = Esta combinação linear não é igual a (para qualquer y ) porque (B) = e as colunas de B são.. ) Se (B) <, então nós podemos encontrar y tal que: By = = porque as colunas de B são.. ver (2.4). Daí, y B By. 24 Note que se B é uma matriz quadrada, a matriz B 2 = BB não é necessariamente positiva semidefinida. Por exemplo, seja a matriz 2 B = 2 Então: = e B B = Neste caso, não é positiva semidefinida, mas B B é positiva semidefinida, porque y B By = 2( 2 ) 2. Teorema 2.6e. Se A é positiva definida, então A é positiva definida. : Pelo Teorema 2.6c, A = P P, onde P é não singular. Pelos Teoremas 2.5a e 2.5b, A = (P P P P) = P (P P ) = P (P ), que é positiva definida pelo Teorema 2.6c. Teorema 2.6f. Se A é positiva definida e é particionada na forma A = A A 2 onde A e A22 são matrizes quadradas, então A e A22 são positivas definidas. I : Nós podemos escrever A como A = A, onde I tem a mesma dimensão de A. Então, pelo Corolário do Teorema 2.6b, A é positiva definida. A A é ç

26 SISTEMAS DE EQUAÇÕES O sistema de equações de equações (lineares) e incógnitas = = pode ser escrito na forma matricial como onde A é, é e c é. Note que: = (2.55) Se então os vetores e c são de dimensões diferentes. A = c (2.56) Se = e A é não singular, então por (2.47), existe um único vetor solução =. Se >, de tal forma que A tenha mais linhas que colunas (mais equações do que incógnitas), então, geralmente, o sistema A = c não tem solução. Se <, de tal forma que A tenha menos linhas que colunas, então o sistema A = c tem um número infinito de soluções. Se o sistema (2.56) tem um ou mais vetores soluções, ele é chamado de sistema consistente. Se não tem solução, ele é chamado de sistema inconsistente. Para ilustrar a estrutura de um sistema consistente, suponha que A seja e <. Então as linhas de A são linearmente dependentes e existe algum b tal que ver (2.38): b A = = Então, nós também podemos ter b c = =, porque a multiplicação de Ax = c por b (de ambos os lados) dá: b A = b c ou = b c = Por outro lado, se b c, não existe tal que = c. Portanto, para que A = c seja consistente, a mesma relação (qualquer que seja) que existe entre as linhas de A deve existir entre os elementos (linhas) de c. Isso é formalizado comparando o posto de A com o posto da matriz aumentada A c. A notação A c indica que c foi justaposta à matriz A como uma coluna adicional. Teorema 2.7a O sistema de equações Ax = c é consistente (tem no mínimo uma solução) se e somente se (A) = A c. : Suponha que (A) = A c, de tal forma que justapor o vetor c não altera o posto da matriz A. Então c é uma combinação linear das colunas de A; isto é, existe pelo menos um tal que: = que por (2.38) pode ser escrito como A = c. Assim, é solução do sistema A = c.. é ç

27 Por outro lado, suponha que existe um vetor solução tal que A = c. Em geral, temse que (A) A c ver Harville (997, pág. 4). Mas desde que existe um tal que A = c, nós temos: A c = A A = A(I ) (A) Teorema 2.4a(i) Por isso, (A) A c (A) e daí nós temos que: (A) = A c. 26 Um sistema de equações consistente pode ser resolvido pelos métodos usuais apresentados nos cursos básicos de álgebra (método da eliminação de variáveis, por exemplo). No processo, uma ou mais variáveis podem terminar como constantes arbitrárias, gerando assim um número infinito de soluções. Um método alternativo para resolver o sistema será apresentado na Seção Exemplo 2. Considere o sistema de equações: A matriz aumentada é: + 2 = 4 = + = 3 ou 2 4 = A c = 3 que tem A c = 2 porque a terceira coluna é igual à soma de duas vezes a primeira coluna com a segunda coluna: 4 2 = Desde que (A) = A c = 2, o sistema é consistente (tem ao menos uma solução). Se adicionarmos duas vezes a primeira equação à segunda o resultado é um múltiplo da terceira equação. Assim, a terceira equação é redundante e as duas primeiras podem ser facilmente resolvidas para obter a solução única = 2. A Figura 2. mostra as três linhas que representam as três equações do sistema. Note que as três linhas se cruzam no ponto de coordenadas (2, ), que é a solução única do sistema de três equações.. é ç

28 27 x Figura 2. Três linhas representando as equações do sistema do Exemplo 2. x Exemplo 3. Se trocarmos o número 3 por 2 na terceira equação do Exemplo 2, a matriz aumentada fica: 2 4 A c = 2 que tem posto = 3, já que nenhuma combinação linear das colunas é. Como A c = 3 (A) = 2, o sistema é inconsistente. As três linhas que representam as três equações são apresentadas na Figura 2.2, onde nós percebemos que as três linhas não têm um ponto comum de interseção. Para encontrar a melhor solução aproximada, uma abordagem consiste em usar o método dos mínimos quadrados, que consiste em buscar os valores de e que minimizam ( + 2 4) 2 + ( ) 2 + ( + 2) 2 =. 4 x x Figura 2.2 Três linhas representando as equações do sistema do Exemplo 3. Exemplo 4. Considere agora o sistema: + + = = = 6. é ç

29 A terceira equação é a soma das duas primeiras, mas a segunda não é um múltiplo da primeira. Assim (A) = 2 = A c e temos um sistema consistente. Resolvendo as duas primeiras equações para e em termos de, nós obtemos: O vetor solução pode ser expresso como: = = = 3 = + 3 onde é uma constante arbitrária. Geometricamente, é uma linha representando a interseção dos dois planos correspondentes às duas primeiras equações INVERSA GENERALIZADA Vamos considerar inversas generalizadas daquelas matrizes que não têm inversas no sentido usual ver (2.45). Uma solução de um sistema consistente de equações A = c pode ser expresso em termos de uma inversa generalizada de A Definição e Propriedades Uma de uma matriz A é qualquer matriz, que satisfaz: A A = A (2.57) Uma inversa generalizada não é única exceto quando A é não singular, neste caso =. Uma inversa generalizada que satisfaz (2.57) é também chamada de inversa condicional. Toda matriz (quadrada ou retangular) tem uma inversa condicional. Isso é garantido mesmo para vetores. Por exemplo, seja: 2 = 3 4 Então =,,, é uma inversa generalizada de que satisfaz (2.57). Outros exemplos são =, /2,,, =,, /3, e =,,, /4. Para cada nós temos: = =, 2, 3, 4. Nesta ilustração, é um vetor coluna e é um vetor linha. Este modelo é generalizado no seguinte teorema. Teorema 2.8a. Se A é então qualquer inversa generalizada é.. é ç

30 No exemplo a seguir nós damos duas representações de inversas generalizadas de uma matriz singular. 29 Exemplo 5. Seja A = (2.58) Como a terceira linha de A é a soma das duas primeiras linhas, e a segunda linha não é um múltiplo da primeira, o (A) = 2. Sejam = /2, É fácil verificar que A A = A e A A = A. = 3/2 /2 (2.59) Os métodos usados para obter e serão descritos no Teorema 2.8b e um algoritmo de cinco passos será apresentado após o teorema. Teorema 2.8b. Suponha que A é de posto e que A é particionada como A = Onde A é de posto. Então a inversa generalizada de A é dada por = A A 2 A Onde as três matrizes nulas têm dimensões apropriadas para que seja. (Ver prova na pág. 34 no livro do Rencher). Ο Corolário. Suponha que A é de posto e que A é particionada como no Teorema 2.8b onde A22 é de posto. Então a inversa generalizada de A é dada por = A 22 onde as três matrizes nulas são de dimensões apropriadas para que seja. A submatriz não singular não precisa estar na posição A ou A22, como no Teorema 2.8b e no seu corolário. O Teorema 2.8b pode ser estendido para o seguinte algoritmo para encontrar uma inversa condicional,, para qualquer matriz A de dimensão de posto Searle, 982, p.28: A A 2 22 Ο Ο. é ç

31 . Encontre qualquer submatriz não singular C ( ). Não é necessário que os elementos de C ocupem posições (linhas e colunas) adjacentes em A. 2. Encontre e a sua transposta ( ). 3. Substitua em A os elementos de C pelos elementos de ( ). 4. Substitua todos os outros elementos de A por zeros. 5. Transponha a matriz resultante. 3 Exemplo 6. Calcular uma inversa generalizada (condicional) de X = Usando o algoritmo de Searle (e lembrando que o posto da matriz X é 2) fazemos: ) Escolhemos C = 2) = ( ) = 3) e 4) 5) = é uma inversa condicional de X Vale lembrar que escolhendo outras matrizes C e usando o algoritmo, podemos encontrar outras inversas condicionais de X. Algumas propriedades das inversas generalizadas serão dadas no próximo teorema, que é a base teórica para diversos resultados importantes do Capítulo. Teorema 2.8c. Seja A ( ) de posto, seja uma inversa generalizada de A e seja ( ) uma inversa generalizada de A A. Então: ) ( A) = (A ) = (A) =. ) ( ) é uma inversa generalizada de A ; isto é ( ) = ( ). ) A = A( ) A A e A = A A( ) A. ) ( ) A é uma inversa generalizada de A, isto é, = ( ) A. ) A( ) A é simétrica, A( ) A = e é invariante à escolha de ( ). Isto quer dizer que A( ) A permanece a mesma, para qualquer escolha de (A A A A). Uma inversa generalizada de uma matriz simétrica não é necessariamente simétrica. Entretanto, também é verdade que uma inversa generalizada simétrica de uma matriz simétrica, sempre pode ser encontrada ver Problema Neste livro, nós assumimos que as inversas generalizadas de matrizes simétricas também são simétricas.. é ç

32 Além da inversa generalizada condicional definida em (2.57) existem outras, como a inversa de mínimos quadrados ( ) e a inversa de Moore-Penrose ( ). Esta última é muito útil em demonstrações envolvendo modelos lineares. Definição A7. Dada a matriz A ( ) então toda matriz ( ) que satisfaz as duas condições seguintes, é uma inversa de mínimos quadrados de A: a) A A = A b) A é uma matriz simétrica. Teorema A4. Toda matriz do tipo = ( ) A é uma inversa de mínimos quadrados de A, para qualquer escolha da inversa condicional ( ). Exemplo 7. Obter uma inversa de mínimos quadrados de X = Primeiramente calculamos X X = 2 2. Escolhendo C = 2 e usando o algoritmo de Searle, obtemos: ( ) =,5,5 Então uma inversa de mínimos quadrados de X é: = ( ) X =,5,5,5,5 Escolhendo outras submatrizes C e, correspondentemente, calculando outras inversas condicionais de X X, nós podemos encontrar outras inversas de mínimos quadrados de X. Outra inversa generalizada é a inversa de Moore-Penrose, que é bastante útil em demonstrações matemáticas, mas a sua obtenção é bastante trabalhosa. Geralmente ela é obtida através de algum pacote estatístico. No do SAS, por exemplo, a inversa de Moore-Penrose da matriz A é obtida com o comando (A). Definição A8. Dada a matriz A ( ) de posto, então a matriz ( ), de posto, que satisfaz às quatro condições seguintes, é definida como a inversa generalizada de Moore- Penrose de A: a) A A = A b) A = c) A é simétrica. d) A é simétrica. 3. é ç

33 Teorema A5. Para cada matriz A ( ) existe sempre uma e só uma matriz que satisfaz as quatro condições de Moore-Penrose Inversas Generalizadas e Sistemas de Equações Uma solução para um sistema de equações pode ser expressa em termos de uma inversa generalizada. Teorema 2.8d. Se o sistema de equações A = c é consistente e se é uma inversa generalizada de A, então = é uma solução do sistema. (Ver prova na pág. 36 do livro do Rencher). Importante: Diferentes escolhas de resultarão em diferentes soluções para o sistema A = c. Teorema 2.8e. Se o sistema de equações A = c é consistente, então todas as possíveis soluções podem ser obtidas das duas seguintes maneiras: ) Use uma específica em = c + (I A) e use todos os possíveis valores para o vetor arbitrário. ) Use todas as possíveis inversas em = c. Uma condição necessária e suficiente para que o sistema A = c seja consistente pode ser dado em termos de uma inversa generalizada (Graybill 976, p.36). Teorema 2.8f. O sistema de equações A = c é consistente se e somente se para qualquer inversa generalizada de A A c = c. (Ver prova na pág. 37 do livro do Rencher). Observe que o Teorema 2.8f fornece uma alternativa ao Teorema 2.7a para decidir se um sistema de equações é consistente DETERMINANTES Antes de definirmos o determinante de uma matriz quadrada, precisamos definir permutação e número de inversões. Seja o conjunto dos cinco primeiros números inteiros S = {, 2, 3, 4, 5} arrumados em ordem crescente. Qualquer outra ordem,,, dos elementos de S é chamada uma permutação de S. Por exemplo: 3245, 4532, 3254, 2354 são permutações de S.. é ç

34 O número de permutações possíveis com objetos (índices, neste caso) é igual a! = ( )( 2) (2)(). Por exemplo: com os índices {, 2, 3} temos 3! = 6 permutações, a saber: {23, 32, 23, 23, 32, 32}. Uma permutação,,, de tem uma inversão se um número inteiro precede um inteiro menor. Por exemplo: a permutação 3245 tem 5 inversões por que: o 3 aparece antes do 2; o 3 antes do ; o 2 antes do ; o quatro antes do e o 5 antes do. 33 Definição A9. O determinante de uma matriz A ( ) é uma função escalar de A definida como a soma algébrica de todos os seus! possíveis produtos elementares. Denota-se por: δ(a) = A = () =! Cada produto elementar é do tipo = em que, nos índices,,, são colocados os números de alguma permutação simples do conjunto {, 2,, }. Em cada produto existe somente um elemento de cada linha e coluna. Cada produto elementar recebe o sinal + ou, conforme o número de inversões envolvidas em seja par ou ímpar, respectivamente. Se A = é uma matriz 2 2 temos somente duas permutações: Permutação N o de inversões Sinal O determinante de A é calculado como: () = Se A = é uma matriz 3 3, uma regra prática para calcular o seu determinante é descrita a seguir: Repita a primeira e a segunda coluna de A após a terceira coluna (ver exemplo). Some os produtos dos elementos das diagonais que partem de cima e da esquerda e subtraia os produtos dos elementos das diagonais que partem de cima e da direita. O determinante de ( ) é calculado como: () = + +. é ç

35 A definição A9 não é muito útil para calcular o determinante de uma matriz, exceto para o caso de matrizes 2 2 ou 3 3. Esse cálculo para matrizes maiores é feito por calculadoras científicas e programas específicos, como o do,, h e o, que calculam determinantes de forma segura Exemplo 8. Calcular o determinante de A = = Como = 3, temos 3! = 6 permutações, a saber: Permutação N o de inversões Sinal Valor de Utilizando a Definição A9 obtemos: (A) = = 49 Os determinantes de algumas matrizes quadradas especiais são dados no teorema seguinte. Teorema 2.9a. ) Se D = (,,, ) então (D) = ) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. ) Se A é singular, (A) =. Se A é não singular, (A). ) Se A é positiva definida, (A) >. ) (A) = (A A ) ) Se A é não singular, (A ) = /(A) Exemplo 9. Vamos ilustrar cada uma das propriedades apresentadas no Teorema 2.9a. ) A é diagonal: (A) = 2 = (2)(3) ()() = (2)(3) = 6 3 ) A é triangular: (A) = 2 = (2)(3) ()() = (2)(3) = 6 3. é ç

36 ) A é singular: (A) = 2 = ()(6) (2)(3) = 3 6 A é não singular: (A) = 2 = ()(4) (2)(3) = (A ) = 2 = ( 2)(.5) (.5)() = /2 = /(A) ) A é positiva definida: (A) = = (3)(4) ( 2)( 2) = ) (A) = 3 7 = (3)() ( 7)(2) = 7, (A A ) = = (3)() (2)( 7) = Observe que se todos os elementos da diagonal de uma matriz D forem iguais, digamos D = (,,,, ) =, então: (D) = () = = (2.68) Por extensão, se uma matriz é multiplicada por um escalar, o seu determinante é: () = () (2.69) Teorema 2.9b. Se a matriz A é particionada como A A = A 2 A A 2 22 (2.7) Em que A e A22 são quadradas e não singulares (mas não necessariamente do mesmo tamanho), então: (A) = A A22 A2(A) A2 (2.7) = A22 A A2(A22) A2 (2.72) Note a analogia de (2.7) e (2.72) ao caso do determinante de uma matriz 2 2: (A) = = = ( / ) = ( / ) Corolário. Suponha A = ou A = onde e são matrizes quadradas (mas não necessariamente de mesma dimensão). Então: (A) = = (2.73). é ç

37 Corolário 2. Suponha A =, onde e são matrizes quadradas (mas não necessariamente de mesma dimensão). Então: =. (2.74) 36 Corolário 3. Se A =, onde é uma matriz não singular, é um vetor e é uma matriz (escalar), então: = ( ). (2.75) Corolário 4. Se A =, onde é um vetor e B é uma matriz não singular, então: + = ( + ) (2.76) Teorema 2.9c. Se A e B são quadradas e de mesmo tamanho, então o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes: = (2.76) Corolário. = (2.77) Corolário 2. = (2.78) Exemplo 2. Para ilustrar o Teorema 2.9c, sejam as matrizes = 2 2 e B = Então AB = = e = = 2, = 8 = ( 2)(8) = VETORES ORTOGONAIS E MATRIZES Dois vetores e,, são ditos se: = = (2.79) Note que o termo se aplica aos dois vetores e não a um único vetor.. é ç

38 Geometricamente, dois vetores ortogonais são perpendiculares um ao outro. Na Figura 2.3 esta característica é apresentada para os vetores: = 4 2 e = 2. Note que = (4)( )+(2)(2) =. 37 Figura 2.3. Dois vetores ortogonais (perpendiculares). Para saber se dois vetores são perpendiculares podemos calcular o ângulo formado entre eles. Seja θ o ângulo entre os vetores e na Figura 2.4. O vetor que liga os extremos de e pode ser expresso por =. A lei dos cosenos para a relação de θ com os lados do triângulo pode ser escrita na forma vetorial como: (θ) = () () ( )( ) = ( ) ( )( ) = ( )( ) (2.8) Quando θ = 9, = porque (9 ) =. Assim os vetores e são perpendiculares quando =. Figura 2.4. Vetores e no espaço tridimensional (R ). é ç

39 Se =, o vetor é dito ser normalizado. Um vetor pode ser normalizado, dividindo pelo seu comprimento, ( ). Desta forma: é normalizado porque =. = ( ) 38 (2.82) Um conjunto de vetores,,, de dimensões que são normalizados ( =, para todo ) e mutuamente ortogonais ( =, para todo ) é dito ser um conjunto ortonormal de vetores. Se a matriz C =,, tem colunas ortonormais, C é chamada matriz ortonormal. Desde que os elementos de C C são produtos de colunas de C ver Teorema 2.2c(i), uma matriz ortonormal C tem a propriedade: C C = I (2.83) Pode ser mostrado que uma matriz ortonormal C também satisfaz CC = I (2.84) Assim, uma matriz ortogonal C tem linhas ortogonais como também colunas ortogonais. É evidente que de (2.83) e (2.84), C = C, se C é ortogonal. Exemplo 2. Para ilustrar uma matriz ortogonal, partimos de: A = 2 Que tem colunas mutuamente ortogonais, mas que não são ortonormais. Para normalizar as três colunas, nós as dividimos pelos seus respectivos comprimentos, 3, 6 e 2, obtendo assim a matriz: / 3 / 6 / 2 C = / 3 2/ 6 / 3 / 6 / 2 Cujas colunas são ortonormais. Note que as linhas de C também são ortonormais, tal que C satisfaz (2.84) e (2.83). A multiplicação de um vetor por uma matriz ortogonal tem o efeito de rotacionar os eixos; isto é, se um ponto é transformado para z =, onde C é uma matriz ortogonal, então a distância da origem a z é a mesma distância da origem a : z z = (C) (C) = C C C C = (2.84) Neste caso, a transformação de para z é conhecida como uma rotação.. é ç

40 Teorema 2.. Se C é uma matriz ( ) ortonormal e se A é uma matriz ( ) qualquer, então: ) C = + ou ) C AC C AC = A ), onde é qualquer elemento da matriz C TRAÇO DE UMA MATRIZ O ç de uma matriz ( ) A = ( ) é uma função escalar definida como a soma dos elementos da diagonal de A; isto é, (A) =. Por exemplo, suponha: Então Teorema 2.a A = (A) = 8 + ( 3) + 9 = 4. ) Se A e B são matrizes ( ) então: (A ± B) = (A) ± ( B) (2.85) ) Se A é ( ) e B é (p n) então: (AB AB) = (BA BA) (2.86) Note que em (2.86) pode ser menor, igual ou maior que. ) Se A é ( ) onde é a -ésima coluna de A. ) Se A é ( ) onde é a -ésima linha de A. (A A A A) = (2.87) (AA AA ) = (2.88) ) Se A = ( ) é uma matriz com elementos representativos então: (A A A A) = (AA AA ) = (2.89) ) Se A é ( ) e P ( ) é qualquer matriz não singular, então: (P AP) = (A) (2.9) ) Se A é ( ) e C ( ) é qualquer matriz ortogonal, então: (C AC C AC) = (A) (2.9) ) Se A é ( ) de posto e A ( ) é uma inversa generalizada de A, então: (A A) = (A A ) = (2.92). é ç

41 Consideremos A, B e C matrizes quadradas de ordem, um vetor ( ) e e números reais. A função ç também apresenta as seguintes propriedades: ) ( ) = ) (A +B) = (A) + (B) ) (AB AB) = (BA BA) ) (AB ABC) = (CAB AB) = (BCA CA) ) Se A for idempotente então (A) = (A) ) (A ) = (A) ) (AA ) = (A A A) = ) ( ) = ( ) = AUTOVALORES E AUTOVETORES 2.2. Definição Definição A. Para qualquer matriz quadrada A, um escalar e um vetor, não nulo, podem ser encontrados, de tal forma que: A = (2.94) Em (2.94), é chamado um autovalor de A e é um autovetor de A (também são chamados de í e í de A, respectivamente). Note que em (2.94) o vetor é transformado por A, em um múltiplo de si próprio, de tal forma que o ponto A está sobre a linha que passa por e a origem. Para encontrar λ e para uma matriz A, nós escrevemos (2.94) como: (A I) = (2.95) Por (2.37), (A I) é uma combinação das colunas de A I e por (2.4) e (2.95) essas colunas são linearmente dependentes. Assim a matriz quadrada (A I) é singular e pelo Teorema 2.9a() nós podemos resolver (2.95) para usando: que é conhecido como equação característica. (A I) = A I = (2.96) Se A é ( ) a sua equação característica terá raízes, isto é, A terá autovalores,,,. Os λ s não serão necessariamente distintos ou todos diferentes de zero, ou todos números reais. Entretanto, os autovalores de uma matriz simétrica serão números reais (ver Teorema 2.2c). Depois de encontrar os autovalores,,, usando (2.96), obtemos os autovetores correspondentes,,,,, usando (2.95).. é ç

42 Se =, o autovetor correspondente não é o vetor nulo, =. Para perceber isso, note que se = então (A I) = fica A =, que tem solução para porque A é singular porque tem, ao menos, um autovalor nulo e as suas colunas são linearmente dependentes. Se multiplicarmos ambos os lados de (2.95) por um escalar, obtemos: que pode ser reescrito como: (A I) = = (A I) = Assim, se é um autovetor de A, também é um autovetor de A. Por isso, o comprimento de é arbitrário, mas a sua direção é única. Na maioria das aplicações, o autovetor é padronizado, de tal forma que =. 4 Exemplo 22. Para ilustrar autovalores e autovetores, considere a matriz: Por (2.95), a equação característica é: Ou seja = A λi = λ 2 = ( λ)(4 λ) 4 = 2 3 λ λ 2 5λ = λ(λ 5) = Que tem raízes = 5 e =. Para encontrar o autovetor correspondente a = 5, nós usamos (2.94), (A 5I) = = Que pode ser escrito como: = 2 = Como a primeira equação é um múltiplo da segunda, temos que = 2. Um vetor solução pode ser escrito com = como uma constante arbitrária. = = 2 = 2 = 2 Escolhendo c = / 5 para normalizar o vetor, temos: = / 5 2/ 5. De forma similar, correspondente a = nós obtemos o autovetor normalizado: = 2/ 5 / 5.. é ç