Representação de um conjunto de Matrizes Operações Produto de Matriz por escalar Transposição de Matrizes Simetrias Exercícios. Matrizes - Parte 1

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1 Matrizes - Parte 1 Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de julho de / 35

2 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Adição de Matrizes 3 Produto de Matriz por escalar 4 Transposição de Matrizes 5 Simetrias 6 Exercícios 2 / 35

3 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Adição de Matrizes 3 Produto de Matriz por escalar 4 Transposição de Matrizes 5 Simetrias 6 Exercícios 3 / 35

4 Matriz Uma matriz nada mais é do que um conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em linhas e colunas Por exemplo, [ ] é uma matriz formada por números reais com duas linhas e três colunas. Representaremos o conjunto de TODAS as matrizes (com elementos reais) com duas linhas e três colunas por R / 35

5 EXEMPLOS A = R [ ] (2i) (4 2i) (7i) (5) B = (0) ( 3 + 7i) (12i) (5 C 2 4 2i) A = C / 35

6 NOTAÇÃO a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... Rn m (ou C n m ) a n1 a n2... a nm a rs - elemento da LINHA r e COLUNA s; Por exemplo: a 14 - elemento da LINHA 1 e COLUNA 4; a 79 - elemento da LINHA 7 e COLUNA 9; a 81,109 - elemento da LINHA 81 e COLUNA 109; A = [a rs ] n m : r {1, 2,..., n} e s {1, 2,..., m} 6 / 35

7 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Adição de Matrizes 3 Produto de Matriz por escalar 4 Transposição de Matrizes 5 Simetrias 6 Exercícios 7 / 35

8 IGUALDADE ENTRE MATRIZES Duas matrizes são IGUAIS quando possuem a mesma ordem e os elementos correspondentes (posições) são iguais = [ ] (2 4i) [ (2 4i) (1 + 2i) ] (1 + 2i) 8 / 35

9 Adição de Matrizes Adição de Matrizes Considere duas matrizes A, B de mesma ordem n m. A soma A + B é a matriz também de ordem n m obtida pela adição das entradas de A, com as entradas de B, respeitando-se as posições. [ ] Exemplo: A =, B = [ ] A + B = [ 7 0 ] / 35

10 Adição de Matrizes Adição de Matrizes Considerando as matrizes A = o que se pode dizer sobre a soma A + B? [ ] , B = Não está definida, pois A tem ordem 2 3 e B tem ordem / 35

11 Adição de Matrizes Adição de Matrizes Propriedades da Adição Sejam A = [a rs ] n m, B = [b rs ] n m e C = [c rs ] n m com entradas reais ou complexas. São válidas as seguintes propriedades: Associatividade: Comutatividade: A + (B + C) = (A + B) + C A + B = B + A Existência de Elemento Neutro: Existe uma matriz X 0 de ordem n m tal que A + X 0 = A qualquer que seja a matriz A de ordem n m. Existência de Inverso Aditivo: Para cada matriz A de ordem n m, existe uma matriz A tal que A + A = X / 35

12 Adição de Matrizes Adição de Matrizes EXEMPLO Qual o elemento neutro, com relação a operação SOMA, no conjunto de matrizes C 2 2 [? ] 0 0 = 0 = 0 0 Qual o inverso aditivo da matriz A = [ ] ( 3 2i) (2 i) = A = 5 7 [ ] (3 + 2i) ( 2 + i) em C ? 12 / 35

13 Adição de Matrizes Subtração Dadas duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem, definimos a subtração da seguinte forma: A B = A + ( B) 13 / 35

14 Adição de Matrizes Subtração EXEMPLO Considere as matrizes A = 4 5 6, B = A B = B A = Veja que, em geral, a subtração é NÃO COMUTATIVA. 14 / 35

15 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Adição de Matrizes 3 Produto de Matriz por escalar 4 Transposição de Matrizes 5 Simetrias 6 Exercícios 15 / 35

16 Produto por escalar O quadro abaixo mostra o preço de 1kg de duas marcas de arroz em quatro estabelecimentos diferentes de uma mesma cidade. A E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00 A 2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 Os quatro estabelecimentos resolveram dar um desconto de 10% nos preços de todas as suas mercadorias. Como fica o novo quadro com os preços de arroz? B E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80 A 2 2, 07 1, 98 1, 98 1, / 35

17 Produto por escalar Vejamos as duas tabelas A B E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00 A 2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80 A 2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89 Podemos denotar cada quadro acima usando matrizes: A = [ 2, 20 2, 20 2, 10 ] 2, 00 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 B = [ 1, 98 1, 98 1, 89 ] 1, 80 2, 07 1, 98 1, 98 1, / 35

18 Produto por escalar Qual a relação entre as entradas correspondentes das matrizes A e B? [ ] [ ] 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80 A = B = 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89 Qual a relação entre a 11 e b 11? Qual a relação entre a ij e b ij? Se foi dado um desconto de 10%, então o novo preço (matriz B) corresponde a 0,9 do preço antigo (matriz A), isto é: b ij = 0, 9.a ij para todas as entradas. Escreveremos B = 0, 9.A 18 / 35

19 Produto por escalar Generalizando Seja A uma matriz de ordem n m e α um escalar (número real ou complexo). O produto do escalar α pela matriz A é definido por: α.a = [α.a ij ] n m a 11 a a 1m (α.a 11 ) (α.a 12 )... (α.a 1m ) a 21 a a 2m α.... = (α.a 21 ) (α.a 22 )... (α.a 2m )... a n1 a n2... a nm (α.a n1 ) (α.a n2 )... (α.a nm ) 19 / 35

20 Produto por escalar Propriedades Sejam A, B matrizes de mesma ordem e α, β escalares. α.(β.a) = (α.β).a α.(a + B) = α.a + α.b (α + β).a = α.a + β.a Existe um escalar x 0 tal que x 0.A = A para qualquer matriz A. Quem será x 0? 20 / 35

21 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Adição de Matrizes 3 Produto de Matriz por escalar 4 Transposição de Matrizes 5 Simetrias 6 Exercícios 21 / 35

22 Transposição de Matrizes Considere as matrizes [ ] 1 i (2 + i) A = (2 2i) (1 + i) 4 1 (2 2i) e B = i (1 + i) (2 + i) 4 Alguma semelhança entre elas? Foi feita a transposição de cada linha de A para uma coluna de B. 22 / 35

23 Definição (Transposta de uma Matriz) Seja A = [a ij ] uma matriz de ordem n m. Se reescrevermos os elementos de A de modo que cada linha seja disposta em forma de coluna, então a nova matriz obtida terá ordem m n e será chamada transposta de A, cuja notação é A T. a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... a n1 a n2... a nm a 11 a a n1 A T a 12 a a n2 =... a 1m a 2m... a nm 23 / 35

24 Exemplo A = A T = / 35

25 Propriedades Dada uma matriz A de ordem n m, são válidas: (A + B) T = A T + B T (α.a) T = α.a T 25 / 35

26 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Adição de Matrizes 3 Produto de Matriz por escalar 4 Transposição de Matrizes 5 Simetrias 6 Exercícios 26 / 35

27 Matriz Simétrica Definição (Matriz Simétrica) Dizemos que uma matriz quadrada A é simétrica quando A = A T. Observe que em uma matriz simétrica, A 1 = A 1, A 2 = A 2,... A n = A n Consequentemente a ij = a ji para cada r {1, 2,..., n}, s {1, 2,..., n}. 27 / 35

28 Exemplo Seja A = [a ij ] n n a matriz tal que a ij = (i j) 2. A é simétrica? a ij = a ji? (i j) 2 = (j i) 2? Sim. Portanto, A é simétrica. 28 / 35

29 Matriz Antissimétrica Considere o seguinte caso: A = A T = Observe que A T = A. Definição (Matriz Antissimétrica) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é antissimétrica quando A T = A. Tem-se A 1 = A 1, A 2 = A 2,..., A n = A n. Consequentemente, a ij = a ji 29 / 35

30 Matriz Antissimétrica Verdadeiro ou falso? Se A é uma matriz antissimétrica então sua diagonal principal é nula. R: Verdadeiro! a ij = a ij = a 11 = a 11, a 22 = a 22,..., a nn = a nn Daí, 2a 11 = 0, 2a 22 = 0,..., 2a nn = 0 Ou seja, a 11 = 0, a 22 = 0,..., a nn = 0 Observação ANTISSIMÉTRICA NÃO É O CONTRÁRIO DE SIMÉTRICA 30 / 35

31 Matriz Antissimétrica Exemplo A = AT = Claramente não ocorre A T = A nem A T = A. Portanto A não é simétrica, nem antissimétrica. 31 / 35

32 Existem matrizes que são, ao mesmo tempo, simétrica e antissimétrica? 32 / 35

33 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Adição de Matrizes 3 Produto de Matriz por escalar 4 Transposição de Matrizes 5 Simetrias 6 Exercícios 33 / 35

34 Exercício Mostre que (A T ) T = A Solução a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... a n1 a n2... a nm a 11 a a 1m (A T ) T a 21 a a 2m =... = A a n1 a n2... a nm a 11 a a n1 A T a 12 a a n2 =... a 1m a 2m... a nm 34 / 35

35 Exercício Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz B = A + A T é simétrica. Devemos mostrar que B T = B B = A + A T = B T = (A + A T ) T = B T = A T + (A T ) T = B T = A T + A = B T = B Exercício Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz C = A A T é antissimétrica. 35 / 35