Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica

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Raphael Marques Benke
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1 Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: determinantes e sistemas 13 e 27/06/14

2 Determinantes Def.: Seja M uma matriz quadrada de elementos reais, de ordem n, chama-se determinante da matriz M (notação det M) o número que obtemos da seguinte forma: n = 1, M = [a 11 ] = det M = a 11. [ ] a11 a n = 2, M = 12 = det M = a a 21 a 11 a 22 a 12 a n = 3, det M = a 11 a 22 a 33 + a 23 a 31 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Exemplos: A = [6] B = [ ] cos x senx C = seny cos y D = [ ]

3 Determinantes - caso geral Def. Seja M = (a ij ) n n, n 2, o menor complementar do elemento a ij (notação D ij ) é o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M. Def. Seja M = (a ij ) n n, n 2, o cofator de a ij (notação A ij ) é o número ( 1) i+j.d ij. Para n 2, det M = soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Exemplo: A = B =

4 Propriedades dos determinantes P1) Matriz transposta: det M t = det M P2) Fila nula: se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então det M = 0 P3) Multiplicação de uma fila por uma constante: se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz M será o produto k pelo determinante de M, isto é, det M = k. det M. P4) Troca de filas paralelas: seja M uma matriz de ordem n 2, se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) obteremos uma nova matriz M tal que det M = det M.

5 Propriedades dos determinantes P5) Filas paralelas iguais: se uma matriz M de ordem n 2 tiver duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M = 0. P6) Filas paralelas proporcionais: se uma matriz M de ordem n 2 tiver duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0. P7) Combinação linear de filas paralelas: se uma matriz quadrada M = (a ij ) n n tiver uma linha (ou coluna) que é combinação linear de outras linhas (ou colunas) então detm = 0. P8) Adicionando-se a uma fila de uma matriz M de ordem n, uma outra fila paralela previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M tal que det M = det M

6 Propriedades dos determinantes P9) Adição de determinantes: seja M uma matriz de ordem n, onde os elementos da j-ésima coluna são tais que a ij = b ij + c ij, então teremos det M = det M + det M, onde M é a matriz que se obtém de M substituindo os elementos a ij da j-ésima coluna pelos elementos b ij e M é a matriz que se obtém de M substituindo os elementos a ij da j-ésima coluna pelos elementos c ij. P10) Multiplicação de determinantes: se A e B são matrizes quadradas de ordem n então det(a.b) = det A. det B. Decorre dessa propriedade que: det(a 1 ) = 1 det A

7 Exercícios 1) Calcular o determinante utilizando as propriedades: ax 2a a 2 x 2 xy 2 x a) x 4 1 b) xy y 3 y 3x 6 2 x 2 y 2 x 2) Sem desenvolver provar que: bc a a 2 ac b b 2 ab c c 2 = 3) Demonstrar sem desenvolver o determinante que: a b m n x y b c n p y z c a p m z x = 0 1 a 2 a 3 1 b 2 b 3 1 c 2 c 3 4) Provar que o determinante D é múltiplo de 17, sem desenvolvê-lo, sendo D =

8 Equações Lineares Chamamos de equação linear nas incógnitas x 1, x 2,..., x n, toda equação do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 Os números a 11, a 12, a 13,..., a 1n, todos reais, são chamados coeficientes e b 1, também real, é o termo indetependente da equação. Exemplos: a) 3x 1 + 4x 2 5x 3 x 4 = 5 é linear b) 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 4 é linear c) 2x x 2 + x 3 = 0 não é linear d) 2x 1 x 2 + x 3 + x 4 = 3 não é linear e) x 1 + x 2 x 3 = 4 não é linear Solução: sequência (ou n-upla) ordenada de número reais (α 1, α 2, α 3,..., α n ) se a 11 α 1 + a 12 α 2 + a 13 α a 1n α n = b 1 for uma sentença verdadeira.

9 Sistema Linear Sistema linear é um conjunto de m (m 1) equações lineares, nas n incógnitas x 1, x 2,..., x n. a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 S : a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b 3. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m ou, na forma matricial: a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n S : a 31 a 32 a a 3n. a m1 a m2 a m3... a mn ou ainda, Ax = b. x 1 x 2 x 3. x n = b 1 b 2 b 3. b n

10 Solução de um sistema linear sequência (ou n-upla) ordenada de número reais (α 1, α 2, α 3,..., α n ) se for solução de todas as equações de S, isto é, se ao substituirmos x 1 = α 1, x 2 = α 2, x 3 = α 3,..., x n = α n ) em S, todas as sentenças se tormam verdadeiras. Exemplos: x + y + z = 6 a) S : 2x + y z = 1 S = (1, 2, 3) é solução 3x y + z = 4 b) S : x + 2y + 3z = 5 x y + 4z = 1 0x + 0y + 0z = 6 S =, pois a última equação não é satisfeirta para nenhum tripla (α 1, α 2, α 3 )

11 Classificação dos sistemas lineares Seja det A 0, então o sistema Ax = b será possível e determinado, isto é, admite solução única. Seja det A = 0, então o sistema Ax = b será possível e indeterminado, isto é, adimite infinitas soluções, ou impossível, isto é, não admite solução.

12 Regra de Cramer Seja D = det A 0, então a solução única do sistema será dada por: α i = D i D, i = 1, 2,..., n onde D i é o determinante da matriz A obtido substituindo a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes da equação. Exemplo: x + y + z = 6 x y z = 4 2x y + z = 1

13 Sistemas escalonados Exemplos 1) sistema n n x + 2y z + 3t = 6 y + 3z t = 5 5z + 7t = 21 2t = 6 2) sistema m n, m < n (sistemas com número de equações menor que o número de incognitas) { x y + z = 4 y z = 2

14 Escalonamento Dois sistemas lineares S 1 e S 2 são equivalentes quando o conjunto de soluções de S 1 e S 2 forem iguais. Operações que transformam um sistema linear qualquer num outro equivalente, mas na forma escalonada: 1) multiplicar uma equação do sistema por uma constante k 0; 2) substituição de uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra equação do sistema multiplicada por uma constante; 3) permutação de equações. Observações: se no processo de escalonamento ocorrer uma equação do tipo 0x 1 + 0x x n = 0, esta deverá ser suprimida do sistema, e se ocorrer uma equação do tipo 0x 1 + 0x x n = b, b 0, o sistema é impossível.

15 Exemplos x + 2y + z = 9 a) 2x + y z = 3 3x y 2z = 4 x + y 3z + t = 1 b) 3x + 3y + z + 2t = 0 2x + y + z 2t = 4 x y + z = 4 c) 3x + 2y + z = 0 5x + 5y + z = 4 x + 4y = 8 d) 3x y = 15 10x 12y = 7

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