Emerson Marcos Furtado

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1 Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde Professor do Curso Positivo de Curitiba desde Professor da Universidade Positivo de 2000 a Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde Sócio-diretor da Empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições desde Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

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3 Matrizes, determinantes e sistemas lineares Matrizes Durante muitos anos acreditou-se que o maior problema enfrentado pela população brasileira e relacionado à alimentação era a falta de alimentos. As últimas pesquisas indicam, entretanto, que a obesidade tem sido uma preocupação maior para os profissionais de saúde pública. Shutterstock. Para iniciar o estudo das matrizes, observe uma tabela contendo informações sobre a composição nutritiva de alguns alimentos disponíveis em uma lanchonete: Valor energético (kcal) Carboidratos (g) Proteínas (g) Gorduras Batata frita ,4 Refrigerante Sorvete de chocolate ,8 3,8 As informações numéricas podem ser organizadas em uma tabela em que os valores ficam dispostos em linhas (horizontais) e colunas (verticais). Uma tabela como essa é chamada de matriz. 77

4 A matriz apresentada é formada por três linhas e quatro colunas. Por esse motivo, dizemos que a matriz é do tipo 3 x 4, ou de ordem 3 x , ,8 3,8 Utilizando parênteses , ,8 3,8 Utilizando colchetes. De acordo com as matrizes, podemos conhecer, por exemplo, a quantidade de quilocalorias presente em um refrigerante, por exemplo. Para tanto, basta observar o elemento (número) que se encontra na 2.ª linha e na 1.ª coluna da matriz: 120 quilocalorias. Por ter três linhas e quatro colunas, a matriz é formada por 3. 4 = 12 elementos. Representação de matrizes Na representação de matrizes utilizamos dois índices. A convenção é de que o primeiro deve indicar a quantidade de linhas e o segundo o número de colunas. As matrizes quadradas são aquelas em que o número de linhas é igual ao de colunas. Exemplos: A matriz A = [ ] é de ordem 1 por 4 e não é uma matriz quadrada Porém, a matriz B = é de ordem 3 por 3, portanto é uma matriz quadrada. Os elementos 9, 7 e 5 constituem a chamada diagonal principal, enquanto os elementos 0, 7 e 3 constituem a diagonal secundária. Uma matriz quadrada de ordem 4 por 4, por exemplo, pode também ser simplesmente dita matriz de ordem 4, não sendo necessário se destacar o segundo dos números 4. Isso vale somente no caso de matrizes quadradas, ou seja, matrizes em que o número de linhas é igual ao de colunas. 78

5 Uma matriz A de ordem m por n pode ser representada, genericamente, da seguinte maneira: A m x n = (a ij ), em que 1 < i < m e 1 < j < n Os índices i e j identificam a linha e a coluna de um elemento da matriz A, respectivamente. A matriz pode ser representada por: a 11 a 12 a 1n A m x n = a 21 a 22 a 2n Assim, para a matriz quadrada A = exemplo, que: a m1 a m2 a mn a 11 = 3 é o elemento da 1.ª linha e da 1.ª coluna da matriz A; a 21 = 0 é o elemento da 2.ª linha e da 1.ª coluna da matriz A; a 32 = 4 é o elemento da 3.ª linha e da 2.ª coluna da matriz A. pode-se dizer, por É comum uma matriz ser apresentada em função de uma lei de formação que determina cada um dos seus termos. Como exemplo, vamos representar explicitamente a matriz A = (a ij ) 2x2, tal que a ij = i j. Sabendo que 1 < i < 2; 1 < j < 2 e i, j IN, podemos encontrar os elementos por meio da lei de formação a ij = i j: i = 1 e j = 1 a 11 = 1 1 = 0 i = 1 e j = 2 a 12 = 1 2 = 1 i = 2 e j = 1 a 21 = 2 1 = 1 i = 2 e j = 2 a 22 = 2 2 = 0 79

6 Logo, a matriz A é dada por: A 2x2 = Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B são iguais quando têm a mesma ordem e, além disso, possuem todos os elementos correspondentes iguais. Elementos correspondentes são aqueles que ocupam as mesmas posições nas duas matrizes. Por exemplo, se são iguais as matrizes A e B dadas por: A = Qual seria o valor de x + y? e B = x y 4 Se os elementos correspondentes devem ser iguais, então x = 8 e y = 1. Logo, x + y = = 9 Operações com matrizes Adição e subtração de matrizes A adição e a subtração de matrizes podem ser efetuadas somente quando as matrizes têm a mesma ordem. Se as matrizes tiverem a mesma ordem, devem operar os elementos correspondentes. Exemplo: Obtenha a matriz resultante da soma das matrizes A e B, sendo A = e B = 3 4 A + B = = ( 5) A + B =

7 Na subtração, A B, efetuamos a adição da matriz A com a oposta de B: A matriz oposta da matriz B, representada por B, tem a mesma ordem de B, mas os elementos correspondentes são opostos, observe: B = 3 5 B = Exemplo: Efetue a subtração A B, sendo A = e B = 3 5 A B = A + ( B) = A B = A + ( B) = A B = A + ( B) = 1 + ( 3) Multiplicação por um número real Para multiplicar uma matriz por um número real, basta multiplicarmos o número real pelos elementos da matriz, mantendo-se a ordem da matriz. Exemplo: Se A = , então 3. A = = Multiplicação de matrizes O produto entre duas matrizes A e B gera uma matriz C cujos elementos são resultantes da soma dos produtos entre os elementos das linhas da matriz A pelos correspondentes elementos das colunas da matriz B. Assim, para que seja possível calcular o produto entre as matrizes A e B, o número de colunas da matriz A deve ser, impreterivelmente, igual ao número de linhas da matriz B. 81

8 Observação: Salvo alguns casos particulares, a operação de multiplicação entre matrizes não é comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Para multiplicar duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda matriz. Exemplo: Efetue o produto de uma matriz A por outra B, nessa ordem, sendo: A = e B = Assim, temos: C = A. B = C = C = ( 1) 3. ( 5) ( 1) 1. ( 5) Esse resultado pode ser aproveitado para estudarmos alguns tipos especiais de matrizes. Matriz identidade Matriz identidade é uma matriz quadrada cujos elementos são todos nulos, com exceção dos elementos da diagonal principal, que são unitários. Na operação anterior, obteve-se: A. B =

9 Assim, temos A. B = I 2, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Uma matriz identidade de ordem 3, por exemplo, é dada por: I 3 = É importante destacar que, na multiplicação matricial, o produto de uma matriz A por uma matriz identidade resulta na própria matriz A. Isso, evidentemente, se o produto matricial for possível. A. I = I. A = A Matriz inversa A matriz inversa de uma matriz quadrada A, representada por A -1, é a matriz tal que: A. A -1 = A -1. A = I Assim, o produto de duas matrizes quadradas, respectivamente inversas, resulta sempre na matriz identidade. Em um exemplo anterior, observamos que se: então: A = e B = A. B = 1 0 Logo, B = A -1, ou seja, B é a matriz inversa da matriz A. Matriz nula Quando adicionamos duas matrizes opostas, o resultado é uma matriz nula, ou seja, uma matriz formada somente por elementos nulos. 83

10 Por exemplo, se B = 1 2, então: B + ( B) = B + ( B) = = 0 Uma matriz nula pode ter qualquer ordem, mas deve ter todos os elementos nulos. Matriz transposta Qualquer matriz admite uma matriz transposta correspondente, obtida trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas. Por exemplo, se uma matriz A é dada por A 2x3 = matriz transposta de A, representada por A t, é dada por: , então a Determinantes 8 0 A t = 3x Conceito: Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. Assim, somente matrizes quadradas possuem um determinante correspondente. Para calcularmos o valor do determinante de uma matriz, utilizamos regras que variam de acordo com a ordem da matriz quadrada correspondente. 84

11 Determinante de matrizes de primeira ordem Matrizes, determinantes e sistemas lineares O determinante de uma matriz de primeira ordem é igual ao próprio elemento da matriz: Assim, se A = [ 7 ], então o determinante de A é igual a 7: det (A) = 7 = 7 Determinante de matrizes de segunda ordem Para matrizes de ordem 2, o correspondente determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo: Se A = , então: det (A) = = = 30 8 = 22 É importante destacar que uma matriz e o correspondente determinante podem ter notações parecidas, mas são essencialmente diferentes. Assim: 6 4 ou são matrizes (tabelas de números). 6 4 é o determinante da matriz 2 5 matriz) (número associado à Determinante de matrizes de terceira ordem Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3, pode-se utilizar a regra de Sarrus. 85

12 Exemplo: Calcular o determinante da matriz A: A = Vamos reescrever ao lado da 3.ª coluna, a 1.ª e 2.ª colunas da matriz correspondente: Agora, efetuar os produtos em diagonal, mantendo o sinal dos resultados à direita e trocando o sinal dos resultados à esquerda: Em seguida, vamos efetuar a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada, ou seja: det (A) = = 67 Determinante de matrizes de ordem superior (n > 3) Para determinantes de ordem superior a 3, pode-se utilizar o Teorema de Laplace. Antes de apresentar o teorema de Laplace, vamos compreender o conceito de cofator. 86

13 Em uma matriz quadrada, cada elemento possui um cofator correspondente. O cofator de um elemento a ij é igual ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j de a ij e multiplicando o resultado por (-1) i + j. Por exemplo, para a matriz A = , o cofator do elemento a 11 = 2 é dado por: A 11 = ( 1) A 11 = ( 1) 2. ( ) A 11 = (+1). ( 3) A 11 = 3 Logo, o cofator do elemento a 11 é igual a 3. Os cofatores dos elementos da terceira coluna seriam dados por: 1 5 A 13 = ( 1) 1+3. = ( 1) 4. ( ) = +1. (2 30) = +1. ( 28) = A 23 = ( 1) = ( 1) 5. ( ) = 1. (4 6) = -1. ( 2) = +2 A 33 = ( 1) = ( 1) 6. ( ) = +1. (10 1) = +1. (+9) = +9 A partir da definição de cofator, podemos enunciar o Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada de ordem n, sendo n > 2, é igual ao número obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. O enunciado diz que podemos calcular o determinante de uma matriz utilizando qualquer linha ou coluna da matriz. 87

14 A = Aplicando-se o teorema de Laplace à terceira coluna da matriz , temos: det (A) = a 13. A 13 + a 23. A 23 + a 33. A 33 det (A) = 3. ( 28) det (A) = 67 Observe que o resultado é o mesmo obtido com a regra de Sarrus. É claro que só vale a pena utilizar o teorema de Laplace se a matriz quadrada tiver ordem maior do que 3. Outra coisa importante a destacar é que o resultado sempre será o mesmo caso se use outra fila da matriz para utilizar Laplace. Sistemas lineares Quando são reunidas duas ou mais equações lineares interligadas por uma chave, formamos um sistema linear. Em geral, um sistema linear do tipo m x n é um conjunto formado por m equações lineares em n incógnitas, que pode ser representado da seguinte maneira: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 2 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m A solução de um sistema linear é formada pelos valores que verificam cada uma das equações do sistema. Exemplos de sistemas lineares: x + y 3z = 1 2x 3y + 4z = 5 é um sistema linear 2 x 3, pois tem 2 equações e 3 incógnitas. 88

15 a + 2b = 8 2a + 5b = 6 3a b = 1 4a + 3b = 2 é um sistema linear 4 x 2, pois tem 4 equações e 2 incógnitas. Classificação de um sistema linear Muitos problemas reais podem ser representados por meio de sistemas lineares. Em função disso, é importante reconhecer o tipo de sistema linear para que a resposta do sistema encontrada seja coerente com o problema real a ser resolvido. Um sistema linear nem sempre admite solução. Além disso, quando admite, essa solução pode não ser única. Para esclarecer, vamos analisar alguns sistemas lineares 2x2 e classificá-los de acordo com a interpretação geométrica das equações que os formam. Exemplo: x + y = 5 em que x e y podem assumir quais- x y = 3 Considere o sistema linear quer valores reais. As equações do 1.º grau com duas variáveis podem ser representadas graficamente por retas. Assim, atribuindo dois valores a x, encontramos os correspondentes valores de y e, com as coordenadas obtidas, localizamos os pontos de cada reta no plano cartesiano. y x + y = 5 x = 0 y = 5 (0; 5) x = 2 y = 3 (2; 3) 5 x y = 3 3 x y = 3 x = 1 y = 2 (1 ; 2) x = 3 y = 0 (3; 0) (4,1) x + y = 5 x As retas são concorrentes. Isso indica que existe um único par que é solução do sistema. Nesse caso, a solução é (4; 1). Portanto, o sistema é classificado em Sistema Possível e Determinado (SPD). 89

16 Entretanto, nem todos os sistemas 2x2 podem ser representados por retas concorrentes. Exemplo: Observe a interpretação geométrica do sistema linear x e y assumem valores reais quaisquer. x + y = 5, em que x + y = y x + y = 5 x = 0 y = 5 (0; 5) x = 2 y = 3 (2; 3) x + y = 2 x = 0 y = 2 (0; 2) x = 2 y = 0 (2; 0) 2 x + y = 2 x + y = 5 x As retas são paralelas distintas. Logo, não existe qualquer par que seja solução do sistema. O sistema é classificado em Sistema Impossível (SI). Há, ainda, uma última classificação para um sistema linear. Exemplo: Considere o sistema quaisquer. x + y = 5, em que x e y assumem valores reais 2x + 2y = 10 x + y = 5 y x = 0 y = 5 (0; 5) x = 2 y = 3 (2; 3) 5 2x + 2y = x + y = 5 ou 2x + 2y = 10 x x = 3 y = 2 (3; 2) x = 4 y = 1 (4; 1) As retas são coincidentes. Assim, existem infinitos pares comuns que são soluções do sistema. Logo, o sistema é classificado em Sistema Possível e Indeterminado (SPI). 90

17 Observação: A classificação estabelecida para sistemas lineares 2 x 2 é a mesma para sistemas 3 x 3, 4 x 4, ou m x n, em que m e n são naturais e m > 2, n > 2. Assim, por mais que não seja possível interpretar geometricamente cada equação do sistema, devido ao grande número de variáveis, a análise é similar. Observe a seguir como podem ser classificados os sistemas lineares: Sistema Possível (tem solução) Impossível (não tem solução) SI: Sistema Impossível Determinado (a solução é única) SPD: Sistema Possível e Determinado Indeterminado (tem infinitas soluções) SPI: Sistema Possível e Indeterminado Métodos de resolução Existem muitos métodos de resolução de um sistema linear. Para sistemas 2 x 2, estudaremos o método da adição e o método da substituição. Para sistemas 3 x 3, 4 x 4 etc., estudaremos o método do escalonamento. Método da adição O método da adição é utilizado quando uma mesma incógnita apresenta coeficientes opostos em duas equações. Adicionando estas duas equações, a equação resultante apresenta coeficiente nulo para a incógnita que apresentava coeficientes opostos. Exemplo: x + y = 3 x y = 1 Adicionando ambas as equações, temos: 2x = 4 x = 2 91

18 Substituindo x por 2 na primeira equação, por exemplo, temos: 2 + y = 3 y = 3 2 y = 1 Logo, o conjunto solução é dado por S = {(2; 1)}. Método da substituição O método da substituição é utilizado quando isolamos uma das incógnitas em uma das equações e a substituímos na outra equação. Com isso, a segunda equação passa a ter apenas uma incógnita e pode ser resolvida com facilidade. Exemplo: 2x + y = 6 2x + 3y = 2 Isolando a variável y, por exemplo, na primeira equação, temos: 2x + y = 6 y = 6 2x Substituindo na segunda equação, temos: 2x + 3y = 2 2x + 3. (6 2x) = 2 2x x = 2 4x = x = 16 x = 16 4 x = 4 Substituindo x por 4 em y = 6 2x, temos: y = 6 2x y = y = 6 8 y = 2 O conjunto solução é dado por S = {(4; -2)}. 92

19 Método do escalonamento Observe dois sistemas lineares distintos, mas que apresentam o mesmo conjunto solução: x + y + z = 6 x + y + z = 6 x + 2y + 3z = 10 y + 2z = 4 x + 2y + 6z = 13 3z = 3 Qual deles é mais fácil de ser resolvido, o primeiro ou o segundo? Não é difícil perceber que o segundo sistema tem solução mais simples, pois está escalonado. Em um sistema escalonado, o número de coeficientes nulos das incógnitas aumenta de equação para equação. O sistema escalonado tem a forma de uma escada, observe: x + y + z = 6 y + 2z = 4 3z = 3 A solução de um sistema escalonado pode ser obtida da seguinte maneira: x + y + z = 6 y + 2z = 4 3z = 3 Na última equação, pode-se isolar z encontrando z = 1. Substituindo o valor encontrado de z na 2.ª equação, obteremos o valor de y: y + 2z = 4 y = 4 y = 4 2 y = 2 Substituindo y = 2 e z = 1 na 1.ª equação, teremos: x + y + z = 6 x = 6 x + 3 = 6 93

20 x = 6 3 x = 3 O conjunto solução é dado por S = {(3; 2; 1)}. A questão que se coloca é, se o segundo sistema tem solução mais fácil do que o primeiro, como podemos transformar o primeiro sistema em um sistema escalonado? Para transformarmos um sistema qualquer em um sistema escalonado, são permitidas as seguintes operações: trocar de lugar duas equações do sistema; multiplicar ou dividir os dois membros de uma equação por número diferente de zero; adicionar a uma equação uma outra, multiplicada por um número qualquer. Observe como poderíamos fazer com o primeiro sistema: x + y + z = 6 x + 2y + 3z = 10 x + 2y + 6z = 13 Vamos multiplicar a primeira equação por ( 1) e adicionar os resultados aos termos da segunda e da terceira equações: x + y + z = 6 y + 2z = 4 y + 5z = 7 Os termos em x da segunda e da terceira equações tornaram-se nulos. Vamos agora multiplicar a segunda equação por ( 1) e adicionar aos termos da terceira equação: x + y + z = 6 y + 2z = 4 3z = 3 94

21 A partir daí, basta resolver a terceira equação e encontrar o valor de z. Substituindo o valor de z na 2.ª equação, encontra-se o valor de y. Substituindo-se o valor de y e z na 1.ª equação, encontra-se o valor de x e resolve-se o sistema. A solução é a mesma encontrada anteriormente: S = {(3; 2; 1)}. Dica de estudo O estudo de matrizes, determinantes e sistemas lineares é um dos assuntos mais técnicos que existem quando consideramos a matemática do Ensino Médio. A contextualização, em geral, não está presente em questões envolvendo esses assuntos. Dos três temas aqui estudados, sistemas lineares é o que apresenta maior margem para questões mais próximas ao cotidiano em que, muitas vezes, é necessário algum tipo de interpretação e correspondente equacionamento de relações que resolverão o problema apresentado. Para que você possa se desenvolver adequadamente nesses assuntos, é necessário o domínio dos conceitos e das propriedades, além, evidentemente, de uma boa quantidade de exercícios resolvidos. Resolução de questões 1. (Esaf) A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A.Z.B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: a) A 1 BC b) AC 1 B 1 c) A 1 C B 1 d) ABC 1 e) C 1 B 1 A 1 2. (Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que a ij = i 2 + j 2 e que b ij = (i + j) 2, então a razão entre os elementos s 31 e s 13 é igual a: 95

22 a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 1 3. (Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = x ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que a ij = i 2 e que b ij = (i j) 2, então o produto dos elementos x 31 e x 13 é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) (Esaf) O menor complementar de um elemento genérico x ij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = y ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que a ij = (i + 2) 2 e que b ij = i 2, então o menor complementar do elemento y 23 é igual a: a) 0 b) 8 c) 80 d) 8 e) (Esaf) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo B = 2 1/4 A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2 1/2, então o determinante da matriz B é igual a: 96

23 a) 2 1/2 b) 2 c) 2 1/4 d) 2 1/2 e) (Esaf) Sabendo-se que a matriz A é dada por A = n > 1, então o determinante da matriz A n A n 1 é igual a: e que n IN e a) 1 b) 1 c) 0 d) n e) n 1 7. (Esaf) O determinante da matriz X = 2 2 b 0 0 a a a b onde a e b são números inteiros positivos tais que a > 1 e b > 1, é igual a: a) 60a b) 0 c) 60a d) 20ba 2 e) a. (b 60) 97

24 8. (Esaf) Considere as matrizes: X = Y= a b c Onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a: a) 0 b) a c) a + b + c d) a + b e) a + c 9. (Esaf) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x 3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: a) x 6 b) x 6 c) x 3 d) 1 e) (Esaf) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que a ij = i 2 + j 2 e que b ij = (i + j) 2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a: a) 17 b) 29 98

25 c) 34 d) 46 e) (Esaf) Um sistema de equações lineares é chamado possível ou compatível quando admite pelo menos uma solução; é chamado de determinado quando a solução for única, e é chamado de indeterminado quando houver infinitas soluções. Assim, sobre o sistema formado pelas equações: ma + 3mb = 0 2a + mb = 4 em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que a) se m 0 e a = 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. b) se m = 0, o sistema é impossível. c) se m = 6, o sistema é indeterminado. d) se m 0 e a 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m 0 e m 6, o sistema é possível e determinado. Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blumenau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.) LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.) LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, v. 2. LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, v. 1. TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record,

26 Gabarito 1. Sabemos que: C = A. Z. B Se as matrizes A, B e C são não singulares, então são inversíveis. Logo, multiplicando, à esquerda, ambos os membros por A 1, temos: A 1. C = A 1. A. Z. B Observando que A 1. A = I, temos: A 1. C = I. Z. B Mas, I. Z = Z, então: A 1. C = Z. B Multiplicando, à direita, ambos os membros por B -1, temos: A 1. C. B 1 = Z. B. B 1 Se B. B 1 = I, então: A 1. C. B 1 = Z. I Como Z. I = Z, temos: A 1. C. B 1 = Z Resposta: C 2. s 31 = a 31 + b 31 s 31 = ( ) + (3 + 1) 2 s 31 = (9 + 1) s 31 = s 31 = 26 s 13 = a 13 + b

27 s 13 = ( ) + (1 + 3) 2 s 13 = (1 + 9) s 13 = s 13 = 26 Logo: s 31 = 26 s Resposta: E = 1 3. x 31 = a 31 + b 31 x 31 = (3 1) 2 x 31 = x 31 = 13 x 13 = a 13 + b 13 x 13 = (1 3) 2 x 13 = 1 + ( 2) 2 x 13 = 5 Logo: x 31. x 13 = = 65 Resposta: D 4. As matrizes A, B e Y, todas de terceira ordem, são dadas, respectivamente, por: A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 (1 + 2) 2 (1 + 2) 2 (1 + 2) 2 (2 + 2) 2 (2 + 2) 2 (2 + 2) 2 = (3 + 2) 2 (3 + 2) 2 (3 + 2)

28 B = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 = b 31 b 32 b = Y = A + B = = O menor complementar do elemento y 23, representado por M 23, é dado por: 10 M 23 = = = Resposta: A 5. Sabe-se que: B = 2 1/4 A Tomando o determinante a ambos os membros da igualdade anterior, temos: det(b) = det(2 1/4 A) Nesse momento, vale a pena recordar de uma propriedade importante relacionada ao cálculo de um determinante, quando se multiplica a matriz correspondente por um número real qualquer. Quando multiplicamos uma matriz quadrada A de ordem n por um número real α, todos os elementos da matriz são multiplicados por α. Por outro lado, como as n linhas foram multiplicadas por α, o determinante da matriz (αa) fica multiplicado por α para cada linha da matriz A, ou seja, fica multiplicado por α n : det(α. A n x n ) = α n. det(a n x n ) Retornando ao nosso problema, observe que na equação a matriz A está multiplicada por: α = 2 1/4 e, como a matriz A possui ordem 2, temos: det(b) = (2 1/4 ) 2. det(a) 102

29 det(b) = 2 1/2. 2 1/2 det(b) = 2 1/2 1/2 det(b) = 2 0 det(b) = 1 Resposta: E 6. A matriz A 2 é dada por A 2 = A. A = = 1 2 A matriz A 3 é dada por A 3 = A 2. A = = 1 3 A matriz A 4 é dada por A 4 = A 3. A = = 1 4 Observa-se que A n = 1 n e A n 1 = 1 n 1, logo: A n A n 1 = 1 n 1 n 1 = 0 0 Dessa forma, temos: det(a n A n 1 ) = 0 0 = 0 Resposta: C 7. Expandindo a primeira coluna por Laplace, temos: Det(X) = a 11. A 11 + a 21. A 21 + a 31. A 31 + a 41. A 41 Det(X) = 2. A A A A 41 Det(X) = 2. A 11 O cofator a 11, representado por A 11, é o determinante eliminando-se a linha e a coluna do elemento a 11 e multiplicando-se o resultado por ( 1) 1+1 A 11 = ( 1) a a -a 0 5 b

30 Como a matriz associada a esse último determinante é triangular superior, o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja: A 11 = ( 1) 2. ( a) A 11 = 30a Portanto: Det(X) = 2. A 11 Det(X) = 2. ( 30a) Det(X) = 60a Resposta: A 8. O Teorema de Binet afirma que, dadas duas matrizes, X e Y, ambas de mesma ordem, o determinante do produto dessas matrizes é igual ao produto dos respectivos determinantes: det(x. Y) = det(x). det(y) Assim, utilizando o Teorema de Binet, temos: det (x) = det(x) = = 0 Logo, não é necessário calcular o determinante de Y, pois: det(x. Y) = det(x). det(y) det(x. Y) = 0. det(y) det(x. Y) = 0 Resposta: A 9. Se são trocadas as posições de duas filas paralelas de uma matriz, o determinante correspondente troca de sinal. Logo, se a matriz B é igual à matriz A, trocando-se as posições da primeira e terceira colunas, então det(b) = det(a) = x

31 Utilizando o teorema de Binet, temos: det(a. B) = det(a). det(b) det(a. B) = x 3. ( x 3 ) det(a. B) = x 6 Resposta: B 10. Os elementos da primeira linha de S são dados por: s 11 = a 11 + b 11 = ( ) + (1 + 1) 2 = = 6 s 12 = a 12 + b 12 = ( ) + (1 + 2) 2 = = 14 s 13 = a 13 + b 13 = ( ) + (1 + 3) 2 = = 26 Assim, a soma dos elementos da primeira linha de S é dada por: = 46 Resposta: D 11. Multiplicando a segunda equação por ( 3) e adicionando os resultados aos termos da primeira equação, temos: (m 6). a = 12 Se m 6, o coeficiente de a não é igual a zero, de modo que existirá um único valor de a que tornará a igualdade verdadeira. Ou seja, se m 6, então o sistema é possível e determinado. Se m = 6 a equação se torna 0. a = 12 e, nesse caso, não existe valor de a que satisfaça a equação. Assim, se m = 6, então o sistema é impossível. Não existe valor de m para o qual o sistema seja possível e indeterminado. Portanto, basta que m seja diferente de 6 para que o sistema seja possível e determinado. Se além de diferente de 6, m também for diferente de zero, o sistema será igualmente possível e determinado. Resposta: E 105

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