Agenda do Dia Aula 14 (19/10/15) Sistemas Lineares: Introdução Classificação

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1 Agenda do Dia Aula 14 (19/10/15) Sistemas Lineares: Introdução Classificação

2 Sistemas Lineares Sistemas lineares são sistemas de equações com m equações e n incógnitas formados por equações lineares. Um sistema com m equações e n incógnitas é escrito usualmente na forma: { a11 x1+a12 x2+a13 x3+...+a1n xn=b1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x a 2n x n =b 2... a m1 x 1 +a m2 x 2 +a m3 x a mn x n =b m onde : a ij :coeficientes 1 i m,1 j n x j :incógnitas j=1,2,3,...,n b i :constantes i=1,2,3,...,m

3 Sistemas Lineares A resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de x j, j=1,2,...,n, caso eles existam, que satisfaçam as m equações simultaneamente Usando notação matricial, o sistema linear pode ser representado por AX = B, onde: a 11 a 12 a a 1n a A=( 21 a 22 a a 2n a matriz dos coeficientes... a m1 a m2 a m3... a mn)é

4 Sistemas Lineares X=( x 1 x 2... x n)é o vetor de incógnitas B=( b 1 b 2... b m)é o vetor constante(termos independentes)

5 Sistemas Lineares Matriz completa ou aumentada: adiciona os termos independentes à matriz de coeficientes a 11 a 12 a a 1n b 1 a M=( 21 a 22 a a 2n b 2... a m1 a m2 a m3... a mn b m)

6 Sistemas Lineares Classificação Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções em: Compatível: quando há solução Determinado: solução única Indeterminado: admite infinitas soluções Incompatível: o sistema linear não admite solução

7 Sistemas Lineares Classificação Quando todos os termos independentes forem nulos, isto é, b i =0,i=1, 2,..., m, o sistema é dito homogêneo. Todo sistema homogêneo é compatível, pois admitirá pelo menos a solução trivial ( x j =0, j=1, 2,...,n)

8 Sistemas Lineares Métodos Assim como quando estudado zero de funções polinomiais e transcendentes, existem métodos diretos e indiretos Métodos diretos são métodos que encontram a solução exata após um número finito de passos Métodos indiretos são métodos recursivos e infinitos que encontram uma aproximação para a solução exata

9 Sistemas Lineares Métodos Para sistemas de equações lineares: Métodos diretos: Regra de Cramer, Método da Eliminação de Gauss (ou triangulação) e Método de Jordan Métodos indiretos: Método de Gauss-Jacobi (algébrico e matricial), Método de Gauss-Seidel (algébrico e matricial)

10 Agenda do Dia Aula 15 (21/10/15) Sistemas Lineares Métodos Diretos: Regra de Cramer Método da Eliminação de Gauss (ou triangulação)

11 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Seja um sistema linear com número de equações igual ao número de incógnitas (um sistema n x n), sendo: D o determinante da matriz A, e D x1, D x2, D x3,..., D xn os determinantes das matrizes obtidas trocando em A, respectivamente, a coluna dos coeficientes de x 1, x 2, x 3,..., x n pela coluna de termos independentes

12 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer O sistema S será compatível e terá solução única se, e somente se, D 0. Neste caso, a única solução de S é dada por: x 1 = D x 1 D, x 2= D x 2 D, x 3= D x 3 D,..., x n= D x n D

13 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Exemplo: Resolva o sistema abaixo pela Regra de Cramer: { x 1+x 2+x 3=1 2x 1 x 2 +x 3 =0 x 1 +2x 2 x 3 =0

14 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer D x1 = Exemplo: Resolva o sistema abaixo pela Regra de Cramer: { x 1+x 2+x 3=1 2x 1 x 2 +x 3 =0 x 1 +2x 2 x 3 =0 D= =7 Determinantes: = 1 D x 2 = =3 D x 3 = =

15 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Exemplo: Resolva o sistema abaixo pela Regra de Cramer: { x 1+x 2+x 3=1 2x 1 x 2 +x 3 =0 x 1 +2x 2 x 3 =0 Então, x 1 = D x 1 D = 1 7 x 2 = D x 2 D = 3 7 E a solução do sistema é: x= ( 1 7, x 3 = D x 3 D = ) T 7, 7

16 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Considerações finais: A aplicação da Regra de Cramer exige o cálculo de n+1 determinantes (det A e det A i, 1 i n) Para n = 20, o número total de operações efetuadas será 21 * 20! * 19 multiplicações mais um número semelhante de adições

17 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Assim, um computador que efetue cerca de 100 milhões de multiplicações pode segundo, levaria 3 * 10⁵ anos para efetuar as operações necessárias Com isso, a Regra de Cramer é inviável em função do tempo de computação para sistemas muito grandes

18 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) O método da eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num outro sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes sendo triangular superior, pois estes são de resolução imediata. Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução O determinante de sistemas lineares equivalentes são iguais

19 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Com (n 1) passos, o sistema AX = B é transformado em um sistema triangular equivalente: UX = C, o qual se resolve facilmente por substituições

20 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Vamos calcular a solução de AX = B em três etapas: Etapa 1: Matriz completa Consiste em escrever a matriz completa ou aumentada do sistema linear original a12 a13... a1n b1 a 21 a 22 a a 2n b 2 M=(a11 a 31 a 32 a a 3n b 3... a n1 a n2 a n3... a nn b n)

21 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Vamos calcular a solução de AX = B em três etapas: Etapa 2: Triangulação Consistem em transformar a matriz M numa matriz triangular superior, mediante uma sequência de operações elementares nas linhas da matriz

22 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Vamos calcular a solução de AX = B em três etapas: Etapa 3: Retro-substituição x 1, x 2,..., x n Consiste no cálculo dos componentes, solução de AX = B, a partir da solução do último componente ( x n ), e então substituímos regressivamente nas equações anteriores

23 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Teorema: Seja AX = B um sistema linear. Aplicando sobre as equações desse sistema uma sequência de operações elementares escolhidas dentre: Trocar a ordem de duas equações do sistema Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação obteremos um novo sistema UX = C e os sistemas AX = B e UX = C são equivalentes

24 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Resolução de sistemas triangulares: Seja o sistema linear AX = B, onde A: matriz n x n, triangular superior, com elementos da diagonal diferente de zero. Escrevendo as equações deste sistema, temos: {a11 x1+a12 x2+ a13 x a1n xn=b1 a 22 x 2 +a 23 x a 2n x n =b 2 a 33 x a 3n x n =b 3... a nn x n =b n

25 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Da última equação temos: x n = b n a nn x n 1 pode então ser obtido da penúltima equação: x n 1 = b n 1 a n 1,n x n a n 1, n 1

26 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) E assim sucessivamente obtém-se x n 2, x n 3,..., x 3, x 2, e finalmente x₁: x 1 = b 1 a 12 x 2 a 13 x 3... a 1n x n a 11

27 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Classificação do sistema triangular: Seja U um sistema triangular superior escalonado de m equações e n incógnitas, teremos as seguintes possibilidades: i) m = n sistema compatível e determinado ii) m < n sistema compatível e indeterminado

28 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Classificação do sistema triangular: Se durante o escalonamento sugir equações do tipo: 0x 1 +0x 2 +0x x n =b m, então: b m i) Se = 0, então eliminaremos a equação e continuamos o escalonamento b m ii) Se 0, então conclui-se que o sistema é incompatível

29 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Exemplo: Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss: ( x1+2x2+x3=3 2x 1 +x 2 x 3 =0 3x 1 x 2 x 3 = 2) 1ª etapa: Matriz completa: ( )

30 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Exemplo: Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss: 2ª etapa: Triangulação Iremos nos referir as equações como: E₁ (primeira equação), E₂ (segunda equação), e assim por diante E 3 E 3 3 E 1 ( E 2 E 2 2 E ) E 3 E E 1 ( )

31 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Exemplo: Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss: 3ª etapa: Retro-substituição 3x 3 =3 x 3 =1 Da terceira linha: Da segunda linha, substituindo x₃: 3x 2 3(1)= 6 x 2 =1 Da primeira linha, substituindo x₂ e x₃: x 1 +2(1)+1(1)=3 x 1 =0 Solução: x :(0,1,1) T

32 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Estratégias de pivoteamento O algoritmo para o método da eliminição de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores: m ik = a ik,i=k+1,...,n e k=1,2,...,n 1 a kk a cada etapa k do processo. Sendo o coeficiente chamado de pivô a kk O que acontece se o pivô for nulo? E se o pivô for próximo de zero?

33 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Estratégias de pivoteamento Estes dois casos merecem atenção especial pois é impossível trabalhar com um pivô nulo. E trabalhar com um pivô próximo de zero pode resultar em resultados imprecisos. Isto porque em qualquer calculadora ou computador os cálculos são efetuados com precisão finita, e pivôs próximos de zero dão origem a multiplicadores bem maiores que a unidade que, por sua vez, origina uma ampliação dos erros de arredondamento

34 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Estratégias de pivoteamento Para se contornar estes problemas, deve-se adotar uma estratégia de pivoteamento, ou seja, adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal Esta estratégia consiste em:

35 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Estratégias de pivoteamento i) no início da etapa k da fase de escolonamento, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes: a ik,i=k, k+1,2,...,n ii) trocar as linhas k e i se for necessário

36 Método da Eliminação de Gauss (Triangulação) Exemplo do livro: resolvendo sem a estratégia de pivoteamento e com a estratégia de pivoteamento para uma máquina com aritmética de três dígitos: { 0,0002 x 1 +2x 2 =5 2x 1 +2x 2 =6 Sem pivoteamento, resposta Com pivoteamento, resposta (0, 2.5) T (0.5, ) T Erros podem acontecer durante os processos de cálculos

37 Agenda do Dia Aula 16 (26/10/15) Sistemas Lineares Métodos indiretos/iterativos Método de Gauss-Jacobi

38 Método de Gauss-Jacobi Seja o sistema abaixo (matriz dos coeficientes matriz A - quadrada n x n): x1+ {a11 a12 x2+a13 x a1n xn=b1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x a 2n x n =b 2 a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x a 3n x n =b 3... a n1 x 1 +a n2 x 2 +a n3 x a nn x n =b n

39 Método de Gauss-Jacobi Pode-se afirmar que o mesmo é convergente, se o sistema estiver na forma diagonalmente dominante, isto é: a 11 a 21 + a a n1 a 22 a 12 + a a n2 a 33 a 13 + a a n3... a nn a 1n + a 2n a n 1, n A diagonal (em módulo) é maior que a soma dos outros valores da coluna (em módulo) Ou...

40 Método de Gauss-Jacobi Pode-se afirmar que o mesmo é convergente, se o sistema estiver na forma diagonalmente dominante, isto é: a 11 a 12 + a a 1n a 22 a 21 + a a 2n a 33 a 31 + a a 3n... a nn a n1 + a n a n,n 1 A diagonal (em módulo) é maior que a soma dos outros valores da linha (em módulo) Condição suficiente

41 Método de Gauss-Jacobi Então, isola-se em cada uma das equações ordenadamente, uma das incógnitas x (1) 1 = 1 (b a 1 a 12 x (0) 2 a 13 x (0) 3... a 1n x (0) n ) 11 x (1) 2 = 1 (b a 2 a 21 x (0) 1 a 23 x (0) 3... a 2n x (0) n ) x (1) n = 1 (b a n a n1 x (0) 1 a n2 x (0) 2... a n,n 1 x (0) n 1 ) nn onde, x (0) 1, x (0) (0) 2,..., x n são as atribuições iniciais do método

42 Método de Gauss-Jacobi Condições de parada: ( Se para todo x j) ( j 1) ( j) n x n erro, então x n são as soluções do sistema Outras considerações: se o sistema não estiver na ordem diagonalmente dominante, deve-se tentar permutar linhas e/ou colunas do sistema e verificar novamente

43 Método de Gauss-Jacobi Exemplo: Resolver por Gauss-Jacobi, com 4 casas decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,01 o sistema abaixo: { x+8y z=16 6x y+z=7 x+ y+5z=18

44 Método de Gauss-Jacobi Exemplo: Resolver por Gauss-Jacobi, com 4 casas decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,01 o sistema abaixo: { x+8y z=16 6x y+z=7 x+ y+5z=18 a) Verificação da convergência: { 6x y+z=7 x+8y z=16 x+ y+5z=18

45 Método de Gauss-Jacobi b) Isolamento de incógnitas { 1 x= (7+ y z) 6 y= 1 8 (16 x+z) z= 1 (18 x y) 5 c) Atribuição inicial: x (0) =0 y (0) =0 z (0) =0

46 Método de Gauss-Jacobi d) Iterações: x (1) = 1 6 (7+ y(0) z (0) )= 1 6 (7+0 0)=1,1667 y (1) = 1 8 (16 x(0) +z (0) )= 1 8 (16 0+0)=2 z (1) = 1 5 (18 x(0) y (0) )= 1 5 (18 0 0)=3,6 x (1) x (0) = 1, =1,1667 y (1) y (0) = 2 0 =2 z (1) z (0) = 3,6 0 =3,6

47 Método de Gauss-Jacobi d) Iterações: x (2) = 1 6 (7+ y(1) z (1) )= 1 6 (7+2 3,6)=0,9 y (2) = 1 8 (16 x(1) +z (1) )= 1 8 (16 1,1667+3,6)=2,3042 z (2) = 1 5 (18 x(1) y (1) )= 1 5 (18 1,1667 2)=2,9667 x (2) x (1) = 0,9 1,1667 =0,2667 y (2) y (1) = 2, =0,3042 z (2) z (1) = 2,9667 3,6 =0,6333

48 Método de Gauss-Jacobi d) Iterações: x (3) = 1 6 (7+ y(2) z (2) )= 1 6 (7+2,3042 2,9667)=1,0562 y (3) = 1 8 (16 x(2) +z (2) )= 1 8 (16 0,9+2,9667)=2,2583 z (3) = 1 5 (18 x(2) y (2) )= 1 5 (18 0,9 2,3042)=2,9592 x (3) x (2) = 1,0562 0,9 =0,1562 y (3) y (2) = 2,2583 2,3042 =0,0459 z (3) z (2) = 2,9592 2,9667 =0,0075

51 Método de Gauss-Jacobi Exemplo: Resolver por Gauss-Jacobi, com 4 casas decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,01 o sistema abaixo: { x+8y z=16 6x y+z=7 x+ y+5z=18 A solução do sistema é: ( 1,0501 2,2359 ou (1,0501 2,2359 2,9425) 2,9425) T

52 Agenda do Dia Aula 17 (28/10/15) Sistemas Lineares Métodos indiretos/iterativos Método de Gauss-Seidel

53 Método de Gauss-Seidel O método de Gauss-Seidel é derivado do método de Gauss-Jacobi Este método utiliza, a cada iteração, os valores já prontos na própria iteração para tentar assegurar convergência mais rápida As mesmas características de Gauss-Jacobi são utilizadas: Matriz dos coeficientes quadrada (n x n) Forma diagonalmente dominante Isolamento de incógnitas

54 Método de Gauss-Seidel Isola-se em cada uma das equações ordenadamente, uma das incógnitas x (k) 1 = 1 (b a 1 a 12 x (k 1) 2 a 13 x (k 1) 3... a 1n x (k 1) n ) 11 x 2 (k) = 1 a 22 (b 2 a 21 x 1 (k ) a 23 x 3 (k 1)... a 2n x n (k 1) )... x (k) n = 1 (b a n a n1 x (k) 1 a n2 x (k) (k) 2... a n, n 1 x n 1 ) nn onde, x (0) 1, x (0) (0) 2,..., x n são as atribuições iniciais do método e k começa em 1

55 Método de Gauss-Seidel Generalizando, o algoritmo do método pode ser expresso por: x i (k) = 1 a ii (b i j=1 j i n a ij x j (k) i> j (k 1) i< j ) Condições de parada: ( Se para todo x j) ( j 1) ( j) n x n erro, então x n são as soluções do sistema

56 Método de Gauss-Seidel Exemplo: Resolver por Gauss-Seidel, com 4 casas decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,005 o sistema abaixo: { x+8y z=16 6x y+z=7 x+ y+5z=18

57 Método de Gauss-Seidel Exemplo: Resolver por Gauss-Seidel, com 4 casas decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,005 o sistema abaixo: { x+8y z=16 6x y+z=7 x+ y+5z=18 a) Verificação da convergência: { 6x y+z=7 x+8y z=16 x+ y+5z=18

58 Método de Gauss-Seidel b) Isolamento de incógnitas { 1 x= (7+ y z) 6 y= 1 8 (16 x+z) z= 1 (18 x y) 5 c) Atribuição inicial: x (0) =0 y (0) =0 z (0) =0

59 Método de Gauss-Seidel d) Iterações: x (1) = 1 6 (7+ y(0) z (0) )= 1 6 (7+0 0)=1,1667 y (1) = 1 8 (16 x(1) +z (0) )= 1 8 (16 1,1667+0)=1,8542 z (1) = 1 5 (18 x(1) y (1) )= 1 5 (18 1,1667 1,8542)=2,9958 x (1) x (0) = 1, =1,1667 y (1) y (0) = 1, =1,8542 z (1) z (0) = 2, =2,9958

60 Método de Gauss-Seidel d) Iterações: x (2) = 1 6 (7+ y(1) z (1) )= 1 6 (7+1,8542 2,9958)=0,9764 y (2) = 1 8 (16 x(2) +z (1) )= 1 8 (16 0,9764+2,9958)=2,2524 z (2) = 1 5 (18 x(2) y (2) )= 1 5 (18 0,9764 2,2524)=2,9542 x (2) x (1) = 0,9764 1,1667 =0,1903 y (2) y (1) = 2,2524 1,8542 =0,3982 z (2) z (1) = 2,9542 2,9958 =0,0416

63 Método de Gauss-Seidel Exemplo: Resolver por Gauss-Seidel, com 4 casas decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,005 o sistema abaixo: { x+8y z=16 6x y+z=7 x+ y+5z=18 A solução do sistema é: ( 1,0493 2,2366 ou (1,0493 2,2366 2,9428) 2,9428) T

64 Método de Gauss-Seidel Outras considerações: Forma diagonalmente dominante é condição suficiente apenas Outra condição de convergência é o Critério de Sassenfeld

65 Método de Gauss-Seidel Critério de Sassenfeld: Calcula-se a soma de todos os coeficientes da primeira linha em módulo (à excessão de a ii ) e divide-se por. Esse valor é β₁ a ii Repete-se o mesmo processo para a segunda linha, considerando o β₁ calculado anteriormente. Obtem-se β₂ Segue-se os cálculos das linhas até que todos os valores de β estejam calculados Sistema convergente se todos os β são menores que 1 (condição suficiente)

66 Método de Gauss-Seidel Exemplo de uso do Critério de Sassenfeld: {3x 1+0x 2+x 3=3 x 1 x 2 +0x 3 =1 3x 1 +x 2 +2x 3 =9 Da linha 1: Da linha 2: β 1 =(0+1)/3=1/3=0,3333 β 2 =(1 β 1 +0)/1=(1 1/3+0)/1=1/3=0,3333 Da linha 3: β 3 =(3 β 1 +1 β 2 )/2=(3 1/3+1 1/3)/2 (1+1/3)=(4/3)/2=4/3 1/2=4/6 2/ 3=0,6667 Todos os valores são menores que 1 Converge!