+ a 3. x 3. são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x 1

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1 3.2 SISTEMA LINEAR Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b em que a 1, a 2, a 3,..., a n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x 1, x 2,x 3,..., x n, são as incógnitas; e b é um número real chamado termo independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea). Exemplos: I) Equações lineares: a) 3x - 2y + 4z = 7; b) -2x + 4z = 3t - y + 4; c) -x + y - 4z = 0 (homogênea) II) Não são lineares: a) xy - 3z + t = 8; b) x 2-4y = 3t - 4 1

2 Solução de uma equação linear Uma sequência de números reais (r 1,r 2,r 3,...,r n ) solução da equação linear a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 Se trocarmos cada x i por r i na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é: a 11 r 1 + a 12 r 2 + a 13 r a 1n r n = b 1 Exemplo: O terno ordenado (1, 3, 2) é uma solução da equação linear 2x + y + 5z = 15. 2

3 EXEMPLOS 1) Dado o conjunto solução (0, 1, 2) e a equação linear -2x + y + 5z = 11, para verificar se é verdadeira essa solução devese substituir os valores 0, 1 e 2 nas suas respectivas incógnitas. 2) Calcule, para que valor de m, a quadrada ordenada (1, 2, -3, 5) é solução da equação 3x + 5y m z + t = 0. 3

4 OBSERVAÇÕES: Notações importantes sobre a equação linear: 1ª) Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for diferente de zero, essa equação não terá solução. 2ª) Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for igual a zero, essa equação irá assumir qualquer valor real no seu conjunto solução. 4

5 Sistema linear Um conjunto de equações lineares da forma: é um sistema linear de m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r 1, r 2, r 3,..., r n ) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. 5

6 Matrizes associadas a um sistema linear I) Matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema. II) Matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. 6

7 Classificação de um sistema quanto ao número de soluções SPD: sistema possível e determinado (solução única) SPI: sistema possível e indeterminado (infinitas soluções) SI: sistema impossível (não tem solução) 7

8 EXEMPLOS 8

9 Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m = n e det A 0, então o sistema é normal. OBS.: Todo sistema normal é possível e determinado e portanto tem solução única. - Exemplo: 9

10 Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por: em que i={ 1,2,3,...,n}, D = det(a) é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D xi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. 10

11 01. Resolva o sistema a seguir utilizando a regra de Cramer: EXEMPLOS 02. Resolva o sistema a seguir utilizando a regra de Cramer: 11

12 03. Seja (a, b, c) a solução do sistema linear Então, teremos: a) a = -1 b) b = 3 c) c = 2 d) abc = 0 e) a + b + c = 5 12

13 Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a) SPD b) SPI c) SI a) possível e determinado, se D = det A 0; caso em que a solução é única. 13

14 b) possível e indeterminado, se D = D x1 = D x2 = D x3 =... = D xn = 0, para n = 2, apresenta infinitas soluções. Exemplo: D=0, D x =0, D y =0 e D z =0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. 14

15 c) impossível, se D = 0 e existe D xi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução. Como D = 0 e D x 0, o sistema é impossível e não apresenta solução 15

16 Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S 1 e S 2 são equivalentes: S 1 ~ S 2. 16

17 Resolução de Sistemas Lineares por Escalonamento A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Para tanto, vamos usar as três Operações Elementares sobre linhas. 17

18 Sistemas escalonados Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. - EXEMPLOS: Sistemas escalonados 18

19 Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. 19

20 Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento: 1) Sistema I : 4x - 2y = 2 2x + 3y = 21 2) Sistema II : 2 a + 5b +.3c = a + 3b - 10c = a +..b +...c =...5 3) Sistema III :.. x +.y.-..z =..0.. x - 2y + 5z = 21 4x +.y + 4z = 31 20

21 EXEMPLOS: 01. Resolva os sistemas de equações lineares: x + 3y - 2z = 3 2x - y + z = 12 4x + 3y - 5z = 6 2x - y + z = 12-35y + 25z = z =

22 02) Resolva, por escalonamento, o sistema: 03) Resolva, por escalonamento, o sistema: 04) Resolva os seguintes sistemas lineares: 22

23 05) Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de refrigerante e uma porção de batatas fritas. O segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas. Nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma porção de batatas fritas e o preço de uma lata de refrigerante era de: a) R$2,00 b) R$1,80 c) R$1,75 d) R$1,50 e) R$1,20 23

24 06) Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz: Tipo do Recipiente I II III A B C Quais são os números de recipientes x 1, x 2 e x 3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III? 5ª LISTA DE EXERCÍCIOS 24