UFSC Matrizes. Prof. BAIANO

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1 UFSC Matrizes Prof. BAIANO

2 Matrizes Classifique como Verdadeiro ou Falso ( F ) Uma matriz é dita retangular, quando o número de linhas é igual ao número de colunas. ( F ) A matriz identidade é aquela em que todos os seus elementos são iguais a 1. ( V ) Quando o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem, é igual a matriz unidade, dizemos que uma é o inverso da outra. ( V ) Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxp, então A + B existe quando n = p.

3 Matrizes Classifique como Verdadeiro ou Falso ( V ) Se A = (aij)mxn e B = (bij)nxp, então A. B é de ordem m x p. ( F ) Se A. B = 0 n, então ou A = 0 ou B = 0. ( F ) O determinante da matriz A = (aij)mxn sempre existe. ( V ) Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxp, então A t. B existe. ( V ) Sejam A, B, I matrizes de ordem n; Se A. B = B. A = In, então B é a inversa de A. ( F ) A. B = B. A, sendo A e B matrizes de ordem n.

4 Matrizes Classifique como Verdadeiro ou Falso ( F ) Sejam A, B, C matrizes de ordem n; Se A. B = A. C então B = C. ( F ) Se A² = On então A = On. ( V ) Se A. B e B. C existe então (AB)C = A(BC). ( F ) (A B)² = A² 2AB + B², sendo A e B matrizes de ordem n. ( F ) (A.B) t = A t. B t, sendo A e B matrizes de ordem n. ( V ) (A.B) -1 = B -1. A -1, sendo A e B matrizes de ordem n. ( F ) Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.

5 Matrizes Classifique como Verdadeiro ou Falso ( V ) Se A, B e C são matrizes dos tipos 4 x 3, 3 x 4 e 4 x 2 respectivamente, então a transposta do produto A. B. C é uma matriz do tipo 2 x 4. ( V ) (A + B)² = A² + B² + AB + BA, sendo A e B matrizes de ordem n. ( F ) Se M5x7 e P7x5, então se R = M. P, R² possui 625 elementos. ( V ) det A = 1/det A -1

6 Matrizes Classifique como Verdadeiro ou Falso ( V ) A = (- A ) t logo a matriz A é anti-simétrica. ( V ) Se o determinante da matriz for igual a zero ela é uma matriz singular. ( V ) Traço da matriz corresponde a soma dos elementos da diagonal principal, o traço de uma matriz é igual ao traço da sua transposta. ( F ) Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas. ( F ) Uma matriz quadrada de ordem 12, possui 12 elementos.

7 DETERMINANTES

8 Determinantes 1ª ordem 2ª ordem (Cauchy) 3ª ordem (Sarrus) Exemplos: 7 = - 3 = = 0 Exemplo 1: 5 1 = 3 2 Exemplo 2: 10-3 = 7 Exemplo 1: Calcule o det abaixo usando a Regra de Sarrus = = = - 21

9 Determinantes Teorema de Gauss Exemplo 1: Calcule o determinante abaixo usando teorema de Gauss C = = = = - 42

10 Determinantes Teorema de Gauss Exemplo 3: Calcule o determinante abaixo em função de a e z. a a a a z a a a z z a a z z z a L 1 a z a a a z z a a z z z a = a - z a - z 0 a - z 0 0 a - z a - z a - z = (a - z)³ (a - z)³. a

11 Determinantes Propriedades VI) Propriedade da matriz triangular Exemplo 1: (UFSC 95) Sendo A uma matriz dada por: A= Calcule o det A det A= - ( ) det A = 70

12 Determinantes Cálculo de determinantes por blocos (Cayley) Exemplo 1: (SBM) Calcular o determinante da matriz A A= = ( ).( 6-4 ) = 2. 2 = 4

13 Determinantes Cálculo de determinantes por blocos (Cayley) Exemplo 2: Calcule o determinante abaixo = ( 8-6 ).( ) = = - 50

14 Determinantes Cálculo de determinantes por blocos (Cayley) Exemplo 3: (IME) Calcular o determinante abaixo. 2-1 x y z w 3 4 a b c d m n p = ( ).( 8 ).( ) = =

15 Determinantes Propriedades III) Det se altera Exemplo 2: A e B são matrizes de ordem 2. Encontre o(s) valor(es) de k, sabendo que det A = 16, det B = 4 e que A = k. B. A = k. B A = k. B A = k². B 16 = k². 4 k² = 4 k = ± 2 S = {- 2, 2}

16 Determinantes Propriedades IV) Teorema de Binet O det. do produto é igual ao produto dos det A. B = A. B. Exemplo 1: Encontre o det B, sabendo que A. B = C. 2 4 A= 1 3 A. B = C A. B = C A. B = C 2. B = 4 B = C= 7 1

17 Determinantes Propriedades V) Propriedade da inversa -1 1 A = A Exemplo 1: Encontre o det B, sabendo que det A = 2, que det C = - 7 e que B. A -1 = C. B. A -1 = C B. A -1 = C B. A -1 = C 1 B. = C A B = -7 2 B = -14

18 Determinantes Propriedades VII) Propriedade da adição de determinantes Mantêm-se as filas iguais e somam-se as filas distintas. Exemplo 1: Resolva em R a equação: y-2 3-y 0 y-2 y y y 0 = y y 0 = (y - 2). (3y). (4) = 0 (y - 2). (3y) = 0 y - 2 = 0 3y = 0 y = 2 y = 0 S = {0, 2}

19 TOP - SISTEMAS LINEARES

20 Sistemas Lineares Sistema de Equações Lineares Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( F ) A representação geométrica da equação 2x 3y + z = 7 é uma reta.

21 Sistemas Lineares Sistema de Equações Lineares Classificação do Sistema nº de equações igual ao nº de { x + 2y = 5 Normal - variáveis. 3x-y=7 nº de equações diferente do nº de Não Normal - variáveis. Grau de Indeterminação do Sistema nº de variáveis, menos o nº de equações. x +2y +2z =1 x +3y + z =3 G.I. = 1 S = {( - 3-4z, 2 + z, z )} x - 3y + z + 4w + t =5-2x - y +3z + w - t = 3 G.I. = 3 - x + y = - 1 3x-y =- 6-2x+y=0 G.I. = não há

22 Sistemas Lineares Resolução de Sistema Lineares Resolução de Gauss Exemplo 1: (UDESC) Resolva o sistema linear abaixo. x +2y +3z =1(-2)(-3) 2x + 4y +6z =2 3x +6y +9z = x - 4y - 6z = - 2 2x + 4y +6z =2 0x +0y +0z = x - 6y - 9z = - 3 3x +6y +9z = 4 0x +0y +0z =1 Desta 2ª equação, concluímos que o sistema é impossível.

23 SISTEMAS LINEARES Sistemas Não-Normal Número de equações maior do que o de variáveis. Exemplo 1: Dê o conjunto solução do sistema abaixo: x+2y=7 (-3) + 3x +5y =17 - y = - 4 y=4 x+2y=7 x +2(4)=7 x+8=7 x=-1 x+2y=7 3x +5y =17 2x + y =2 2x + y =2 2(-1)+(4) = =2 2=2 S = {(-1, 4) }

24 SISTEMAS LINEARES Sistemas Não-Normal Número de equações menor do que o de variáveis Exemplo 1: Dê o conjunto solução do sistema abaixo: x+2y+2z=7 x +3y + z =3 x +2y =7-2z (-1) + x +3y =3 - z y=-4+z x +2y + 2z =7 x +2(- 4 + z)+ 2z =7 x z + 2z =7 S = x z =7 x =15-4z {( 15-4z, z, z) }

25 Sistemas Lineares Discussão de Sistema Lineares Classificação S. P. D. Sistema Possível Determinado - Possível ou x= R Compatível Determinado (solução 0 única) Interpretação Verificação de um sistema pelos Gráfica da coeficientes. Solução Retas Concorrentes -3x + 4y = 7 5x - 2y = S. P. D.

26 Sistemas Lineares Discussão de Sistema Lineares Classificação S. P. I. - Sistema Possível Indeterminado Possível ou Compatível Indeterminado (infinitas soluções) Interpretação Gráfica Solução Restas Paralelas Coincidentes da 3x +2y = 4 6x + 4y = 8 x= =0 = 0 Verificação de um sistema pelos coeficientes. 3 6 x 2 As equações são múltiplas. = = 8 S. P. I.

27 Sistemas Lineares Discussão de Sistema Lineares Classificação S. I. - Sistema Impossível Impossível ou Incompatível Não admite solução Interpretação Gráfica Solução Retas Paralelas Distintas da 2x +3y = 5 x= 0 = 0 Verificação de um sistema pelos coeficientes x +9y = -8 = S. I.

28 Sistemas Lineares Discussão de Sistema Lineares x+y+z=1 Exemplo 1: (UFSC ) O 3x sistema + 3y + 3z = linear 3 é possível e indeterminado. 5x + 5y + 5z = 9 falso Método Gauss x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 5x + 5y + 5z = 9 de (- 5) + - 5x - 5y - 5z = - 5 5x + 5y + 5z = 9 0x +0y +0z = 4 S.I.

29 Sistemas Lineares Discussão de Sistema Lineares x+y+z=1 Exemplo 1: (UFSC ) O 3x sistema + 3y + 3z = linear 3 é possível e indeterminado. 5x + 5y + 5z = 9 falso Método dos coeficientes x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 5x + 5y + 5z = = 1 S.P.I. 3 = 1 3 = = 1 5 = S.I.

30 Sistemas Lineares Discussão de Sistema Lineares Exemplo 6: (UFSC 2005) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única x + 2y = 9 solução do sistema falso 3x + 6y = 27. Única solução S.P.D. ΔP 0 x + 2y = 9 3x + 6y = 27 x 3 p= p = 6-6 = 0 As equações são múltiplas, logo o sistema é S.P.I.

31 Sistemas Lineares Discussão de Sistema Lineares Exemplo 6: (UFSC 2005) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única x + 2y = 9 solução do sistema falso 3x + 6y = 27. Método de - 3x - 6y = - 27 Gauss + x + 2y = 9 (- 3) 3x + 6y = 27 3x + 6y = 27 0x + 0y = 0 S.P.I.

32 Sistemas Lineares Discussão de Sistema Lineares Exemplo 6: (UFSC 2005) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única x + 2y = 9 solução do sistema falso 3x + 6y = 27. Método dos coeficientes x + 2y = 9 3x + 6y = = 2 6 = = 1 S.P.I. 3 = 1 3

33 Sistemas Lineares Sistemas Homogêneos São aqueles em que os termos independentes de todas as equações são nulos. Exemplo : 2x +7y = 0 3x - y = 0 Todo sistema homogêneo é possível. Determinado (S.P.D.) - ΔP 0 Admite somente a solução trivial: S={(0, 0, 0,..., 0)} Indeterminado (S.P.I.) - ΔP = 0 Admite infinitas soluções além da trivial.

34 Sistemas Lineares Sistemas Homogêneos Discussão de Sistemas Homogêneos Exemplo 1: (UFSC 2003) O sistema 3x - 2y = 0 indeterminado. x + y = 0 é Infinitas soluções S.P.I. ΔP = 0 p= p = 3 - (- 2) = 5 p 0 S.P.D.

35 Sistemas Lineares Discussão de Sistema Lineares Exemplo 2: (IME) Faça a discussão, segundo os valores reais de m, do sistema nas incógnitas x e y. p= 2-1 m 1 p=2+m S. P. D. p 0 2+m 0 m - 2 2x - y =3 mx+y=-3 + Mostre o que acontece se m = x - y =3-2x+y=-3 0x + 0y = 0 S. P. I. S. P. D. m - 2 S. P. I. m = - 2 S. I. m R

36 Sistemas Lineares Discussão de Sistema Lineares Exemplo 3: (UFRJ) Discuta, segundo os valores reais de a e b, sistema nas incógnitas x, y e z: p= a a p = 2a a - 2a p = 2a - 4a + 2 ax+y+z=1 2x + 2ay + 2z = 2 x+y+z=b S. P. D. p 0 2 2a - 4a a - 2a +1 0 a 1 Mostre o que acontece se a = 1.

37 Sistemas Lineares Discussão de Sistema Lineares Exemplo 3: (UFRJ) Discuta, segundo os valores reais de a e b, sistema nas incógnitas x, y e z: ax+y+z=1 2x + 2ay + 2z = 2 x+y+z=b -x-y-z=-1 + S. P. D. x+y+z=b x+y+z=1 (-1) a 1 2x + 2y + 2z = 2 0x +0y +0z =b -1 x+y+z=b S. P. I. S. I. S. P. I. S. I. a= 1 a= 1 b-1= 0 b-1 0 b=1 b=1 b 1 b 1