UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR"

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR: MARCELO SILVA 1. Introdução No ensino fundamental você estudou métodos que permitem resolver o seguinte problema: A soma das idades de duas pessoas é igual a 60 anos. Sabendo-se que a idade da mais velha é igual ao triplo da idade da mais nova, calcule as idades dessas pessoas. Solução Chame de x a idade da pessoa mais velha e de y a idade da pessoa mais nova. Pelos dados do problema devemos escrever duas equações, a saber: x + y = 60 x = 3y O conjunto de equações acima é o que chamamos de sistema de equações lineares e duas variáveis x e y. Neste caso, estamos interessados em determinar os valores de x e y que satisfazem simultaneamente as duas equações do sistema dado. Isso significa resolvê-lo. Para isso, lembre-se que existem três métodos: Método da adição; Método da substituição; Método da comparação. Nesse problema, em particular, é melhor usar o método da substituição, pois o valor de x na segunda equação do sistema já está pronto para ser substituído na primeira equação. Assim, substituindo x = 3y na primeira equação x + y = 60, obteremos: 3y + y = 60 => 4y = 60 => y = 15 e x = Logo, a pessoa mais velha tem 45 anos e a mais nova tem 15 anos. Diz-se que o par ordenado (45,15) é uma solução do sistema apresentado. Note que (45,15) é um elemento do plano 2. Equação Linear Definição: É toda equação da forma a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. Onde,

2 a 1,..., a n são os coeficientes; x 1,..., x n são as variáveis; b é o termo independente. 2.2 Exemplos Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3: x + 3y = 7 x 2y 3z + w = 7 4x 2y = 1 Observações: 1) Quando b = 0, a equação linear é dita homogênea. 2) Cada termo da equação tem uma única variável cujo expoente é sempre 1. Ou seja, não há termos da forma xy, x², etc. Não há, também, variáveis como argumentos de funções trigonométricas, por exemplo. 3) A solução de uma equação linear com n variáveis é uma seqüência de n números reais ou ênupla (s 1, s 2,..., s n ). 4) Uma solução evidente de uma equação linear homogênea é a solução trivial (0, 0,..., 0). 2.3 Conjunto-Solução É obtido atribuindo-se um valor arbitrário (parâmetro) a uma das variáveis e explicitando-se a outra em função da primeira. 3. Sistema Linear 3.1 Definição: É um conjunto de m equações lineares com n variáveis, ou seja, é um conjunto finito de equações lineares. Apresenta-se do seguinte modo: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m 3.2 Exemplos Exemplo 1: Exemplo 2 : x + y + 2z = 9 2x + y = 5 2x + 4y 3z = 1 6x + 3y = 15 3x + 6y 5z = 0

3 Observação: se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, o sistema linear será dito homogêneo. 3.3 Classificação de um sistema linear de acordo com o número de soluções Um sistema que não possui solução é chamado incompatível; se existir pelo menos uma solução do sistema, dizemos que ele é compatível. Quando o sistema possui uma única solução ele é dito compatível determinado; se existir mais de uma solução (infinitas, na verdade) ele é dito compatível indeterminado. 3.4 Matriz Aumentada de um sistema linear É a matriz formada pelos coeficientes e pelos termos independentes das equações lineares do sistema. O método básico de resolver um sistema linear é substituir o sistema dado por um novo sistema que tem o mesmo conjunto-solução (sistema equivalente), mas que é mais simples de resolver. Esse novo sistema é obtido numa sucessão de passos aplicando as chamadas operações elementares visando eliminar sistematicamente as variáveis. 3.5 Operações Elementares São operações aplicadas para transformar o sistema linear dado em um sistema linear mais simples de resolver que é equivalente ao primeiro. Elas podem ser aplicadas nas equações do sistema ou, da mesma forma, nas linhas da matriz aumentada do sistema. São elas: 1) Multiplicar uma linha inteira por uma constante não-nula. 2) Trocar duas linhas entre si. 3) Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha Exemplo x - y + z = 1 2x - y + z = 4 x - 2y + 2z = 0

4 * multiplicamos por -2 a primeira equação e somamos o resultado com a segunda equação; ** multiplicamos por -1 a primeira equação e somamos o resultado com a terceira equação; x - y + z = 1 y - z = 2 - y + z = -1 *** somamos a segunda equação com a terceira. x - y + z = 1 y - z = 2 0 = 1 Como este último sistema é incompatível, o mesmo acontece com o sistema dado inicialmente. 3.6 Sistema Escalonado É o sistema equivalente obtido após um número finito de operações elementares realizadas nas equações do sistema inicial ou nas linhas da matriz aumentada do sistema inicial Exemplos Exemplo 1: Vide exemplo 3 Exemplo 2: 2x - y z 3t = 0 z - t = 1 2t = 2 A importância dos sistemas escalonados reside na proposição abaixo. 3.7 Proposição: Todo sistema linear é equivalente a um sistema escalonado. Isso nos diz que basta que saibamos lidar com os sistemas escalonados e saibamos reduzir um sistema qualquer a um escalonado. Com as operações elementares podemos realizar dois tipos de eliminação de variáveis de um sistema: a eliminação gaussiana e a eliminação de Gauss-Jordan.

5 3.8 Eliminação de Gauss-Jordan Consiste em reduzir a matriz aumentada do sistema à forma escalonada reduzida por linhas. Para ser desta forma, uma matriz deve satisfazer as seguintes propriedades: 1) Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não-nulo da linha é um 1. Chamamos este número 1 de pivô. 2) Se existir linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz. 3) Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o pivô da linha inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior. 4) Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas demais entradas. 3.9 Eliminação Gaussiana Consiste em reduzir a matriz aumentada do sistema à forma escalonada. Para ser desta forma, uma matriz deve satisfazer as seguintes propriedades: 1) Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não-nulo da linha é um 1. Chamamos este número 1 de pivô. 2) Se existir linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz. 3) Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o pivô da linha inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior. 4) Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas entradas abaixo desse pivô Exemplos Resolva o 1º pelo método de Gauss e o 2º pelo método de Gauss-Jordan. Exemplo 1: x + y + 2z = 8 -x 2y + 3z = 1 3x 7y + 4z = 10 Exemplo 2: -2y + 3z = 1 3x + 6y - 3z = -2 6x + 6y + 3z = 5

6 3.11 Discussão e Resolução de um Sistema Linear Discutir um sistema linear significa efetuar um estudo visando a classificá-lo de acordo com o seu conjunto-solução. Resolver significa determinar o conjuntosolução. Suponha que após escalonar um sistema e retirar as equações do tipo 0 = 0(linhas nulas da matriz do sistema), restem p equações com n variáveis. 1) Se a última das equações restantes é 0x x n = b i (b i 0) então o sistema é incompatível; Caso contrário sobra duas alternativas: 2) Se p = n o sistema é compatível determinado; 3) Se p < n, então o sistema compatível indeterminado. NOTA: As observações acima se aplicam quando o sistema é resolvido por escalonamento e fazem a análise das equações do sistema obtido após o escalonamento (sistema escalonado). Entretanto, se o método de resolução aplicado for a Regra de Crammer, as observações são equivalentes às descritas acima só que se baseiam na análise do determinante da matriz do sistema, conforme descrito abaixo. Regra de Cramer A regra de Crammer só se aplica aos sistemas quadrados, isto é, sistemas que têm o mesmo número de equações e variáveis. Tais sistemas têm uma única solução dada por: Em que i {1, 2, 3,..., n}, D = deta é o determinante da matriz dos coeficientes associada ao sistema, e D xi é o determinante obtido pela substituição, na matriz dos coeficientes, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: 1) Possível e determinado se D = deta 0; caso em que a solução é única. Exemplo:

7 m=n=3 Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. 2) Possível e indeterminado, se D = D x1 = D x2 = D x3 =... = D xn = 0. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Exemplo: D=0, D x =0, D y =0 e D z =0. Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. 3) Impossível, se D=0 e D xi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução. Exemplo: Como D=0 e D x 0, o sistema é impossível e não apresenta solução Exemplos Discuta e resolva os sistemas abaixo utilizando um dos métodos estudados (Gauss, Gauss-Jordan ou Crammer).

8 Exemplo 1: -2y + 3z = 1 3x + 6y - 3z = -2 6x + 6y + 3z = 5 Exemplo 2: 2x - 3y - z = 4 x + 2y + z = 3 3x y - 2z = Exercícios 1. Três feirantes uniram-se e venderam uma dúzia de bananas por p 1 reais, uma dúzia de laranjas por p 2 reais e uma dúzia de maçãs por p 3 reais. Calcule p 1, p 2 e p 3, sabendo que a receita total = soma das receitas(= preço x quantidade vendida em dúzias, de cada produto) em reais do primeiro feirante é dada por 10 p p p 3 = 150, a do segundo é 20 p p p 3 = 240, e a do terceiro feirante é 30 p p p 3 = Resolvam os exemplos das secções 3.10 e Mostre que o sistema x + 3y + 2z = 7 não tem solução. 2x + y - z = 5 -x + 2y + 3z = 4

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b em que a 1, a 2, a

Leia mais

Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza.

Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza. Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br Agenda do Dia Aula 15 (21/10/15) Sistemas Lineares Métodos Diretos: Regra de Cramer Método da Eliminação de Gauss (ou triangulação)

Leia mais

Matriz, Sistema Linear e Determinante

Matriz, Sistema Linear e Determinante Matriz, Sistema Linear e Determinante 1.0 Sistema de Equações Lineares Equação linear de n variáveis x 1, x 2,..., x n é uma equação que pode ser expressa na forma a1x1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, onde

Leia mais

n. 5 Determinantes: Regra de Cramer e Triangulação Podemos classificar um sistema linear de três maneiras:

n. 5 Determinantes: Regra de Cramer e Triangulação Podemos classificar um sistema linear de três maneiras: n. 5 Determinantes: Regra de Cramer e Triangulação Podemos classificar um sistema linear de três maneiras: SPD Sistema possível determinado: existe apenas um conjunto solução; SPI Sistema possível indeterminado:

Leia mais

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga 8.1 DEFINIÇÕES Equação linear é uma equação na forma: a1x 1 a2x2 a3x3... anxn b x1, x2, x3,..., xn a1, a2, a3,...,

Leia mais

Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo:

Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma: A.x = b onde: A matriz de coeficientes de ordem x vetor

Leia mais

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações lineares ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a n x n = b

Leia mais

Notas em Álgebra Linear

Notas em Álgebra Linear Notas em Álgebra Linear 1 Pedro Rafael Lopes Fernandes Definições básicas Uma equação linear, nas variáveis é uma equação que pode ser escrita na forma: onde e os coeficientes são números reais ou complexos,

Leia mais

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1 setor 0 00508 Aula 39 ETERMINANTES (E ORENS, E 3) A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um único número, chamado de determinante de A e denotado, indiferentemente, por det(a) ou por A. ETERMINANTES

Leia mais

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior  1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares...2 7.1. Matrizes...2

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Métodos Computacionais Marcelo Nogueira

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Métodos Computacionais Marcelo Nogueira Universidade Federal do Rio Grande do Norte Métodos Computacionais Marcelo Nogueira Sistemas Lineares Comuns na engenharia (calculo de estruturas, redes elétricas, solução de equações diferenciais) Forma

Leia mais

Matemática I. Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares

Matemática I. Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares Matemática I Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares Objectivos Matrizes especiais e propriedades do produto de matrizes Matriz em escada de linhas Resolução de sistemas de equações lineares

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu wwwestvipvpt/paginaspessoais/lucas lucas@matestvipvpt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica

Leia mais

MATEMÁTICA II. Aula 13. 3º Bimestre. Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega

MATEMÁTICA II. Aula 13. 3º Bimestre. Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega 1 MATEMÁTICA II Aula 13 Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega 3º Bimestre 2 INTRODUÇÃO Em uma partida de basquete, dois jogadores marcaram juntos 42 pontos. Quantos pontos marcou cada um? Para responder

Leia mais

Álgebra Linear I Unidade 1. Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

Álgebra Linear I Unidade 1. Sistemas de Equações Lineares e Matrizes FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Álgebra Linear I 2016-1 Prof ª Valéria de Magalhães Iorio Unidade 1. Sistemas de Equações Lineares

Leia mais

APOSTILA 5 MATEMÁTICA 1 (ÁLGEBRA)

APOSTILA 5 MATEMÁTICA 1 (ÁLGEBRA) APOSTILA 5 MATEMÁTICA 1 (ÁLGEBRA) 36 - TÓPICO 10.1 a 10.5 10. SISTEMAS LINEARES 10.1. EQUAÇÃO LINEAR 10.2. SISTEMA LINEAR Exemplos: É um sistema formado por equações lineares. APOSTILA 5 MATEMÁTICA 1 (ÁLGEBRA)

Leia mais

Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss

Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss Pedro Vasconcelos DCC/FCUP 2015 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss 2015 1 / 23 Nesta

Leia mais

equações do 1 grau a duas variáveis 7 3.(3) = 2

equações do 1 grau a duas variáveis 7 3.(3) = 2 Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis ESTUDE A PARTE TEÓRICA E RESOLVA OS EXERCÍCIOS DO FINAL DA FOLHA NO CADERNO. Introdução Alguns problemas de matemáticaa são resolvidos a partir de soluções

Leia mais

Esquações Lineares e Matrizes

Esquações Lineares e Matrizes 18 de março de 2012 Equações Lineares e Esquema da Assunto 1 Sistema Lineares 2 3 Produto escalar e Multiplicação de 4 Transformações Matriciais 5 Soluções de Sistemas de Equações Lineares 6 Inversa de

Leia mais

Matemática II /06 - Matrizes 1. Matrizes

Matemática II /06 - Matrizes 1. Matrizes Matemática II - 00/0 - Matrizes Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma função A : f; ; :::; mg f; ; :::; ng R: (i; j) A (i; j)

Leia mais

Pré-requisitos Algebra Linear. Lorí Viali. Afiliação

Pré-requisitos Algebra Linear. Lorí Viali. Afiliação Lorí Viali Licenciatura Plena em Matemática UFRGS Bacharelado em Matemática UFRGS Especialização em Formação de Pesquisadores PUCRS Mestrado em Engenharia de Produção (PO) UFSC Doutorado Sanduíche na USF

Leia mais

ENSINO FUNDAMENTAL II. Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis

ENSINO FUNDAMENTAL II. Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis ENSINO FUNDAMENTAL II ALUNO (A): Nº PROFESSOR(A):Rosylanne Gomes/ Marcelo Vale e Marcelo Bentes DISCIPLINA: matemática SÉRIE: 7 ano TURMA: TURNO: DATA: / / 2016 Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis

Leia mais

Resolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes

Resolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes Resolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 27 de fevereiro de 2015 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR AULA 4

ÁLGEBRA LINEAR AULA 4 ÁLGEBRA LINEAR AULA 4 Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 14 1 Introdução 2 Desenvolvimento de Laplace 3 Matriz Adjunta 4 Matriz Inversa 5 Regra de Cramer 6 Posto da

Leia mais

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações lineares DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico Índice Sistema de Equações Lineares 1 Sistema de Equações Lineares 2 com pivoteamento parcial 3 Método de Jacobi Método Gauss-Seidel Sistema de Equações Lineares n equações

Leia mais

[ ] EXEMPLOS: Muitas vezes precisamos montar uma Matriz a partir de uma lei geral. Analise os exemplos a seguir:

[ ] EXEMPLOS: Muitas vezes precisamos montar uma Matriz a partir de uma lei geral. Analise os exemplos a seguir: MATRIZES CONCEITO: Um conjunto de elementos algébricos dispostos em uma tabela retangular com linhas e colunas é uma Matriz. A seguir, vemos um exemplo de Matriz de 3 linhas e 4 colunas, e que representaremos

Leia mais

Sistemas Lineares - Eliminação de Gauss

Sistemas Lineares - Eliminação de Gauss 1-28 Sistemas Lineares - Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES, Brasil 2-28

Leia mais

CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia

CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais L.F.Perondi Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia

Leia mais

Um Método para Escalonar Sistemas de Equações Lineares Usando Somente Determinante de Ordem 2

Um Método para Escalonar Sistemas de Equações Lineares Usando Somente Determinante de Ordem 2 Um Método para Escalonar Sistemas de Equações Lineares Usando Somente Determinante de Ordem 2 A Method to Assign Systems of Linear Equations Using Only Determinant of Order Two Adilandri Mércio Lobeiro

Leia mais

Sistemas de equações do 1 grau com duas incógnitas Explicação e Exercícios

Sistemas de equações do 1 grau com duas incógnitas Explicação e Exercícios Sistemas de equações do 1 grau com duas incógnitas Explicação e Exercícios Introdução Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a duas incógnitas.

Leia mais

MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE

MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE 1. Seja X = (x ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j para i = j ;1 - j para i > j e 1 se i < j. A soma dos seus elementos é igual a: a. -1 b. 1 c. 6 d. 7 e. 8 2. Se

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 2 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método

Leia mais

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a

Leia mais

Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se

Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios

Leia mais

decomposição de Cholesky.

decomposição de Cholesky. Decomposição LU e Cholesky Prof Doherty Andrade - DMA-UEM Sumário 1 Introdução 1 2 Método de Eliminação de Gauss 1 3 Decomposição LU 2 4 O método de Cholesky 5 5 O Algoritmo para a decomposição Cholesky

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Métodos de Programação Linear: Gráfica, (Mestrado) Engenharia Industrial http://dps.uminho.pt/pessoais/zan - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Representação Gráfica Considere o

Leia mais

Aula 1: Reconhecendo Matrizes

Aula 1: Reconhecendo Matrizes Aula 1: Reconhecendo Matrizes Caro aluno, nesta aula você aprenderá a reconhecer matrizes, posteriormente vamos identificar os tipos de matrizes existentes e como realizar algumas operações entre elas.

Leia mais

Dependência linear e bases

Dependência linear e bases Dependência linear e bases Sadao Massago 2014 Sumário 1 Dependência linear 1 2 ases e coordenadas 3 3 Matriz mudança de base 5 Neste texto, introduziremos o que é uma base do plano ou do espaço 1 Dependência

Leia mais

Sistemas de Equações lineares

Sistemas de Equações lineares LEIC FEUP /4 Sistemas- Sistemas de Equações lineares SEL- Dado o sistema coeficientes + + + +, resolva-o invertendo a matriz dos SEL- SEL- Considere o seguinte sistema de equações lineares: + + + a + a

Leia mais

Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Sistemas de Equações Lineares e Matrizes. Quais das seguintes equações são lineares em x, y, z: (a) 2x + 2y 5z = x + xy z = 2 (c) x + y 2 + z = 2 2. A parábola y = ax 2 + bx + c passa pelos pontos (x,

Leia mais

Matrizes - Parte II. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2

Matrizes - Parte II. Juliana Pimentel.  juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2 Matrizes - Parte II Juliana Pimentel juliana.pimentel@ufabc.edu.br http://hostel.ufabc.edu.br/ juliana.pimentel Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2 AB BA (Comutativa) Considere as matrizes [ ] [ 1 0 1 2 A =

Leia mais

Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

Sistemas de Equações Lineares e Matrizes CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Lineares e Matrizes CONTEÚDO DO CAPÍTULO 1.1 Introdução aos sistemas de equações lineares 2 1.2 Eliminação gaussiana 11 1.3 Matrizes e operações matriciais 25 1.4 Inversas;

Leia mais

ÍNDICE MATRIZES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA

ÍNDICE MATRIZES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA ÍNDICE MATRIZES Definição 1 Igualdade 2 Matrizes Especiais 2 Operações com Matrizes 3 Classificação de Matrizes Quadradas 9 Operações Elementares 11 Matriz Equivalente por Linha 11 Matriz na Forma Escalonada

Leia mais

ITA º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

ITA º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR ITA - 2006 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos e interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C

Leia mais

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº4

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº4 Nome: Ano: 3º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº4 Assunto: Sistemas Lineares 1. Introdução 1.1. Equação Linear: Equação linear é uma equação composta por diversas incógnitas todas

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios)

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios) UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros eercícios) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Eercícios

Leia mais

Equações de 2º grau. Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: IR e

Equações de 2º grau. Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: IR e Equações de 2º grau Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c IR e Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e

Leia mais

Matrizes e Determinantes

Matrizes e Determinantes Aula 10 Matrizes e Determinantes Matrizes e Determinantes se originaram no final do século XVIII, na Alemanha e no Japão, com o intuito de ajudar na solução de sistemas lineares baseados em tabelas formadas

Leia mais

Emerson Marcos Furtado

Emerson Marcos Furtado Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992.

Leia mais

a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente.

a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente. Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x 2 - x - 1 = 0 é

Leia mais

INTRODUÇÃO: Muitas vezes na Ciência e na Matemática a informação é organizada em linhas e. Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

INTRODUÇÃO: Muitas vezes na Ciência e na Matemática a informação é organizada em linhas e. Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Conteúdo do Capítulo Introdução aos Sistemas de Equações Lineares Eliminação Gaussiana 3 Matrizes e Operações Matriciais 4 Inversas; Regras da Aritmética Matricial

Leia mais

As equações que pensam

As equações que pensam As equações que pensam Aula 15 Ricardo Ferreira Paraizo e-tec Brasil Matemática Instrumental Meta Apresentar resoluções de problemas envolvendo sistemas de duas equações e duas variáveis. Objetivos Após

Leia mais

x 1 3x 2 2x 3 = 0 2 x 1 + x 2 x 3 6x 4 = 2 6 x x 2 3x 4 + x 5 = 1 ( f ) x 1 + 2x 2 3x 3 = 6 2x 1 x 2 + 4x 3 = 2 4x 1 + 3x 2 2x 3 = 4

x 1 3x 2 2x 3 = 0 2 x 1 + x 2 x 3 6x 4 = 2 6 x x 2 3x 4 + x 5 = 1 ( f ) x 1 + 2x 2 3x 3 = 6 2x 1 x 2 + 4x 3 = 2 4x 1 + 3x 2 2x 3 = 4 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-47 Álgebra Linear para Engenharia I Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS. Resolva os seguintes sistemas:

Leia mais

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Capítulo 9 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Agora, estamos interessados em estudar sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem: Definição 36. Um sistema da linear da forma x

Leia mais

Resolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes

Resolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes Resolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 5 de fevereiro de 2014 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina

Leia mais

Estatística Aplicada ao Serviço Social

Estatística Aplicada ao Serviço Social Estatística Aplicada ao Serviço Social Módulo 7: Correlação e Regressão Linear Simples Introdução Coeficientes de Correlação entre duas Variáveis Coeficiente de Correlação Linear Introdução. Regressão

Leia mais

e B =, determine a, b, c e d para que A = B. Tabela 1: vendas em Maio P M G camisas camisetas calças paletós

e B =, determine a, b, c e d para que A = B. Tabela 1: vendas em Maio P M G camisas camisetas calças paletós Lista 01: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof: Iva Zuchi Siple [ ] [ ] a + 2b 2a b 9 2 1. Dadas as matrizes A = e B =, determine a, b, c e d para que A = B. 2c + d c 2d 4 7 2. Uma fábrica

Leia mais

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp. Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Sistemas Lienares 1 Sistemas e Matrizes 2 Operações Elementares e

Leia mais

8º ANO. Lista extra de exercícios

8º ANO. Lista extra de exercícios 8º ANO Lista extra de exercícios . Determine os valores de x que tornam as equações a seguir verdadeiras. a) (x + 4)(x ) = 0 b) (x + 6)(x ) = 0 c) (x + )(6x 9) = 0 d) 4x(x ) = 0 e) 7x(x ) = 0. Determine

Leia mais

Regra para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem 2x2:

Regra para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem 2x2: O cálculo do determinante de uma matriz quadrada ou triangular é importante para ajudar a solucionar uma série problemas de álgebra, tais como: Determinar se uma matriz possui inversa (se ela é inversível)

Leia mais

(Todos os cursos da Alameda) Paulo Pinto

(Todos os cursos da Alameda) Paulo Pinto Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Resumo das Aulas Teóricas de 2 o Semestre 2004/2005 (Todos os cursos da Alameda) Paulo Pinto Álgebra Linear Conteúdo Sistemas

Leia mais

Revisão: Potenciação e propriedades. Prof. Valderi Nunes.

Revisão: Potenciação e propriedades. Prof. Valderi Nunes. Revisão: Potenciação e propriedades. Prof. Valderi Nunes. Potenciação Antes de falar sobre potenciação e suas propriedades, é necessário que primeiro saibamos o que vem a ser uma potência. Observe o exemplo

Leia mais

TEORIA 6: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA

TEORIA 6: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA TEORIA 6: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA Nome: Turma: Data / / Prof: Walnice Brandão Machado Equações de 2º grau Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação

Leia mais

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 02 EQUAÇÕES Pense no seguinte problema: Uma mulher de 25 anos é casada com um homem 5 anos mais velho que ela. Qual é a soma das idades

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da sua derivada. Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada

Leia mais

Apostila de Matemática 10 Matriz

Apostila de Matemática 10 Matriz Apostila de Matemática 10 Matriz 1.0 Definição m e n são números inteiros maiores que zero. Matriz mxn é uma tabela retangular formada por m.n números reais, dispostos é m linhas e n colunas. A tabela

Leia mais

Cada questão da parte A vale 4 pontos e cada questão da parte B vale 10 pontos (total de pontos do nível III-fase de seleção = 60 pontos).

Cada questão da parte A vale 4 pontos e cada questão da parte B vale 10 pontos (total de pontos do nível III-fase de seleção = 60 pontos). III OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA Nível III Ensino Médio DE RIEIRÃO PRETO FASE DE SELEÇÃO - 7 de setembro de 008 Cada questão da parte A vale 4 pontos e cada questão da parte vale 10 pontos (total de

Leia mais

(x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) a(x + iy) = ax + i(ay)

(x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) a(x + iy) = ax + i(ay) Espaços Vetoriais Definição. Um espaço vetorial sobre R é um conjunto V no qual se tem definida uma adição e uma multiplicação de seus elementos por escalares (isto é, por números reais), ou seja, dados

Leia mais

Semana 7 Resolução de Sistemas Lineares

Semana 7 Resolução de Sistemas Lineares 1 CÁLCULO NUMÉRICO Semana 7 Resolução de Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1 2 INTRODUÇÃO Considere o problema de determinar as componentes horizontais e verticais das forças que atuam

Leia mais

Introdução aos Métodos Numéricos. Instituto de Computação UFF

Introdução aos Métodos Numéricos. Instituto de Computação UFF Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas

Leia mais

Cálculo com expressões que envolvem radicais

Cálculo com expressões que envolvem radicais Escola Secundária de Aljustrel Material de apoio para o 11. o Ano Ano Lectivo 00/003 Cálculo com expressões que envolvem radicais José Paulo Coelho Abril de 003 ... Índice... 1 Radicais: definição e propriedades.

Leia mais

CADERNO DE ATIVIDADES

CADERNO DE ATIVIDADES 0 Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática Área de Concentração: Matemática CADERNO DE ATIVIDADES Utilização de Resolução de Problemas em Fenômenos Físicos da área Eletroeletrônica Mestranda: Vânia

Leia mais

Equações. João Marcos Ferreira

Equações. João Marcos Ferreira Equações Não existe apenas um processo para resolver uma equação mas, normalmente, segue-se um determinado número de passos que têm uma sequência pela qual são realizados. Não existe apenas um processo

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR 1 1 EQUAÇÕES LINEARES. Exemplo de equação linear. Exemplos de equações não-lineares

ÁLGEBRA LINEAR 1 1 EQUAÇÕES LINEARES. Exemplo de equação linear. Exemplos de equações não-lineares ÁLGEBRA LINEAR 1 1 EQUAÇÕES LINEARES Uma equação linear segue a seguinte forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 Considerando-se que: x 1, x 2,..., x n são as incógnitas; a 11, a 12,...,a

Leia mais

Sumário. Capítulo 1 Conhecendo os Vários Tipos de Problema... 1

Sumário. Capítulo 1 Conhecendo os Vários Tipos de Problema... 1 Sumário Capítulo 1 Conhecendo os Vários Tipos de Problema... 1 Capítulo 2 Problemas sobre Correlacionamento... 5 2.1. Problemas Envolvendo Correlação entre Elementos...5 2.2. Considerações Finais Sobre

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR: aplicações de sistemas lineares

ÁLGEBRA LINEAR: aplicações de sistemas lineares ÁLGEBRA LINEAR: aplicações de sistemas lineares SANTOS, Cleber de Oliveira dos RESUMO Este artigo apresenta algumas aplicações de sistemas lineares, conteúdo estudado na disciplina de Álgebra linear da

Leia mais

Prof. MSc. David Roza José 1/39

Prof. MSc. David Roza José 1/39 1/39 Eliminação de Gauss Objetivos: Saber resolver pequenos sistemas de equações com o método gráfico e regra de Cramer; Compreender como implementar a eliminação progressiva e substituição regressiva;

Leia mais

- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;

- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades; DISCIPLINA: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA UNIDADE 3: ÁLGEBRA LINEAR. OPERADORES OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá: - identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DISCIPLINA DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2º SEMESTRE 2004 Professora Aurora T. R. Pozo 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DISCIPLINA DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2º SEMESTRE 2004 Professora Aurora T. R. Pozo 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DISCIPLINA DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2º SEMESTRE 2004 Professora Aurora T. R. Pozo 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS Representação de Números Reais e Erros 1. Converta os seguintes números

Leia mais

1. (Unirio) Dada a matriz representada na figura adiante. 4. (Ufes) Considere a matriz mostrada na figura a. seguir. Determine o valor de A + A - I.

1. (Unirio) Dada a matriz representada na figura adiante. 4. (Ufes) Considere a matriz mostrada na figura a. seguir. Determine o valor de A + A - I. COLÉGIO ADVENTISTA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO NOME DO ALUNO N DISCIPLINA: Matemática DATA: 27/03/2012 CURSO: Ensino Médio ANO: º A / B BIMESTRE: 1º PROFESSOR: Alexandre da Silva Bairrada 1. (Unirio) Dada

Leia mais

7. Calcule o valore de x + y z sabendo que as

7. Calcule o valore de x + y z sabendo que as . Considere as matrizes: A 3, B 3 e C 3 3. Assinale a alternativa que apresenta um produto ineistente: A) A B B) B A C) C A D) A t C E) B t C 3 3. Seja a matriz A =. 3 3 O termo 3 da matriz X = A é igual

Leia mais

Geometria e Medida: Figuras Geométricas

Geometria e Medida: Figuras Geométricas ANO LETIVO 2015/2016 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 2º Período Metas / Objetivos Conceitos / Conteúdos Aulas Previstas Geometria

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (8º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS ANO LETIVO 2016/

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (8º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS ANO LETIVO 2016/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (8º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS ANO LETIVO 2016/2017... 1º Período Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas Geometria

Leia mais

n. 4 DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE

n. 4 DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE n. 4 DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar,

Leia mais

1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios

1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios Matemática Polinômios CAPÍTULO 02 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1 INTRODUÇÃO Como com qualquer outra função, podemos fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios. A soma e a

Leia mais

Resolução de Sistemas de Equações Lineares

Resolução de Sistemas de Equações Lineares 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Resolução de Sistemas de Equações

Leia mais

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr.

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr. Programação Linear São problemas complexos, muitas vezes de difícil solução e que envolvem significativas reduções de custos, melhorias de tempos de processos, ou uma melhor alocação de recursos em atividades.

Leia mais

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 7.º ANO

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 7.º ANO DE MATEMÁTICA 7.º ANO Ano Letivo 2015 2016 PERFIL DO ALUNO No domínio dos Números e Operações, o aluno deve ser capaz de multiplicar e dividir números racionais relativos. No domínio da Geometria e Medida,

Leia mais

Unidade: Sistemas Lineares. Responsável pelo Conteúdo: Profª. Ms. Adriana Domingues Freitas. Revisão Textual: Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga

Unidade: Sistemas Lineares. Responsável pelo Conteúdo: Profª. Ms. Adriana Domingues Freitas. Revisão Textual: Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga Cálculo Numérico Unidade: Sistemas Lineares Responsável pelo Conteúdo: Profª. Ms. Adriana Domingues Freitas Revisão Textual: Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga zzzzzzzzzzzzzzz ORIENTAÇÃO DE EST UDOS Olá

Leia mais

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais,, que possui as seguintes propriedades:, possui uma relação menor ou igual, denotada por O1: Propriedade Reflexiva:

Leia mais

Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas

Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas A medida de uma grandeza é obtida, em geral, através de uma experiência, na qual o grau de complexidade do processo de medir está relacionado com a grandeza em questão

Leia mais

Estatística. Probabilidade. Conteúdo. Objetivos. Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal.

Estatística. Probabilidade. Conteúdo. Objetivos. Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal. Estatística Probabilidade Profa. Ivonete Melo de Carvalho Conteúdo Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal. Objetivos Utilizar a probabilidade como estimador

Leia mais

Exponencial de uma matriz

Exponencial de uma matriz Exponencial de uma matriz Ulysses Sodré Londrina-PR, 21 de Agosto de 2001; Arquivo: expa.tex Conteúdo 1 Introdução à exponencial de uma matriz 2 2 Polinômio característico, autovalores e autovetores 2

Leia mais

4) Resolva os sistemas seguintes por substituição, eliminação gaussiana e por eliminação de Gauss-Jordan: a) b)

4) Resolva os sistemas seguintes por substituição, eliminação gaussiana e por eliminação de Gauss-Jordan: a) b) Matemática Aplicada à Economia I Lista 2 Álgebra Linear 1) A economia na ilha Baco produz somente uvas e vinho. A produção de 1 quilo de uvas requer ½ quilo de uvas, 1 trabalhador e nenhum vinho. A produção

Leia mais

a 1 x 1 +... + a n x n = b,

a 1 x 1 +... + a n x n = b, Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição

Leia mais

7º Ano. Planificação Matemática 2014/2015. Escola Básica Integrada de Fragoso 7º Ano

7º Ano. Planificação Matemática 2014/2015. Escola Básica Integrada de Fragoso 7º Ano 7º Ano Planificação Matemática 2014/2015 Escola Básica Integrada de Fragoso 7º Ano Domínio Subdomínio Conteúdos Objetivos gerais / Metas Números e Operações Números racionais - Simétrico da soma e da diferença

Leia mais

Determinantes. Prof. Márcio Nascimento

Determinantes. Prof. Márcio Nascimento Determinantes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.2 4 de fevereiro

Leia mais

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas.

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas. Definição Uma matriz do tipo m n (lê-se m por n), com m e n, sendo m e n números inteiros, é uma tabela formada por m n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Estes elementos podem estar entre parênteses

Leia mais

SISTEMAS DE EQUAÇÕES 2x2

SISTEMAS DE EQUAÇÕES 2x2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES x 1 Introdução Em um estacionamento, entre carros e motos, há 14 veículos Qual é o número exato de carros e motos? Se representarmos o número de carros por x e o número de motos por

Leia mais

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto

Leia mais