UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR: MARCELO SILVA 1. Introdução No ensino fundamental você estudou métodos que permitem resolver o seguinte problema: A soma das idades de duas pessoas é igual a 60 anos. Sabendo-se que a idade da mais velha é igual ao triplo da idade da mais nova, calcule as idades dessas pessoas. Solução Chame de x a idade da pessoa mais velha e de y a idade da pessoa mais nova. Pelos dados do problema devemos escrever duas equações, a saber: x + y = 60 x = 3y O conjunto de equações acima é o que chamamos de sistema de equações lineares e duas variáveis x e y. Neste caso, estamos interessados em determinar os valores de x e y que satisfazem simultaneamente as duas equações do sistema dado. Isso significa resolvê-lo. Para isso, lembre-se que existem três métodos: Método da adição; Método da substituição; Método da comparação. Nesse problema, em particular, é melhor usar o método da substituição, pois o valor de x na segunda equação do sistema já está pronto para ser substituído na primeira equação. Assim, substituindo x = 3y na primeira equação x + y = 60, obteremos: 3y + y = 60 => 4y = 60 => y = 15 e x = Logo, a pessoa mais velha tem 45 anos e a mais nova tem 15 anos. Diz-se que o par ordenado (45,15) é uma solução do sistema apresentado. Note que (45,15) é um elemento do plano 2. Equação Linear Definição: É toda equação da forma a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. Onde,

2 a 1,..., a n são os coeficientes; x 1,..., x n são as variáveis; b é o termo independente. 2.2 Exemplos Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3: x + 3y = 7 x 2y 3z + w = 7 4x 2y = 1 Observações: 1) Quando b = 0, a equação linear é dita homogênea. 2) Cada termo da equação tem uma única variável cujo expoente é sempre 1. Ou seja, não há termos da forma xy, x², etc. Não há, também, variáveis como argumentos de funções trigonométricas, por exemplo. 3) A solução de uma equação linear com n variáveis é uma seqüência de n números reais ou ênupla (s 1, s 2,..., s n ). 4) Uma solução evidente de uma equação linear homogênea é a solução trivial (0, 0,..., 0). 2.3 Conjunto-Solução É obtido atribuindo-se um valor arbitrário (parâmetro) a uma das variáveis e explicitando-se a outra em função da primeira. 3. Sistema Linear 3.1 Definição: É um conjunto de m equações lineares com n variáveis, ou seja, é um conjunto finito de equações lineares. Apresenta-se do seguinte modo: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m 3.2 Exemplos Exemplo 1: Exemplo 2 : x + y + 2z = 9 2x + y = 5 2x + 4y 3z = 1 6x + 3y = 15 3x + 6y 5z = 0

3 Observação: se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, o sistema linear será dito homogêneo. 3.3 Classificação de um sistema linear de acordo com o número de soluções Um sistema que não possui solução é chamado incompatível; se existir pelo menos uma solução do sistema, dizemos que ele é compatível. Quando o sistema possui uma única solução ele é dito compatível determinado; se existir mais de uma solução (infinitas, na verdade) ele é dito compatível indeterminado. 3.4 Matriz Aumentada de um sistema linear É a matriz formada pelos coeficientes e pelos termos independentes das equações lineares do sistema. O método básico de resolver um sistema linear é substituir o sistema dado por um novo sistema que tem o mesmo conjunto-solução (sistema equivalente), mas que é mais simples de resolver. Esse novo sistema é obtido numa sucessão de passos aplicando as chamadas operações elementares visando eliminar sistematicamente as variáveis. 3.5 Operações Elementares São operações aplicadas para transformar o sistema linear dado em um sistema linear mais simples de resolver que é equivalente ao primeiro. Elas podem ser aplicadas nas equações do sistema ou, da mesma forma, nas linhas da matriz aumentada do sistema. São elas: 1) Multiplicar uma linha inteira por uma constante não-nula. 2) Trocar duas linhas entre si. 3) Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha Exemplo x - y + z = 1 2x - y + z = 4 x - 2y + 2z = 0

4 * multiplicamos por -2 a primeira equação e somamos o resultado com a segunda equação; ** multiplicamos por -1 a primeira equação e somamos o resultado com a terceira equação; x - y + z = 1 y - z = 2 - y + z = -1 *** somamos a segunda equação com a terceira. x - y + z = 1 y - z = 2 0 = 1 Como este último sistema é incompatível, o mesmo acontece com o sistema dado inicialmente. 3.6 Sistema Escalonado É o sistema equivalente obtido após um número finito de operações elementares realizadas nas equações do sistema inicial ou nas linhas da matriz aumentada do sistema inicial Exemplos Exemplo 1: Vide exemplo 3 Exemplo 2: 2x - y z 3t = 0 z - t = 1 2t = 2 A importância dos sistemas escalonados reside na proposição abaixo. 3.7 Proposição: Todo sistema linear é equivalente a um sistema escalonado. Isso nos diz que basta que saibamos lidar com os sistemas escalonados e saibamos reduzir um sistema qualquer a um escalonado. Com as operações elementares podemos realizar dois tipos de eliminação de variáveis de um sistema: a eliminação gaussiana e a eliminação de Gauss-Jordan.

5 3.8 Eliminação de Gauss-Jordan Consiste em reduzir a matriz aumentada do sistema à forma escalonada reduzida por linhas. Para ser desta forma, uma matriz deve satisfazer as seguintes propriedades: 1) Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não-nulo da linha é um 1. Chamamos este número 1 de pivô. 2) Se existir linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz. 3) Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o pivô da linha inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior. 4) Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas demais entradas. 3.9 Eliminação Gaussiana Consiste em reduzir a matriz aumentada do sistema à forma escalonada. Para ser desta forma, uma matriz deve satisfazer as seguintes propriedades: 1) Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não-nulo da linha é um 1. Chamamos este número 1 de pivô. 2) Se existir linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz. 3) Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o pivô da linha inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior. 4) Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas entradas abaixo desse pivô Exemplos Resolva o 1º pelo método de Gauss e o 2º pelo método de Gauss-Jordan. Exemplo 1: x + y + 2z = 8 -x 2y + 3z = 1 3x 7y + 4z = 10 Exemplo 2: -2y + 3z = 1 3x + 6y - 3z = -2 6x + 6y + 3z = 5

6 3.11 Discussão e Resolução de um Sistema Linear Discutir um sistema linear significa efetuar um estudo visando a classificá-lo de acordo com o seu conjunto-solução. Resolver significa determinar o conjuntosolução. Suponha que após escalonar um sistema e retirar as equações do tipo 0 = 0(linhas nulas da matriz do sistema), restem p equações com n variáveis. 1) Se a última das equações restantes é 0x x n = b i (b i 0) então o sistema é incompatível; Caso contrário sobra duas alternativas: 2) Se p = n o sistema é compatível determinado; 3) Se p < n, então o sistema compatível indeterminado. NOTA: As observações acima se aplicam quando o sistema é resolvido por escalonamento e fazem a análise das equações do sistema obtido após o escalonamento (sistema escalonado). Entretanto, se o método de resolução aplicado for a Regra de Crammer, as observações são equivalentes às descritas acima só que se baseiam na análise do determinante da matriz do sistema, conforme descrito abaixo. Regra de Cramer A regra de Crammer só se aplica aos sistemas quadrados, isto é, sistemas que têm o mesmo número de equações e variáveis. Tais sistemas têm uma única solução dada por: Em que i {1, 2, 3,..., n}, D = deta é o determinante da matriz dos coeficientes associada ao sistema, e D xi é o determinante obtido pela substituição, na matriz dos coeficientes, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: 1) Possível e determinado se D = deta 0; caso em que a solução é única. Exemplo:

7 m=n=3 Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. 2) Possível e indeterminado, se D = D x1 = D x2 = D x3 =... = D xn = 0. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Exemplo: D=0, D x =0, D y =0 e D z =0. Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. 3) Impossível, se D=0 e D xi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução. Exemplo: Como D=0 e D x 0, o sistema é impossível e não apresenta solução Exemplos Discuta e resolva os sistemas abaixo utilizando um dos métodos estudados (Gauss, Gauss-Jordan ou Crammer).

8 Exemplo 1: -2y + 3z = 1 3x + 6y - 3z = -2 6x + 6y + 3z = 5 Exemplo 2: 2x - 3y - z = 4 x + 2y + z = 3 3x y - 2z = Exercícios 1. Três feirantes uniram-se e venderam uma dúzia de bananas por p 1 reais, uma dúzia de laranjas por p 2 reais e uma dúzia de maçãs por p 3 reais. Calcule p 1, p 2 e p 3, sabendo que a receita total = soma das receitas(= preço x quantidade vendida em dúzias, de cada produto) em reais do primeiro feirante é dada por 10 p p p 3 = 150, a do segundo é 20 p p p 3 = 240, e a do terceiro feirante é 30 p p p 3 = Resolvam os exemplos das secções 3.10 e Mostre que o sistema x + 3y + 2z = 7 não tem solução. 2x + y - z = 5 -x + 2y + 3z = 4