ADA 1º BIMESTRE CICLO I 2018 MATEMÁTICA 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

Transcrição

1 ADA º BIMESTRE CICLO I 08 MATEMÁTICA ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO ITEM DA ADA Um sistema de equações pode ser usado para representar situações-problemas da matemática ou do dia-a-dia. Assinale a alternativa que representa um sistema de equações do º grau. (A) 4x + 8y = 4 xy = 8 3x + 7y = (B) x 5y = (C) x + y = x + 3y = 6 + y = (D) x x + 7y = 4 3x y = (E) x + 7y = 4 Gabarito: B Professor (a), o sistema de equações do º grau é composto apenas por equações do º grau. D9A-Reconhecer uma representação algébrica de um sistema de equação do primeiro grau. Atividades relacionadas ao item. Um sistema de equações pode ser usado para representar situações-problemas da matemática ou do dia-a-dia. Assinale a alternativa que representa um sistema de equações do º grau 4xy = 8 (A) y = 8x. (B) xy = x + y = 7. x = y 4 (C) y = 9x. xy = 50 (D) x = y. (E) x y = 7 x y =. Gabarito: C Resolvendo parcialmente as alternativas, tem-se: (A) 3x = 8 º grau (B) x(7 x) = ºgrau (C) x = 9x 4 º grau (D) (y)y = 50 º grau (E) ( + y) y = 7 º grau D9A-Reconhecer uma representação algébrica de um sistema de equação do primeiro grau.. No sistema de equação de primeiro grau, é necessário verificar o grau das equações, após um cálculo inicial para que o sistema seja reduzido apenas a uma equação. Com base nessas informações, a alternativa que apresenta um sistema de equações do º grau é 4x + y = 8 (A) xy = x + y = 0 (B) x + y = x + y = (C) xy = 3 3 (D) = y x x + y = 4 x + y = 30 (E) 4x 3y = 6 Gabarito: E As alternativas A, B, C e D são sistemas que ao serem reduzidos a uma equação, será uma equação de º grau. Apenas a alternativa E que ao se reduzir chegará em uma equação de º grau. D9A-Reconhecer uma representação algébrica de um sistema de equação do primeiro grau.

2 3. Observe os sistemas de equações a seguir. (I) 4x y = 4 3y = x. x y = (II) x = y. y x = 6 (III) y y = x +. xy = 8 (IV) x = y. x y = 5 (V) x y =. 6 Assinale a alternativa que apresentam os sistemas de equações do º grau. (A) I e V. (B) II e IV. (C) I e III. (D) III e V. (E) IV e V. Gabarito: A Resolvendo parcialmente as alternativas I e V, tem-se: 4x y = 4 3(4x 4) + x = 0 3y = x x y = 5 x y (6 + y) y = 5 = 6 ITEM 3 DA ADA Observe a matriz a seguir: 0 0 ( ) 4 8 Usando o teorema de Laplace pode-se encontrar o determinante desta matriz que será igual a (A) -4. (B) -. (C) 0. (D). (E) 4. Gabarito: E Utilizando o teorema de Laplace, tem-se: D = a A + a A + a 3 a 3 D = ( )² ( ) ( ) D = ( ) ( 0) D = D = 4 D3D-Aplicar a regra de Laplace. Atividades relacionadas ao item 3. Use o teorema de Laplace para calcular o determinante da matriz 0 0 ( ) Utilizando o teorema de Laplace, tem-se: D= 0. A + (). A + 0. A A4 D = (). A 0 A= (-) A= -59 D = ().(-59) D= O determinante é igual a (A) (B)- (C) 0 (D) (E) - Gabarito: E D=().A 3+0.A 3+0.A 33+0.A 43 D=.A 3 A 3=(-) A 3=- D=. A 3 D=. (-) D= - 3. Utilize o teorema de Laplace para resolver o determinante a seguir: D=. A+. A+0.A

3 A=(-). 5 = 6 A=(-) = D=.A+.A+0.A3 D=. (6) +. () + 0 D=8 ITEM 5 DA ADA Observe o sistema linear a seguir: x + y + z = 8 x y + z = 3 3x + y z = Assinale a alternativa que corresponde aos valores D x ; D y ; D z aplicando a regra de Cramer. (A) D x = 8; D y = 3; D z = (B) D x = 0; D y = 5; D z = 5 (C) D x = 5; D y = 30; D z = 45 (D) D x = 0; D y = 0; D z = 30 (E) D x = 45; D y = 30; D z = 5 Gabarito: C O estudante deverá: Encontrar a matriz incompleta: A = [ ] 3 Calcular o determinante representado por D: D = 3 3 D = = D x = 5 Substituir os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta: 8 A y = [ 3 ] 3 Calcular o determinante D y : 8 8 D y = Substituir os termos independentes na terceira coluna da matriz incompleta: 8 A z = [ 3] 3 Calcular o determinante D z : 8 D z = D z = = D z = 45 D3C-Aplicar a regra de Cramer. Atividades relacionadas ao item 5. Resolva o sistema a seguir pela regra de Cramer: x + y + z = x y + z = x y 3z = 6 O estudante deverá: A = [ ] 3 det A = 3 A x = [ ] 6 3 det A x = 6 3 A y = [ ] 6 3 det A y = 6 3 A z = [ ] 6 = 6 = 48 6 = 36 D y = = D y = 30 3

4 det A z = 6 = 60 Segundo a regra de Cramer, tem-se que: x = deta x det A = 36 = 3 y = deta y det A = 48 = 4 z = deta z det A = 60 = 5. Resolva o sistema a seguir utilizando a regra de Cramer: x + y + z = 6 x y z = 4 x y + z = O estudante deverá calcular: D = [ ] det D = = det D = + = D x = 4 4 D x = = D x = D y = 4 4 D y = = D y = 6 D z = 4 D z = = D z = 8 Segundo a regra de Cramer, tem-se que: x = detd x det D y = detd y det D x = detd z det D = 4 4 = = 4 = 3 = 8 4 = 3. Resolva o sistema a seguir pela regra de Cramer: x +y z = x y +z = 3 x +y z = 6 O estudante deverá calcular: D = [ ] D = Det (D) = = 4 D x = Det(D x ) = + + ( 3) = 9 x = D x D = 9 3 = 3 D y = Det(D y ) = ( ) ( 6) + 3 = y = D y D = 3 = 4 D z = 3 6 Det(D z ) = ( 4) + ( 3) + = 4

5 z = D z D = 3 = 7 ITEM 6 DA ADA Observe a matriz a seguir: 0 0 [ 3 5 ] Utilizando o teorema de Laplace, tem-se: D= 0. A + (-) A + 0 A A 4 D = (-) A Usando o teorema de Laplace, pode-se encontrar o determinante desta matriz que será igual a (A). (B) 37. (C) 4. (D) 56. (E) 8. Gabarito: D Usa-se a coluna da referida matriz, pois o número de elementos nulos facilitará as contas. ª coluna (0, -, 0, 0) Utilizando o teorema de Laplace: D = 0. A + ( ). A + 0. A A 4 D =. A Agora calcule A A = A = 78 Voltando ao determinante tem-se: D =. ( 78) D = 56 D3D-Aplicar a regra de Laplace. Atividades relacionadas ao item 6. Aplicando o teorema de Laplace encontre o determinante da matriz a seguir: D = (-). (-78) D = 56. Calcule o determinante da matriz a seguir utilizando o Teorema de Laplace. Deve-se escolher uma linha ou uma coluna da matriz A. Se escolher a coluna, tem-se: Pelo teorema de Laplace, sabe-se que: D = 3 A + A + A 3 + A 4 Segue que: A escolha da linha ou coluna para calcular o cofator é aleatória, mas para facilitar escolhe-se aquela que tiver maior número de 0, assim, tem-se que fazer menos cálculos. Então, ª coluna: Assim, o determinante da matriz A será: D = (-4) + (-5) = = 84 5

6 3. O cofator do elemento A da matriz A 3 = [ 3 ] é: 0 (A) (B) (C) 4 (D) 3 (E) 3 Gabarito: D Para determinar o cofator, faz-se o determinante da matriz sem a linha e a coluna que esse elemento se encontra: Assim, obtém-se a seguinte matriz de ordem, Veja: Pega-se o oposto dos produtos das diagonais secundárias e somar com os produtos das diagonais principais. Det B = ( ) = 40 = 5 Assim, o determinante da matriz A de ordem 3 é -5. D3B-Calcular o determinante de uma matriz de ordem 3X3. Atividades relacionadas ao item 7. Encontre o determinante da matriz 3x3 a seguir 0 A = A = - 3 ITEM 7 DA ADA Observe a matriz de ordem 3 a seguir: 5 0 A = [ 3 4 ] 0 O determinante dessa matriz é igual a (A). (B) 3. (C) -3 (D) -5. (E) 5. Gabarito: D Para resolver o item, representa a matriz em forma de determinante e repete-se as duas primeiras colunas. (.4.0) + (0..3) + (..) (3.4.) (..) (0..0) = x = 8 4 x = 8. Observe a matriz A 3x3 a seguir: 3 Det A = [ ] 0 4 O determinante da matriz A é igual a (A) 40. (B) 0. (C) 8. (D) 6. (E) 36. Gabarito A. 3 Det A = [ ] Depois calcula-se os produtos das diagonais principais e os produtos das diagonais secundárias. Det A = Det A = 5 Utilizando a propriedade Det A = ³. Det A DetA = 8.5 DetA = 40. Assim, o determinante da matriz A é igual a 40. 6

7 3. Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e que o determinante de A é -, encontre o valor do determinante da matriz 3A. Para resolver a questão, utiliza-se uma das propriedades das determinantes: det(k. A) = k n deta Onde n é a ordem da matriz quadrada. Desta propriedade tem-se que: det(3a) = 3 3 ( ) = 7 ( ) = 54 ITEM 8 DA ADA Observe a matriz completa a seguir: 4 4 x 6 ( 3 3 5) ( y) = ( 3) 4 4 z 4 A solução desse sistema de equações associado a essa matriz é representado por (A) x = 3, y = e z = 4. (B) x =, y = 4 e z = 3. (C) x =, y = 3 e z = 4. (D) x = 4, y = 3 e z =. (E) x = 3, y = 4 e z =. Gabarito: A O sistema gerado através do produto entre as matrizes é igual a x + 4y + 4z = 6 3x + 3y + 5z = 3 4x + 4y + z = 4 Desenvolvendo o escalonamento do sistema tem-se a solução x = 3, y = e z = 4. D3-Determinar a solução de um sistema linear, associando-o a uma matriz. Atividades relacionadas ao item 8. Observe o sistema linear a seguir: x + y + z = x y + 3z = 3 x y + z = Determine: a) A matriz completa associada a este sistema. b) A equação matricial que representa o sistema. c) A solução do sistema pelo método de escalonamento. a) [ 3 3 ] b) [ c) x 3] [ y] = [ z x + y + z = x y + 3z = 3 x y + z = x + y + z = 3y + z = 7 y + 0z = 4 x + y + z = 3y + z = 7 z = 3 ] Logo, z = ; y = e x = S = (,, )} ( ) ª eq.+ª eq. ( ) ª eq.+3ª eq. ( ) ª eq. +3 3ª eq.. Observe a seguir a representação matricial de um sistema. x ( 3) ( y) = ( 9) 3 3 z 3 A solução do sistema de equações associado a essa representação matricial é (A) x = 3, y = e z =. (B) x =, y = e z = 3. (C) x =, y = 3 e z =. (D) x =, y = 3 e z =. (E) x = 3, y = e z =. Gabarito: B O sistema gerado através do produto entre as matrizes é igual a x + y z = x y + 3z = 9 3x + 3y z = 3 Desenvolvendo o escalonamento do sistema tem-se a solução x =, y = e z = Observe a seguir a representação matricial de um sistema. x 3 0 ( ) ( x ) = ( 5 ) x 3 A matriz solução do sistema de equações associado a essa representação matricial é 7

8 (A) ( ). (B) ( ). (C) ( ). (D) ( ). (E) ( ). Gabarito: B O sistema gerado através do produto entre as matrizes é igual a x + 3y z = 0 x y + z = 5 x + y + z = 3 Desenvolvendo o escalonamento do sistema tem-se a solução ( ). ITEM 9 DA ADA Observe o sistema a seguir: x + 8y = 0 9x + 6y = 5 Aplicando a regra de Cramer a solução do sistema linear é (A) ( ; 0,5). (B) (; 0,5). (C) (; 0,5). (D) ( 0,5; ). (E) ( 0,5; ). Gabarito: B Utilizando a regra de Cramer para determinar os valores de x e y. Segue os passos a seguir. Passo. Encontre-se o determinante (D), da matriz incompleta dos coeficientes. D = 8 D = 7 = Como D 0 então o sistema é possível e determinado. Passo. A solução desse sistema é dada por: x = D x e y = D y D D onde: D x = D x = 0 D y = D y = 30 x = 0 60 = e y = = = 0,5 Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (; 0,5). D3C-Aplicar a regra de Cramer. Atividades relacionadas ao item 9. Observe o sistema a seguir. x + y = 8 x + y = 6 Aplicando a regra de Cramer a solução do sistema linear é (A) ( ; 4). (B) (; 4). (C) ( ; 4). (D) ( 4; ). (E) (4; ). Gabarito: B Utilizando a regra de Cramer para determinar os valores de x e y. Segue os passos a seguir. Passo. Encontre-se o determinante (D), da matriz incompleta dos coeficientes. D = D = = Como D 0 então o sistema é possível e determinado. Passo. A solução desse sistema é dada por: x = D x e y = D y D D onde: D x = D x = D y = D y = 4 x = = e y = 4 = 4 Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (; 4).. Observe o sistema a seguir. 3x + y = 9 x + 3y = 3 8

9 Aplicando a regra de Cramer a solução do sistema linear é (A) (; 3). (B) ( ; 3). (C) ( ; 3). (D) (; 3). (E) (; 3). Gabarito: D Utilizando a regra de Cramer para determinar os valores de x e y. Segue os passos a seguir. Passo. Encontre-se o determinante (D), da matriz incompleta dos coeficientes. D = 3 3 D = 9 = 7 Como D 0 então o sistema é possível e determinado. Passo. A solução desse sistema é dada por: x = D x e y = D y D D onde: D x = D x = 4 D y = D y = x = 4 7 = e y = 7 = 3 Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (; 3). 3. Observe o sistema a seguir. x + y = 5 3x y = 5 Aplicando a regra de Cramer a solução do sistema linear é (A) ( ; 4). (B) (; 4). (C) ( ; 4). (D) ( 4; ). (E) (4; ). Gabarito: Utilizando a regra de Cramer para determinar os valores de x e y. Segue os passos a seguir. Passo. Encontre-se o determinante (D), da matriz incompleta dos coeficientes. D = D = 3 = 5 3 Como D 0 então o sistema é possível e determinado. Passo. A solução desse sistema é dada por: x = D x e y = D y D D onde: D x = D x = 0 D y = D y = 5 x = = e y = = 5 Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (; ). ITEM 0 DA ADA Observe o sistema a seguir: A solução desse sistema é igual a (A) (,, 3). (B) (,, 3). (C) (,, 3). (D) (,, 3). (E) (,, 3). Gabarito: E Aplica-se a regra de Cramer utilizando a matriz incompleta do sistema linear. Nessa regra utiliza-se Sarrus no cálculo do determinante das matrizes estabelecidas. Observe o determinante da matriz dos sistemas: Regra de Sarrus: soma dos produtos da diagonal principal subtraída da soma dos produtos da diagonal secundária. Substituir a ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema. Substituir a ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema. Substituir a 3ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema. 9

10 . Resolva o sistema a seguir aplicando a Regra de Cramer. De acordo com regra de Cramer, tem-se: Portanto, o conjunto solução do sistema de equação: x =, y = e z = 3. D3-Determinar a solução de um sistema linear, associando-o a uma matriz. Atividades relacionadas ao item 0. Encontre a solução do sistema a seguir associando-o a uma matriz. x + 8y = 0 9x + 6y = 5 } Note-se que a matriz incompleta desse sistema é: ( ) Onde o determinante é dado por D = Verifica-se que o D 0, então o sistema é possível e determinado. A solução desse sistema será dada por: x = Dx / D e y = Dy / D Onde Dx e Dy são obtidos trocando a coluna x ou a y (de acordo com a que está calculando) pela coluna dos termos independentes. Observe: Calculando Dx: ( ) = 0 x = Dx / D = 0/ 60 = x = Calculando Dy: ( ) = 30 y = Dy / D = 30 / 60 = 0,5 y = 0,5 Logo, a solução do sistema será (; -0,5). x + 4y + z = 8 4x + y z = 6 6x y 4z = 8 Obtendo a Matriz incompleta: Obtendo D: (aplicar regra de Sarrus) [-6 + (-48) + (-6)] [ ] Calculando x: Dx: x = Dx / D = -48/-48 = x = Calculando y: Dy: y = Dy / D = -44/-48 = 3 y = 3 Calculando z: Dz:

11 z = Dz / D = -96 / -48 = z = Logo, a solução do sistema será (, 3, ). 3. Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de equações lineares: No cálculo do determinante das matrizes indicadas utiliza-se o método de Sarrus. Professor(a), neste item, visa verificar a simples associação entre uma matriz e sua representação em um sistema de equações. Os elementos das colunas e da matriz, representam, respectivamente, os coeficientes de x e y e o elementos da 3ª coluna são os termos independentes x y c,5 [ 3 8 ] Cada equação pode ser escrita como ax + by = c. Assim, na primeira linha, a equação correspondente é x + y =,5 x + y =,5 e na segunda linha a equação correspondente é 3x + y = 8 Logo, o sistema correspondente é o que está na alternativa D. D3A-Associar o sistema a uma matriz. Atividades relacionadas ao item. Dada a matriz a seguir: 3 B = ( ) 8 y = Dy / D y = 6/3 y = O valor da incógnita y no sistema de equações é. ITEM DA ADA Observe a matriz a seguir:,5 M = [ 3 8 ] O sistema correspondente à matriz M é igual a x + y =,5 (A) 3x + y = 8.,5x + y = (B) 8x + y = 3. x y = 5 (C) x + 3y = 8. x + y =,5 (D) 3x + y = 8. 3x + y =,5 (E) x + y = 8. Gabarito: D O sistema correspondente a essa matriz é (A)x + y + z = 9; x + 3y + z = 0 e 3x + 5y + z = 8. (B)3x + y + z = 9; 5x + 3y + z = 0 e x + y + z = 8. (C) x + y + z = 9; x + 3y + z = 0 e x + 5y + 3z = 8. (D)3x + 5y + z = 9; x + 3y + z = 0 e x + y + z = 8. (E) x + y + 3z = 9; x + 3y + 5z = 0 e x + y + z = 8. Gabarito: E Professor(a), neste item, visa verificar a simples associação entre uma matriz e sua representação em um sistema de equações. Observando os valores dos elementos de cada linha e coluna da matriz, x y z d 3 B = ( ) 8 Cada linha da matriz pode ser escrita na forma: ax + by + cz = d. Assim a ª linha fica: x + y + 3z = 9; ª linha fica: x + 3y + 5z = 0 e a

12 3ª linha fica: x + y + z = 8. Logo, o sistema correspondente é o que está na alternativa E. D3A-Associar o sistema a uma matriz.. Observe a matriz a seguir: A = [ 0 0 ] O sistema correspondente à matriz A é y = (A) x + y = 0. (B) x = x y = 0. x y = (C) x + 3y = 8. x + y = (D) 3x + y = 0. 3x + y = (E) x + y = 8. Gabarito: B Professor(a), neste item, visa verificar a simples associação entre uma matriz e sua representação em um sistema de equações. Observando os valores dos elementos de cada linha e coluna da matriz, x y c [ 0 0 ] Cada linha da matriz pode ser escrita na forma: ax + by = c. Assim a ª linha fica: x + 0y = x = e a ª linha fica: x y = 0 x y = 0. Logo, o sistema correspondente é o que está na alternativa B. D3A-Associar o sistema a uma matriz. 0 4 (C) [ 3 4 ] (D) [ ] (E) [ ] Gabarito: C Professor(a), neste item, visa verificar a simples associação entre um sistema e sua representação matricial. Observando os valores dos coeficientes de cada uma das equações do sistema tem-se x 4z = (, 0, 4, ) x 3y + 4z = (, 3, 4, ) x + y 3z = 5 (,, 3, 5) Assim, a alternativa C é a matriz correspondente ao sistema. 3. Observe o sistema a seguir: x 4z = x 3y + 4z = x + y 3z = 5 A matriz completa correspondente ao sistema é 4 0 (A) [ 3 ] (B) [ ]