Determinantes. det A 6 ( 4) a a a. a a a. det A a a a. a a a

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1 Determinantes 1 Introdução Até agora nós estudamos vários tipos de matrizes e suas mais diversas ordens Em especial, vimos a matriz quadrada, que tinha o mesmo número de linhas e colunas Toda matriz quadrada tem associado a ela um número, que nós chamamos de determinante Os determinantes apareceram há cerca de 300 anos, embora haja registros de esboços de determinantes na matemática chinesa há mais de 2000 anos, geralmente associados à resolução de sistemas lineares, que veremos no próimo capítulo Junto com as matrizes, é uma importantíssima ferramenta matemática com diversas aplicações ATENÇÃO INICIAL: Não eiste determinante se a matriz não é quadrada! Vamos então aprender como calcular estes determinantes Vale ressaltar que para matrizes quadradas de ordem maior que 4 o cálculo do determinante torna-se muito demorado e dispendioso 2 determinante de matriz quadrada de ordem 1 Uma matriz de ordem 1 nada mais é do que a matriz com um único elemento, o elemento a 11 Logo, ela se apresenta da seguinte forma: A a 11 Por definição, o determinante de A é igual ao número a 11, ou seja, det A = a 11 Por eemplo, se temos A = [5] e B = [ 4], então det A = 5 e det B = 4 3 determinante de matriz quadrada de ordem 2 Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, o determinante é calculado através do produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária Dada a matriz a A determinante da seguinte forma: a a21 a 22, calculamos o det A = a11 a22 a12 a21 ou até mesmo a a a a = a11 a22 a12 a21 Por eemplo, o determinante da matriz A (det A), 6 3 sendo A 2 4, é dado por: 6 3 det A 6 ( 4) determinante de matriz quadrada de ordem 3 Vamos considerar uma matriz quadrada genérica de ordem 3: A O determinante de uma matriz de ordem 3 é calculado por: = a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 det A a13a 21a32 a13a 22a31 a11a 23a32 a12a 21a33 Complicado? Sim Precisamos decorar? Não! Para calcularmos o determinante de uma matriz de ordem 3 usamos uma regra chamada Regra de Sarrus Vamos a ela: 40

2 Repetimos as duas primeiras colunas e as colocamos ao lado da terceira coluna Efetuamos as multiplicações no sentido diagonal; Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal; Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária invertem de sinal; O determinante é a soma dos valores obtidos Para eplicar passo a passo, vamos a um eemplo: Vamos calcular o determinante da matriz A As duas primeiras colunas foram repetidas e as multiplicações foram feitas no sentido diagonal As diagonais rosas foram feitas no sentido da diagonal principal (mantendo o sinal) e as azuis no sentido da diagonal secundária (invertendo o sinal) Multiplicando os elementos no sentido das setas e somando-os no final, temos: 0 ( 24) ( 6) = 72 det A = 72 Mas tem outro jeito de fazer sem repetir as colunas? Sim, tem! Vamos pegar a mesma matriz acima: Começamos multiplicando a diagonal principal como já fazemos habitualmente Vamos agora pra próima coluna Mas se multiplicarmos na diagonal, só teremos dois elementos na diagonal Precisamos de mais um Este elemento que precisamos está na ponta inferior esquerda da matriz Avançamos para a próima coluna Mas essa só tem um elemento Precisamos de dois para completar Para isso, usamos os dois elementos que não foram multiplicados que estão logo abaio da diagonal principal O processo então se repete no sentido da diagonal secundária, tomando o cuidado de inverter os sinais, e somando tudo no final Pode conferir que o resultado é o mesmo Importante lembrar que em matemática há vários jeitos para se chegar no mesmo resultado O cálculo de determinantes também podem envolver problemas mais compleos Vamos a um eemplo: Determine para que det A = det B, dadas as matrizes 2 A 3 9 e B Por mais que as matrizes tenham ordens diferentes, o determinante é um número Portanto diversas matrizes podem resultar no mesmo determinante A é matriz de ordem 2: logo det A =

3 B é matriz de ordem 3: usamos a regra de Sarrus: ( 2) 3 det B 5 0 Resta agora igualar os dois determinantes: det A det B Logo, 5 O cálculo do determinante de matriz de ordem 3 pode parecer um tanto trabalhoso a princípio Mas como em qualquer parte da Matemática, é questão de treino Eercícios de treino 1 Calcule os determinantes: a) b) c) d) e) 8 0 a) b) Calcule os determinantes: a) b) c) d) propriedades dos determinantes Estudar as propriedades dos determinantes pode nos economizar esforço e tempo na hora de calcular os determinantes, principalmente em ordens maiores do que 3 Todas as propriedades abaio serão admitidas sem demonstração Lembre-se que todas as matrizes descritas nas propriedades devem ser quadradas 1 FILA DE ZEROS Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz M forem iguais a zero, então o determinante será igual a zero, isto é, det M = 0 Eemplos: = = 0 2 Resolva as equações: 42

4 2 FILAS IGUAIS Se os elementos correspondentes de duas linhas ou duas colunas de uma matriz M forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det M = 0 Eemplos: = 0 (1ª e 2ª colunas iguais) FILAS PROPORCIONAIS = 0 (2ª e 3ª linhas iguais) Se uma matriz M possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, det M = = 0 (2ª linha é o dobro da 1ª) MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR CONSTANTE Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k Eemplos: = (A 1ª linha foi multiplicada por 7, logo, o determinante é multiplicado por 7) = (A 2ª linha foi multiplicada por 2, logo o determinante fica multiplicado por 2) 5 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UMA CONSTANTE Se uma matriz M de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado n n por k, isto é, det( km ) k det M n 3 4 A det A A det(5 A) ² DETERMINANTE DA TRANSPOSTA O determinante de uma matriz M é igual ao determinante de sua transposta, isto é, t det M det M 2 3 A det A t 2 4 t A det A TROCA DE FILAS PARALELAS Se trocarmos de posição duas linhas ou duas colunas de uma matriz M, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior A e B A matriz B foi obtida a partir de A, trocando a 1ª e a 2ª colunas deta detb DETERMINANTE DA MATRIZ TRIANGULAR n O determinante da matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal 43

5 Somente a multiplicação feita pelos termos da diagonal principal possui termos não nulos 9 TEOREMA DE BINET Podemos indicar por: DETERMINANTE DA INVERSA Seja M uma matriz invertível e M 1 Então det A det A 1 1 a sua inversa Sendo A e B duas matrizes de mesma ordem e AB a matriz-produto, então det (AB) = (det A)(det B) A e B AB det( AB) det Adet B ( 13) ( 6) TEOREMA DE JACOBI Seja A uma matriz Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formando a matriz B, então det A = det B Este é mais complicado Vamos por partes 1 5 A det A Multiplicando a primeira linha por 2 e somando os resultados à segunda linha, obtemos: ( 2) 1 4 ( 2) B det B ou seja, det A = det B Se A, 2 0 então 1 2 A det A det A det A det A 2 2 Desta propriedade etraímos algo bastante importante: uma matriz não possui inversa se o determinante dela for igual a zero Eercícios de treino 4 Se det A = 20, calcule det A t 5 Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 tal que det A = m Calcule det (2A) em função de m 6 Dentre as seis matrizes abaio, cinco delas tem o determinante nulo Descubra quais são elas, justificando através das propriedades: a) c) b) d)

6 e) Sendo f) A, calcule det A Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem Sabendo que det A = 6 e det B = 4, calcule det (AB) 9 Seja M uma matriz quadrada de segunda orem tal que det M = D A partir dela constrói-se uma nova matriz N em que cada elemento é igual ao triplo dos elementos da matriz M Calcule det N 10 Sendo A Dada a matriz que A seja invertível, calcule det A 1 6 teorema de laplace 1 2 a A 3 2 2, calcule a para O teorema de Laplace é o mais abrangente na resolução de determinantes de ordem maior do que 3 Para tanto, utilizaremos o conceito do cofator COFATOR Dada uma certa linha ou coluna numa matriz quadrada de ordem n, cofator é equivalente a: No qual A ij ( 1) i j D Dij é o determinante da matriz quadrada de ordem n 1 que eclui a linha i e a coluna j de sua formação O teorema de Laplace se baseia em: ij Escolher uma linha ou coluna qualquer (de preferência uma que tenha o maior número de zeros) Para cada elemento dessa linha ou coluna, deve se calcular o produto desse elemento pelo seu respectivo cofator Somar todos os elementos no final Este será o valor do determinante Para ficar mais claro, vamos a um eemplo: Seja M Nesse caso, escolhemos a 3ª coluna (lembrando que o processo funciona com qualquer linha e qualquer coluna): M Agora, multiplicamos cada um dos elementos pelos seus respectivos cofatores: det M a13 A13 a23 A23 a33 A33 a33 A33 a43 A ( 1) D ( 1) D23 6 D ( 1) D33 2 D ( 1) D43 3 D43 D 13 será a nova matriz quadrada sem a 1ª linha e a 3ª coluna e por aí vai Montando as novas matrizes, teremos o nosso esquema para calcular o determinante: Sabemos calcular determinantes de ordem 3 Então temos: 45

7 = = = 74 det M ( 66) 374 Então temos: det M Logo, det M = regra de chió Esta é outra regra interessante Ela permite que possa se calcular o determinante de qualquer matriz quadrada de ordem n usando uma matriz de ordem n 1 A regra de Chió é muito prática quando o elemento a11 é igual a 1 Assim: Sendo a 11 =1, suprime-se a 1ª linha e a primeira coluna De cada elemento restante, subtrai-se o produto dos dois elementos suprimidos, na linha e na coluna de cada elemento restante Com os resultados das subtrações, obtém-se uma matriz uma ordem menor que a primeira, mas com o mesmo determinante Complicado? Vamos ao mesmo eemplo usado no teorema de Laplace: Seja M Já que a 11 =1, simplesmente suprimimos a primeira linha e a primeira coluna Para cada um dos termos que não foi suprimido subtraímos o produto dos termos que foram suprimidos, na linha e coluna correspondente Eemplificamos com o termo a ( 1) ( 1)4 2 2( 2) 3 0( 2) 4 ( 1)( 2) Chegamos então à matriz quadrada de ordem 3 que tem o mesmo determinante que a matriz inicial Podemos então calcular o determinante usanto a regra de Sarrus Logo, det M = 462 Você pode estar se perguntando: mas e se o primeiro elemento não for igual a 1? Nesse caso cabe utilizar as propriedades que acabamos de ver Se houver algum elemento com valor 1 na matriz podemos fazer trocas de linhas e 46

8 colunas, sempre se preocupando com a troca de sinal quando trocamos de linha ou coluna = = Fizemos duas mudanças de sinal porque fizemos duas trocas - de positivo pra negativo e depois para positivo Outro jeito é colocar um número em evidência (4ª propriedade) b) c) d) e) LISTA DE EXERCÍCIOS Colocamos 3 em evidência na 3ª linha, depois trocamos a 1ª com a 3ª linha, atentando-se à mudança de sinal Outra saída é utilizar o teorema de Jacobi ( 1) Eercícios de treino 12 Calcule os determinantes: a) = (UECE) Sabe-se que M é uma matriz quadrada de ordem 3 e que det(m) = 2 Então det (3M) é igual a: a) 2 b) 6 c) 18 d) 27 e) 54 2 (UFSM) Sejam as matrizes A, de ordem 3 e B Se o det A = 6 e C = A B, o det C vale: a) 24 b) 12 47

9 c) 6 d) 12 e) 24 3 (SANTA CASA) Dadas as matrizes A e B tais que: A e determinante de A B é: a) 192 b) 32 c) 16 d) 0 e) B, o (PUC-MG) Dadas as matrizes A 2 4 e 1 2 B 3 1, o determinante do produto A B será igual a: a) l b) 6 c) 10 d) 12 e) 14 5 (PUC-SP) Se a) 12 b) 12 c) 4 3 d) 4 3 e) y z y z = 4, vale: 6 (CEFET-MG) O(s) valor(es) de para que é (são): 2 3 a) 1 b) 1 c) 3 d) 1 e 1 e) 1 e (UFPB) Se a matriz invertível, o valor de é igual a: a) 10 b) 10 c) 5 d) 5 e) 25 5 não é 8 (Mackenzie-SP) O valor de um determinante é 42 Se dividirmos a primeira linha por 7 e multiplicarmos a primeira coluna por 3, o valor do novo determinante será: a) 42 b) 21 c) 14 d) 18 e) 6 p 9 Se o determinante da matriz p p p 18, o determinante da matriz p p a) 9 b) 6 c) 6 d) 9 e) é igual a é:

10 Seja Y e det Y = y Qual(is) é(são) o(s) valor(es) de para que y² 2y1 0? a) 1 e 1 b) 2 c) 2 d) 0 e) 1 11 Em 1773, Lagrange, em um trabalho sobre Mecânica mostrou que o volume de um tetraedro ABCD de vértices A, y, z, B, y, z, C, y, z e D,, que c c c d d d y z é dado por V b b b 1 D em 6 D é o módulo do determinante a seguir: y z y z b b b y z c c c y z d d d Determine o volume do tetraedro ABCD de vértices A(1, 0, 0), B(2, 3, 1), C( 1, 2, 3) e D(5, 1, 2) 12 (Unirio) A soma das raízes da equação 1 1 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) é: c) 2 d) 3 e) 4 14 (Unitau) O valor do determinante como produto de 3 fatores, é: a) abc b) a(b + c)c c) a(a b)(b c) d) (a + c)(a b)c e) (a + b)(b + c)(a + c) a b b, a b c a b c 15 (UFRN) Seja A d e f uma matriz 33 g h i a b c Se det A d e f 6, então: g h i a b c a b c g h i g h i d e f g h i a b c d e f g h i d e f d e f a b c é igual a: a) 18 b) 12 c) 6 d) 0 e) (UFSC) O valor de m para que a equação do 2º grau m , admita raízes iguais, é: a) 0 b) 1 49