RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Aula Demonstrativa Apresentação Matrizes Classificação das Matrizes Igualdade de Matrizes Adição de Matrizes Matriz Oposta matriz por real número de 6....P roduto 13. Matrizes de 7...P roduto 8. Matriz Transposta Determinantes determinantes dos 10...P ropriedades 11. Teorema de Binet Matriz Inversa Sistemas Lineares Classificação dos sistemas lineares Sistema Linear Homogêneo Teorema de Cramer Questões ESAF 2012/ Relação das questões comentadas nesta aula Gabaritos Prof. Guilherme Neves 1

2 Apresentação RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Olá, pessoal! Tudo bem? Meu nome é Guilherme Neves e sou professor de Matemática, Matemática Financeira, Raciocínio Lógico e Estatística. Esta é a aula demonstrativa do curso de Raciocínio Lógico Quantitativo visando o concurso do AFRFB/2013. Todo o nosso curso será baseado no edital de 2012 e nas provas passadas da ESAF. O assunto é, de fato, gigantesco e a ESAF procura usar todo o conteúdo programático. Na verdade, a matéria de Raciocínio Lógico Quantitativo é uma mistura de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira e Estatística (descritiva e inferencial). Neste curso, veremos toda a teoria necessária e resolveremos muitos, muitos exercícios para atingirmos dois objetivos: i) P reparar os candidatos que dizem odiar Matemática e matérias afins (fiquem tranquilos, partimos do pressuposto que vocês nunca viram a matéria). ii) Desenvolver habilidades e procurar dissecar tudo que a ESAF já cobrou nos últimos anos. Assim, aperfeiçoaremos os candidatos que já tem uma certa base em Matemática. Como já comentei, o concurso para AFRFB exige, atualmente, uma verdadeira montanha de conhecimentos matemáticos. Por exemplo, no último concurso para AFRFB, tivemos questões difíceis de Estatística Inferencial, funções inversas (matemática), etc. Eis o conteúdo programático do concurso para AFRFB/2012: 1. Estruturas Lógicas. 2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos. 4. Trigonometria. 5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 6. Álgebra. 7. Combinações, Arranjos e Permutação. 8. Probabilidade, Variáveis Aleatórias, P rincipais Distribuições de P robabilidade, Estatística Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão. 9. Geometria Básica. 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização. 11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas Prof. Guilherme Neves 2

3 fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos. O problema é que muita coisa está implícita neste edital. Por exemplo, quando a ESAF escreve Álgebra no item 6, abre margem para muitos assuntos de Matemática. O mesmo ocorre com assuntos de Estatística. Veja que na prova do AFRFB/2012 caiu uma questão sobre função inversa e este assunto não está explícito no conteúdo!! Assim, seguiremos o seguinte cronograma para cobrir todo o conteúdo explícito/implícito no edital: Aula 0 Aula 1 Aula 2 Aula 3 Aula 4 Aula 5 Aula 6 Aula 7 Aula 8 Aula 9 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 13 Aula demonstrativa. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Lógica proposicional. Lógica de Argumentação. Equivalências lógicas, negação de proposições compostas e de proposições quantificadas. Diagramas Lógicos. Verdades e Mentiras. Problemas de Associação. Problemas gerais de Raciocínio Lógico Introdução à Teoria dos Conjuntos. Operações e relações entre conjuntos. Conjuntos Numéricos (Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Complexos). Operações: Adição, Subtração, Multiplicação, Divisão, Potenciação e Radiciação. Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum. Sistemas de Medidas. Razão e proporção, divisão proporcional, regra de três simples e composta. Porcentagem. Progressão Aritmética e Progressão Geométrica. Problemas do 1º grau. Equação do segundo grau. Funções. Função Afim, Função Quadrática, Função Exponencial e Função Logarítmica. Módulo de um número real (propriedades e equações modulares). Análise Combinatória. Probabilidade Trigonometria, Geometria Plana e Geometria Espacial. Regimes de Capitalização. Juros Simples e Descontos Simples. Juros Compostos e taxas de Juros. Descontos Compostos. Equivalência de Capitais. Rendas Uniformes (Anuidades) e Sistemas de Amortização. Estatística Descritiva. Distribuição de frequências. Medidas de Tendência Central, Quantis e Medidas de Dispersão. Variáveis aleatórias discretas e contínuas: Função densidade de probabilidade, função de distribuição, parâmetros de variáveis aleatórias (esperança, mediana, moda, medidas de variabilidade). Distribuições teóricas discretas e contínuas de probabilidade. Aula 14 Aula 15 Teoria da amostragem: Amostras. Distribuições amostrais. Estimação. Intervalo de confiança. Correlação e Regressão Linear Teste de Hipóteses Prof. Guilherme Neves 3

4 Nesta nossa primeira aula, que é demonstrativa, estudaremos um assunto muito chato e mecânico: matrizes, determinantes e sistemas lineares. Apesar de ser um assunto chato (diria até que é entediante), tudo que vamos estudar nesta aula é importantíssimo para as provas da ESAF. Vocês verão a quantidade enorme de questões da ESAF destes assuntos. Inclusive já resolveremos aqui nesta aula uma questão que caiu na prova do DNIT em Pois bem, vamos deixar de delongas e comecemos o nosso curso. Que Deus te acompanhe nesta longa jornada e que dê tudo certo na sua vida. 1. Matrizes A ideia de matriz do tipo é a de uma tabela retangular formada por números reais distribuídos em linhas e colunas. Adotamos a convenção que linha é horizontal, coluna é vertical e fila se refere à linha ou coluna (horizontal ou vertical). Vejamos alguns exemplos: é 3 2 (3 h 2 ) é 1 3 (1 h 3 )! 1 0 " é 2 2 (2 h 2 ) é 1 1 (1 h 1 ) 1 # 2 % é 4 1 (4 h 1 ) 0 5 Em uma matriz qualquer, cada elemento é indicado por &'. Este elemento &' é o cruzamento da linha i com a coluna j. Por exemplo, o elemento () é elemento que fica no cruzamento da segunda linha com a terceira coluna. Convencionamos que as linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. Além disso, podemos utilizar colchetes, parêntesis ou barras duplas para representar matrizes. Por exemplo: Prof. Guilherme Neves 4

5 ** *( (* (( )* )( =, ** *( (* (( )* )( - =. ** *( (* (( )* )(. Uma matriz M do tipo m x n (m linhas e n colunas) pode ser indicada por / = ( &' ) Classificação das Matrizes Existem diversas classificações das matrizes. Veremos as principais e mais conhecidas. Deixaremos de lado definições de matrizes nilpotente, ortogonais, anti-simétricas, periódicas, etc. - Matriz Retangular é aquela cujo número de linhas é diferente do número de colunas Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Quando uma matriz quadrada é formada por 2 linhas e 2 colunas dizemos que ela é uma matriz quadrada de ordem 2.! 5 3 " é 3 2 2ª 0 2 Os elementos 5 e 2 forma a diagonal principal e os elementos 3 e 0 formam a diagonal secundária , é 3 3 3ª Os números 1, 4 e 1 formam a diagonal principal e os números 5,4 e 6 formam a diagonal secundária. - Matriz Linha é a matriz que possui apenas uma linha Matriz Coluna é a matriz que possui apenas uma coluna. Prof. Guilherme Neves 5

6 1 # 2 % Matriz diagonal é a matriz quadrada cujos elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a Matriz identidade é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1. Denotamos por 6 2 a matriz identidade de ordem n. Percebam as condições para que uma matriz seja denominada de identidade: deve ser uma matriz quadrada, todos os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais a 0 e todos os elementos da diagonal principal são iguais a ) = ( = : = # 0 1 % Matriz Nula é aquela que tem todos os elementos iguais a Exemplo 1. Construa a matriz ; = ( &' ) ) ) definida por &' = ( + 2= Resolução Tem-se uma matriz quadrada de terceira ordem. A matriz tem a seguinte representação: ** *( *) ; =, (* )* (( )( ()- )) Sabemos que &' = ( + 2=. Prof. Guilherme Neves 6

7 ** = 1 ( = 3, *( = 1 ( = 5, *) = 1 ( = 7 (* = 2 ( = 6, (( = 2 ( = 8, () = 2 ( = 10 )* = 3 ( = 11, )( = 3 ( = 13, *) = 3 ( = 15 Portanto, ; =, Igualdade de Matrizes Duas matrizes ; = ( &' ) 0 1 e A = (B &' ) 0 1 são iguais quando todos os &' forem iguais aos B &' para todo i e para todo j. Ou seja, para que duas matrizes sejam iguais, elas devem ser do mesmo tipo (ter o mesmo número linhas e o mesmo número de colunas) e todos os elementos correspondentes (com mesmo índice) devem ser iguais. Exemplo: 1 4 ( 3) C 0 4 ( 25 D = , Adição de Matrizes Para começo de conversa, só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, para que seja possível somar matrizes, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Esta é a condição de existência da soma de duas ou mais matrizes. Então vamos considerar duas matrizes A e B do mesmo tipo: m x n. Sejam ; = ( &' ) 0 1 e A = (B &' ) 0 1, chama-se soma ; + A a matriz C do tipo m x n tal que &' = &' + B &'. Vamos parar de falar em símbolos e vamos traduzir: Prof. Guilherme Neves 7

8 i) Só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, as matrizes obrigatoriamente devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. ii) O resultado (a soma) será uma matriz do mesmo tipo das matrizes originais. iii) Para determinar os elementos da matriz soma, devemos somar os elementos correspondentes das matrizes originais. Exemplos: = = = Observe que, assim como os números reais, a adição entre matrizes também é associativa e comutativa. Isto quer dizer que, se A,B e C são matrizes do mesmo tipo, então: (; + A) + G = ; + (A + G) ; + A = A + ; 5. Matriz Oposta Observe novamente o exemplo que foi feito acima: = A matriz 4 1 é a matriz oposta da matriz 4 1 e reciprocamente, a matriz 4 1 é a matriz oposta da matriz 4 1 porque a soma das duas matrizes é uma matriz nula, ou seja, com todos os elementos iguais a 0. Dada uma matriz A, sua matriz oposta é indicada por ;. Se é dada a matriz A, para determinar a sua oposta deve-se multiplicar todos os elementos por 1, ou seja, trocar os sinais de todos os elementos. Prof. Guilherme Neves 8

9 Desta forma, a matriz oposta da matriz ; =! " é a matriz ; =! ". 1. (AFC 2002/ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (a ij ) = i 2 + j 2 e que bij = (i + j) 2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a: a) 17 b) 29 c) 34 d) 46 e) 58 Resolução Vamos construir as matrizes A e B. ** *( *) 1 ( ( 1 ( ( 1 ( ( ; = (* (( () = 2 ( ( 2 ( ( 2 ( ( = )* )( )) 3 ( + 1 ( 3 ( + 2 ( 3 ( + 3 ( B ** B *( B *) (1 + 1) ( (1 + 2) ( (1 + 3) ( A = (* (( () = # ( ( ( % = B )* B )( B )) (3 + 1) ( (3 + 2) ( (3 + 3) ( I = ; + A = = A soma dos elementos da primeira linha é igual a = 46. Obviamente não precisaríamos construir as matrizes completamente, apenas o fizemos para fins didáticos. Letra D 2. (SERPRO 2001/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (a ij ) = i 2 + j 2 e que bij = (i + j) 2, então a razão entre os elementos s 31 e s 13 é igual a: a) 1/5 b) 2/5 Prof. Guilherme Neves 9

10 c) 3/5 d) 4/5 e) 1 Resolução Questão praticamente idêntica! As matrizes utilizadas são idênticas! Se você nos permite, vamos dar um Ctrl+C / Ctrl+V... Vamos construir as matrizes A e B. ** *( *) 1 ( + 1 ( 1 ( + 2 ( 1 ( + 3 ( ; = (* (( () = 2 ( ( 2 ( ( 2 ( ( = )* )( )) 3 ( + 1 ( 3 ( + 2 ( 3 ( + 3 ( B ** B *( B *) (1 + 1) ( (1 + 2) ( (1 + 3) ( A = (* (( () = # ( ( ( % = B )* B )( B )) (3 + 1) ( (3 + 2) ( (3 + 3) ( JK I = ; + A = = JK Queremos calcular a razão entre os elementos s 31 (terceira linha e primeira coluna) e s 13 (primeira linha e terceira coluna). Colocamos estes números em vermelho. Letra E )* = 26 *) 26 = 1 3. (AFC-CGU 2003/2004 ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por &', onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz L = M &', de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ; = N &' O e A = NB &' O. Sabendo que &' = ( e que B &' = ( =) (, então o produto dos elementos M )* M *) é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 Prof. Guilherme Neves 10

11 d) 65 e) 169 Resolução Não vamos mais construir a matriz completamente. Estamos interessados nos elementos M )* M *). M )* = )* + B )* = 3 ( + (3 1) ( = = 13 M *) = *) + B *) = 1 ( + (1 3) ( = = 5 O produto dos elementos M )* M *) é igual a 13 5 = 65. Letra D 4. (MPOG 2003/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por &', onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz L = M &', de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ; = N &' O e A = NB &' O. Sabendo que &' = ( = ( e que B &' = ( + =) (, então a soma dos elementos M )* M *) é igual a: a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108 Resolução A resolução é praticamente idêntica à da questão anterior. M )* = )* + B )* = 3 ( 1 ( + (3 + 1) ( = = 24 M *) = *) + B *) = 1 ( 3 ( + (1 + 3) ( = = 8 A soma dos elementos M )* M *) é igual a = 32. Letra C 5. (AFC SFC 2000/ESAF) A matriz I = &', de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ; = N &' O e A = NB &' O. Sabendo-se que &' = ( + = ( e que B &' = 2=, então a soma dos elementos )* *) é igual a: a) 12 b) 14 Prof. Guilherme Neves 11

12 c) 16 d) 24 e) 32 Resolução Outra questão idêntica!! )* = )* + B )* = 3 ( + 1 ( = = 16 *) = *) + B *) = 1 ( + 3 ( = = 16 A soma dos elementos )* *) é igual a = 32. Letra E 6. Produto de número real por matriz Para multiplicar uma matriz ; por um número real P basta multiplicar todos os elementos de A por P. Exemplos: = ! " =! " Prof. Guilherme Neves 12

13 7. Produto de Matrizes Para começo de conversa, nem sempre é possível multiplicar duas matrizes. Para que exista o produto de uma matriz A por uma matriz B é necessário e suficiente que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. Desta maneira, se a primeira matriz do produto é do tipo m x n, então a segunda matriz deve ser do tipo n x p. Pois bem, considere então uma matriz ; 0 1 e uma matriz A 1 Q. Ao efetuar o produto da matriz A pela matriz B, o resultado será uma matriz do tipo m x p. Ou seja, o produto é uma matriz que tem o número de linhas de A e o número de colunas de B. Resumindo, para verificar se é possível multiplicar duas matrizes, coloque o tipo da primeira matriz à esquerda e o tipo da segunda matriz à direita. O produto existirá se os números do meio coincidirem e o resultado será uma matriz do tipo m x p, onde m e p são os números das extremidades. Por exemplo, será que é possível multiplicar uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1? Os números do meio coincidiram? Sim! 1º 2º Então o produto existe! E o resultado é uma matriz de que tipo? Basta olhar os números das extremidades: será uma matriz do tipo 2 x 1. Vejamos outro exemplo: será que é possível multiplicar uma matriz 4 x 1 por uma matriz 2 x 4? Os números do meio coincidiram? Não!! 1º 2º Portanto, o produto entre essas duas matrizes não existe. Observe que existe o produto de uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1, mas não existe o produto de uma matriz do tipo 4 x 1 por uma matriz do tipo 2 x 4. Prof. Guilherme Neves 13

14 Bom, já sabemos verificar se podemos ou não multiplicar duas matrizes e já sabemos identificar o tipo da matriz produto. Falta ainda o principal: aprender a multiplicar. Existe um processo muito fácil para multiplicar matrizes. É o seguinte: Desenhe uma cruz bem grande... Assim: É óbvio que você só vai desenhar esta cruz depois de verificar se é possível multiplicar as matrizes, pois se não for possível, nem perca o seu tempo. Bom, e o que fazer com esta cruz? No terceiro quadrante (lembra dos quadrantes do plano cartesiano?) você escreverá a primeira matriz e o no primeiro quadrante você escreverá a segunda matriz. 2ª matriz 1ª matriz - Beleza até agora? Prof. Guilherme Neves 14

15 - Beleza não, professor! Chega de delongas e coloca umas matrizes aí para ficar claro. - Ok! Exemplo 2. Dadas as matrizes ; = e A = R S, determine, se existir, as matrizes ; A e A ;. Resolução A matriz A possui 2 linhas e 4 colunas, portanto é do tipo 2 x 4. A matriz B possui 4 linhas e 3 colunas, portanto é do tipo 4 x 3. Será que existe o produto ; A? 1º 2º Os números do meio coincidem! É possível multiplicar. O resultado será uma matriz do tipo 2 3. Será que existe o produto A ;? 1º 2º Os números do meio não coincidem, portanto não existe a matriz A ;. Bom, vamos agora calcular a matriz ; A que já sabemos ser do tipo 2 x 3. Prof. Guilherme Neves 15

16 Vamos desenhar a cruz e colocar a matriz A no terceiro quadrante e a matriz B no primeiro quadrante. 2ª matriz ª matriz RESULTADO O resultado do produto das matrizes ficará localizado no quarto quadrante. Sabemos que o resultado é uma matriz do tipo 2 x 3, ou seja, terá 2 linhas e três colunas Prof. Guilherme Neves 16

17 Bom, e agora, como descobrimos cada uma destes números? Vejamos por exemplo o elemento que está na primeira linha e segunda coluna (a bolinha vermelha abaixo) Observe que esta bolinha vermelha é fruto do cruzamento entre a primeira linha da matriz da esquerda com a segunda coluna da matriz de cima. Então faremos o seguinte. Multiplicaremos os elementos correspondentes destas duas filas e somaremos os resultados. Assim: i) O primeiro elemento fila da esquerda é 1 e o primeiro elemento da fila de cima é 2. Multiplicamos 1 2 = 2. ii) O segundo elemento da fila da esquerda é 3 e o segundo elemento da fila de cima é 5. Multiplicamos 3 5 = 15. iii) O terceiro elemento da fila da esquerda é 2 e o terceiro elemento da fila de cima é 3. Multiplicamos 2 ( 3) = +6 iv) O quarto elemento da fila da esquerda é 5 e o quarto elemento da fila de cima é 1. Multiplicamos 5 1 = 5. v) Devemos somar estes resultados obtidos: = 28. Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é 28!! Será sempre assim... Multiplicando linha por coluna... Prof. Guilherme Neves 17

18 Vamos descobrir agora o elemento que está na primeira linha e na primeira coluna Devemos multiplicar os elementos correspondentes e somar os resultados. Vamos fazer um pouquinho mais rápido. Será assim: 1º x 1º + 2º x 2º + 3º x 3º + 4º x 4º ( 2) = = 15 Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é igual a Vamos calcular o elemento da primeira linha e terceira coluna. Vamos então multiplicar a fila da esquerda pela fila de cima. Lembre-se: multiplicamos os elementos correspondentes (primeiro com primeiro, segundo com segundo,...) e somamos os resultados. Prof. Guilherme Neves 18

19 ( 2) ( 4) = = Vamos agora determinar o elemento que está na segunda linha e na primeira coluna. Efetue o mesmo processo. Multiplicamos os elementos correspondentes das duas filas e somamos os resultados ( 1) = = Vamos calcular o número que está na segunda linha e na segunda coluna (bolinha vermelha). Multiplicando a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento ( 1) ( 3) = = 21 Vamos calcular o número que está na segunda linha e terceira coluna (bolinha azul). Multiplicamos a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento. Prof. Guilherme Neves 19

20 Terminamos! RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB ( 1) ( 4) = = Desta forma, o produto da matriz ; = pela A = R Sé a matriz G = Ufa! Trabalhoso, não? Este mecanismo é bom porque faz com que as pessoas não confundam quais as linhas e quais as colunas que devem ser multiplicadas. 6. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Se A= (a ij )3x3 é a matriz definida por a ij = i + j e B=(b ij )3x3 é a matriz definida por b ij = 2i j, então o elemento localizado na terceira linha e segunda coluna da matriz A.B é (A) 28. (B) 34. (C) 31. (D) 22. (E) 44. Resolução O problema pede apenas um elemento do produto AB. Vamos determinar os elementos das matrizes A e B. Lembrando que i é a linha e j é a coluna do elemento. ; = ** *( *) = = )* )( )) (* (( () Prof. Guilherme Neves 20

21 B ** B *( B *) A = (* (( () = = B )* B )( B )) Estamos multiplicando uma matriz do tipo 3 x 3 por outra matriz do tipo 3 x 3. O produto existe (porque os números do meio coincidem) e o resultado será uma matriz do tipo 3 x 3 (números das extremidades) Queremos calcular o elemento localizado na terceira linha e na segunda coluna. Vamos multiplicar a fila da esquerda pela fila de cima. Letra B = = 34 Vale a pena notar que a multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa, ou seja, para duas matrizes quaisquer A e B é falso dizer que necessariamente U V = V U. Note também que, se estivermos trabalhando com números reais, é sempre verdade que se W X = Y, Z2[ã] W = Y ]^ X = Y. Isto não é verdade quando estivermos trabalhando com matrizes. Ou seja, é possível encontrar matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula. Experimente multiplicar, por exemplo, a matriz 8 _ Y 9 pela matriz Y 8 Y Y _ 9 e verifique que o resultado é a matriz 8Y Y 9. Prof. Guilherme Neves 21

22 8. Matriz Transposta Considere uma matriz qualquer ; = ( &' ) 0 1. Chama-se transposta da matriz A a matriz ;` do tipo n x m que se obtém trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, as colunas da transposta são ordenadamente iguais às linhas de da matriz original. Exemplos: Propriedades i) (U [ ) [ = U ; = 8 _ J a _ b b c d 9 ;` =, J c- a d b c d b f h ; =, f Z g- ;` =, c Z i- h i j d g j Ou seja, a transposta da matriz transposta de A é a própria matriz A. b c d b f h b c d ; =, f Z g- ;` =, c Z i- (U [ ) [ =, f Z g- h i j d g j h i j ii) Se A e B são matrizes do mesmo tipo, ou seja, com o mesmo número de linhas e o mesmo número de c olunas, então. (U + V) [ = U [ + V [ Isto quer dizer que tanto faz: Somar duas matrizes e depois calcular a transposta do resultado. Calcular as transpostas das matrizes e depois somar o resultado. iii) Se k é um número real qualquer e U é uma matriz, então (k U) [ = k U [ Isto quer dizer que tanto faz: Multiplicar uma matriz por um número real e depois calcular a transposta do resultado. Calcular a transposta da matriz e, em seguida, multiplicar por um número real. Prof. Guilherme Neves 22

23 iv) Se A e B são matrizes que podem ser multiplicadas, então V [ e U [ também podem ser multiplicadas e (UV) [ = V [ U [ Isto quer dizer que tanto faz: Multiplicar a matriz A pela matriz B e, em seguida, calcular a transposta. Calcular a transposta de B, calcular a transposta de A e multiplicar (nesta ordem) (MPU 2004/ESAF) Sejam as matrizes ; = 2 6 e A =! " e seja 3 3 M &' o elemento genérico de uma matriz X tal que L = (;A)`, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre M )* e M *( é igual a: a) 2 b) ½ c) 3 d) 1/3 e) 1 Resolução Vamos multiplicar as matrizes. Devemos multiplicar uma matriz do tipo 3 x 2 (3 linhas e 2 colunas) por uma matriz do tipo 2 x 4. O produto existe, porque os números do meio coincidem e o resultado é uma matriz do tipo 3 x 4 (números das extremidades) B l = m h P Observe que não precisamos calcular todos os elementos do produto. O nosso objetivo é calcular a matriz transposta deste resultado. A matriz transposta será: Prof. Guilherme Neves 23

24 B l = n o m P h Queremos calcular a razão entre M )* e M *(. Ou seja, a razão entre o elemento que está situado na terceira linha e primeira coluna (elemento c) e o elemento que está situado na primeira linha e segunda coluna (elemento e). Portanto, queremos calcular c/e. Vamos voltar ao produto das matrizes B l = m h P = = 16 = = 8 Portanto, = 16 8 = 2 Letra A 9. Determinantes O nosso intuito é fazer com que o candidato se sinta seguro para fechar as provas de Raciocínio Lógico. Portanto, definiremos determinantes visando às provas de concursos. Na realidade, os assuntos da presente aula (matrizes, determinantes e sistemas lineares) são tópicos da alfabetização para uma cadeira universitária denominada álgebra linear. Livros universitários de Álgebra Linear, como o de Bernard Kolman, definem determinantes genericamente sem fazer referências à ordem da matriz utilizando conceitos de permutações pares e ímpares, etc. Prof. Guilherme Neves 24

25 Não seguiremos esta linha. Definiremos determinantes de matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. Verificaremos diversas propriedades e teoremas de forma que em eventuais casos que precisemos calcular determinantes de ordem maior que 3, o possamos fazer sem maiores esforços. Pois bem, para começar, devemos frisar que apenas matrizes quadradas admitem o cálculo de determinantes. O determinante da matriz A é denotado por det ;. i) Se a matriz quadrada é de ordem 1, então o determinante da matriz é o único elemento da matriz. Exemplo: Considere a matriz ; = 2. O determinante da matriz A é o número 2. det ; = 2 ii) Se a matriz quadrada é de ordem 2, então o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. ; =! B B " det ; = s s = B Observe que indicamos o determinante de uma matriz A com barras verticais ao lado dos elementos da matriz. Exemplo: Calcule o determinante da matriz ; =! ". Resolução s 2 3 s = 2 4 ( 3) 5 = = iii) Se a matriz é de ordem 3, o determinante é calculado com o auxílio da regra de Sarrus. ** *( *) ; = (* (( () )* )( )) Devemos repetir as duas primeiras colunas. Prof. Guilherme Neves 25

26 Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as flechas e somamos os 3 resultados. Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os sinais dos produto e somamos os resultados. Em seguida somamos os dois resultados obtidos. Vejamos um exemplo: Exemplo 3. Calcule o determinante da matriz ; = Resolução det ; = t t Devemos repetir as duas primeiras colunas det ; = t t Multiplicamos os elementos no sentido da diagonal principal det; = t t ( 1) = 7 Prof. Guilherme Neves 26

27 Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os sinais dos produtos e somamos os resultados det; = t t (1) (5) ( 1) ( 2) (3) (4) (0) (2) (1) = = 29 Devemos somar os dois resultados obtidos. det ; = = Propriedades dos determinantes Vejamos algumas propriedades dos determinantes: i) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então det M = 0. Exemplo / = # % cos 57 x 1,37 15 O determinante da matriz M é igual a 0, pois a matriz possui uma fila composta por zeros. ii) Se uma Matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M = 0. Exemplo: / = # % 15 1,37 15 Prof. Guilherme Neves 27

28 Como a primeira coluna é igual à terceira coluna, então o determinante da matriz é igual a 0. iii) Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0. Exemplo: / = # % 1 1,37 3 Observe a primeira e a terceira coluna. Elas são proporcionais e a constante de proporcionalidade é igual a 3 (ou seja, a terceira coluna foi produzida multiplicando a primeira coluna por 3). Assim, o determinante da matriz é igual a 0. iv) Se uma matriz quadrada M tem uma linha (ou coluna) que é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = 0. Deixe-me falar numa linguagem bem coloquial para explicar o que é combinação linear. Imagine que você vai construir uma matriz de terceira ordem. 2 5 / = Você construiu a primeira coluna e a segunda coluna. E você resolveu ser um pouco mais criativo para construir a última coluna. E o que você fez? Você multiplicou a primeira coluna por 2 e multiplicou a segunda coluna por 3 e somou os dois resultados. O que você obteve? / = = Pronto! A terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras colunas. Ou seja, você deve multiplicar uma fila por um certo número A e outra fila por qualquer outro número B. Somando os dois resultados, você obtém uma combinação linear das duas filas. Prof. Guilherme Neves 28

29 Pense bem, uma coisa é criar a matriz e saber que uma fila é combinação linear das outras duas. Imagine que o quesito fosse assim: Calcule o determinante da matriz / = Obviamente a pessoa que criou a questão sabe que a terceira coluna é combinação linear das outras duas e, portanto, o determinante é zero. A dificuldade é perceber na hora da prova isso. Não será você o criador das questões!! Veja só outro exemplo. Calcule o determinante da matriz: / = Se você tiver um excelente olho e perceber que Primeira coluna = (Segunda coluna) x 2 + (Terceira coluna) x 5 Você poderá concluir que o determinante é zero. Caso contrário, terás que usar a regra de Sarrus (o que é bem provável que aconteça. Não perca seu tempo tentando achar alguma regra. Faça as contas que em muitos casos é mais rápido!) v) Se U é uma matriz quadrada de ordem n e U [ é a sua transposta, então yz{ U = yz{ U [. vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n por um número real k, o determinante da nova matriz será o produto do determinante de A pelo número k Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz ; = é igual a Vamos multiplicar uma fila qualquer por 2, digamos a segunda coluna ; * = Prof. Guilherme Neves 29

30 Para calcular o determinante desta nova matriz, basta multiplicar o determinante da matriz original por 2. Desta forma, det ; * = 2 det ; = 2 36 = 72. vii) Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será yz{(k U) = k 2 yz{ (U) Na verdade, esta propriedade vii é uma decorrência da propriedade vi. Isto porque multiplicar uma matriz de ordem n por uma constante k é o mesmo que multiplicar as n linhas por k (ou as n colunas). Ao multiplicar a primeira linha por k, multiplicamos o determinante por k. Ao multiplicar a segunda linha por k, multiplicamos o determinante por k. Ao multiplicar a terceira linha por k, multiplicamos o determinante por k. Se a matriz é de ordem n, então terá n linhas. Então, det(p ;) = }~~~~~~ P P P P det ; = P 1 det ; 1 `xƒ viii) Considere uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 2. Se trocarmos a posição de duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o determinante da matriz troca de sinal Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz ; = é igual a Se trocarmos a posição da primeira linha com a terceira linha, o determinante da matriz troca de sinal ; ( = O determinante desta matriz é igual a 36. ix) O determinante de qualquer matriz identidade é igual a (MPOG 2008 ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: Prof. Guilherme Neves 30

31 a) 10-6 b) 10 5 c) d) 10 6 e) 10 3 Resolução Quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) de uma matriz por um número real a, o determinante da matriz também será multiplicado por a. Nessa questão, quando multiplicamos todos os elementos da matriz X por 10, o que aconteceu? Multiplicamos a primeira linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. Multiplicamos a segunda linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. Multiplicamos a terceira linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. Multiplicamos a quarta linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. Multiplicamos a quinta linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. Assim, o determinante da matriz X, que é igual a 10, será igual a: det(10l) = det(m) = = 10 É válido o seguinte teorema: se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será det(p ;) = P 1 det (;) Assim, como a matriz do problema é de 5ª ordem e foi multiplicada por 10, Letra D det(10 ;) = 10 det(;) = = (ATA MF 2009/ESAF) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por 3, o determinante da matriz fica Prof. Guilherme Neves 31

32 a) Multiplicado por 1. b) Multiplicado por 16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por 2/3. Resolução Vamos relembrar uma das propriedades. vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n por um número real k, o determinante da nova matriz será o produto do determinante de A pelo número k. Ora, se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2, o determinante será multiplicado por 2. Se dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por 3, o determinante será dividido por -3. Assim, juntando tudo, o determinante será multiplicado por 2/3. Letra E 10. (MPOG 2002 ESAF) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: a) 2 b) 1/2 c)4 d) 8 e) 10 Resolução O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Assim, o determinante não será alterado. P orém, quando multiplicamos uma matriz de segunda ordem por 2 (já que queremos o determinante do dobro da matriz), o determinante será: Letra D det (2 ;ˆ) = 2 1 det(;ˆ) = 2 ( det(;) = 4 2 = 8 Prof. Guilherme Neves 32

33 11. (BNB 2002 VUNESP) Dadas as matrizes a b c a 5 1 A = = e B b 3 2, de determinantes não nulos, para quaisquer c 2 3 valores de a, b e c, temos A) det(a) = det(b) B) det(b) = 2.det(A) C) det(a) = 2.det(B) D) det(a) = 2.det(B) E) det(a) = det(b) Quais foram as transformações sofridas por A para chegar na matriz B? Observe que a primeira linha de A é igual à primeira coluna de B. A segunda linha de A é igual à segunda coluna de B. Vamos construir a matriz transposta de A. A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Observe agora a matriz B. 5 2 ;` = B a B= b c A terceira coluna da matriz transposta de A é igual ao dobro da terceira coluna de B. Dessa forma, o determinante da transposta de A é o dobro do determinante da matriz B. det (;ˆ) = 2 det(a) Como o determinante de A e de sua transposta são iguais, det (;) = 2 det(a) Letra C Prof. Guilherme Neves 33

34 12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x 3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: a) x -6 b) x 6 c) x 3 d) 1 e) 1 Resolução Considere a matriz A: B ; = l m h A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. B A = l h m Observe que as segundas colunas das matrizes são iguais. Apenas permutamos a primeira com a terceira coluna. Quando permutamos (trocamos de lugar) duas filas (linhas ou colunas), o determinante troca de sinal. Como o determinante de A é igual a x 3, então o determinante de B será igual a x 3. O produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a Letra B det(;) det(a) = M ) ( M ) ) = M 13. (MPOG 2005 ESAF) O menor complementar de um elemento genérico x ij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = y ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que Prof. Guilherme Neves 34

35 (a ij ) = (i+j) 2 e que b ij = i 2, então o menor complementar do elemento y 23 é igual a: a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 e) 80 Resolução Vamos construir as matrizes A e B. ** *( *) (1 + 1) ( (1 + 2) ( (1 + 3) ( ; = (* (( () = # ( ( ( % = )* )( )) (3 + 1) ( (3 + 2) ( (3 + 3) ( B ** *( *) 1 ( 1 ( 1 ( A = (* (( () = 2 ( 2 ( 2 ( = B )* B )( B )) 3 ( 3 ( 3 ( = ; + A = = Se quisermos calcular o menor complementar do elemento y 23, devemos suprimir a segunda linha e a terceira coluna de Y. s 5 10 s = = = Lembre-se que para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem devemos calcular a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Letra C 14. (ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c ; = B é: B Prof. Guilherme Neves 35

36 e) 0 Resolução Resolveremos esta questão de duas maneiras: a primeira usando a força bruta do braço e a segunda utilizando algumas propriedades dos determinantes. Um determinante de terceira ordem pode ser calculado com o auxílio da regra de Sarrus. Devemos repetir as duas primeiras colunas ; = t B t B 2 1 B B Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as flechas. Obtemos 2 B + 1 (4 + ) + 0 (2 + B) = 2B Vamos multiplicar os elementos que estão na direção da diagonal secundária e trocar o sinal do resultado. Obtemos 1 2 (2 + B) 0 B (4 + ) = 4 2B Para calcular o determinante da matriz A, devemos somar os dois resultados obtidos: Vamos voltar ao quesito: ; = 2B B = 0 (ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz A = B é: B Prof. Guilherme Neves 36

37 a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c e) 0 RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Ora, perceba que multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a segunda linha, obtemos a terceira linha. Assim, a terceira linha é combinação linear das outras duas e o determinante é zero. Letra E 15. (Gestor Fazendário MG 2005/ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que A = 2 */: ;. Sabendo que o determinante de A é igual a 2 */(, então o determinante da matriz B é igual a: a) 2 1/2 b) 2 c) 2-1/4 d) 2-1/2 e) 1 Resolução As matrizes são de segunda ordem. Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será det(p ;) = P 1 det (;). Estamos Como a matriz multiplicando A é de segunda a matriz ordem, A por 2 */: então, portanto, = 2 P = 2 */:. detn2 */: ;O = N2 */: O ( det (;) detn2 */: ;O = N2 */: O ( 2 */( Letra E det A = 2 ( * : 2 */( = 2 */( 2 */( = 2 * ( Ž8 * ( 9 = 2 = 1 Prof. Guilherme Neves 37

38 16. (AFC-STN 2000/ESAF) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz = 3 tem determinante igual a: a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81 Resolução A matriz é de terceira ordem, logo = 3. Estamos multiplicando a matriz Z por 3, logo P = 3. Sabemos também que = L` e sabemos que o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta. det(p ) = P 1 det ( ) det(3 ) = 3 ) det( ) = 27 det L` Sabemos que 3 = 3 det L` = det L. Como det L = 3, Letra E det = 27 L det = 27 3 = (AFC-CGU 2008 ESAF) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B (bij), também de terceira ordem, dada por: Prof. Guilherme Neves 38

39 Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a: a) 50 b) -50 c) 0 d) -100 e) 100 Resolução A matriz A é dada por: b b _J b _a ; = b J_ b a_ b JJ b aj b Ja b aa A matriz B é dada por: B ** B *( B *) b a_ b aj b aa A = (* (( () = b J_ b JJ b Ja B )* B )( B b b _J b _a )) A matriz B foi construída a partir da matriz A a partir do seguinte processo: Repetimos a segunda linha. Trocamos a primeira linha com a terceira linha Vimos na propriedade viii que se trocarmos a posição de duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o determinante da matriz troca de sinal. Como o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a 100. Letra D 11. Teorema de Binet Se ; e A são matrizes quadradas de ordem n, então: det(;a) = det ; det A Prof. Guilherme Neves 39

40 Isto quer dizer que tanto faz: Calcular o produto AB e calcular o determinante do produto. Calcular o determinante de A, calcular o determinante de B e multiplicar os resultados (MPU 2004/ESAF) Considere as matrizes L = 2 4 6; = 2 B onde os elementos a,b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a: a) 0 b) c) + B + d) + B e) + Resolução Queremos calcular (L ). Pelo Teorema de Binet, sabemos que det(l ) = det L det Dê uma olhada na matriz X L = Percebeu que a segunda linha é igual a primeira linha multiplicada por 2? Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0. Podemos concluir que o determinante da matriz X é igual a 0. det(l ) = det L det det(l ) = 0 det = 0 Prof. Guilherme Neves 40

41 Letra A 12. Matriz Inversa Considere uma matriz quadrada de ordem n. Vamos chamar esta matriz de A. Dizemos que a matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que ; A = A ; = 7 1. Lembre-se que 7 1 é a matriz identidade de ordem n. Esta matriz B é chamada matriz inversa de A e é denotada por ; *. Exemplo: A inversa da matriz ; =! " é a matriz ; * =! " porque! "! " =! ". Para verificar basta fazer: B = ( 4) = = 1 B = 5 ( 6) = = 0 = ( 4) = = 0 = 4 ( 6) = = 1 Ora, sabemos que ; ; * = 7 1. Vamos aplicar o teorema de Binet. det(; ; * ) = 7 1 det ; det ; * = 7 1 Lembre-se que o determinante da matriz identidade é igual a 1, portanto: Prof. Guilherme Neves 41

42 det ; det ; * = 1 Este fato é muito importante. Pois se for dado o determinante de uma matriz, podemos automaticamente calcular o determinante da sua inversa e reciprocamente. Se a matriz A não admite inversa, a matriz A é chamada de matriz singular. Uma matriz quadrada não é inversível quando o seu determinante é igual a 0. Por exemplo, a matriz! 5 2 " é uma matriz singular, isto é, não admite 10 4 inversa. Isto pode ser verificado calculando o seu determinante. s 5 2 s = = = Bom, podemos concluir que se o determinante da matriz quadrada é diferente de zero, então a matriz é inversível. E como calculamos a matriz inversa? Neste curso, ficaremos restritos ao cálculo de matrizes inversas de ordem 2. Considere uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante diferente de 0. ; =! B " A inversa da matriz A é calculada da seguinte forma: ; * = 1 det ;! B " Ou seja, trocamos de posição os elementos da diagonal principal e mudamos o sinal dos elementos da diagonal secundária. Depois dividimos todos os elementos pelo determinante da matriz original. Exemplo 4. Determine, se existir, a inversa da matriz ; =! ". Resolução O primeiro passo é calcular o determinante da matriz A. det ; = = 2 Vamos trocar a posição dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária.! " Prof. Guilherme Neves 42

43 O próximo passo é dividir todos os elementos pelo determinante da matriz original que é igual a 2. ; * = 4 3 5/ (Oficial de Chancelaria MRE 2002/ESAF) Dada a matriz! 1 1 " e M sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de M é igual a: a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2 Resolução Sabemos que det ; det ; * = 1. O problema já forneceu o determinante da inversa que é igual a 1/2. det ; 1 2 = 1 det ; = 2 Ora, temos em mãos o determinante da matriz original. Letra A s 1 1 s = 2 M M = 2 1 M = 2 M = 1 M = 1 Prof. Guilherme Neves 43

44 13. Sistemas Lineares Equação linear nas incógnitas M,,, é toda equação do tipo M + B + + = P. Os números reais, B,, (os números que multiplicam as incógnitas) são chamados de coeficientes e o número P é o termo independente da equação. É importante notar que os expoentes das incógnitas devem ser todos iguais a 1 para que a equação seja considerada linear. São equações lineares: Não são equações lineares: 2M + 3 = 5 4M = 0 2M ) 5 ( = 8 M + 6 = 0 2M + 3M = 7 É importante também notar que não é permitido o produto de duas incógnitas em algum dos termos da equação. Vejamos alguns fatos que aprenderemos nas aulas de lógica. Veremos que uma sentença do tipo 3M + 2 = 12 não é uma proposição lógica. Isto porque não podemos determinar o seu valor lógico sem que sejam fornecidos os valores das incógnitas. Se alguém nos disser que M = 2 = 3, então a sentença 3M + 2 = 12 tornar-seá verdadeira porque = 12; ao passo que se M = 3 = 0, a sentença 3M + 2 = 12 será classificada como falsa porque Pois bem, já que M = 2 = 3 torna a sentença 3M + 2 = 12 verdadeira, dizemos que a sequência (2,3) é uma solução da equação linear. Falamos em equações lineares. E o que vem a ser um sistema linear? Nada mais nada menos que um conjunto de equações lineares! Por exemplo: Prof. Guilherme Neves 44

45 2M + 5 = 9 M 3 = 1 Aqui, dizemos que uma sequência de números é uma solução do sistema linear, se a sequência for solução de todas as equações lineares que compõem o sistema. Por exemplo: A sequência (2,1) é solução do sistema linear acima, porque: = = Classificação dos sistemas lineares Se um sistema linear admitir pelo menos uma solução, diremos que o sistema é possível (alguns dizem que o sistema é compatível). Se o sistema não admitir soluções, ou seja, não existir uma sequência que satisfaça todas as equações do sistema, diremos que o sistema é impossível ou incompatível. Se o sistema é possível, ainda podemos fazer uma subclassificação: se o sistema admitir apenas uma solução, dizemos que o sistema é possível e determinado; se o sistema admitir infinitas soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado. Sistema linear Possível (admite solução) Impossível (não admite solução) Determinado (a solução é única) Indeterminado (existem infinitas soluções) Prof. Guilherme Neves 45