n. 4 DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE

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1 n. 4 DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar, e transforma essa matriz em um número real. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm, são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. Dentre as várias aplicações dos determinantes temos: resolução de sistemas de equações, por meio da simplificação de matrizes de ordem maior que 3; servem para sintetizar expressões matemáticas mais sofisticadas; indispensável na investigação e obtenção das propriedades de um operador linear; cálculo da área de um triângulo, situado no plano cartesiano, quando conhecidas as coordenadas dos seus vértices; para achar uma equação da reta quando temos dois pontos dados, basta aplicar o determinante pensando na condição de alinhamento de três pontos (isto é, igualando a zero).

2 Definição: dados dois vetores, o det (A) é a área (com sinal +) do paralelogramo P, determinado pelos dois vetores, u e v. Matriz 2 x 2. A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada pelos vetores que representam seus lados. Definição: dados três vetores, o det (A) é o volume (com sinal +) do paralelepípedo P, de arestas u, v e w. Matriz 3 x 3. o cálculo do volume de um paralelepípedo pode ser escrito na forma de um determinante:

3 x 1 y 1 z 1 produto misto entre vetores: (u, v, w ) = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 Obs.: quando nos referirmos ao volume consideramos o módulo: (u, v, w ) 0 A maneira mais eficiente de cálculo do determinante, utilizada nos algoritmos numéricos, é a eliminação de Gauss, reduzindo a matriz à forma de diagonal superior (ou inferior). Propriedades dos determinantes i) det A det T A A = [ 2 1 2] det A = [ 2 1 2] = 9 det A T = [ 2 1 4] = ii) Se multiplicarmos uma linha ou coluna de uma matriz por α R, o determinante fica multiplicado por α.

4 1 2 3 det A = [ 2 1 1] = 4 multiplicando a coluna 1 por 2 temos: det A = [ 4 1 1] = 2. ( 4) = iii) Se multiplicarmos todos os elementos de uma matriz de ordem n por α R, o determinante será multiplicado por α n. det ( α A) = α n det(a) Seja α = 2 e A = [ 2 1 1] então α A = [ 4 2 2] det(a) = 4 e α n = 2 3 = 8 portanto, det ( α A) = α n det(a) 32 = 8 ( 4) iv) Uma vez permutadas duas linhas ou colunas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal. O sinal se altera tantas vezes quantas forem as trocas det A = [ 2 1 1] =

5 Trocando as posições de L1 e L det A = [ ] = v) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero det A = [ 2 1 4] = vi) Teorema de Jacobi: O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna, os elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante. Carl Gustav Jakob Jacobi ( ) foi um matemático alemão, que fez contribuições fundamentais para funções elípticas, dinâmica, equações diferenciais e teoria dos números Exemplo: det A = [ 2 1 2] =

6 Fazendo a primeira coluna como a soma dos elementos dessa coluna com o dobro dos elementos da segunda coluna temos: det A = [ ] = [ 4 1 2] = vii) deta B det A det B Seja A = [ ] e B = [1 ] A. B = [ ] Logo, 5. 2 = 10 Portanto, det A. det B = det A.B viii) O determinante de uma matriz que tem todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) iguais à zero, o determinante é igual a zero. det A = [ ] = ix) Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) da matriz forem combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então o determinante é nulo det A = [ 2 4 6] =

7 Observando as colunas temos: C3 = C1 + C2 x) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo det A = [ 2 1 4] = Observando as colunas C1 e C3 temos: C3 = 2 C1 xi) Quando temos uma matriz triangular superior ou inferior o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal triangular superior: det A = [ 0 1 4] = triangular inferior: det A = [ 2 1 0] = xii) Quando em uma matriz os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por (-1) det A = [ 0 1 4] =

8 xiii) Se A é invertível, então det(a 1 ) = 1 se A é invertível então det(a) 0; det(a), de onde resulta que CÁLCULO DE DETERMINANTES Determinante de uma matriz de ordem 1 O determinante da matriz A de ordem n = 1 é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a 11 ] temos que o determinante é o número real a 11 : det(m) = a 11 Por exemplo: A = (3) então det (A) =3 Determinante de matriz de ordem 2 Se a matriz é de ordem 2, o determinante será o produto dos elemento da diagonal principal subtraído do produto dos elementos da diagonal secundária. a 11 a 12 A = a 21 det(a) = a 11. a 22 a 12. a 21 a 22 a A = c b det(a) = a. d b. c d 0 2 Por exemplo, o determinante da matriz B = é dado por: 1 1

9 det(b) = 0. ( 1) 2.1 = 0 2 = 2 Determinante de matriz de terceira ordem Para cálculo de matrizes de ordem 3, aplicamos a regra de Sarrus. Pierre Frédéric Sarrus ( ), nascido em Saint-Affrique (França), foi responsável pela regra prática de resolução de determinantes de ordem 3. Regra de Sarrus: O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais. Repetimos as duas primeiras linhas ou as duas primeiras colunas, de tal forma que: a 11 a 12 a 13 S = ( a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 ) det A = a11. a22. a33 + a12. a23. a31 + a13. a21. a32 a13. a22. a31 a11. a23. a32 a12. a21. a33 Ou:

10 Por exemplo: A = det (A) = [ ( ) + ( ) + (10. (-1). 2)] [ ( ) + ( ) + (3. (-1). 10)] det (A) = ( ) ( ) det (A) = det (A) = 0 Determinantes por uma linha ou por uma coluna É possível calcular o determinante desenvolvendo-o a partir de qualquer linha ou qualquer coluna, entretanto, é fundamental ter cuidado com a alternância dos sinais, que precedem os produtos formados. Para um determinante de 4ª ordem temos:

11 Para um determinante de 3ª ordem temos: Exemplo: a. A = [ 5 4 6] Calculando o determinante pela primeira linha temos: det A = 3. [ 4 6 ] (1). 6 4 [ 5 ] + ( 2). [ ] det A = 3. ( ) (1). ( ) + ( 2). ( 10 0) det A = det A = 175 b. A = [ ] Calculando o determinante pela primeira coluna temos: det A = 1. [ 0 3 ] (4). 1 1 [2 ] + ( 2). [ ] det A = 1. (0 9) 4. ( 8 + 3) 2. (6 + 0) det A = det A = 1

12 Determinantes de ordem igual ou maior que 4 Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3 utiliza-se o Teorema de Laplace. Pierre Simon Marquis de Laplace ( ) foi um matemático, astrônomo e físico francês que organizou a Astronomia Matemática, resumindo e ampliando o trabalho de seus predecessores. Esta obra-prima traduziu o estudo geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton para um estudo baseado em cálculo, conhecido como Mecânica Física. Teorema de Laplace O teorema consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores, ou complementos algébricos. O Teorema de Laplace pode ser aplicado quantas vezes forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da regra de Sarrus. O complemento algébrico ou cofator de um elemento aij de uma matriz é o número obtido fazendo-se: Aij = (-1) i+j. det (submatriz).

13 A submatriz é obtida eliminando-se da matriz original a linha i e a coluna j. A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais zeros. Exemplo: Seja A = [ ] então: Para calcularmos o determinante dessa matriz utilizando o Teorema de Laplace: 1. escolhemos qual a linha ou coluna que iremos utilizar. Fazendo para a coluna 1 temos: Det (A) = a 11. A 11 + a 21. A 21 + a 31. A 31 Det (A) = 1. A A 21 + ( 2). A 31 a 11 a 12 a 13 Matriz dada: A = [ a 21 a 22 a 23 ] a 31 a 32 a 33 A 11 A 12 A 13 Matriz Cofator: A = [ A 21 A 22 A 23 ] A 31 A 32 A 33

14 2. encontramos os cofatores de cada submatriz: Definição de submatriz Seja A uma matriz quadrada Uma submatriz n n. Aij de A é uma matriz obtida de A eliminando a i- ésima linha e a j-ésima coluna de A. Se Então, por exemplo: A 23 = e A 31 =, etc Voltando ao exemplo: a 11 a 12 a 13 Seja M a matriz original, tal que: M = [ a 21 a 22 a 23 ] a 31 a 32 a 33 A 11 A 12 A 13 E, seja M a matriz dos cofatores, tal que: M = [ A 21 A 22 A 23 ] A 31 A 32 A 33 Para encontrar os cofatores fazemos: Determinante

15 Determinante Determinante Determinante a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22 A 11 = (-1) 2 A 12 = (-1) 3 A 13 = (-1) 4 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 Determinante Determinante Determinante a 12 a 13 a 11 a 13 a 11 a 12 A 21 = (-1) 3 A 22 = (-1) 4 A 23 = (-1) 5 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 Determinante Determinante Determinante a 12 a 13 a 11 a 13 a 11 a 12 A 31 = (-1) 4 A 32 = (-1) 5 A 33 = (-1) 6 a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22 Como escolhemos a primeira coluna para resolver o exemplo, encontramos os cofatores apenas dessa coluna. Assim, para a matriz 1 A Determinante Determinante Determinante A 11 = (-1) A 21 = (-1) A 31 = (-1) Logo, Det (A) = 1. A A 21 + ( 2). A 31 Det (A) = 1. ( 9) + 4. (5) + ( 2). (6) Det (A) = Det (A) = 1 Desenvolvimento de Laplace Generalizando: a ij aij ij nn n det para qualquer linha i. j1

16 Observação: O desenvolvimento pode também ser feito na variável j: n a ij aij ij det para qualquer coluna j. nn i1 a 11 a 12 a 13 Lembrando que: [ a 21 a 22 a 23 ] a 31 a 32 a 33 Exemplo a. Se A então calcule det (A) Escolhendo, por exemplo, a segunda linha (i=2) 3 det A a j1 2 j 2 j a a a det det det Exercícios: 1. Calcule o determinante de: a [ ] R: det (A) = 38

17 b [ ] R: det (B) = 54 a b a c. [ ] R: det (C) = - b2 a a + b d [ ] R: det (D) = - 25 k k 2. Determine os valores de k para os quais [ 4 2 k ] = Encontre o cofator de 3 na matriz M: R: k = 0 ou k = 2 M = [ ] R: cof (3)= O determinante da matriz: é igual a: R: (b) A de ordem 2, onde: i j a i j a i j 3,

18 (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) n.d.a O determinante da matriz M = R: (e) [ ] é: (a) -4 (b) -2 (c) 0 (d) 2 (e) 4 5. Qual a relação entre os determinantes das matrizes A e B? A = [ ] e B = [ 3 5 2] R: det (A) = 7 det (B) Resolução dos exercícios 1. Calcule o determinante de: a [ ] R: det (A) = 38 Usando Laplace (linha 4): det(a) = 1 (-1) 4+1. det (submatriz a41) + (-2) (-1) 4+2. det (submatriz a42) + (-1) (-1) 4+3. det (submatriz a43) + 4 (-1) 4+4. det (submatriz a44)

19 det(a) = 1 (-1) 5. det ([ 3 1 2]) + (-2) (-1) 6. det ([ 2 1 2]) + (-1) (-1) 7. det ([ 2 3 2]) + 4 (-1) 8. det ([ ]) det(a) = 1. (-16 ) - 2. (-2 )+ 1. ( 34) + 4. (-4 ) det(a) = det(a) = 38 b [ ] R: det (B) = 54 Usando Laplace (linha 4): det(a) = 1 (-1) 4+1. det (submatriz a41) + (0) (-1) 4+2. det (submatriz a42) + (-2) (-1) 4+3. det (submatriz a43) + 1 (-1) 4+4. det (submatriz a44) det(a) = 1 (-1) 5. det ([ 1 2 1]) (-2) (-1) 7. det ([ 0 1 1]) + 1 (-1) 8. det ([ 0 1 2]) det(a) = 1. (9) +2. (24)+ 1. (15) det(a) = det(a) = 54 a b a c. [ ] R: det (C) = - b2 a a + b det(c) = (a b). (a + b) a. a det(c) = a 2 + ab ab b 2 a 2 det(c) = b 2 d [ ] R: det (C) = - 25

20 Usando Laplace (coluna 1): det(a) = 1 (-1) 1+1. det (submatriz a11) + (0) (-1) 2+1. det (submatriz a21) + (0) (-1) 3+1. det (submatriz a31) + (0) (-1) 4+1. det (submatriz a41) + (0) (-1) 5+1. det (submatriz a51) det(a) = 1 (-1) det [ ] det(a) = 1. det [ ] Aplicando Laplace novamente: Usando Laplace (linha 1): det(a) = 1 (-1) 1+1. det (submatriz a11) + (0) (-1) 1+2. det (submatriz a12) + (0) (-1) 1+3. det (submatriz a13) + (0) (-1) 1+4. det (submatriz a14) det(a) = 1 (-1) 2. det [ 5 1 4] det(a) = 1. det [ 5 1 4] det(a) = - 25 k k 2. Determine os valores de k para os quais [ 4 2 k ] = 0. Logo, k = 0 ou k = 2 k k [ 4 2 k ] = 0 k. 2k k.4 = 0 2k 2 4k = 0 2k(k 2) = 0 3. Encontre o cofator de 3 na matriz M:

21 M = [ ] R: cof (3)= - 19 A 42 = (-1) 4+2. det (submatriz a42) A 42 = (-1) 6. det [ 6 5 7] A 42 = 1. (-19) A 42 = - 19 Referências Bibliográficas BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.

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