Algoritmos Numéricos 2 a edição

Transcrição

1 Algoritmos Numéricos 2 a edição Capítulo 2: Sistemas lineares

2 c 2009 FFCf Conceitos fundamentais 2.2 Sistemas triangulares 2.3 Eliminação de Gauss 2.4 Decomposição LU Capítulo 2: Sistemas lineares 2.5 Decomposição de Cholesky e LDL T 2.6 Decomposição espectral 2.7 Uso da decomposição 2.8 Métodos iterativos estacionários 2.9 Análise de erro na solução de sistemas 2.10Exemplos de aplicação: tensões em circuito elétrico e estequiometria de reação química 2.11Exercícios

3 c 2009 FFCf 3 Conceitos fundamentais Matriz é um conjunto de elementos dispostos em forma retangular. Tamanho ou dimensão de uma matriz definido pelo número de linhas e colunas. Matriz com m linhas e n colunas é dita ser m n e se m = n, então ela é quadrada de ordem m. Elementos da matriz delimitados por colchetes ou parênteses a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = a 31 a 32 a 33 a 3n a m1 a m2 a m3 a mn Elemento referenciado por dois índices: o primeiro indica a linha e o segundo a coluna onde está o elemento.

4 c 2009 FFCf 4 Coluna: a 11 a 21 a 31. a m1. Alguns tipos de matrizes Linha: [ a 11 a 12 a 13 a 1m ]. Nula:

5 c 2009 FFCf 5 Diagonal: d d d d nn Alguns tipos de matrizes. Identidade:

6 c 2009 FFCf 6 Triangular inferior: Alguns tipos de matrizes b b 21 b b 31 b 32 b b m1 b m2 b m3 b mm. Triangular superior: c 11 c 12 c 13 c 1m 0 c 22 c 23 c 2m 0 0 c 33 c 3m c mm.

7 c 2009 FFCf 7 Densa: Esparsa: Alguns tipos de matrizes Simétrica: m ij = m ji, i, j, ou seja, M = M T. Exemplo 1 A matriz simétrica M e sua transposta M T M = e M T =

8 c 2009 FFCf 8 Transposição Transposta A T da matriz A é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Exemplo 2 A transposição da matriz A A = e AT =

9 c 2009 FFCf 9 Adição e subtração C = A + B, tal que c ij = a ij + b ij, i, j. Exemplo 3 As operações de adição e subtração das matrizes A e B A = 1 4, B = 0 3, C = A + B = 1 7 e D = A B =

10 c 2009 FFCf 10 B = ka, tal que b ij = ka ij, i, j. Multiplicação por escalar Exemplo 4 O produto de matriz por escalar [ ] A = e B = 2A = [ ].

11 c 2009 FFCf 11 Multiplicação Matriz-vetor A (n m) multiplicada por v (m 1) = x (n 1), de forma que m x i = a ij v j, i = 1, 2,..., n. j=1 Exemplo 5 O produto de matriz por vetor 1 2 [ ] A = 1 3 4, v = x = Av =

12 c 2009 FFCf 12 Multiplicação Matriz-Matriz A (n p) multiplicada por B (p m) = C = AB (n m), tal que p c ij = a ik b kj, i = 1, 2,..., n e j = 1, 2,..., m. k=1 Exemplo 6 O produto de matriz por matriz [ ] A =, B = 4 0 C = AB = [ ].

13 c 2009 FFCf 13 d 33 Multiplicação por matriz diagonal Pré-multiplicação de uma matriz A por uma matriz diagonal D: d 11 a 11 a 12 a 13 d 11 a 11 d 11 a 12 d 11 a 13 d 22 a 21 a 22 a 23 = d 22 a 21 d 22 a 22 d 22 a 23 a 31 a 32 a 33 d 33 a 31 d 33 a 32 d 33 a 33 Pós-multiplicação de uma matriz A por uma matriz diagonal D: a 11 a 12 a 13 d 11 a 11 d 11 a 12 d 22 a 13 d 33 a 21 a 22 a 23 d 22 = a 21 d 11 a 22 d 22 a 23 d 33 a 31 a 32 a 33 d 33 a 31 d 11 a 32 d 22 a 33 d 33..

14 c 2009 FFCf 14 Produto interno: Produtos vetoriais k = x T y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y x n y n = n x i y i. Produto externo: x 1 y 1 x 1 y m M = xy T =.. ; m ij = x i y j, i=1, 2,..., n; j =1, 2,..., m. x n y 1 x n y m i=1 Exemplo 7 O produto interno e externo de dois vetores 5 1 x = 1, y = 3 k = x T y = 10 e M = xy T =

15 c 2009 FFCf 15 Determinante Valor pode ser obtido pela fórmula de recorrência det(a) = a 11 det(m 11 ) a 12 det(m 12 ) + + ( 1) n+1 a 1n det(m 1n ). Particularmente, A = [ ] a 11 det(a) = a11, [ ] a11 a A = 12 det(a) = a a 21 a 11 a 22 a 21 a 12 e 22 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 det(a)=a 11 (a 22 a 33 a 32 a 23 ) a 12 (a 21 a 33 a 31 a 23 ) + a 13 (a 21 a 32 a 31 a 22 ). (1) Matriz A é singular se det(a) = 0.

16 c 2009 FFCf 16 Determinante Exemplo 8 O determinante de uma matriz de ordem 2 [ ] 2 1 A = det(a) = =

17 c 2009 FFCf 17 Posto Seqüência de vetores {v 1, v 2,..., v p } linearmente dependente α 1 v 1 + α 2 v α p v p = 0. Escalares α 1, α 2,..., α p, não todos nulos. Vetores v 1, v 2,..., v p linearmente independentes se a igualdade acima só se verificar com os α i, i = 1, 2,..., p iguais a zero. Posto da matriz A (m n): número máximo de vetores linhas ou de vetores colunas de A que são linearmente independentes. posto(a) min(m, n).

18 c 2009 FFCf 18 Exemplo 9 Seja a matriz A = Posto Linhas 2 e 4 são obtidas pela combinação linear das linhas 1 e 3, pois linha 2 = linha 1 + linha 3. linha 4 = 2(linha 1) linha 3. Linhas 1, 3 e 5 são linearmente independentes. posto(a) = 3.

19 c 2009 FFCf 19 Traço Soma dos elementos da diagonal principal Exemplo 10 A matriz M = traço(a) = tem traço(m) = = 17. n i=1 a ii.

20 c 2009 FFCf 20 Inversa A inversa da matriz quadrada A de ordem n é A 1 tal que AA 1 = A 1 A = I n. Lei comutativa existe para o produto de uma matriz por sua inversa. Exemplo 11 Uma matriz A e sua inversa A A= , A 1 = e AA 1 =

21 c 2009 FFCf 21 Operações com transposta e inversa (A T ) T = A. (A 1 ) 1 = A. (A 1 ) T = (A T ) 1 = A T. Se A = BCD, então A T = D T C T B T e A 1 = D 1 C 1 B 1. (A + B) T = A T + B T. (A + B) 1 A 1 + B 1.

22 c 2009 FFCf 22 Seja a matriz e a igualdade Noções sobre autovalores e autovetores A = [ [ ] [ 1 2 ] ] = 2 A matriz A possui um autovalor λ = 2 e um correspondente autovetor v = [1 2] T. [ 1 2 ].

23 c 2009 FFCf 23 Seja a matriz e a igualdade Noções sobre autovalores e autovetores A = [ [ ] [ 1 2 A matriz A possui um autovalor λ = 2 e um correspondente autovetor v = [1 2] T. Também é verdade para λ = 4 e v = [2 3] T [ ] [ 2 3 Relação fundamental de uma matriz A de ordem n com seus n autovalores λ e os correspondentes autovetores v ] ] ] = 2 = 4 [ 1 2 [ 2 3 ]. ]. Av = λv. (2)

24 c 2009 FFCf 24 Problema do autovalor Solução não trivial (ou não nula) do sistema homogêneo (A λi)v = 0. Teorema 1 Se M for uma matriz de ordem n, então o sistema homogêneo My = 0 tem solução não trivial se, e somente se, M for singular. Pelo Teorema 1 e sabendo que uma matriz singular tem determinante nulo, então det(a λi) = 0. (3)

25 c 2009 FFCf 25 Exemplo Exemplo 12 Para a matriz [ ] 10 4 A = λ 4 det(a λi) = det 12 4 λ = 0, = (10 λ)( 4 λ) 12( 4) = 0, = λ 2 6λ + 8, det(a λi) = (λ 2)(λ 4) = 0.

26 c 2009 FFCf 26 Autovalores Valores de λ para os quais det(a λi) = 0 são λ 1 = 2 e λ 2 = 4. Para λ = 2 det(a λi) = det(a 2I) = det ([ det(a 2I) = = 0. ])

27 c 2009 FFCf 27 Autovalores Valores de λ para os quais det(a λi) = 0 são λ 1 = 2 e λ 2 = 4. Para λ = 2 Para λ = 4 det(a λi) = det(a 2I) = det ([ det(a 2I) = = 0. det(a λi) = det(a 4I) = det ([ det(a 4I) = = 0. ]) ])

28 c 2009 FFCf 28 Autovalores Valores de λ para os quais det(a λi) = 0 são λ 1 = 2 e λ 2 = 4. Para λ = 2 Para λ = 4 det(a λi) = det(a 2I) = det ([ det(a 2I) = = 0. det(a λi) = det(a 4I) = det ([ det(a 4I) = = 0. Para λ 2 ou λ 4, por exemplo, λ = 1 det(a λi) = det(a I) = det ([ det(a I) = = 3 0. ]) ]) ])

29 c 2009 FFCf 29 Determinante (3) é da forma D n (λ) = det Polinômio característico D n (λ) = det(a λi), a 11 λ a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 λ a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 λ a 3n a n1 a n2 a n3 a nn λ. (4) Polinômio D n (λ) de grau n é chamado de polinômio característico de A. Os n zeros λ i de D n (λ) são os autovalores de A.

30 c 2009 FFCf 30 Expansão do polinômio característico Expandindo o determinante para n = 3 D 3 (λ) = λ 3 + [a 11 + a 22 + a 33 ]λ 2 [(a 11 a 22 a 21 a 12 ) + (a 22 a 33 a 32 a 23 ) + (a 11 a 33 a 31 a 13 )]λ + [a 11 (a 22 a 33 a 32 a 23 ) a 12 (a 21 a 33 a 31 a 23 )+a 13 (a 21 a 32 a 31 a 22 )]. D 3 (λ) = d 3 λ 3 + d 2 λ 2 + d 1 λ + d 0. d n 1 = d 2 = n i=1 a ii = traço(a). d 0 = det(a), conforme (1).

31 c 2009 FFCf 31 Relações de Girard Relações entre raízes e coeficientes de uma equação algébrica n λ 1 + λ 2 + λ λ n = λ i = d n 1 d n λ 1 λ 2 λ 3... λ n = n i=1 i=1 λ i = ( 1) nd 0 d n. e

32 c 2009 FFCf 32 Relações de Girard Relações entre raízes e coeficientes de uma equação algébrica n λ 1 + λ 2 + λ λ n = λ i = d n 1 e d n λ 1 λ 2 λ 3... λ n = n i=1 i=1 λ i = ( 1) nd 0 d n. Soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz (traço) é igual à soma dos seus autovalores traço(a) = d n n n 1 a d ii = λ i, n i=1 i=1

33 c 2009 FFCf 33 Relações de Girard Relações entre raízes e coeficientes de uma equação algébrica n λ 1 + λ 2 + λ λ n = λ i = d n 1 e d n i=1 n λ 1 λ 2 λ 3... λ n = λ i = ( 1) nd 0. d n Soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz (traço) é igual à soma dos seus autovalores traço(a) = d n n n 1 a d ii = λ i, n Determinante de uma matriz é igual ao produto dos seus autovalores det(a) = ( 1) nd n 0 det(a) = λ d i. n i=1 i=1 i=1 i=1

34 c 2009 FFCf 34 Exemplo 13 Para a matriz tem-se que A = Exemplo [ traço(a) = 10 + ( 4) = 6 = λ 1 + λ 2 = e det(a) = 10( 4) 12( 4) = 8 = λ 1 λ 2 = 2 4. ]

35 c 2009 FFCf 35 Propriedades do polinômio característico Uma matriz com elementos reais tem seu polinômio característico com coeficientes reais. Se os coeficientes de uma equação algébrica forem reais, então suas raízes complexas serão complexos conjugados em pares. Uma matriz com elementos reais tem autovalores reais e/ou complexos conjugados em pares.

36 c 2009 FFCf 36 Exemplo Exemplo 14 Calcular os autovalores da matriz A = [ ].

37 c 2009 FFCf 37 Exemplo Exemplo 14 Calcular os autovalores da matriz A = Por (4), o polinômio característico é ([ ]) 2 λ 2 D 2 (λ) = det(a λi) = det 2 1 λ D 2 (λ) = λ 2 λ 6. [ ]. = (2 λ)( 1 λ) 2 2,

38 c 2009 FFCf 38 Exemplo Exemplo 14 Calcular os autovalores da matriz A = Por (4), o polinômio característico é ([ ]) 2 λ 2 D 2 (λ) = det(a λi) = det 2 1 λ D 2 (λ) = λ 2 λ 6. Zeros do polinômio característico D 2 (λ) λ = 1 ± ( 1) ( 6) 2 [ ]. = (2 λ)( 1 λ) 2 2, { λ1 = 3 λ 2 = 2.

39 Exemplo Exemplo 14 Calcular os autovalores da matriz A = Por (4), o polinômio característico é ([ ]) 2 λ 2 D 2 (λ) = det(a λi) = det 2 1 λ D 2 (λ) = λ 2 λ 6. Zeros do polinômio característico D 2 (λ) λ = 1 ± ( 1) ( 6) 2 [ ]. = (2 λ)( 1 λ) 2 2, { λ1 = 3 λ 2 = 2. Verifica-se que 2 traço(a) = 2 + ( 1) = 1 = λ i = 3 + ( 2) e i=1 2 det(a) = 2( 1) 2 2 = 6 = λ i = 3 ( 2). c 2009 FFCf 39 i=1

40 c 2009 FFCf 40 Cálculo de autovalores via polinômios característicos Esquematicamente simples. Computacionalmente ineficiente. Métodos baseados em transformações ortogonais.

41 c 2009 FFCf 41 Forma quadrática Seja A uma matriz simétrica de ordem n com autovalores λ i, i = 1, 2,..., n e v um vetor qualquer não nulo de tamanho n. Forma quadrática de A é o escalar q = v T Av, v 0. A matriz pode ter diferentes nomes dependendo do valor da forma quadrática.

42 c 2009 FFCf 42 Valores da forma quadrática Forma quadrática Nome de A Autovalores de A v T Av > 0 definida positiva λ i > 0 v T Av 0 semidefinida positiva λ i 0 v T Av < 0 definida negativa λ i < 0 v T Av 0 semidefinida negativa λ i 0 Matriz indefinida: quando não for enquadrada em nenhum dos nomes acima. Autovalores, no caso, podem ser negativos, nulos e positivos.

43 c 2009 FFCf 43 Propriedades dos autovalores Considerando que det(a) = det(a T ), então os autovalores λ de A, representados por λ(a), são iguais a λ(a T ).

44 c 2009 FFCf 44 Propriedades dos autovalores Considerando que det(a) = det(a T ), então os autovalores λ de A, representados por λ(a), são iguais a λ(a T ). Se A for uma matriz triangular de ordem n, então, por (4) det(a λi) = (a 11 λ)(a 22 λ) (a nn λ) = 0. Os autovalores de uma matriz triangular ou diagonal são iguais aos elementos da diagonal principal.

45 c 2009 FFCf 45 Propriedades dos autovalores Considerando que det(a) = det(a T ), então os autovalores λ de A, representados por λ(a), são iguais a λ(a T ). Se A for uma matriz triangular de ordem n, então, por (4) det(a λi) = (a 11 λ)(a 22 λ) (a nn λ) = 0. Os autovalores de uma matriz triangular ou diagonal são iguais aos elementos da diagonal principal. O posto de uma matriz quadrada é igual ao número de autovalores não nulos.

46 c 2009 FFCf 46 Propriedades dos autovalores Considerando que det(a) = det(a T ), então os autovalores λ de A, representados por λ(a), são iguais a λ(a T ). Se A for uma matriz triangular de ordem n, então, por (4) det(a λi) = (a 11 λ)(a 22 λ) (a nn λ) = 0. Os autovalores de uma matriz triangular ou diagonal são iguais aos elementos da diagonal principal. O posto de uma matriz quadrada é igual ao número de autovalores não nulos. Se λ i são os autovalores de A, então λ 1 i são os autovalores de A 1 A 1 Av = λa 1 v, Iv = λa 1 v A 1 v = 1 λ v.

47 c 2009 FFCf 47 Exemplo 15 Seja a matriz A = Então Exemplo Autovalores de A : λ 1 = 2, λ 2 = 1, λ 3 = 5. Posto de A = 3. Autovalores de A 1 : τ 1 = λ 1 1 = 0,5; τ 2 = λ 1 2 = 1; τ 3 = λ 1 3 = 0,2. Sendo 0,5 0,5 0,7 A 1 = 0 1 0, ,2.

48 c 2009 FFCf 48 Normas Expressar a magnitude de um vetor ou de uma matriz por meio de um escalar. Normas vetoriais definidas em termos da norma-p x p = n p x i p. i=1

49 c 2009 FFCf 49 Normas vetoriais mais comuns Norma-1 ou norma de soma de magnitudes n x 1 = x i. i=1

50 c 2009 FFCf 50 Normas vetoriais mais comuns Norma-1 ou norma de soma de magnitudes n x 1 = x i. i=1 Norma-2 ou norma Euclidiana x 2 = n x i 2. i=1

51 c 2009 FFCf 51 Normas vetoriais mais comuns Norma-1 ou norma de soma de magnitudes n x 1 = x i. Norma-2 ou norma Euclidiana x 2 = i=1 n x i 2. i=1 Norma- ou norma de máxima magnitude x = lim n p x p i p = max x i. 1 i n i=1

52 c 2009 FFCf 52 Condições das normas vetoriais Norma vetorial é uma função : C n R, que associa um número real a cada vetor. Satisfaz às condições x 0 e x = 0 se, e somente se, x = 0, x + y x + y e kx = k x, onde x, y C n são vetores e k C é um escalar.

53 c 2009 FFCf 53 Exemplo de normas vetoriais Exemplo 16 Calcular as normas 1, 2 e do vetor x = [3 5 1] T. x 1 = x 1 = 9, x 2 = x 2 = 35 5,9161 e x = max( 3, 5, 1 ) x = 5.

54 c 2009 FFCf 54 Exemplo de normas vetoriais Exemplo 17 Calcular as normas 1, 2 e do vetor v = [ i 4 3i] T. v 1 = i + 4 3i = v 1 = 14, v 2 = i i 2 v 2 = 60 7,7460 e v = max( 1, 3, 4+3i, 4 3i ) v = 5.

55 c 2009 FFCf 55 Satisfazem às condições Condições das normas matriciais A 0 e A = 0 se, e somente se, A = 0, A + B A + B e ka = k A, onde as matrizes A e B C m n e k C é um escalar.

56 c 2009 FFCf 56 Normas matriciais mais comuns de A C m n Norma-1 ou norma de soma máxima de coluna m A 1 = max a ij. 1 j n i=1

57 c 2009 FFCf 57 Normas matriciais mais comuns de A C m n Norma-1 ou norma de soma máxima de coluna m A 1 = max a ij. 1 j n i=1 Norma- ou norma de soma máxima de linha n A = max 1 i m j=1 a ij.

58 c 2009 FFCf 58 Normas matriciais mais comuns de A C m n Norma-1 ou norma de soma máxima de coluna m A 1 = max a ij. 1 j n i=1 Norma- ou norma de soma máxima de linha n A = max 1 i m j=1 a ij. Norma de Frobenius A F = m i=1 n j=1 a ij 2.

59 c 2009 FFCf 59 Norma-2 ou norma espectral onde Normas matriciais mais comuns de A C m n A 2 = { λmax se A = A T σ max se A A T (5) λ max é o maior autovalor de A em módulo e σ max é o maior valor singular de A, sendo σ max = λ max (A T A) (raiz quadrada do maior autovalor em módulo da matriz A T A).

60 c 2009 FFCf 60 Normas consistentes e subordinadas Uma norma matricial A é dita consistente com uma norma vetorial x se, para qualquer matriz A (m n) e vetor x (n 1) Ax A x. Uma norma matricial consistente A é dita subordinada a uma norma vetorial y se para qualquer matriz A (m n) existe um vetor y (n 1), y 0, tal que Ay = A y. Se a norma for subordinada, então AB A B. As normas matriciais 1, 2 e são consistentes e subordinadas às respectivas normas vetoriais. A norma de Frobenius é consistente, mas não subordinada à norma-2 vetorial.

61 c 2009 FFCf 61 Exemplo de normas matriciais Exemplo 18 Calcular as normas 1,, F e 2 da matriz A = [ A 1 = max( 2 + 3, ) = max(5, 6) A 1 = 6, ]. A = max( 2 + 1, ) = max(3, 8) A = 8, A F = A F = 39 6,2450 e A 2 = max ( ) λ(a T A) = max(2,2284; 5,8339) A 2 = 5,8339.

62 c 2009 FFCf 62 Exemplo de normas matriciais Exemplo 19 Calcular as normas 1,, F e 2 da matriz B = [ 3+4i 2i 3 4i 9 B 1 = max( 3+4i + 3 4i, 2i + 9 ) = max(10, 11) B 1 = 11, B = max( 3 + 4i + 2i, 3 4i + 9 ) = max(7, 14) B = 14, B F = 3 + 4i 2 + 2i i B F = ,6190 e ( ) B 2 = max λ(b T B) = max(5,2831; 10,3484) B 2 = 10,3484. ].

63 c 2009 FFCf 63 Sistemas de equações lineares Conjunto de m equações polinomiais com n variáveis x i de grau 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n. = b 3.. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m. Forma matricial a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31. a 32. a 33 a 3n..... a m1 a m2 a m3 a mn x 1 x 2 x 3. x n = b 1 b 2 b 3. b m. (6)

64 c 2009 FFCf 64 Sistemas de equações lineares Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor solução e b é o vetor dos termos independentes. Se A for uma matriz quadrada (n n) não singular Ax = b A 1 Ax = A 1 b x = A 1 b.

65 c 2009 FFCf 65 Classificação de sistemas: forma da matriz Sobredeterminado: têm-se mais equações do que incógnitas A (m n), m n e posto(a) = n. Problema de quadrados mínimos lineares minimize b Ax x 2 possui uma única solução, chamada de solução de quadrados mínimos.

66 c 2009 FFCf 66 Classificação de sistemas: forma da matriz cont. Subdeterminado: existem mais incógnitas do que equações A (m n), m < n e posto(a) = m. Sistema não tem solução ou existe um número infinito de soluções que satisfazem b Ax = 0. Encontrar a solução única x que minimiza x 2. Determinar a solução de norma mínima do sistema linear (6). Resolver um sistema de ordem n.

67 c 2009 FFCf 67 Classificação de sistemas: número de soluções Número de soluções depende do valor do determinante da matriz dos coeficientes. Há três situações possíveis: única solução, infinitas soluções e sem solução.

68 c 2009 FFCf 68 Sistema com única solução Por exemplo, x 1 + x 2 = 3 x 1 x 2 = 1 [ ][ x1 x 2 ] = [ 3 1 ] det(a) 0 e x = [1 2] T. det(a) 0: sistema admite uma única solução.

69 c 2009 FFCf 69 Geometria de sistema com solução única Solução de um sistema linear de ordem n é um ponto no C n comum aos n hiperplanos descritos por cada uma das n equações x x 2 = x 3 65 Vetor solução x é a interseção dos três planos descritos por cada uma das três equações E1, E2 e E3: x = [5 1 10] T. Solução: x = [5 1 10] T E2 50 E1 x3 0 * E x x

70 c 2009 FFCf 70 Sistema com infinitas soluções Por exemplo, x 1 + x 2 =2 2x 1 + 2x 2 =4 [ ][ x1 x 2 ] = [ 2 4 ] det(a) = 0 e x = [θ 2 θ] T. det(a) = 0: sistema admite infinitas soluções, uma para cada valor de θ.

71 c 2009 FFCf 71 Por exemplo, Geometria de sistema com infinitas soluções x 1 x 2 x 3 = Com det(a) = 0, os três planos se interceptam em uma linha reta descrita por x = [70 6,5θ 16 1,5θ θ] T. Para cada valor de θ ter-se-á uma solução do sistema linear.. Infinitas soluções x x x

72 c 2009 FFCf 72 Sistema sem solução Por exemplo, x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 1 [ ] [ x1 x 2 ] = [ 1 1 ] det(a) = 0 e x. det(a) = 0: sistema não tem solução.

73 c 2009 FFCf 73 Por exemplo, Geometria de sistema sem solução x 1 x 2 x 3 = Com det(a) = 0 os planos não têm nenhum ponto em comum. Sem solução x x x

74 c 2009 FFCf 74 Sistema triangular inferior Apresenta a forma l l 21 l l 31 l 32 l l n1 l n2 l n3 l nn Solução via substituições sucessivas x 1 x 2 x 3. x n = l 11 x 1 = c 1 x 1 = c 1 l 11, c 1 c 2 c 3. c n l 21 x 1 + l 22 x 2 = c 2 x 2 = c 2 l 21 x 1 l 22, l 31 x 1 + l 32 x 2 + l 33 x 3 = c 3 x 3 = c 3 l 31 x 1 l 32 x 2 l 33,....

75 c 2009 FFCf 75 Sistema triangular inferior cont. Generalizando l n1 x 1 + l n2 x l n,n 1 x n 1 + l nn x n = c n x n = c n l n1 x 1 l n2 x 2 l n,n 1 x n 1 l nn. Esquematicamente x i = c i i 1 j=1 l ij x j l ii, i = 1, 2,..., n. (7)

76 c 2009 FFCf 76 Exemplo de substituições sucessivas Exemplo 20 Calcular a solução do sistema triangular inferior x x x 3 = x 4 6

77 c 2009 FFCf 77 Exemplo de substituições sucessivas Exemplo 20 Calcular a solução do sistema triangular inferior x x x 3 = x 4 6 2x 1 = 4, x 1 = 4 2 x 1 = 2,

78 c 2009 FFCf 78 Exemplo de substituições sucessivas Exemplo 20 Calcular a solução do sistema triangular inferior x x x 3 = x 4 6 2x 1 = 4, x 1 = 4 2 x 1 = 2, 3x 1 + 5x 2 = 1, x 2 = 1 3(2) 5 x 2 = 1,

79 c 2009 FFCf 79 Exemplo de substituições sucessivas Exemplo 20 Calcular a solução do sistema triangular inferior x x x 3 = x 4 6 2x 1 = 4, x 1 = 4 2 x 1 = 2, 3x 1 + 5x 2 = 1, x 2 = 1 3(2) x 5 2 = 1, 48 (2) + 6( 1) x 1 6x 2 + 8x 3 = 48, x 3 = x 8 3 = 5

80 c 2009 FFCf 80 Exemplo de substituições sucessivas Exemplo 20 Calcular a solução do sistema triangular inferior x x x 3 = x 4 6 2x 1 = 4, x 1 = 4 2 x 1 = 2, 3x 1 + 5x 2 = 1, x 2 = 1 3(2) x 5 2 = 1, 48 (2) + 6( 1) x 1 6x 2 + 8x 3 = 48, x 3 = x 8 3 = 5 e 6 + (2) 4( 1) + 3(5) x 1 + 4x 2 3x 3 + 9x 4 = 6, x 4 = x 9 4 = 3. Solução do sistema triangular inferior: x = [ ] T.

81 c 2009 FFCf 81 Algoritmo: substituições sucessivas Algoritmo Substituições Sucessivas { Objetivo: Resolver o sistema triangular inferior Lx = c } { pelas substituições sucessivas } parâmetros de entrada n, L, c { ordem, matriz triangular inferior e vetor independente } parâmetros de saída x { solução do sistema triangular inferior } x(1) c(1)/l(1, 1) para i 2 até n faça Soma 0 para j 1 até i 1 faça Soma Soma + L(i, j) x(j) fimpara x(i) (c(i) Soma)/L(i, i) fimpara fimalgoritmo

82 c 2009 FFCf 82 Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 21 Resolver o sistema triangular inferior do Exemplo 20 usando o algoritmo. % Os valores de entrada n = 4 L = c = % produzem o resultado x =

83 c 2009 FFCf 83 Sistema triangular superior Apresenta a forma u 11 u 12 u 13 u 1,n 1 u 1n 0 u 22 u 23 u 2,n 1 u 2n.. u u n 1,n 1 u n 1,n u nn Solução via substituições retroativas x 1 x 2 x 3. x n 1 x n u nn x n = d n x n = d n u nn, = d 1 d 2 d 3. d n 1 d n u n 1,n 1 x n 1 + u n 1,n x n = d n 1 x n 1 = d n 1 u n 1,n x n u n 1,n 1,....

84 c 2009 FFCf 84 Continuando Sistema triangular superior u 22 x 2 + u 23 x u 2n x n = d 2 x 2 = d 2 u 23 x 3 u 2n x n u 22 u 11 x 1 + u 12 x 2 + u 13 x u 1n x n =d 1 x 1 = d 1 u 12 x 2 u 13 x 3 u 1n x n. u 11 Esquematicamente n d i u ij x j x i = j=i+1 u ii, i = n, n 1,..., 1. (8) e

85 c 2009 FFCf 85 Exemplo de substituições retroativas Exemplo 22 Determinar a solução do sistema triangular superior x x x 3 = x 4 8

86 c 2009 FFCf 86 Exemplo de substituições retroativas Exemplo 22 Determinar a solução do sistema triangular superior x x x 3 = x 4 8 2x 4 = 8, x 4 = 8 2 x 4 = 4,

87 c 2009 FFCf 87 Exemplo de substituições retroativas Exemplo 22 Determinar a solução do sistema triangular superior x x x 3 = x 4 8 2x 4 = 8, x 4 = 8 2 x 4 = 4, 4x 3 + 5x 4 = 28, x 3 = 28 5(4) 4 x 3 = 2,

88 c 2009 FFCf 88 Exemplo de substituições retroativas Exemplo 22 Determinar a solução do sistema triangular superior x x x 3 = x 4 8 2x 4 = 8, x 4 = 8 2 x 4 = 4, 4x 3 + 5x 4 = 28, x 3 = 3x 2 + 7x 3 4x 4 = 2, x 2 = 28 5(4) x 4 3 = 2, 2 7(2) + 4(4) x 3 2 = 0

89 c 2009 FFCf 89 Exemplo de substituições retroativas Exemplo 22 Determinar a solução do sistema triangular superior x x x 3 = x 4 8 2x 4 = 8, x 4 = 8 2 x 4 = 4, 28 5(4) 4x 3 + 5x 4 = 28, x 3 = x 4 3 = 2, 2 7(2) + 4(4) 3x 2 + 7x 3 4x 4 = 2, x 2 = x 3 2 = 0 e 1 + 2(0) 6(2) (4) 5x 1 2x 2 + 6x 3 + x 4 = 1, x 1 = x 5 1 = 3. Solução do sistema triangular superior: x = [ ] T.

90 c 2009 FFCf 90 Algoritmo: substituições retroativas Algoritmo Substituições Retroativas { Objetivo: Resolver o sistema triangular superior Ux = d } { pelas substituições retroativas } parâmetros de entrada n, U, d { ordem, matriz triangular superior e vetor independente } parâmetros de saída x { solução do sistema triangular superior } x(n) d(n)/u(n, n) para i n 1 até 1 passo 1 faça Soma 0 para j i + 1 até n faça Soma Soma + U(i, j) x(j) fimpara x(i) (d(i) Soma)/U(i, i) fimpara fimalgoritmo

91 c 2009 FFCf 91 Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 23 Resolver o sistema triangular superior do Exemplo 22 usando o algoritmo. % Os valores de entrada n = 4 U = d = % produzem o resultado x =

92 c 2009 FFCf 92 Considerando i=2 Complexidade computacional: substituições sucessivas n i = i=1 n(n + 1), 2 a complexidade computacional do algoritmo de substituições sucessivas é n n(n + 1) Adições: [(i 1) + 1] = 1 = n n 2 1;

93 c 2009 FFCf 93 Considerando i=2 Complexidade computacional: substituições sucessivas n i = i=1 n(n + 1), 2 a complexidade computacional do algoritmo de substituições sucessivas é n n(n + 1) Adições: [(i 1) + 1] = 1 = n n 2 1; Multiplicações: n (i 1) = i=2 n(n + 1) 2 1 (n 1) = n2 2 n 2 ;

94 c 2009 FFCf 94 Considerando i=2 Complexidade computacional: substituições sucessivas n i = i=1 n(n + 1), 2 a complexidade computacional do algoritmo de substituições sucessivas é n n(n + 1) Adições: [(i 1) + 1] = 1 = n n 2 1; Multiplicações: Divisões: 1 + n (i 1) = i=2 n(n + 1) 2 n 1 = 1 + n 1 = n. i=2 1 (n 1) = n2 2 n 2 ;

95 c 2009 FFCf 95 Complexidade computacional: substituições retroativas A complexidade computacional do algoritmo de substituições retroativas é Adições: n 1 [(n i) + 1] = (n 1)n i=1 (n 1)n 2 + n 1 = n2 2 + n 2 1;

96 c 2009 FFCf 96 Complexidade computacional: substituições retroativas A complexidade computacional do algoritmo de substituições retroativas é Adições: n 1 [(n i) + 1] = (n 1)n i=1 Multiplicações: n 1 (n i) = (n 1)n i=1 (n 1)n 2 (n 1)n 2 + n 1 = n2 2 + n 2 1; = n2 2 n 2 ;

97 c 2009 FFCf 97 Complexidade computacional: substituições retroativas A complexidade computacional do algoritmo de substituições retroativas é Adições: n 1 [(n i) + 1] = (n 1)n i=1 Multiplicações: Divisões: 1 + n 1 i=1 n 1 (n i) = (n 1)n i=1 1 = 1 + n 1 = n. (n 1)n 2 (n 1)n 2 + n 1 = n2 2 + n 2 1; = n2 2 n 2 ;

98 c 2009 FFCf 98 Complexidades dos algoritmos de substituições para sistemas de ordem n Substituições sucessivas Substituições retroativas Operações Complexidade Operações Complexidade adições 1 2 n n 1 multiplicações 1 2 n2 1 2 n adições 1 2 n n 1 multiplicações 1 2 n2 1 2 n divisões n divisões n Número de operações aritméticas das substituições sucessivas e retroativas é descrito por polinômios. Consequentemente, estes algoritmos são polinomiais.

99 c 2009 FFCf 99 Eliminação de Gauss O nome do método foi uma homenagem a Gauss. O processo aparece no livro chinês Nove capítulos sobre a arte matemática, escrito por volta de 250 a.c. Classes de métodos para resolução de sistemas de equações lineares: métodos diretos e iterativos.

100 c 2009 FFCf 100 Eliminação de Gauss Classes de métodos para resolução de sistemas de equações lineares: métodos diretos e iterativos. Métodos diretos: a solução exata do sistema é obtida, teoricamente, com um número finito de operações aritméticas. Na prática, os erros de arredondamento devidos à aritmética de ponto flutuante interferem no resultado verdadeiro.

101 c 2009 FFCf 101 Eliminação de Gauss Classes de métodos para resolução de sistemas de equações lineares: métodos diretos e iterativos. Métodos diretos: a solução exata do sistema é obtida, teoricamente, com um número finito de operações aritméticas. Na prática, os erros de arredondamento devidos à aritmética de ponto flutuante interferem no resultado verdadeiro. Métodos iterativos: solução exata somente com um número infinito de operações. Em cada passo dos métodos iterativos a solução é calculada com um nível de exatidão crescente. Esse nível é limitado pelo número finito de bytes utilizados para armazenar as variáveis do programa que implementa o método iterativo.

102 c 2009 FFCf 102 Sistemas equivalentes Dois sistemas de equações lineares são ditos equivalentes quando possuem o mesmo vetor solução. { 2x1 + 3x A 2 = 8 x 1 x 2 = 1 e { 2x1 2x B 2 = 2 x 1 + 4x 2 = 9 = [ ] x A = x B 1 = = A B. 2

103 c 2009 FFCf 103 Operações l-elementares Um sistema de equações lineares pode ser transformado em um outro sistema equivalente utilizando as três operações l-elementares (operações de linha) Trocar a ordem de duas equações. Multiplicar uma equação por uma constante não nula. Somar uma equação à outra.

104 c 2009 FFCf 104 Trocar a ordem de duas equações e B { 2x1 2x 2 = 2 x 1 + 4x 2 = 9 { x1 + 4x C 2 = 9 2x 1 2x 2 2 = [ ] x B = x C 1 = = B C. 2

105 c 2009 FFCf 105 Multiplicar uma equação por uma constante não nula e C { x1 + 4x 2 = 9 2x 1 2x 2 = 2 { x1 + 4x D 2 = 9 x 1 x 2 = 1 = [ ] x C = x D 1 = = C D. 2

106 c 2009 FFCf 106 Somar uma equação à outra e D { x1 + 4x 2 = 9 x 1 x 2 = 1 { 2x1 + 3x E 2 = 8 x 1 x 2 = 1 = [ ] x D = x E 1 = = D E = A. 2

107 c 2009 FFCf 107 Sistema triangular equivalente Método de eliminação de Gauss a 11 a 12 a 13 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 a 31 a 32 a 33 a 3n x = b 2 b 3. a n1 a n2 a n3 a nn x n b n Transformação Ax = b Ux = d. u 11 u 12 u 13 u 1n 0 u 22 u 23 u 2n 0 0 u 33 u 3n u nn x 1 x 2 x 3. x n = Solução do sistema triangular superior U x = d obtida pelas substituições retroativas. Vetor resíduo r = b Ax. d 1 d 2 d 3. d n.

108 c 2009 FFCf 108 Exemplo de eliminação de Gauss Exemplo 24 Resolver o sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss e verificar a exatidão da solução x x 2 = x 3 29 Eliminar os elementos da primeira coluna x x x 3 =

109 c 2009 FFCf 109 Exemplo de eliminação de Gauss Exemplo 24 Resolver o sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss e verificar a exatidão da solução x x 2 = x 3 29 Eliminar os elementos da primeira coluna x x x 3 Eliminar o elemento da segunda coluna x 1 x 2 x 3 = = (9). (10)

110 c 2009 FFCf 110 Dispositivo prático L Multiplicador A b Operações m 21 = ( 2)/1 = m 31 = 4/1 =

111 c 2009 FFCf 111 Dispositivo prático L Multiplicador A b Operações m 21 = ( 2)/1 = m 31 = 4/1 = L 1 + L 2 5 m 32 = 6/2 = L 1 + L 3.

112 c 2009 FFCf 112 Dispositivo prático L Multiplicador A b Operações m 21 = ( 2)/1 = m 31 = 4/1 = L 1 + L 2 5 m 32 = 6/2 = L 1 + L L 4 + L 5.

113 c 2009 FFCf 113 Dispositivo prático L Multiplicador A b Operações m 21 = ( 2)/1 = m 31 = 4/1 = L 1 + L 2 5 m 32 = 6/2 = L 1 + L L 4 + L 5 Sistema triangular superior equivalente x 1 x 2 x 3 =

114 c 2009 FFCf 114 Vetor solução Sistema triangular superior x 1 x 2 x 3 =

115 c 2009 FFCf 115 Vetor solução Sistema triangular superior Substituições retroativas x 1 x 2 x 3 = x 3 = 36, x 3 = x 3 = 3, 2x 2 + 3x 3 = 7, x 2 = 7 3(3) x 2 2 = 1 e ( 1) 2(3) x 1 3x 2 + 2x 3 = 11, x 1 = x 1 1 = 2.

116 c 2009 FFCf 116 Vetor solução Sistema triangular superior Substituições retroativas x 1 x 2 x 3 = x 3 = 36, x 3 = x 3 = 3, 2x 2 + 3x 3 = 7, x 2 = 7 3(3) x 2 2 = 1 e ( 1) 2(3) x 1 3x 2 + 2x 3 = 11, x 1 = x 1 1 = 2. Vetor solução do sistema: x = [2 1 3] T.

117 c 2009 FFCf 117 Vetor resíduo Vetor resíduo: r = b Ax 11 r = = Solução exata.

118 c 2009 FFCf 118 Exemplo de eliminação de Gauss Exemplo 25 Resolver o sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss e verificar a exatidão da solução x x x 3 = x 4 72

119 c 2009 FFCf 119 Dispositivo prático L Multiplicador A b Operações m 21 = 3/1 = m 31 = 1/1 = m 41 = 5/1 =

120 c 2009 FFCf 120 Dispositivo prático L Multiplicador A b Operações m 21 = 3/1 = m 31 = 1/1 = m 41 = 5/1 = L 1 + L 2 6 m 32 = ( 2)/1 = L 1 + L 3 7 m 42 = 3/1 = L 1 + L 4.

121 c 2009 FFCf 121 Dispositivo prático L Multiplicador A b Operações m 21 = 3/1 = m 31 = 1/1 = m 41 = 5/1 = L 1 + L 2 6 m 32 = ( 2)/1 = L 1 + L 3 7 m 42 = 3/1 = L 1 + L L 5 + L 6 9 m 43 = 5/2 = 2, L 5 + L 7.

122 c 2009 FFCf 122 Dispositivo prático L Multiplicador A b Operações m 21 = 3/1 = m 31 = 1/1 = m 41 = 5/1 = L 1 + L 2 6 m 32 = ( 2)/1 = L 1 + L 3 7 m 42 = 3/1 = L 1 + L L 5 + L 6 9 m 43 = 5/2 = 2, L 5 + L ,5L 8 + L 9. Sistema triangular superior equivalente x 1 x 2 x 3 x 4 =

123 c 2009 FFCf 123 Sistema triangular superior Vetor solução x 1 x 2 x 3 x 4 = ,

124 c 2009 FFCf 124 Sistema triangular superior Substituições retroativas Vetor solução x 1 x 2 x 3 x 4 = 1x 4 = 1, x 4 = 1 1 x 4 = 1, (1) 2x 3 10x 4 = 12, x 3 = x 2 3 = 11, 1 + 2(11) 3(1) x 2 2x 3 + 3x 4 = 1, x 2 = x 1 2 = 20 e 8 6(20) 2(11) 4(1) x 1 + 6x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 8, x 1 = x 1 1 = ,

125 c 2009 FFCf 125 Sistema triangular superior x x x 3 = x 4 Substituições retroativas Vetor solução , = x = x 4 = 1, x 4 = 1 1 x 4 = 1, (1) 2x 3 10x 4 = 12, x 3 = x 2 3 = 11, 1 + 2(11) 3(1) x 2 2x 3 + 3x 4 = 1, x 2 = x 1 2 = 20 e 8 6(20) 2(11) 4(1) x 1 + 6x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 8, x 1 = x 1 1 = 138..

126 c 2009 FFCf 126 Vetor resíduo Solução exata. r = r = b Ax, =

127 c 2009 FFCf 127 Cálculo do determinante Determinante da matriz dos coeficientes pode ser obtido como um subproduto do método de eliminação de Gauss. Relações entre os determinantes das matrizes dos sistemas equivalentes intermediários obtidos pelas operações l-elementares.

128 c 2009 FFCf 128 Operação l-elementar: trocar a ordem de duas equações a) Se duas linhas quaisquer de uma matriz A forem trocadas, então o determinante da nova matriz B será det(b) = det(a). [ ] 2 2 A = det(a) = 10 e 1 4 [ ] 1 4 B = det(b) =

129 c 2009 FFCf 129 Operação l-elementar: multiplicar uma equação por uma constante não nula b) Se todos os elementos de uma linha de A forem multiplicados por uma constante k, então o determinante da matriz resultante B será det(b) = k det(a). [ ] 1 4 A = det(a) = 10 e 2 2 [ ] 1 4 B = det(b) =

130 c 2009 FFCf 130 Operação l-elementar: somar uma equação à outra c) Se um múltiplo escalar de uma linha de A for somado a outra linha, então o determinante da nova matriz B será det(b) = det(a). [ ] 1 4 A = det(a) = 5 e 1 1 [ ] 1 4 B = det(b) =

131 c 2009 FFCf 131 Determinante de matriz triangular ou diagonal d) Se A for uma matriz triangular ou diagonal de ordem n, então o seu determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal principal, n det(a) = a 11 a 22 a a nn = a ii. i=1 [ ] 2 3 A = det(a) = 2 e B = det(b) =

132 c 2009 FFCf 132 Determinante do produto de matrizes e) Se uma matriz A for multiplicada por uma matriz B, o determinante da matriz resultante C será det(c) = det(a) det(b). [ ] 1 2 A = det(a) = 10, 3 4 [ ] 3 0 B = det(b) = 3 e 1 1 [ ] 1 2 C = det(c) =

133 c 2009 FFCf 133 Exemplo de cálculo do determinante Exemplo 26 Calcular o determinante da matriz do Exemplo

134 c 2009 FFCf 134 Exemplo de cálculo do determinante Exemplo 26 Calcular o determinante da matriz do Exemplo Seqüência de matrizes obtidas pelas operações l-elementares foram as dos sistemas (9) e (10)

135 c 2009 FFCf 135 Exemplo de cálculo do determinante Exemplo 26 Calcular o determinante da matriz do Exemplo Seqüência de matrizes obtidas pelas operações l-elementares foram as dos sistemas (9) e (10) Matrizes obtidas somente por intermédio de combinações lineares das linhas.

136 c 2009 FFCf 136 Exemplo de cálculo do determinante Exemplo 26 Calcular o determinante da matriz do Exemplo Seqüência de matrizes obtidas pelas operações l-elementares foram as dos sistemas (9) e (10) Matrizes obtidas somente por intermédio de combinações lineares das linhas. As três matrizes possuem determinantes com o mesmo valor.

137 c 2009 FFCf 137 Exemplo de cálculo do determinante Exemplo 26 Calcular o determinante da matriz do Exemplo Seqüência de matrizes obtidas pelas operações l-elementares foram as dos sistemas (9) e (10) Matrizes obtidas somente por intermédio de combinações lineares das linhas. As três matrizes possuem determinantes com o mesmo valor. Determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal.

138 c 2009 FFCf 138 Exemplo de cálculo do determinante Exemplo 26 Calcular o determinante da matriz do Exemplo Seqüência de matrizes obtidas pelas operações l-elementares foram as dos sistemas (9) e (10) Matrizes obtidas somente por intermédio de combinações lineares das linhas. As três matrizes possuem determinantes com o mesmo valor. Determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal. Determinante é o produto dos pivôs det(a) = = 24.

139 c 2009 FFCf 139 Pivotação parcial Método de Gauss falha quando um pivô for nulo. Consiste em escolher como pivô o maior elemento em módulo da coluna, cujos elementos serão eliminados. A pivotação parcial garante que o pivô seja não nulo, exceto quando a matriz for singular. Todos os multiplicadores satisfazem 1 m ij 1. Multiplicadores grandes podem ampliar os erros de arredondamento.

140 c 2009 FFCf 140 Exemplo de pivotação parcial Exemplo 27 Resolver o sistema pelo método de Gauss com pivotação parcial Dispositivo prático x 1 x 2 x 3 = L Multiplicador A b Operações 1 m 11 = 1/4 = 0, m 21 = ( 2)/4 = 0,

141 c 2009 FFCf 141 Exemplo de pivotação parcial Exemplo 27 Resolver o sistema pelo método de Gauss com pivotação parcial Dispositivo prático x 1 x 2 x 3 = L Multiplicador A b Operações 1 m 11 = 1/4 = 0, m 21 = ( 2)/4 = 0, m 12 = ( 1,5)/5 = 0,3 0 1,5 0,75 3,75 0,25L 3 + L ,5 0,5 0,5L 3 + L 2..

142 c 2009 FFCf 142 Exemplo de pivotação parcial Exemplo 27 Resolver o sistema pelo método de Gauss com pivotação parcial Dispositivo prático x 1 x 2 x 3 = L Multiplicador A b Operações 1 m 11 = 1/4 = 0, m 21 = ( 2)/4 = 0, m 12 = ( 1,5)/5 = 0,3 0 1,5 0,75 3,75 0,25L 3 + L ,5 0,5 0,5L 3 + L ,2 3,6 0,3L 5 + L 4 Sistema triangular superior equivalente , ,2 x 1 x 2 x 3 = 29 0,5 3,6...

143 c 2009 FFCf 143 Vetor solução Sistema triangular superior , ,2 x 1 x 2 x 3 = 29 0,5 3,6.

144 c 2009 FFCf 144 Vetor solução Sistema triangular superior , ,2 Substituições retroativas x 1 x 2 x 3 = 29 0,5 3,6. 1,2x 3 = 3,6; x 3 = 3,6 1,2 x 3 = 3, 0,5 1,5(3) 5x 2 + 1,5x 3 = 0,5; x 2 = x 5 2 = 1 e ( 1) 5(3) 4x 1 6x 2 + 5x 3 = 29, x 1 = x 4 1 = 2. Vetor solução: x = [2 1 3] T.

145 c 2009 FFCf 145 Decomposição LU Uma matriz quadrada pode ser escrita como o produto de duas matrizes [ ] [ ] [ ] = A matriz A foi fatorada tal que A = LU. L é uma matriz triangular inferior unitária (l ii = 1, i). U é uma matriz triangular superior. Para resolver o sistema Ax = b Ax = b LUx = b. Ux = y, então Ly = b.

146 c 2009 FFCf 146 Cálculo dos fatores A matriz pode ser fatorada usando-se o método de eliminação de Gauss. A matriz triangular superior U é a mesma do método de Gauss. A matriz triangular inferior unitária L, além de l ii = 1, l ij = 0, i < j, possui l ij = m ij, i > j, sendo m ij os multiplicadores usados no processo de eliminação de Gauss.

147 c 2009 FFCf 147 Exemplo de decomposição LU Exemplo 28 Resolver o sistema do Exemplo 24 usando a decomposição LU Dispositivo prático x 1 x 2 x 3 = L m A Operações m 21 = ( 2)/1 = m 31 = 4/1 =

148 c 2009 FFCf 148 Exemplo de decomposição LU Exemplo 28 Resolver o sistema do Exemplo 24 usando a decomposição LU Dispositivo prático x 1 x 2 x 3 = L m A Operações m 21 = ( 2)/1 = m 31 = 4/1 = L 1 + L 2 5 m 32 = 6/2 = L 1 + L 3..

149 c 2009 FFCf 149 Exemplo de decomposição LU Exemplo 28 Resolver o sistema do Exemplo 24 usando a decomposição LU Dispositivo prático x 1 x 2 x 3 = L m A Operações m 21 = ( 2)/1 = m 31 = 4/1 = L 1 + L 2 5 m 32 = 6/2 = L 1 + L L 4 + L 5..

150 c 2009 FFCf 150 Exemplo de decomposição LU Exemplo 28 Resolver o sistema do Exemplo 24 usando a decomposição LU Dispositivo prático Matrizes L e U x 1 x 2 x 3 = L m A Operações m 21 = ( 2)/1 = m 31 = 4/1 = L 1 + L 2 5 m 32 = 6/2 = L 1 + L L 4 + L 5 L = e U =

151 c 2009 FFCf 151 Verificação da igualdade A = LU =

152 c 2009 FFCf 152 Sistema triangular superior Ly = b Substituições sucessivas Ly = b y y 2 = y 3 y 1 = 11, y 1 + y 2 = 15, y 2 = (11) y 2 = 7 e 4y 1 + 3y 2 + y 3 = 29, y 3 = 29 4(11) 3(7) y 3 = 36. Vetor intermediário: y = [ ] T.,

153 c 2009 FFCf 153 Sistema triangular superior Ux = y Substituições retroativas x 1 x 2 x 3 = , 12x 3 = 36, x 3 = x 3 = 3, 2x 2 + 3x 3 = 7, x 2 = 7 3(3) x 2 2 = 1 e ( 1) 2(3) x 1 3x 2 + 2x 3 = 11, x 1 = x 1 1 = 2. Vetor solução: x = [2 1 3] T.

154 c 2009 FFCf 154 Observações sobre a decomposição LU Diferença entre os dispositivos práticos da eliminação de Gauss e da decomposição LU: ausência da coluna relativa ao vetor b. Efetuar as substituições sucessivas para resolver Ly = b na decomposição LU é o mesmo que fazer as operações l-elementares em b na eliminação de Gauss. A solução de Ly = b funciona como uma memória de cálculo para ser efetuada sobre o vetor b. Resolver vários sistemas lineares com a mesma matriz dos coeficientes com a fatoração da matriz feita uma única vez.

155 c 2009 FFCf 155 Pivotação parcial Evitar pivô nulo. Evitar multiplicadores com valores muito grandes. Decomposição da forma P A = LU. P : matriz de permutações. L: matriz triangular inferior unitária formada pelos multiplicadores m ij. U: matriz triangular superior. Resolver o sistema Ax = b Ax = b P Ax = P b LUx = P b. Ux = y, então Ly = P b. (11)

156 c 2009 FFCf 156 Exemplo de decomposição LU Exemplo 29 Resolver o sistema do Exemplo 27 pela decomposição LU usando pivotação parcial Dispositivo prático x 1 x 2 x 3 = L m A Operações p 1 m 11 = 1/4 = 0, m 21 = ( 2)/4 = 0,

157 c 2009 FFCf 157 Exemplo de decomposição LU Exemplo 29 Resolver o sistema do Exemplo 27 pela decomposição LU usando pivotação parcial Dispositivo prático x 1 x 2 x 3 = L m A Operações p 1 m 11 = 1/4 = 0, m 21 = ( 2)/4 = 0, m 12 = ( 1,5)/5 = 0,3 0 1,5 0,75 0,25L 3 + L ,5 0,5L 3 + L 2 2..

158 c 2009 FFCf 158 Exemplo de decomposição LU Exemplo 29 Resolver o sistema do Exemplo 27 pela decomposição LU usando pivotação parcial Dispositivo prático x 1 x 2 x 3 = L m A Operações p 1 m 11 = 1/4 = 0, m 21 = ( 2)/4 = 0, m 12 = ( 1,5)/5 = 0,3 0 1,5 0,75 0,25L 3 + L ,5 0,5L 3 + L ,2 0,3L 5 + L 4 1..

159 c 2009 FFCf 159 Exemplo de decomposição LU Exemplo 29 Resolver o sistema do Exemplo 27 pela decomposição LU usando pivotação parcial Dispositivo prático Índices das linhas pivotais: p = [3 2 1] x 1 x 2 x 3 = L m A Operações p 1 m 11 = 1/4 = 0, m 21 = ( 2)/4 = 0, m 12 = ( 1,5)/5 = 0,3 0 1,5 0,75 0,25L 3 + L ,5 0,5L 3 + L ,2 0,3L 5 + L 4 1..

160 c 2009 FFCf 160 Exemplo de decomposição LU Exemplo 29 Resolver o sistema do Exemplo 27 pela decomposição LU usando pivotação parcial Dispositivo prático x 1 x 2 x 3 = L m A Operações p 1 m 11 = 1/4 = 0, m 21 = ( 2)/4 = 0, m 12 = ( 1,5)/5 = 0,3 0 1,5 0,75 0,25L 3 + L ,5 0,5L 3 + L ,2 0,3L 5 + L Índices das linhas pivotais: p = [3 2 1]. Matrizes L, U e P L = , ,25 0,3 1, U = , ,2 e P =

161 c 2009 FFCf 161 Solução de Ly = P b Vetor P b: formado pelos elementos de b dispostos na ordem das linhas pivotais contidas em p. Solução de Ly = P b via substituições sucessivas y 1 0,5 1 0 y 2 = 0,25 0,3 1 y 3 y 1 = 29, ,5y 1 + y 2 = 15, y 2 = ,5(29) y 2 = 0,5 e 0,25y 1 0,3y 2 + y 3 = 11, y 3 = 11 0,25(29) + 0,3( 0,5) y 3 = 3,6. Vetor intermediário: y = [29 0,5 3,6] T.,

162 c 2009 FFCf 162 Vetor solução Solução de Ux = y pelas substituições retroativas x ,5 x 2 = 0,5, 0 0 1,2 x 3 3,6 1,2x 3 = 3,6; x 3 = 3,6 1,2 x 3 = 3, 0,5 1,5(3) 5x 2 + 1,5x 3 = 0,5; x 2 = x 5 2 = 1 e ( 1) 5(3) 4x 1 6x 2 + 5x 3 = 29, x 1 = x 4 1 = 2, Vetor solução: x = [2 1 3] T.

163 c 2009 FFCf 163 Vetor resíduo r = r = b Ax, = Solução exata.

164 c 2009 FFCf 164 Pelas propriedades dos determinantes det(l) = Cálculo do determinante P A = LU det(p A) = det(lu), det(l) det(u) det(a) =, det(p ) n n l ii = 1, det(u) = u ii e det(p ) = ( 1) t, i=1 t: número de trocas de linhas necessárias para transformar a matriz de permutações P em uma matriz identidade. Determinante de A i=1 n det(a) = ( 1) t u ii. (12) i=1

165 c 2009 FFCf 165 Exemplo de cálculo do determinante Exemplo 30 Calcular o determinante da matriz do Exemplo A = Matrizes U e P Valor de t U = , ,2 e P = t Linhas pivotais Comentário trocar 3 com 1..

166 c 2009 FFCf 166 Exemplo de cálculo do determinante Exemplo 30 Calcular o determinante da matriz do Exemplo A = Matrizes U e P Valor de t Determinante det(a) = ( 1) t U = , ,2 e P = t Linhas pivotais Comentário trocar 3 com ordem crescente 3 u ii = ( 1) ,2 det(a) = 24. i=1..

167 c 2009 FFCf 167 Exemplo Exemplo 31 Resolver o sistema abaixo pela decomposição LU, usando pivotação parcial, e verificar a exatidão e a unicidade da solução x x x 3 = x 4 4

168 c 2009 FFCf 168 Cálculo dos fatores L m A Operações p 1 m 11 = 4/5 = 0, m 21 = 1/5 = 0, m 31 = 0/5 =

169 c 2009 FFCf 169 Cálculo dos fatores L m A Operações p 1 m 11 = 4/5 = 0, m 21 = 1/5 = 0, m 31 = 0/5 = m 12 = ( 1)/4 = 0, , 2 0,8L 4 + L m 22 = ( 2)/4 = 0, ,2 0,2L 4 + L L 4 + L 3 3.

170 c 2009 FFCf 170 Cálculo dos fatores L m A Operações p 1 m 11 = 4/5 = 0, m 21 = 1/5 = 0, m 31 = 0/5 = m 12 = ( 1)/4 = 0, , 2 0,8L 4 + L m 22 = ( 2)/4 = 0, ,2 0,2L 4 + L L 4 + L ,05 0,25L 7 + L m 23 = ( 2)/( 5) = 0, ,7 0,5L 7 + L 6 2.

171 c 2009 FFCf 171 Cálculo dos fatores L m A Operações p 1 m 11 = 4/5 = 0, m 21 = 1/5 = 0, m 31 = 0/5 = m 12 = ( 1)/4 = 0, , 2 0,8L 4 + L m 22 = ( 2)/4 = 0, ,2 0,2L 4 + L L 4 + L ,05 0,25L 7 + L m 23 = ( 2)/( 5) = 0, ,7 0,5L 7 + L ,68 0,4L 8 + L 9 2.

172 c 2009 FFCf 172 Vetor p = [ ]. Cálculo dos fatores L m A Operações p 1 m 11 = 4/5 = 0, m 21 = 1/5 = 0, m 31 = 0/5 = m 12 = ( 1)/4 = 0, , 2 0,8L 4 + L m 22 = ( 2)/4 = 0, ,2 0,2L 4 + L L 4 + L ,05 0,25L 7 + L m 23 = ( 2)/( 5) = 0, ,7 0,5L 7 + L ,68 0,4L 8 + L 9 2.

173 c 2009 FFCf 173 Cálculo dos fatores L m A Operações p 1 m 11 = 4/5 = 0, m 21 = 1/5 = 0, m 31 = 0/5 = m 12 = ( 1)/4 = 0, , 2 0,8L 4 + L m 22 = ( 2)/4 = 0, ,2 0,2L 4 + L L 4 + L ,05 0,25L 7 + L m 23 = ( 2)/( 5) = 0, ,7 0,5L 7 + L ,68 0,4L 8 + L 9 2. Vetor p = [ ]. Matrizes L, U e P L = ,8 0, ,2 0,5 0,4 1, U = , ,68 e P =

174 c 2009 FFCf 174 Sistemas triangulares Substituições sucessivas para Ly = P b y y 2 0,8 0, y 3 = 0,2 0,5 0,4 1 y y = 4 3 2,95 3,12.

175 c 2009 FFCf 175 Sistemas triangulares Substituições sucessivas para Ly = P b y y 2 0,8 0, y 3 = 0,2 0,5 0,4 1 y 4 Substituições retroativas para Ux = y x x ,05 x 3 = ,68 x ,95 3,12 y = x = 4 3 2,95 3,12 0,6617 0,9412 0,5441 4,5882..

176 c 2009 FFCf 176 Verificação da exatidão do vetor x Vetor resíduo r = b Ax r = ,6617 0,9412 0,5441 4,5882 = 0,0002 0,0000 0,0002 0,0002. Solução quase exata.

177 c 2009 FFCf 177 Verificação da unicidade da solução Valor de t t Linhas pivotais Comentário trocar 4 com 1.

178 c 2009 FFCf 178 Valor de t Verificação da unicidade da solução t Linhas pivotais Comentário trocar 4 com trocar 3 com 2.

179 c 2009 FFCf 179 Valor de t Verificação da unicidade da solução t Linhas pivotais Comentário trocar 4 com trocar 3 com trocar 4 com 3.

180 c 2009 FFCf 180 Verificação da unicidade da solução Valor de t Determinante det(a) = ( 1) t Solução única. t Linhas pivotais Comentário trocar 4 com trocar 3 com trocar 4 com ordem crescente 4 u ii = det(a) = ( 1) ,68 = i=1.

181 c 2009 FFCf 181 Sistema com matriz singular infinitas soluções ou não ter solução.

182 c 2009 FFCf 182 Exemplo de sistema com matriz singular Exemplo 32 Resolver os sistemas Ax = b e Ax = c usando decomposição LU com pivotação parcial, sendo A = 2 8 1, b = 12 e c =

183 c 2009 FFCf 183 Dispositivo prático Cálculo dos fatores L m A Operações p 1 m 11 = 1/( 2) = 0, m 31 = ( 1)/( 2) = 0,

184 c 2009 FFCf 184 Dispositivo prático Cálculo dos fatores L m A Operações p 1 m 11 = 1/( 2) = 0, m 31 = ( 1)/( 2) = 0, ,5 0,5L 2 + L m 32 = 1/1 = ,5 0,5L 2 + L 3 3.

185 c 2009 FFCf 185 Dispositivo prático Cálculo dos fatores L m A Operações p 1 m 11 = 1/( 2) = 0, m 31 = ( 1)/( 2) = 0, ,5 0,5L 2 + L m 32 = 1/1 = ,5 0,5L 2 + L L 4 + L 5 3.

186 c 2009 FFCf 186 Cálculo dos fatores Dispositivo prático L m A Operações p 1 m 11 = 1/( 2) = 0, m 31 = ( 1)/( 2) = 0, ,5 0,5L 2 + L m 32 = 1/1 = ,5 0,5L 2 + L L 4 + L 5 3 Os três fatores são L = 0,5 1 0, U = 0, , e P =

187 c 2009 FFCf 187 Sistema Ax = b Solução de Ly = P b pelas substituições sucessivas y ,5 1 0 y 2 = 22 y = 0,5 1 1 y

188 c 2009 FFCf 188 Sistema Ax = b Solução de Ly = P b pelas substituições sucessivas y ,5 1 0 y 2 = 22 y = 0,5 1 1 y 3 10 Solução de Ux = y pelas substituições retroativas x ,5 x 2 = x 3 0x 3 = 0 x 3 = θ , (qualquer valor de x 3 é solução), x 2 + 1,5x 3 = 16 x 2 = 16 1,5θ e 12 8(16 1,5θ) + θ 2x 1 + 8x 2 x 3 = 12, x 1 = x 2 1 = 70 6,5θ.

189 c 2009 FFCf 189 Sistema Ax = b Solução de Ly = P b pelas substituições sucessivas y ,5 1 0 y 2 = 22 y = 0,5 1 1 y 3 10 Solução de Ux = y pelas substituições retroativas x ,5 x 2 = x 3 0x 3 = 0 x 3 = θ , (qualquer valor de x 3 é solução), x 2 + 1,5x 3 = 16 x 2 = 16 1,5θ e 12 8(16 1,5θ) + θ 2x 1 + 8x 2 x 3 = 12, x 1 = x 2 1 = 70 6,5θ. Vetor solução x = [70 6,5θ 16 1,5θ θ] T (Figura).

190 c 2009 FFCf 190 Sistema Ax = c Solução de Ly = P c via substituições sucessivas y ,5 1 0 y 2 = 20 y = 0,5 1 1 y

191 c 2009 FFCf 191 Sistema Ax = c Solução de Ly = P c via substituições sucessivas y ,5 1 0 y 2 = 20 y = 0,5 1 1 y 3 80 Solução de Ux = y via substituições retroativas x ,5 x 2 = x x 3 = 70 x 3 x

192 c 2009 FFCf 192 Sistema Ax = c Solução de Ly = P c via substituições sucessivas y ,5 1 0 y 2 = 20 y = 0,5 1 1 y 3 80 Solução de Ux = y via substituições retroativas x ,5 x 2 = x x 3 = 70 x 3 x Sistema Ax = c não tem solução porque x 3 tal que 0x 3 0 (Figura).

193 Algoritmo: decomposição LU Algoritmo Decomposição LU { Objetivo: Fazer a decomposição LU de uma matriz A } parâmetros de entrada n, A { ordem e matriz a ser decomposta } parâmetros de saída A, Det, Pivot { matriz decomposta A = U + L I, determinante, pivôs } para i 1 até n faça Pivot(i) i, fimpara; Det 1 para j 1 até n 1 faça { escolha do elemento pivô } p j; Amax abs(a(j, j)) para k j + 1 até n faça se abs(a(k, j)) > Amax então Amax abs(a(k, j)); p k fimse fimpara se p j então { troca de linhas } para k 1 até n faça t A(j, k); A(j, k) A(p, k); A(p, k) t fimpara m Pivot(j); Pivot(j) Pivot(p); Pivot(p) m Det Det fimse Det Det A(j, j) se abs(a(j, j)) 0 então { eliminação de Gauss } r 1/A(j, j) para i j + 1 até n faça Mult A(i, j) r; A(i, j) Mult para k j + 1 até n faça A(i, k) A(i, k) Mult A(j, k) fimpara fimpara fimse fimpara Det Det A(n, n) fimalgoritmo c 2009 FFCf 193

194 c 2009 FFCf 194 Detalhes do algoritmo para decomposição LU As matrizes triangulares L e U são escritas sobre a matriz original A. A, antes da decomposição A, após a decomposição a 11 a 12 a 13 a 1n u 11 u 12 u 13 u 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n l 21 u 22 u 23 u 2n l 31 l 32 u 33 u 3n a n1 a n2 a n3 a nn l n1 l n2 l n3 u nn Se necessário a matriz A deve ser previamente copiada em uma outra matriz. Matriz L: triangular inferior unitária. Esquema da pivotação parcial é utilizado. Algoritmo das substituições sucessivas para solução de Ly = b deve ser modificado para resolver Ly = P b..

195 c 2009 FFCf 195 Algoritmo: substituições sucessivas pivotal Algoritmo Substituições Sucessivas Pivotal { Objetivo: Resolver o sistema triangular inferior Ly = P b } { pelas substituições sucessivas, com a matriz L } { obtida de decomposição LU com pivotação parcial } parâmetros de entrada n, L, b, Pivot { ordem, matriz triangular inferior unitária, } { vetor independente e posição dos pivôs } parâmetros de saída y { solução do sistema triangular inferior } k Pivot(1); y(1) b(k) para i 2 até n faça Soma 0 para j 1 até i 1 faça Soma Soma + L(i, j) y(j) fimpara k Pivot(i); y(i) b(k) Soma fimpara fimalgoritmo

196 c 2009 FFCf 196 Complexidade da decomposição LU de uma matriz de ordem n Operações adições Complexidade 1 3 n n n multiplicações 1 3 n3 1 3 n divisões n 1 Desconsiderando operações para o cálculo do determinante. Complexidade computacional do algoritmo de substituições sucessivas pivotal difere do algoritmo padrão somente quanto ao número de divisões, que é nulo. Como L é unitária, não há necessidade de divisão.

197 c 2009 FFCf 197 Exemplo de uso dos algoritmos Exemplo 33 Resolver o sistema do Exemplo 31 usando os algoritmos decomposição LU, substituições sucessivas pivotal e substituições retroativas. % Os valores de entrada n = 4 A = % produzem os resultados pela decomposicao LU A = Det = Pivot = % vetor de termos independentes b = % As substituicoes sucessivas pivotal produzem y = % As substituicoes retroativas resultam em x =

198 c 2009 FFCf 198 Sistemas lineares complexos Sistemas de equações que envolvam números complexos podem ser solucionados pelos algoritmos apresentados. Algoritmos implementados em uma linguagem de programação que suporta aritmética complexa. Algoritmos implementados com aritmética real, com o sistema complexo previamente transformado em um sistema real.

199 c 2009 FFCf 199 Sistema complexo usando aritmética real Seja o sistema complexo Ax = b. Fazendo A = A r + ia i, x = x r + ix i, b = b r + ib i. Substituindo na equação acima Na forma matricial [ Ar A i A i A r (A r + ia i )(x r + ix i ) = b r + ib i, A r x r A i x i + i(a i x r + A r x i ) = b r + ib i. ] [ xr x i ] = [ br b i ]. (13)

200 c 2009 FFCf 200 Exemplo de sistema complexo usando aritmética complexa Exemplo 34 Resolver o sistema abaixo, utilizando os algoritmos substituições retroativas, decomposição LU e substituições sucessivas pivotal implementados em uma linguagem com aritmética complexa. 1+2i 3i 5 2+3i 1+i 1 i 4 2i 3 2i x 1 x 2 x 3 = 10 16i 5+12i 13+2i.

201 c 2009 FFCf 201 Resultados com aritmética complexa % Os valores de entrada n = 3 A = i i i i i i i % Produzem os resultados pela decomposicao LU A = i i i i i i i i Det = i Pivot = % vetor de termos independentes b = i i i % As substituicoes sucessivas pivotal produzem y = i i i % As substituicoes retroativas resultam em x = i i i

202 c 2009 FFCf 202 Exemplo de sistema complexo usando aritmética real Exemplo 35 Resolver o sistema do Exemplo 34, utilizando os algoritmos substituições retroativas, decomposição LU e substituições sucessivas pivotal implementados em uma linguagem que não tem aritmética complexa. 1+2i 3i 5 2+3i 1+i 1 i 4 2i 3 2i x 1 x 2 x 3 = 10 16i 5+12i 13+2i Por (13), o sistema complexo pode ser resolvido por meio do sistema real x x x x 4 = x x 6 2.

203 c 2009 FFCf 203 Resultados com aritmética real % Os valores de entrada n = 6 A = % produzem os resultados pela decomposicao LU A = Det = e+03 Pivot = % vetor de termos independentes b = % As substituicoes sucessivas pivotal produzem y =

204 c 2009 FFCf 204 Vetor solução % As substituicoes retroativas resultam em x = Vetor solução x = 3+4i 2 3 4i.

205 c 2009 FFCf 205 Decomposição de Cholesky e LDL T Matriz dos coeficientes A simétrica e definida positiva v T Av > 0, v 0, (tabela). A pode ser decomposta tal que A = LL T, L: matriz triangular inferior e, L T : matriz triangular superior.

206 c 2009 FFCf 206 Decomposição de Cholesky e LDL T Matriz dos coeficientes A simétrica e definida positiva v T Av > 0, v 0, (tabela). A pode ser decomposta tal que A = LL T, L: matriz triangular inferior e, L T : matriz triangular superior. Teorema 2 (Cholesky) Se A for uma matriz simétrica e definida positiva, então existe uma única matriz triangular L com elementos da diagonal positivos tal que A = LL T.

207 c 2009 FFCf 207 Cálculo do fator Produto LL T = A de uma matriz de ordem 4 l l 21 l l 31 l 32 l 33 0 l 41 l 42 l 43 l 44 Elemento l 44 da diagonal l 11 l 21 l 31 l 41 0 l 22 l 32 l l 33 l l 44 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44.

208 c 2009 FFCf 208 Cálculo do fator Produto LL T = A de uma matriz de ordem 4 l l 11 l 21 l 31 l 41 l 21 l l 22 l 32 l 42 l 31 l 32 l l 33 l 43 = l 41 l 42 l 43 l l 44 Elemento l 44 da diagonal l l2 42 +l2 43 +l2 44 =a 44 l 44 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 44 (l l2 42 +l2 43 )..

209 c 2009 FFCf 209 Cálculo do fator Produto LL T = A de uma matriz de ordem 4 l l 11 l 21 l 31 l 41 l 21 l l 22 l 32 l 42 l 31 l 32 l l 33 l 43 = l 41 l 42 l 43 l l 44 Elemento l 44 da diagonal l l2 42 +l2 43 +l2 44 =a 44 l 44 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 44 (l l2 42 +l2 43 ) l 44 = a44. 3 l4k 2. k=1

210 c 2009 FFCf 210 Cálculo do fator Produto LL T = A de uma matriz de ordem 4 l l 11 l 21 l 31 l 41 l 21 l l 22 l 32 l 42 l 31 l 32 l l 33 l 43 = l 41 l 42 l 43 l l 44 Elemento l 44 da diagonal l l2 42 +l2 43 +l2 44 =a 44 l 44 = Elemento qualquer da diagonal de L a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 44 (l l2 42 +l2 43 ) l 44 = a44. 3 l4k 2. k=1

211 c 2009 FFCf 211 Cálculo do fator Produto LL T = A de uma matriz de ordem 4 l l 21 l l 31 l 32 l 33 0 l 41 l 42 l 43 l 44 Elemento l 44 da diagonal l l2 42 +l2 43 +l2 44 =a 44 l 44 = l 11 l 21 l 31 l 41 0 l 22 l 32 l l 33 l l 44 Elemento qualquer da diagonal de L l jj = ajj = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 44 (l l2 42 +l2 43 ) l 44 = j 1 k=1 a44. 3 l4k 2. k=1 ljk 2, j = 1, 2,..., n. (14)

212 c 2009 FFCf 212 Cálculo do fator cont. l l 21 l l 31 l 32 l 33 0 l 41 l 42 l 43 l 44 l 11 l 21 l 31 l 41 0 l 22 l 32 l l 33 l l 44 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44. Elemento l 43 abaixo da diagonal

213 c 2009 FFCf 213 l l 21 l l 31 l 32 l 33 0 l 41 l 42 l 43 l 44 Elemento l 43 abaixo da diagonal Cálculo do fator l 11 l 21 l 31 l 41 0 l 22 l 32 l l 33 l l 44 cont. = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 l 41 l 31 + l 42 l 32 + l 43 l 33 = a 43 l 43 = a 43 (l 41 l 31 + l 42 l 32 ) l 33..

214 c 2009 FFCf 214 l l 21 l l 31 l 32 l 33 0 l 41 l 42 l 43 l 44 Elemento l 43 abaixo da diagonal Cálculo do fator l 11 l 21 l 31 l 41 0 l 22 l 32 l l 33 l l 44 cont. = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 l 41 l 31 +l 42 l 32 +l 43 l 33 = a 43 l 43 = a 43 (l 41 l 31 +l 42 l 32 ) l 33 l 43 = a l 4k l 3k k=1 l 33.

215 c 2009 FFCf 215 l l 21 l l 31 l 32 l 33 0 l 41 l 42 l 43 l 44 Elemento l 43 abaixo da diagonal Cálculo do fator l 11 l 21 l 31 l 41 0 l 22 l 32 l l 33 l l 44 cont. = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 l 41 l 31 + l 42 l 32 + l 43 l 33 =a 43 l 43 = a 43 (l 41 l 31 +l 42 l 32 ) l 33 l 43 = Elemento genérico abaixo da diagonal principal a l 4k l 3k k=1 l 33.

216 c 2009 FFCf 216 Cálculo do fator l l 11 l 21 l 31 l 41 l 21 l l 22 l 32 l 42 l 31 l 32 l l 33 l 43 l 41 l 42 l 43 l l 44 Elemento l 43 abaixo da diagonal cont. = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 l 41 l 31 + l 42 l 32 + l 43 l 33 =a 43 l 43 = a 43 (l 41 l 31 +l 42 l 32 ) l 33 l 43 = Elemento genérico abaixo da diagonal principal l ij = a ij j 1 k=1 l ik l jk a l 4k l 3k k=1 l 33. l jj, j = 1, 2,..., n 1 e i = j + 1, j + 2,..., n. (15)

217 c 2009 FFCf 217 Solução do sistema Ax = b pela decomposição de Cholesky Seja Fazendo Ax = b LL T x = b. L T x = y então Ly = b.

218 c 2009 FFCf 218 Seja Fazendo Solução do sistema Ax = b pela decomposição de Cholesky Ax = b LL T x = b. L T x = y então Ly = b. Sistema triangular inferior Ly = b resolvido pelas substituições sucessivas y i = b i i 1 j=1 l ij y j /l ii, i = 1, 2,..., n.

219 c 2009 FFCf 219 Seja Fazendo Solução do sistema Ax = b pela decomposição de Cholesky Ax = b LL T x = b. L T x = y então Ly = b. (16) Sistema triangular inferior Ly = b resolvido pelas substituições sucessivas y i = b i i 1 j=1 l ij y j /l ii, i = 1, 2,..., n. (17) Sistema triangular superior L T x = y obtido pelas substituições retroativas n x i = y i l ji x j /l ii, i = n, n 1,..., 1. (18) j=i+1

220 c 2009 FFCf 220 Pelas propriedades dos determinantes Cálculo do determinante det(a) = det(l) det(l T ), 2 n det(a) =. (19) i=1 l ii

221 c 2009 FFCf 221 Exemplo da decomposição de Cholesky Exemplo 36 Resolver o sistema abaixo usando a decomposição de Cholesky e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 31

222 c 2009 FFCf 222 Exemplo da decomposição de Cholesky Exemplo 36 Resolver o sistema abaixo usando a decomposição de Cholesky e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 31 Pelo uso de (14) e (15) Coluna 1: l 11 = a 11 = 4 = 2, l 21 = a 21 l 11 = 2 2 = 1, l 31 = a 31 l 11 = 2 2 = 1.

223 c 2009 FFCf 223 Exemplo da decomposição de Cholesky Exemplo 36 Resolver o sistema abaixo usando a decomposição de Cholesky e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 31 Pelo uso de (14) e (15) Coluna 1: l 11 = a 11 = 4 = 2, l 21 = a 21 l 11 = 2 2 = 1, l 31 = a 31 l 11 = 2 2 = 1. Coluna 2: l 22 = a 22 l21 2 = 10 ( 1) 2 =3, l 32 = a 32 l 31 l 21 = 7 (1)( 1) = 2. l 22 3

224 c 2009 FFCf 224 Exemplo da decomposição de Cholesky Exemplo 36 Resolver o sistema abaixo usando a decomposição de Cholesky e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 31 Pelo uso de (14) e (15) Coluna 1: l 11 = a 11 = 4 = 2, l 21 = a 21 = 2 l 11 2 = 1, l 31 = a 31 = 2 l 11 2 = 1. Coluna 2: l 22 = a 22 l21 2 = 10 ( 1) 2 =3, l 32 = a 32 l 31 l 21 = 7 (1)( 1) = 2. l 22 3 Coluna 3: l 33 = a 33 (l l2 32 ) = 30 ((1) 2 + ( 2) 2 ) = 5.

225 c 2009 FFCf 225 Dispositivo prático A L i\j i\j

226 c 2009 FFCf 226 Dispositivo prático A L i\j i\j

227 c 2009 FFCf 227 Dispositivo prático A L i\j i\j

228 c 2009 FFCf 228 Dispositivo prático A L i\j i\j

229 c 2009 FFCf 229 Dispositivo prático A L i\j i\j Verificação que LL T = A =

230 c 2009 FFCf 230 Solução dos sistemas triangulares Sistema Ly = b y 1 y 2 y 3 = y =

231 c 2009 FFCf 231 Solução dos sistemas triangulares Sistema Ly = b y 1 y 2 y 3 = y = Sistema L T x = y x 1 x 2 x 3 = Vetor solução x =

232 c 2009 FFCf 232 Verificação da exatidão e unicidade da solução Vetor resíduo r = b Ax r = = solução exata.

233 c 2009 FFCf 233 Verificação da exatidão e unicidade da solução Vetor resíduo r = b Ax r = = solução exata. Cálculo do determinante por (19) 2 3 det(a) = = ((2)(3)(5)) 2 = solução única. i=1 l ii

234 c 2009 FFCf 234 Exemplo da decomposição de Cholesky Exemplo 37 Resolver o sistema abaixo usando a decomposição de Cholesky e verificar a exatidão e unicidade da solução x x x 3 = x 4 82

235 c 2009 FFCf 235 Coluna 1: A = Cálculo das colunas l 11 = a 11 = 9 = 3, l 21 = a 21 l 11 = 6 3 = 2, l 31 = a 31 l 11 = 3 3 = 1, l 41 = a 41 l 11 = 3 3 = 1..

236 c 2009 FFCf 236 Coluna 1: A = Cálculo das colunas l 11 = a 11 = 9 = 3, l 21 = a 21 l 11 = 6 3 = 2, l 31 = a 31 l 11 = 3 3 = 1, l 41 = a 41 = 3 l 11 3 = 1. Coluna 2: l 22 = a 22 l21 2 = 20 (2) 2 = 4, l 32 = a 32 l 31 l 21 l 42 = a 42 l 41 l 21 l 22 =. l (1)(2) 4 = 5. = 2 ( 1)(2) 4 = 1,

237 c 2009 FFCf 237 Coluna 3: l 33 = Cálculo das colunas A = cont a 33 (l l2 32 ) = 6 (( 1) 2 + (1) 2 ) = 2, l 43 = a 43 (l 41 l 31 + l 42 l 32 ) l 33 =. 2 ((1)( 1) + (5)(1)) 2 = 1.

238 c 2009 FFCf 238 Coluna 3: l 33 = Cálculo das colunas A = cont a 33 (l l2 32 ) = 6 (( 1) 2 + (1) 2 ) = 2, l 43 = a 43 (l 41 l 31 + l 42 l 32 ) = l 33 Coluna 4: l 44 =. 2 ((1)( 1) + (5)(1)) 2 = 1. a 44 (l l l2 43 ) = 28 ((1) 2 + (5) 2 + ( 1) 2 ) = 1.

239 c 2009 FFCf 239 Dispositivo prático A L i\j i\j

240 c 2009 FFCf 240 Dispositivo prático A L i\j i\j

241 c 2009 FFCf 241 Dispositivo prático A L i\j i\j

242 c 2009 FFCf 242 Dispositivo prático A L i\j i\j

243 c 2009 FFCf 243 Dispositivo prático A L i\j i\j

244 c 2009 FFCf 244 Solução dos sistemas triangulares Sistema Ly = b y 1 y 2 y 3 y 4 = y =

245 c 2009 FFCf 245 Solução dos sistemas triangulares Sistema Ly = b y 1 y 2 y 3 y 4 = y = Sistema L T x = y x 1 x 2 x 3 x 4 = x = (vetor solução).

246 c 2009 FFCf 246 Verificação da exatidão e unicidade da solução Vetor resíduo r = b Ax r = = solução exata.

247 c 2009 FFCf 247 Vetor resíduo r = b Ax r = Determinante det(a) = Verificação da exatidão e unicidade da solução 4 i=1 l ii = solução exata. = ((3)(4)(2)(1)) 2 = solução única.

248 c 2009 FFCf 248 Exemplo da decomposição de Cholesky Exemplo 38 Resolver o sistema abaixo usando a decomposição de Cholesky e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 50

249 c 2009 FFCf 249 Exemplo da decomposição de Cholesky Exemplo 38 Resolver o sistema abaixo usando a decomposição de Cholesky e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 50 Coluna 1: l 21 = a 21 l 11 = l 11 = a 11 = 5 = 2,2361; 1 2,2361 = 0,4472; l 31 = a 31 = 2 l 11 2,2361 = 0,8944.

250 c 2009 FFCf 250 Exemplo da decomposição de Cholesky Exemplo 38 Resolver o sistema abaixo usando a decomposição de Cholesky e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 50 Coluna 1: Coluna 2: l 21 = a 21 l 11 = l 22 = l 11 = a 11 = 5 = 2,2361; 1 2,2361 = 0,4472; l 31 = a 31 = 2 l 11 2,2361 = 0,8944. a 22 l 2 21 = 8 ( 0,4472) 2 = 2,7929; l 32 = a 32 l 31 l 21 l 22 = 4 (0,8944)( 0,4472) 2,7929 = 1,5754.

251 c 2009 FFCf 251 Exemplo da decomposição de Cholesky Exemplo 38 Resolver o sistema abaixo usando a decomposição de Cholesky e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 50 Coluna 1: Coluna 2: Coluna 3: l 33 = l 21 = a 21 l 11 = l 22 = l 11 = a 11 = 5 = 2,2361; 1 2,2361 = 0,4472; l 31 = a 31 = 2 l 11 2,2361 = 0,8944. a 22 l 2 21 = 8 ( 0,4472) 2 = 2,7929; l 32 = a 32 l 31 l 21 l 22 = 4 (0,8944)( 0,4472) 2,7929 = 1,5754. a 33 (l l2 32 ) = 10 ((0,8944) 2 + (1,5754) 2 ) = 2,5919.

252 c 2009 FFCf 252 Dispositivo prático A L i\j i\j

253 c 2009 FFCf 253 Dispositivo prático A L i\j i\j , , ,8944.

254 c 2009 FFCf 254 Dispositivo prático A L i\j i\j , ,4472 2, ,8944 1,5754.

255 c 2009 FFCf 255 Dispositivo prático A L i\j i\j , ,4472 2, ,8944 1,5754 2,5919

256 c 2009 FFCf 256 Solução dos sistemas triangulares Sistema Ly = b 2, ,4472 2, ,8944 1,5754 2,5919 y 1 y 2 y 3 = y = 9,3914 5, ,9598.

257 c 2009 FFCf 257 Solução dos sistemas triangulares Sistema Ly = b 2, ,4472 2, ,8944 1,5754 2,5919 y 1 y 2 y 3 = y = 9,3914 5, ,9598. Sistema L T x = y 2,2361 0,4472 0, ,7929 1, ,5919 x 1 x 2 x 3 = 9,3914 5, ,9598 x = 2,0000 1,0000 5,0001.

258 c 2009 FFCf 258 Verificação da exatidão e unicidade da solução Vetor resíduo r = b Ax r = ,0000 1,0000 5,0001 = 0,0002 0,0004 0,0010. Solução não exata devido aos erros de arredondamento.

259 c 2009 FFCf 259 Verificação da exatidão e unicidade da solução Vetor resíduo r = b Ax r = ,0000 1,0000 5,0001 = Solução não exata devido aos erros de arredondamento. Determinante det(a) = 3 i=1 l ii 2 0,0002 0,0004 0,0010 ((2,2361)(2,7929)(2,5919)) 2, det(a) 262, solução única..

260 Algoritmo: decomposição de Cholesky Algoritmo Cholesky { Objetivo: Fazer a decomposição LL T de uma matriz A } { simétrica e definida positiva } parâmetros de entrada n, A { ordem e matriz a ser decomposta } parâmetros de saída A, Det, CondErro { fator L escrito sobre A, determinante e condição de erro } CondErro 0; Det 1 para j 1 até n faça Soma 0 para k 1 até j 1 faça Soma Soma + A(j, k) 2 fimpara t A(j, j) Soma se t > 0 então A(j, j) raiz 2 (t); r 1/A(j, j); Det Det t senão CondErro 1, escreva a matriz não é definida positiva, abandone fimse para i j + 1 até n faça Soma 0 para k 1 até j 1 faça Soma Soma + A(i, k) A(j, k) fimpara A(i, j) (A(i, j) Soma) r fimpara fimpara fimalgoritmo c 2009 FFCf 260

261 c 2009 FFCf 261 Exemplo de uso dos algoritmos Exemplo 39 Resolver o sistema do Exemplo 37 usando os algoritmos de decomposição de Cholesky, substituições sucessivas e substituições retroativas. % Os valores de entrada n = 4 A =

262 c 2009 FFCf 262 % produzem os resultados pela decomposicao de Cholesky A = Det = 576 CondErro = 0 % vetor de termos independentes b = % As substituicoes sucessivas resultam em y = % As substituicoes retroativas produzem x = Resultados dos algoritmos

263 c 2009 FFCf 263 Complexidade da decomposição de Cholesky de matriz de ordem n Operações adições multiplicações divisões Complexidade 1 6 n n n 1 6 n n2 2 3 n n raízes quadradas n Desconsiderando as n multiplicações efetuadas para o cálculo do determinante. Operação de potenciação computada como uma multiplicação.

264 c 2009 FFCf 264 Fatoração LDL T Uma matriz A simétrica pode ser decomposta, tal que A = LDL T, L: matriz triangular inferior unitária (l jj = 1, j). D: matriz diagonal.

265 c 2009 FFCf 265 Fatoração LDL T Uma matriz A simétrica pode ser decomposta, tal que A = LDL T, L: matriz triangular inferior unitária (l jj = 1, j). D: matriz diagonal. Matriz D d jj = a jj j 1 k=1 l 2 jk d kk, j = 1, 2,..., n.

266 c 2009 FFCf 266 Fatoração LDL T Uma matriz A simétrica pode ser decomposta, tal que A = LDL T, L: matriz triangular inferior unitária (l jj = 1, j). D: matriz diagonal. Matriz D Matriz unitária L l ij = a ij j 1 k=1 d jj = a jj l ik d kk l jk j 1 k=1 l 2 jk d kk, j = 1, 2,..., n. (20) d jj, j = 1, 2,..., n 1 e i = j+1, j+2,..., n. (21)

267 c 2009 FFCf 267 Solução do sistema Ax = b pela fatoração LDL T Seja Fazendo Ax = b LDL T x = b. L T x = t e Dt = y então Ly = b.

268 c 2009 FFCf 268 Solução do sistema Ax = b pela fatoração LDL T Seja Ax = b LDL T x = b. Fazendo L T x = t e Dt = y então Ly = b. Sistema Ly = b resolvido pelas substituições sucessivas. Solução do sistema diagonal Dt = y é t i = y i /D ii. Vetor solução x do sistema L T x = t obtido pelas substituições retroativas.

269 c 2009 FFCf 269 Cálculo do determinante Pelas propriedades dos determinantes det(a) = det(l) det(d) det(l T ), n det(a) = d ii. (22) i=1

270 c 2009 FFCf 270 Exemplo de fatoração LDL T Exemplo 40 Resolver o sistema do Exemplo 38 usando a decomposição de LDL T e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 50

271 c 2009 FFCf 271 Exemplo de fatoração LDL T Exemplo 40 Resolver o sistema do Exemplo 38 usando a decomposição de LDL T e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 50 Pelo uso de (20) e (21) Coluna 1: d 11 = a 11 = 5, l 21 = a 21 d 11 = 1 5 = 0,2; l 31 = a 31 d 11 = 2 5 = 0,4.

272 c 2009 FFCf 272 Exemplo de fatoração LDL T Exemplo 40 Resolver o sistema do Exemplo 38 usando a decomposição de LDL T e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 50 Pelo uso de (20) e (21) Coluna 1: Coluna 2: d 11 = a 11 = 5, l 21 = a 21 d 11 = 1 5 = 0,2; l 31 = a 31 d 11 = 2 5 = 0,4. d 22 = a 22 l 2 21d 11 = 8 ( 0,2) 2 (5) = 7,8; l 32 = a 32 l 31 d 11 l 21 d 22 = 4 (0,4)(5)( 0,2) 7,8 = 0,5641.

273 c 2009 FFCf 273 Exemplo de fatoração LDL T Exemplo 40 Resolver o sistema do Exemplo 38 usando a decomposição de LDL T e verificar a exatidão e unicidade da solução x x 2 = x 3 50 Pelo uso de (20) e (21) Coluna 1: Coluna 2: Coluna 3: d 11 = a 11 = 5, l 21 = a 21 d 11 = 1 5 = 0,2; l 31 = a 31 d 11 = 2 5 = 0,4. d 22 = a 22 l 2 21d 11 = 8 ( 0,2) 2 (5) = 7,8; l 32 = a 32 l 31 d 11 l 21 d 22 = 4 (0,4)(5)( 0,2) 7,8 = 0,5641. d 33 = a 33 (l 2 31d 11 + l 2 32d 22 ) = 10 ((0,4) 2 (5) + (0,5641) 2 (7,8)) = 6,7180.

274 c 2009 FFCf 274 Verificação que A = LDL T = , ,4 0, , , ,2 0, ,

275 c 2009 FFCf 275 Solução dos sistemas Sistema Ly = b pelas substituições sucessivas y ,2 1 0 y 2 = 10 0,4 0, y 3 50 y = 21 14,2 33,5898.

276 c 2009 FFCf 276 Solução dos sistemas Sistema Ly = b pelas substituições sucessivas y ,2 1 0 y 2 = 10 0,4 0, y 3 50 Sistema Dt = y , ,7180 t 1 t 2 t 3 = 21 14,2 33,5898 y = t = 21 14,2 33,5898 4,2 1,8205 5,0000..

277 c 2009 FFCf 277 Solução dos sistemas Sistema Ly = b pelas substituições sucessivas y ,2 1 0 y 2 = 10 0,4 0, y 3 50 Sistema Dt = y , ,7180 t 1 t 2 t 3 = 21 14,2 33,5898 y = t = 21 14,2 33,5898 4,2 1,8205 5, Sistema L T x = t pelas substituições retroativas 1 0,2 0,4 x 1 4, ,5641 x 2 = 1, x 3 5,0000 x = 2,0000 1,0000 5,0000.

278 c 2009 FFCf 278 Verificação da exatidão e unicidade da solução Vetor resíduo r = b Ax 21 r = ,0000 1,0000 5,0000 = Solução exata com quatro decimais.

279 c 2009 FFCf 279 Verificação da exatidão e unicidade da solução Vetor resíduo r = b Ax 21 r = Solução exata com quatro decimais. 2,0000 1,0000 5,0000 = Cálculo do determinante por (22) 3 det(a) = d ii (5)(7,8)(6,7180) = 262, solução única. i=

280 Algoritmo: decomposição LDL T Algoritmo Decomposição LDL T { Objetivo: Fazer a decomposição LDL T de uma matriz A } { simétrica e definida positiva } parâmetros de entrada n, A { ordem e matriz a ser decomposta } parâmetros de saída A, Det { matriz decomposta A = L I + D e determinante } Det 1 para j 1 até n faça Soma 0 para k 1 até j 1 faça Soma Soma + A(j, k) 2 A(k, k) fimpara A(j, j) A(j, j) Soma r = 1/A(j, j); Det Det A(j, j) para i j + 1 até n faça Soma 0 para k 1 até j 1 faça Soma Soma + A(i, k) A(k, k) A(j, k) fimpara A(i, j) (A(i, j) Soma) r fimpara fimpara fimalgoritmo c 2009 FFCf 280

281 c 2009 FFCf 281 Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 41 Decompor a matriz do sistema do Exemplo 40 utilizando o algoritmo decomposição LDL T. % Os valores de entrada n = 3 A = % produzem os resultados pela decomposicao LDLt A = Det =

282 c 2009 FFCf 282 Complexidade computacional da decomposição LDL T Operações adições Complexidade 1 6 n n n multiplicações 1 3 n n2 5 6 n divisões n Desconsiderando as n multiplicações efetuadas para o cálculo do determinante. Operação de potenciação contada como multiplicação. Vantagem da fatoração LDL T é evitar o cálculo de raiz quadrada. Não deve ser usada em matriz simétrica que não seja definida positiva. A decomposição não é estável para essas matrizes. Recomendado o uso de outros métodos, como o de Aasen.

283 c 2009 FFCf 283 Decomposição espectral Seja uma matriz A de ordem n com autovalores λ i, i = 1, 2,..., n. Cada autovalor tem um autovetor correspondente. Generalizando a relação Av i = λ i v i, i = 1, 2,..., n AV = V Λ. Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ): matriz diagonal contendo os autovalores λ i. V : matriz, cujas colunas são os autovetores v i.

284 c 2009 FFCf 284 Decomposição espectral Seja uma matriz A de ordem n com autovalores λ i, i = 1, 2,..., n. Cada autovalor tem um autovetor correspondente. Generalizando a relação Av i = λ i v i, i = 1, 2,..., n AV = V Λ. Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ): matriz diagonal contendo os autovalores λ i. V : matriz, cujas colunas são os autovetores v i. Pós-multiplicando por V 1, A = V ΛV 1. (23) Matriz A decomposta em termos de seus autovalores e autovetores.

285 c 2009 FFCf 285 Cálculo dos autovetores Relação fundamental Av i = λ i v i (A λ i I)v i = 0. (24) Matriz (A λ i I) é singular det(a λ i I) = 0. Sistema (A λ i I)v i = 0 é homogêneo. Ele apresenta infinitas soluções v i. Atribuir um valor arbitrário a um elemento de v i, por exemplo v i1 = 1. Obter os demais elementos do autovetor pela solução do sistema resultante de ordem n 1.

286 c 2009 FFCf 286 Exemplo de decomposição espectral Exemplo 42 Fazer a decomposição espectral da matriz A =

287 c 2009 FFCf 287 Exemplo de decomposição espectral Exemplo 42 Fazer a decomposição espectral da matriz A = Polinômio característico D 3 (λ) = det(a λi) = det 7 λ λ λ.

288 c 2009 FFCf 288 Exemplo de decomposição espectral Exemplo 42 Fazer a decomposição espectral da matriz A = Polinômio característico D 3 (λ) = det(a λi) = det 7 λ λ λ. Desenvolvendo o determinante: D 3 (λ) = λ 3 + 2λ λ 12.

289 c 2009 FFCf 289 Exemplo de decomposição espectral Exemplo 42 Fazer a decomposição espectral da matriz A = Polinômio característico D 3 (λ) = det(a λi) = det 7 λ λ λ. Desenvolvendo o determinante: D 3 (λ) = λ 3 + 2λ λ 12. Três zeros do polinômio característico: λ 1 = 4, λ 2 = 1 e λ 3 = 3.

290 c 2009 FFCf 290 Exemplo de decomposição espectral Exemplo 42 Fazer a decomposição espectral da matriz A = Polinômio característico 7 λ 14 2 D 3 (λ) = det(a λi) = det 3 10 λ λ Desenvolvendo o determinante: D 3 (λ) = λ 3 + 2λ λ 12. Três zeros do polinômio característico: λ 1 = 4, λ 2 = 1 e λ 3 = 3. Matriz Λ contendo os autovalores Λ =

291 c 2009 FFCf 291 Autovetor v correspondente ao autovalor λ 1 = 4 Resolver o sistema (A λ 1 I)v = v 1 v 2 v 3 =

292 c 2009 FFCf 292 Autovetor v correspondente ao autovalor λ 1 = 4 Resolver o sistema (A λ 1 I)v = v 1 v 2 v 3 = As equações 1 e 2 são redundantes.

293 c 2009 FFCf 293 Autovetor v correspondente ao autovalor λ 1 = 4 Resolver o sistema (A λ 1 I)v = As equações 1 e 2 são redundantes. v 1 v 2 v 3 = Elimina-se a segunda e faz-se v 1 = 1. [ ] [ ] [ ] 14 2 v2 3 = v 28 1 v = 0,5 e v 3 = 2 1 v = 0,

294 c 2009 FFCf 294 Autovetor w correspondente ao autovalor λ 2 = 1 Resolver o sistema (A λ 2 I)w = w 1 w 2 w 3 =

295 c 2009 FFCf 295 Autovetor w correspondente ao autovalor λ 2 = 1 Resolver o sistema (A λ 2 I)w = w 1 w 2 w 3 = As equações 1 e 3 são redundantes.

296 c 2009 FFCf 296 Autovetor w correspondente ao autovalor λ 2 = 1 Resolver o sistema (A λ 2 I)w = As equações 1 e 3 são redundantes. w 1 w 2 w 3 = Elimina-se a terceira e faz-se w 1 = 1 [ ] [ ] [ ] 14 2 w2 6 = w 11 2 w = 1 e w 3 = 4 1 w =

297 c 2009 FFCf 297 Autovetor z correspondente ao autovalor λ 3 = 3 Resolver o sistema (A λ 3 I)z = z 1 z 2 z 3 =

298 c 2009 FFCf 298 Autovetor z correspondente ao autovalor λ 3 = 3 Resolver o sistema (A λ 3 I)z = z 1 z 2 z 3 = As equações 2 e 3 são redundantes.

299 c 2009 FFCf 299 Autovetor z correspondente ao autovalor λ 3 = 3 Resolver o sistema (A λ 3 I)z = As equações 2 e 3 são redundantes. z 1 z 2 z 3 = Elimina-se a terceira e faz-se z 1 = 1 [ ] [ ] [ ] 14 2 z2 10 = z 7 2 z = 1 e z 3 = 2 1 z =

300 c 2009 FFCf 300 Decomposição espectral de A Matriz V contendo os autovetores de A V = [v w z] = 0,

301 c 2009 FFCf 301 Decomposição espectral de A Matriz V contendo os autovetores de A V = [v w z] = 0, Inversa de V V 1 = , ,5..

302 c 2009 FFCf 302 Decomposição espectral de A Matriz V contendo os autovetores de A V = [v w z] = 0, Inversa de V V 1 = , ,5 Decomposição espectral A = V ΛV = 0, , ,5

303 c 2009 FFCf 303 Solução de sistema linear Solução do sistema Ax = b obtida por x = A 1 b. Por (23) x = (V ΛV 1 ) 1 b x = (V Λ 1 V 1 )b. (25) Vetor solução x depende dos recíprocos dos autovalores λ i. Quase singularidade de A = x tenha elementos muito grandes.

304 c 2009 FFCf 304 Exemplo de solução de sistema via decomposição espectral Exemplo 43 Calcular a solução do sistema abaixo, o qual envolve a matriz dos coeficientes do Exemplo x 1 10 A = x 2 = x 3 29

305 c 2009 FFCf 305 Exemplo de solução de sistema via decomposição espectral Exemplo 43 Calcular a solução do sistema abaixo, o qual envolve a matriz dos coeficientes do Exemplo x 1 10 A = x 2 = x 3 29 Por (25) e utilizando os resultados do Exemplo 42 x = , x = (V Λ 1 V 1 )b , ,5 3 2 x =

306 c 2009 FFCf 306 Solução exata r = Grande custo computacional. Verificação da exatidão = Normalmente, não é utilizada para a solução de sistemas de equações lineares

307 c 2009 FFCf 307 Uso da decomposição Resolver sistemas de equações lineares. Calcular o determinante de uma matriz. Refinar a solução de sistema. Calcular a matriz inversa.

308 c 2009 FFCf 308 Refinamento da solução Seja x 0 uma solução aproximada de Ax = b calculada via decomposição LU com pivotação parcial LUx 0 = P b Lt = P b e Ux 0 = t. Fatores L e U perdem exatidão devido aos erros de arredondamento.

309 c 2009 FFCf 309 Refinamento da solução Seja x 0 uma solução aproximada de Ax = b calculada via decomposição LU com pivotação parcial LUx 0 = P b Lt = P b e Ux 0 = t. Fatores L e U perdem exatidão devido aos erros de arredondamento. Solução melhorada x 1 = x 0 + c 0. c 0 : vetor de correção Ax 1 = b A(x 0 + c 0 ) = b Ac 0 = b Ax 0 Ac 0 = r 0. Correção c 0 : solução do sistema Ac 0 = r 0 dada por LUc 0 = P r 0 Lt = P r 0 e Uc 0 = t.

310 c 2009 FFCf 310 Refinamento da solução Seja x 0 uma solução aproximada de Ax = b calculada via decomposição LU com pivotação parcial LUx 0 = P b Lt = P b e Ux 0 = t. Fatores L e U perdem exatidão devido aos erros de arredondamento. Solução melhorada x 1 = x 0 + c 0. c 0 : vetor de correção Ax 1 = b A(x 0 + c 0 ) = b Ac 0 = b Ax 0 Ac 0 = r 0. Correção c 0 : solução do sistema Ac 0 = r 0 dada por Melhor aproximação x 2 = x 1 + c 1. LUc 0 = P r 0 Lt = P r 0 e Uc 0 = t. c 1 : solução de Ac 1 = r 1 obtida por LUc 1 = P r 1 Lt = P r 1 e Uc 1 = t.

311 c 2009 FFCf 311 Esquema do refinamento de solução LUx 0 = P b Lt = P b e Ux 0 = t, r k = b Ax k LUc k = P r k Lt = P r k e Uc k = t x k+1 = x k + c k k = 0, 1, 2,... Processo repete até que um critério de parada seja satisfeito. Outras decomposições podem ser usadas para o refinamento da solução.

312 c 2009 FFCf 312 Exemplo de refinamento de solução Exemplo 44 Resolver o sistema abaixo e refinar a solução até que c < x x 2 = x 3 11

313 c 2009 FFCf 313 Exemplo de refinamento de solução Exemplo 44 Resolver o sistema abaixo e refinar a solução até que c < x x 2 = x 3 11 Decomposição LU com pivotação parcial L = 0,67 1 0, U = 0 6,33 3 0,33 0, ,74 e P =

314 c 2009 FFCf 314 Exemplo de refinamento de solução Exemplo 44 Resolver o sistema abaixo e refinar a solução até que c < x x 2 = x 3 11 Decomposição LU com pivotação parcial L = 0,67 1 0, U = 0 6,33 3 0,33 0, ,74 e P = Lt = P b t = 19 8,73 13,6034 Cálculo de x 0 Ax 0 = b LUx 0 = P b, e Ux 0 = t x 0 = 1,9731 0,9738 4,9647.

315 c 2009 FFCf 315 Refinamento do vetor x x 0 = r 0 = b Ax 0 = 1,9731 0,9738 4,9647 0, ,0712, LUc 0 = P r 0 c 0 = 0,0268 0,0262 0,0352,

316 c 2009 FFCf 316 Refinamento do vetor x x 0 = r 0 = b Ax 0 = 1,9731 0,9738 4,9647 0, ,0712, LUc 0 = P r 0 c 0 = 0,0268 0,0262 0,0352, x 1 = x 0 + c 0 = 1,9999 1,0000 4,9999, r 1 = b Ax 1 = 0, ,0002, LUc 1 = P r 1 c 1 = 0,0001 0,0000 0,0001,

317 c 2009 FFCf 317 Refinamento do vetor x x 0 = r 0 = b Ax 0 = 1,9731 0,9738 4,9647 0, ,0712, LUc 0 = P r 0 c 0 = 0,0268 0,0262 0,0352, x 1 = x 0 + c 0 = 1,9999 1,0000 4,9999, r 1 = b Ax 1 = 0, ,0002, LUc 1 = P r 1 c 1 = 0,0001 0,0000 0,0001, x 2 = x 1 + c 1 = 2,0000 1,0000 5,0000. Refinamento interrompido: c 1 = 0,0001 < 10 3.

318 c 2009 FFCf 318 Cálculo da matriz inversa Matriz inversa: AA 1 = I a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn v 11 v 12 v 1n v 21. v 22. v 2n.... v n1 v n2 v nn = V = A 1 : usado para simplificar a notação.

319 c 2009 FFCf 319 Cálculo da matriz inversa Matriz inversa: AA 1 = I a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn v 11 v 12 v 1n v 21. v 22. v 2n.... v n1 v n2 v nn V = A 1 : usado para simplificar a notação. Cálculo de V pela solução de n sistemas v i : i-ésima coluna da matriz inversa e Av i = e i, i = 1, 2,..., n, e i : i-ésima coluna da matriz identidade. Fazer uma decomposição de A. = Calcular os n vetores v i que compõem a inversa via substituições sucessivas e retroativas..

320 c 2009 FFCf 320 Exemplo de cálculo da inversa Exemplo 45 Calcular a inversa da matriz A =

321 c 2009 FFCf 321 Exemplo de cálculo da inversa Exemplo 45 Calcular a inversa da matriz A = Matriz A simétrica. Decomposição de Cholesky L =

322 c 2009 FFCf 322 Cálculo das colunas da matriz inversa Coluna 1: Av 1 = e 1 1 LL T v 1 = 0 Lt = e 1 t = 0 0,5 1,5 0,5 el T v 1 = t v 1 = 2,75 1,70 0,10.

323 c 2009 FFCf 323 Cálculo das colunas da matriz inversa Coluna 1: Av 1 = e 1 1 LL T v 1 = 0 Lt = e 1 t = 0 0,5 1,5 0,5 el T v 1 = t v 1 = 2,75 1,70 0,10. Coluna 2: Av 2 = e 2 0 LL T v 2 = 1 Lt = e 2 t = ,4 el T v 2 = t v 2 = 1,70 1,16 0,08.

324 c 2009 FFCf 324 Cálculo das colunas da matriz inversa Coluna 1: Av 1 = e 1 1 LL T v 1 = 0 Lt = e 1 t = 0 0,5 1,5 0,5 el T v 1 = t v 1 = 2,75 1,70 0,10. Coluna 2: Av 2 = e 2 0 LL T v 2 = 1 Lt = e 2 t = ,4 el T v 2 = t v 2 = 1,70 1,16 0,08. Coluna 3: Av 3 = e 3 0 LL T v 3 = 0 Lt = e 3 t = ,2 el T v 3 = t v 3 = 0,10 0,08 0,04.

325 c 2009 FFCf 325 Matriz inversa A 1 = V = [v 1 v 2 v 3 ] A 1 = 2,75 1,70 0,10 1,70 1,16 0,08 0,10 0,08 0,04.

326 c 2009 FFCf 326 Matriz inversa A 1 = V = [v 1 v 2 v 3 ] A 1 = 2,75 1,70 0,10 1,70 1,16 0,08 0,10 0,08 0,04. Verificação da relação AA 1 = I ,75 1,70 0, ,70 1,16 0, ,10 0,08 0,04 =

327 c 2009 FFCf 327 Métodos iterativos estacionários Gerar, a partir de x 0, uma seqüência de vetores {x 1, x 2, x 3,..., x k,...} x. Uma mesma série de operações é repetida várias vezes.

328 c 2009 FFCf 328 Métodos iterativos estacionários Gerar, a partir de x 0, uma seqüência de vetores {x 1, x 2, x 3,..., x k,...} x. Uma mesma série de operações é repetida várias vezes. Existem várias classes de métodos iterativos. Seja M a matriz de iteração e c um vetor constante. x k+1 = Mx k + c. (26) Método iterativo é dito estacionário quando a matriz M for fixa.

329 c 2009 FFCf 329 Métodos iterativos estacionários Gerar, a partir de x 0, uma seqüência de vetores {x 1, x 2, x 3,..., x k,...} x. Uma mesma série de operações é repetida várias vezes. Existem várias classes de métodos iterativos. Seja M a matriz de iteração e c um vetor constante. x k+1 = Mx k + c. (27) Método iterativo é dito estacionário quando a matriz M for fixa. Métodos iterativos estacionários: Jacobi, Gauss-Seidel e sobre-relaxação sucessiva.

330 c 2009 FFCf 330 Condição de convergência Teorema 3 (Condição necessária) O método iterativo (27) converge com qualquer valor inicial x 0 se, e somente se, ρ(m) < 1, sendo ρ(m) o raio espectral (maior autovalor em módulo) da matriz de iteração M.

331 c 2009 FFCf 331 Condição de convergência Teorema 3 (Condição necessária) O método iterativo (27) converge com qualquer valor inicial x 0 se, e somente se, ρ(m) < 1, sendo ρ(m) o raio espectral (maior autovalor em módulo) da matriz de iteração M. Teorema 4 (Condição suficiente) É condição suficiente para a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel que a matriz dos coeficientes A seja diagonal estritamente dominante, ou seja, n a ii > a ij, i = 1, 2,..., n. (28) j = 1 j i

332 c 2009 FFCf 332 Condição de convergência Teorema 3 (Condição necessária) O método iterativo (27) converge com qualquer valor inicial x 0 se, e somente se, ρ(m) < 1, sendo ρ(m) o raio espectral (maior autovalor em módulo) da matriz de iteração M. Teorema 4 (Condição suficiente) É condição suficiente para a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel que a matriz dos coeficientes A seja diagonal estritamente dominante, ou seja, n a ii > a ij, i = 1, 2,..., n. (29) j = 1 j i A convergência não depende da escolha do vetor inicial x 0.

333 c 2009 FFCf 333 Critério de parada A cada passo do método iterativo a solução é obtida com exatidão crescente lim k xk = x.

334 c 2009 FFCf 334 Critério de parada A cada passo do método iterativo a solução é obtida com exatidão crescente lim k xk = x. Processo deve ser interrompido quando algum critério de parada for satisfeito ε: tolerância e x k x k 1 x k k max : número máximo de iterações. ε ou (30) k k max, (31)

335 c 2009 FFCf 335 Critério de parada adotado Com norma- max 1 i n x k i xk 1 max 1 i n x k i i ε, x k i : i-ésimo componente do vetor xk obtido na k-ésima iteração.

336 c 2009 FFCf 336 Critério de parada adotado Com norma- max 1 i n x k i xk 1 max 1 i n x k i i ε, x k i : i-ésimo componente do vetor xk obtido na k-ésima iteração. A tolerância ε define com qual exatidão a solução é calculada. Em aritmética de ponto flutuante a exatidão não pode ser tão grande quanto se queira. Ela é limitada de acordo com o número de bytes das variáveis do programa.

337 c 2009 FFCf 337 Método de Jacobi Decompor a matriz A de modo que A = D + E + F, D é uma matriz diagonal e E e F são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, com diagonais nulas.

338 c 2009 FFCf 338 Método de Jacobi Decompor a matriz A de modo que A = D + E + F, D é uma matriz diagonal e E e F são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, com diagonais nulas. O sistema Ax = b escrito na forma (D + E + F )x = b Dx = (E + F )x + b.

339 c 2009 FFCf 339 Decompor a matriz A de modo que Método de Jacobi A = D + E + F, D é uma matriz diagonal e E e F são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, com diagonais nulas. O sistema Ax = b escrito na forma (D + E + F )x = b Dx = (E + F )x + b. Igualdade convertida em um processo iterativo ( ) x k+1 = D 1 (E + F ) x k + D 1 b x k+1 = Jx k + c, (32) Matriz de iteração do método de Jacobi J = D 1 (E + F ).

340 c 2009 FFCf 340 Sistema de equações lineares na forma Forma análoga de dedução do método de Jacobi a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n. =. b 3. a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn x n = b n.

341 c 2009 FFCf 341 Sistema de equações lineares na forma Forma análoga de dedução do método de Jacobi a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n. =. b 3. a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn x n = b n. Explicitar x i na i-ésima equação. Equações de iterações do método de Jacobi x k+1 1 = 1 a 11 ( a12 x k 2 a 13 x k 3 a 1n x k n + b 1 ), x k+1 2 = 1 a 22 ( a21 x k 1 a 23 x k 3 a 2n x k n + b 2 ), x k+1 3 = 1 a 33 ( a31 x k 1 a 32 x k 2 a 3n x k n + b 3 ),. x k+1 n = 1 a nn ( an1 x k 1 a n2 x k 2 a n,n 1 x k n 1 + b n ), (33)

342 c 2009 FFCf 342 x k+1 1 x k+1 2 x k+1 3. x k+1 n } {{ } x k+1 = Forma de recorrência x k+1 = Jx k + c 0 a 12 a 11 a 13 a 11 a 1n a 11 a 21 a 22 0 a 23 a 22 a 2n a 22 a 31 a 33 a 32 a 33 0 a 3n a a n1 a nn a n2 a nn a n,n 1 a nn 0 }{{} J Convergência independe do valor inicial x 0. Vetor inicial x k 1 x k 2 x k 3. x k n }{{} x k + b 1 a 11 b 2 a 22 b 3 a 33. b n a nn. }{{} c x 0 i = b i a ii. (34)

343 Algoritmo: método iterativo de Jacobi Algoritmo Jacobi { Objetivo: Resolver o sistema Ax = b pelo método iterativo de Jacobi } parâmetros de entrada n, A, b, Toler, IterMax { ordem, matriz, vetor independente, tolerância e número máximo de iterações } parâmetros de saída x, Iter, CondErro { vetor solução, número de iterações e condição de erro } { construção das matrizes para as iterações } para i 1 até n faça r 1/A(i, i) para j 1 até n faça se i j então A(i, j) A(i, j) r, fimse fimpara; b(i) b(i) r; x(i) b(i) fimpara; Iter 0 { iterações de Jacobi } repita Iter Iter + 1 para i 1 até n faça Soma 0 para j 1 até n faça se i j então Soma Soma + A(i, j) x(j), fimse fimpara; v(i) b(i) Soma fimpara NormaNum 0; NormaDen 0 para i 1 até n faça t abs(v(i) x(i)) se t > NormaNum então NormaNum t, fimse se abs(v(i)) > NormaDen então NormaDen abs(v(i)), fimse; x(i) v(i) fimpara NormaRel NormaNum/NormaDen; escreva Iter, x, NormaRel { teste de convergência } se NormaRel Toler ou Iter IterMax então interrompa, fimse fimrepita se NormaRel Toler então CondErro 0, senão CondErro 1 fimse fimalgoritmo c 2009 FFCf 343

344 c 2009 FFCf 344 Complexidade computacional Operações adições Complexidade kn 2 + kn + k multiplicações (k + 1)n 2 kn divisões n + k Complexidade de Jacobi usando k iterações em sistema de ordem n > 1.

345 c 2009 FFCf 345 Exemplo do método de Jacobi Exemplo 46 Resolver o sistema de equações pelo método de Jacobi com ε < 10 5 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x 2 = x 3 4

346 c 2009 FFCf 346 Exemplo do método de Jacobi Exemplo 46 Resolver o sistema de equações pelo método de Jacobi com ε < 10 5 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x 2 = x 3 4 Matriz dos coeficientes diagonal estritamente dominante 10 > 3 + 2, 8 > e 5 >

347 c 2009 FFCf 347 Exemplo do método de Jacobi Exemplo 46 Resolver o sistema de equações pelo método de Jacobi com ε < 10 5 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x 2 = x 3 4 Matriz dos coeficientes diagonal estritamente dominante 10 > 3 + 2, 8 > e 5 > Equações de iterações x k+1 1 = 10 1 x k+1 2 = 1 8 x k+1 3 = 1 5 ) ( 3x k 2 + 2xk , ) ( 2x k 1 + xk e ) ( x k 1 xk 2 4.

348 c 2009 FFCf 348 Exemplo do método de Jacobi Exemplo 46 Resolver o sistema de equações pelo método de Jacobi com ε < 10 5 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x 2 = x 3 4 Matriz dos coeficientes diagonal estritamente dominante 10 > 3 + 2, 8 > e 5 > Equações de iterações x k+1 1 = 10 1 x k+1 2 = 1 8 x k+1 3 = 1 5 ) ( 3x k 2 + 2xk , ) ( 2x k 1 + xk e ) ( x k 1 xk 2 4. Vetor inicial x 0 = [5,7 2,5 0,8] T.

349 c 2009 FFCf 349 Coordenadas do vetor da primeira iteração x 1 1 = 1 10 ( 3x x ) = 1 10 ( 3(2,5) + 2( 0,8) + 57) x1 1 = 4,79, x 1 2 = 1 8 ( 2x x ) = 1 8 ( 2(5,7) + ( 0,8) + 20) x1 2 = 0,975 e x 1 3 = 1 5 ( x 0 1 x 0 2 4) = 1 5 ( (5,7) (2,5) 4) x1 3 = 2,44.

350 c 2009 FFCf 350 Coordenadas do vetor da primeira iteração x 1 1 = 10 1 ( 3x x ) = 10 1 ( 3(2,5) + 2( 0,8) + 57) x1 1 = 4,79, x 1 2 = 8 1 ( 2x x ) = 1 8 ( 2(5,7) + ( 0,8) + 20) x1 2 = 0,975 e x 1 3 = 5 1 ( x 0 1 x 0 2 4) = 1 5 ( (5,7) (2,5) 4) x1 3 = 2,44. Vetor da primeira iteração: x 1 = [4,79 0,975 2,44] T.

351 c 2009 FFCf 351 Coordenadas do vetor da primeira iteração x 1 1 = 1 10 ( 3x x ) = 1 10 ( 3(2,5) + 2( 0,8) + 57) x1 1 = 4,79, x 1 2 = 1 8 ( 2x x ) = 1 8 ( 2(5,7) + ( 0,8) + 20) x1 2 = 0,975 e x 1 3 = 1 5 ( x 0 1 x 0 2 4) = 1 5 ( (5,7) (2,5) 4) x1 3 = 2,44. Vetor da primeira iteração: x 1 = [4,79 0,975 2,44] T. Critério de parada x 1 x 0 x 1 = max( 4,79 5,7, 0,975 2,5, 2,44 ( 0,8) ), max( 4,79, 0,975, 2,44 ) x 1 x 0 x 1 = max(0,91; 1,525; 1,64) max(4,79; 0,975; 2,44) = 0,3424.

352 % Os valores de entrada n = 3 A = b = Toler = e-05 IterMax = 50 % produzem os resultados Solucao de sistema linear pelo metodo de Jacobi Iter x1 x2 x3 NormaRelativa e e e e e e e e e-06 Solucao = Iter = 9 CondErro = 0 Resultados gerados pelo algoritmo Vetor solução x x 9 = [5, , ,00000] T. c 2009 FFCf 352

353 c 2009 FFCf 353 Exemplo do método de Jacobi Exemplo 47 Calcular três aproximações do vetor solução do sistema do Exemplo 46 utilizando a formulação (32): x k+1 = D 1 (E + F )x k + D 1 b = Jx k + c.

354 c 2009 FFCf 354 Exemplo do método de Jacobi Exemplo 47 Calcular três aproximações do vetor solução do sistema do Exemplo 46 utilizando a formulação (32): x k+1 = D 1 (E + F )x k + D 1 b = Jx k + c. Decompondo A = D + E + F D = 0 8 0, E = e F =

355 c 2009 FFCf 355 Exemplo do método de Jacobi Exemplo 47 Calcular três aproximações do vetor solução do sistema do Exemplo 46 utilizando a formulação (32): x k+1 = D 1 (E + F )x k + D 1 b = Jx k + c. Decompondo A = D + E + F D = 0 8 0, E = e F = Matriz J e vetores c e x 0 J = D 1 (E + F ) = 0 0,3 0,2 0,25 0 0,125 0,2 0,2 0 e c = D 1 b = x 0 = [5,7 2,5 0,8] T.

356 c 2009 FFCf 356 Primeiras aproximações da solução Por (32) k x k 1 x k 2 x k 3 0 5, , , , , , , , , , , ,98340.

357 c 2009 FFCf 357 Exemplo do método de Jacobi Exemplo 48 Resolver o sistema pelo método de Jacobi com ε < 10 3 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x x 3 = x 4 0

358 c 2009 FFCf 358 Exemplo do método de Jacobi Exemplo 48 Resolver o sistema pelo método de Jacobi com ε < 10 3 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x x 3 = x 4 0 Matriz dos coeficientes diagonalmente dominante 5 > , 8 > , 6 > e 9 >

359 c 2009 FFCf 359 x k+1 1 = 1 5 x k+1 2 = 1 8 x k+1 3 = 1 6 x k+1 4 = 1 9 Equações de iterações ) ( 2x k 2 + xk 4 + 6, ) ( x k 1 + 3xk 3 2xk , ) ( x k 2 xk 4 5 e ( ) x k 1 + xk 2 2xk 3. Vetor inicial: x 0 = [1,2 1,25 0,8333 0] T.

360 c 2009 FFCf 360 Pelas equações de iterações x 1 1 = 1 5 ( 2x x ) = 1 5 Coordenadas do vetor da primeira iteração x 1 2 = 1 8 ( x x 0 3 2x ) = 1 8 x 1 3 = 1 6 ( x 0 2 x ) = 1 6 x 1 4 = 1 9 ( x x 0 2 2x 0 3) = 1 9 ( 2(1,25) + (0) + 6) = 0,7; ( (1,2) + 3( 0,8333) 2(0)+10) = 0,7875; ( (1,25) (0) 5) = 1,0417; ( (1,2) + (1,25) 2( 0,8333)) = 0,1907. Vetor da primeira iteração: x 1 = [0,7 0,7875 1,0417 0,1907] T.

361 c 2009 FFCf 361 Coordenadas do vetor da primeira iteração Pelas equações de iterações x 1 1 = 1 5 ( 2x x ) = 1 5 x 1 2 = 1 8 ( x x 0 3 2x ) = 1 8 x 1 3 = 1 6 ( x 0 2 x ) = 1 6 x 1 4 = 1 9 ( x x 0 2 2x 0 3) = 1 9 ( 2(1,25) + (0) + 6) = 0,7; ( (1,2) + 3( 0,8333) 2(0)+10) = 0,7875; ( (1,25) (0) 5) = 1,0417; ( (1,2) + (1,25) 2( 0,8333)) = 0,1907. Vetor da primeira iteração: x 1 = [0,7 0,7875 1,0417 0,1907] T. Critério de parada x 1 x 0 x 1 = max( 0,7 1,2, 0,7875 1,25, 1,0417 ( 0,8333), 0, ), max( 0,7, 0,7875, 1,0417, 0,1907 ) x 1 x 0 x 1 = max(0,5; 0,4625; 0,2084; 0,1907) max(0,7; 0,7875; 1,0417; 0,1907) = 0,4800.

362 c 2009 FFCf 362 Resultados gerados pelo algoritmo % Os valores de entrada n = 4 A = b = Toler = e-03 IterMax = 50 % produzem os resultados Solucao de sistema linear pelo metodo de Jacobi Iter x1 x2 x3 x4 NormaRelativa e e e e e e e-04 Solucao = Iter = 7 CondErro = 0 Vetor solução: x x 7 = [0, , , ,19215] T.

363 c 2009 FFCf 363 Método de Gauss-Seidel Decompor a matriz A tal que A = D + E + F, D é uma matriz diagonal e E e F são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, com diagonais nulas.

364 c 2009 FFCf 364 Método de Gauss-Seidel Decompor a matriz A tal que A = D + E + F, D é uma matriz diagonal e E e F são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, com diagonais nulas. Sistema linear Ax = b escrito na forma (D + E + F )x = b (D + E)x = F x + b.

365 c 2009 FFCf 365 Método de Gauss-Seidel Decompor a matriz A tal que A = D + E + F, D é uma matriz diagonal e E e F são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, com diagonais nulas. Sistema linear Ax = b escrito na forma (D + E + F )x = b (D + E)x = F x + b. Forma de iteração obtida pela recorrência ( ) x k+1 = (D + E) 1 F x k + (D + E) 1 b x k+1 = Sx k + d. (35) Matriz de iteração do método de Gauss-Seidel: S = (D + E) 1 F.

366 c 2009 FFCf 366 Forma alternativa de dedução do método de Gauss-Seidel Seja (D + E + F )x = b (D + E)x = F x + b.

367 c 2009 FFCf 367 Forma alternativa de dedução do método de Gauss-Seidel Seja (D + E + F )x = b (D + E)x = F x + b. Na forma de recorrência (D + E)x k+1 = F x k + b Dx k+1 = Ex k+1 F x k + b.

368 Forma alternativa de dedução do método de Gauss-Seidel Seja (D + E + F )x = b (D + E)x = F x + b. Na forma de recorrência (D + E)x k+1 = F x k + b Dx k+1 = Ex k+1 F x k + b. Escrevendo a segunda equação na forma matricial x k+1 1 a x k+1 Dx k+1 2 =..... x k+1 3 a n 1,1 a n 1, a n1 a n2 a n,n 1 0 x }{{} k+1 n }{{} E x k+1 0 a 12 a 13 a 1n x k 1 b a 23 a 2n x k 2 b x k 3 + b 3, a n 1,n }{{} F x k n }{{} x k b n }{{} b c 2009 FFCf 368

369 c 2009 FFCf 369 Equações de iterações do método de Gauss-Seidel ( ) x k+1 1 = a 1 a x k 2 a 13x k 3 a 1nx k n + b 1, ( ) x k+1 2 = a 1 a x k+1 1 a 23 x k 3 a 2nx k n + b 2, ( ) x k+1 3 = a 1 a x k+1 1 a 32 x k+1 2 a 3n x k n + b 3,. ( ) x k+1 n = a 1 nn a n1 x k+1 1 a n2 x k+1 2 a n,n 1 x k+1 n 1 + b n.

370 c 2009 FFCf 370 Equações de iterações do método de Gauss-Seidel ( ) x k+1 1 = a 1 a x k 2 a 13x k 3 a 1nx k n + b 1, ( ) x k+1 2 = a 1 a x k+1 1 a 23 x k 3 a 2nx k n + b 2, ( ) x k+1 3 = a 1 a x k+1 1 a 32 x k+1 2 a 3n x k n + b 3, (36). ( ) x k+1 n = a 1 nn a n1 x k+1 1 a n2 x k+1 2 a n,n 1 x k+1 n 1 + b n. Vetor x k+1 obtido a partir dos elementos mais recentes, incluindo o próprio x k+1 e x k. Vetor inicial x 0 i = b i a ii.

371 Algoritmo: método iterativo de Gauss-Seidel Algoritmo Gauss-Seidel { Objetivo: Resolver o sistema Ax = b pelo método iterativo de Gauss-Seidel } parâmetros de entrada n, A, b, Toler, IterMax { ordem, matriz, vetor independente, tolerância e número máximo de iterações } parâmetros de saída x, Iter, CondErro { vetor solução, número de iterações e condição de erro } { construção das matrizes para as iterações } para i 1 até n faça r 1/A(i, i) para j 1 até n faça se i j então A(i, j) A(i, j) r, fimse fimpara; b(i) b(i) r; x(i) b(i) fimpara; Iter 0 { iterações de Gauss-Seidel } repita Iter Iter + 1 para i 1 até n faça Soma 0 para j 1 até n faça se i j então Soma Soma + A(i, j) x(j), fimse fimpara; v(i) x(i); x(i) b(i) Soma fimpara; NormaNum 0; NormaDen 0 para i 1 até n faça t abs(x(i) v(i)) se t > NormaNum então NormaNum t, fimse se abs(x(i)) > NormaDen então NormaDen abs(x(i)), fimse fimpara; NormaRel NormaNum/NormaDen; escreva Iter, x, NormaRel { teste de convergência } se NormaRel Toler ou Iter IterMax então interrompa, fimse fimrepita se NormaRel Toler então CondErro 0, senão CondErro 1 fimse fimalgoritmo c 2009 FFCf 371

372 c 2009 FFCf 372 Complexidade computacional Operações adições Complexidade kn 2 + kn + k multiplicações (k + 1)n 2 kn divisões n + k Complexidade de Gauss-Seidel usando k iterações em sistema de ordem n > 1.

373 c 2009 FFCf 373 Exemplo do método de Gauss-Seidel Exemplo 49 Resolver o sistema do Exemplo 46 pelo método de Gauss-Seidel com ε < 10 5 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x 2 = x 3 4

374 c 2009 FFCf 374 Exemplo do método de Gauss-Seidel Exemplo 49 Resolver o sistema do Exemplo 46 pelo método de Gauss-Seidel com ε < 10 5 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x 2 = x 3 4 Matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante.

375 c 2009 FFCf 375 Exemplo do método de Gauss-Seidel Exemplo 49 Resolver o sistema do Exemplo 46 pelo método de Gauss-Seidel com ε < 10 5 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x 2 = x 3 4 Matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante. Equações de iterações x k+1 1 = 10 1 x k+1 2 = 1 8 x k+1 3 = 1 5 ) ( 3x k 2 + 2xk , ( ) 2x k x k e ( ) x k+1 1 x k

376 c 2009 FFCf 376 Exemplo do método de Gauss-Seidel Exemplo 49 Resolver o sistema do Exemplo 46 pelo método de Gauss-Seidel com ε < 10 5 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x 2 = x 3 4 Matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante. Equações de iterações x k+1 1 = 10 1 x k+1 2 = 1 8 x k+1 3 = 1 5 Vetor inicial: x 0 = [5,7 2,5 0,8] T. ) ( 3x k 2 + 2xk , ( ) 2x k x k e ( ) x k+1 1 x k

377 c 2009 FFCf 377 Coordenadas do vetor da primeira iteração x 1 1 = 1 10 ( 3x x ) = 1 10 ( 3(2,5) + 2( 0,8) + 57) x1 1 = 4,79, x 1 2 = 1 8 ( 2x x ) = 1 8 ( 2(4,79) + ( 0,8) + 20) x1 2 = 1,2025 e x 1 3 = 1 5 ( x 1 1 x 1 2 4) = 1 5 ( (4,79) (1,2025) 4) x1 3 = 1,9985. Vetor da primeira iteração: x 1 = [4,79 1,2025 1,9985] T.

378 c 2009 FFCf 378 Coordenadas do vetor da primeira iteração x 1 1 = 1 10 ( 3x x ) = 1 10 ( 3(2,5) + 2( 0,8) + 57) x1 1 = 4,79, x 1 2 = 1 8 ( 2x x ) = 1 8 ( 2(4,79) + ( 0,8) + 20) x1 2 = 1,2025 e x 1 3 = 1 5 ( x 1 1 x 1 2 4) = 1 5 ( (4,79) (1,2025) 4) x1 3 = 1,9985. Vetor da primeira iteração: x 1 = [4,79 1,2025 1,9985] T. Condição de parada x 1 x 0 x 1 = max( 4,79 5,7, 1,2025 2,5, 1,9985 ( 0,8) ), max( 4,79, 1,2025, 1,9985 ) x 1 x 0 x 1 = max(0,91; 1,2975; 1,1985) max(4,79; 1,2025; 1,9985) = 0,2709.

379 c 2009 FFCf 379 Resultados gerados pelo algoritmo % Os valores de entrada n = 3 A = b = Toler = e-05 IterMax = 50 % produzem os resultados Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Seidel Iter x1 x2 x3 NormaRelativa e e e e e e-06 Solucao = Iter = 6 CondErro = 0 Vetor solução: x x 6 = [5, , ,00000] T.

380 c 2009 FFCf 380 Exemplo do método de Gauss-Seidel Exemplo 50 Calcular três aproximações do vetor solução do sistema do Exemplo 49 usando a formulação (35): x k+1 = (D + E) 1 F x k + (D + E) 1 b = Sx k + d.

381 c 2009 FFCf 381 Exemplo do método de Gauss-Seidel Exemplo 50 Calcular três aproximações do vetor solução do sistema do Exemplo 49 usando a formulação (35): x k+1 = (D + E) 1 F x k + (D + E) 1 b = Sx k + d. Decompondo A = D + E + F D = 0 8 0, E = e F = Matriz (D + E) 1 calculada utilizando o esquema: (D + E)(D + E) 1 = I..

382 c 2009 FFCf 382 Exemplo do método de Gauss-Seidel Exemplo 51 Calcular três aproximações do vetor solução do sistema do Exemplo 49 usando a formulação (35): x k+1 = (D + E) 1 F x k + (D + E) 1 b = Sx k + d. Decompondo A = D + E + F D = 0 8 0, E = e F = Matriz (D + E) 1 calculada utilizando o esquema: (D + E)(D + E) 1 = I. Matrizes (D + E) 1 e S 0, ,3 0,2 (D+E) 1 = 0,025 0,125 0 e S = (D+E) 1 F = 0 0,075 0,075. 0,015 0,025 0,2 0 0,045 0,055 Vetores d e x 0 d = (D + E) 1 b = [5,7 1,075 2,155] T e x 0 = D 1 b = [5,7 2,5 0,8] Ṭ.

383 c 2009 FFCf 383 Primeiras aproximações da solução k x k 1 x k 2 x k 3 0 5, , , , , , , , , , , ,99981.

384 c 2009 FFCf 384 Exemplo do método de Gauss-Seidel Exemplo 51 Resolver o sistema do Exemplo 48 pelo método de Gauss-Seidel com ε < 10 3 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x x 3 = x 4 0

385 c 2009 FFCf 385 Exemplo do método de Gauss-Seidel Exemplo 51 Resolver o sistema do Exemplo 48 pelo método de Gauss-Seidel com ε < 10 3 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x x 3 = x 4 0 Matriz dos coeficientes diagonal estritamente dominante 5 > , 8 > , 6 > e 9 >

386 c 2009 FFCf 386 Exemplo do método de Gauss-Seidel Exemplo 51 Resolver o sistema do Exemplo 48 pelo método de Gauss-Seidel com ε < 10 3 e k max = 50 usando os critérios (30) e (31) x x x 3 = x 4 0 Matriz dos coeficientes diagonal estritamente dominante Equações de iterações 5 > , 8 > , 6 > e 9 > x k+1 Vetor inicial: x 0 = [1,2 1,25 0,8333 0] T. ( 1 = 1 5 2x k 2 + x k ), ( x k+1 2 = 1 8 x k x k 3 2x k ), ( x k+1 3 = 1 6 x k+1 2 x k 4 5 ) e ( ) x k+1 4 = 1 9 x k x k+1 2 2x k+1 3.

387 c 2009 FFCf 387 Coordenadas do vetor da primeira iteração x 1 1 = 1 ( 5 2x x ) = 1 5 ( 2(1,25) + (0) + 6) = 0,7; x 1 2 = 1 ( 8 x x 0 3 2x ) = 1 8 ( (0,7) + 3( 0,8333) 2(0) + 10)=0,85; x 1 3 = 1 ( 6 x 1 2 x 0 4 5) = 1 6 ( (0,85) (0) 5) = 0,975; x 1 4 = 9 1 ( x x 1 2 3) 2x1 = 1 9 ( (0,7) + (0,85) 2( 0,975)) = 0,2333. Vetor da primeira iteração: x 1 = [0,7 0,85 0,975 0,2333] T.

388 c 2009 FFCf 388 Coordenadas do vetor da primeira iteração x 1 1 = 1 ( 5 2x x ) = 1 5 ( 2(1,25) + (0) + 6) = 0,7; x 1 2 = 1 ( 8 x x 0 3 2x ) = 1 8 ( (0,7) + 3( 0,8333) 2(0) + 10)=0,85; x 1 3 = 1 ( 6 x 1 2 x 0 4 5) = 1 6 ( (0,85) (0) 5) = 0,975; x 1 4 = 9 1 ( x x 1 2 3) 2x1 = 1 9 ( (0,7) + (0,85) 2( 0,975)) = 0,2333. Vetor da primeira iteração: x 1 = [0,7 0,85 0,975 0,2333] T. Condição de parada x 1 x 0 x 1 = max( 0,7 1,2, 0,85 1,25, 0,975 ( 0,8333), 0, ), max( 0,7, 0,85, 0,975, 0,2333 ) x 1 x 0 x 1 = max(0,5; 0,4; 0,1417; 0,2333) max(0,7; 0,85; 0,975; 0,2333) = 0,5128.

389 c 2009 FFCf 389 Resultados obtidos pelo algoritmo % Os valores de entrada n = 4 A = b = Toler = e-03 IterMax = 50 % produzem os resultados Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Seidel Iter x1 x2 x3 x4 NormaRelativa e e e e e e-05 Solucao = Iter = 6 CondErro = 0 Vetor solução: x x 6 = [0, , , ,19216] T.

390 c 2009 FFCf 390 Método da sobre-relaxação sucessiva Decompor a matriz A de modo que A = D + E + F, D é uma matriz diagonal e E e F são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, com diagonais nulas.

391 c 2009 FFCf 391 Método da sobre-relaxação sucessiva Decompor a matriz A de modo que A = D + E + F, D é uma matriz diagonal e E e F são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, com diagonais nulas. Multiplicando o sistema linear Ax = b por um parâmetro ω Somando o vetor nulo (D D)x ao primeiro termo ω(d + E + F )x = ωb. (D D)x + ω(d + E + F )x = ωb. Rearranjando (D + ωe)x = [(1 ω)d ωf ]x + ωb.

392 c 2009 FFCf 392 Método da sobre-relaxação sucessiva Decompor a matriz A de modo que A = D + E + F, D é uma matriz diagonal e E e F são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, com diagonais nulas. Multiplicando o sistema linear Ax = b por um parâmetro ω Somando o vetor nulo (D D)x ao primeiro termo ω(d + E + F )x = ωb. (D D)x + ω(d + E + F )x = ωb. Rearranjando Forma de iteração (D + ωe)x = [(1 ω)d ωf ]x + ωb. (D + ωe)x k+1 = [(1 ω)d ωf ]x k + ωb, (37) x k+1 = (D+ωE) 1 [(1 ω)d ωf ] x k +ω(d+ωe) 1 b x k+1 = Rx k + e. (38) Matriz de iteracao do método SOR: R = (D + ωe) 1 [(1 ω)d ωf ]. SOR: successive over-relaxation.

393 c 2009 FFCf 393 Convergência do método SOR Depende do parâmetro ω. Para garantir a convergência: 0 < ω < 2. Usualmente: 1 < ω < 2. Para ω = 1, a recorrência (38) torna-se x k+1 = (D + E) 1 F x k + (D + E) 1 b, Método de Gauss-Seidel é um caso particular da sobre-relaxação sucessiva.

394 c 2009 FFCf 394 Equações de iterações do método SOR Por (37) (D + ωe)x k+1 = [(1 ω)d ωf ]x k + ωb, Dx k+1 = ω( Ex k+1 F x k + b) + (1 ω)dx k, x k+1 = ωd 1 ( Ex k+1 F x k + b) + (1 ω)x k.

395 c 2009 FFCf 395 Equações de iterações do método SOR Por (37) (D + ωe)x k+1 = [(1 ω)d ωf ]x k + ωb, Dx k+1 = ω( Ex k+1 F x k + b) + (1 ω)dx k, x k+1 = ωd 1 ( Ex k+1 F x k + b) + (1 ω)x k. x k+1 1 = ω a 11 ( a 12 x k 2 a 13x k 3 a 1nx k n + b 1 ) + (1 ω)x k 1, ( ) x k+1 2 = a ω a x k+1 1 a 23 x k 3 a 2nx k n + b 2 + (1 ω)x k ( 2, a a x k+1 1 a 32 x k+1 x k+1 3 = ω. x k+1 n 2 a 3n x k n + b 3 ) + (1 ω)x k 3, ( ) = a ω nn a n1 x k+1 1 a n2 x k+1 2 a n,n 1 x k+1 n 1 + b n + (1 ω)x k n. (39)

396 Algoritmo: método da sobre-relaxação sucessiva Algoritmo SOR { Objetivo: Resolver o sistema Ax = b pelo método iterativo da sobre-relaxação sucessiva } parâmetros de entrada n, A, b, Omega, Toler, IterMax { ordem, matriz, vetor independente, parâmetro ω, tolerância e número máximo de iterações } parâmetros de saída x, Iter, CondErro { vetor solução, número de iterações e condição de erro } { construção das matrizes para as iterações } para i 1 até n faça r 1/A(i, i) para j 1 até n faça se i j então A(i, j) A(i, j) r, fimse fimpara; b(i) b(i) r; x(i) b(i) fimpara; Iter 0 { iterações da sobre-relaxação sucessiva } repita Iter Iter + 1 para i 1 até n faça Soma 0 para j 1 até n faça se i j então Soma Soma + A(i, j) x(j), fimse fimpara; v(i) x(i); x(i) Omega (b(i) Soma) + (1 Omega) x(i) fimpara; NormaNum 0; NormaDen 0 para i 1 até n faça t abs(x(i) v(i)) se t > NormaNum então NormaNum t, fimse se abs(x(i)) > NormaDen então NormaDen abs(x(i)), fimse fimpara; NormaRel NormaNum/NormaDen; escreva Iter, x, NormaRel { teste de convergência } se NormaRel Toler ou Iter IterMax então interrompa, fimse fimrepita se NormaRel Toler então CondErro 0, senão CondErro 1 fimse fimalgoritmo c 2009 FFCf 396

397 c 2009 FFCf 397 Influência do parâmetro ω no raio espectral Exemplo 52 Resolver o sistema pelo método SOR, com ε < 10 5 e k max = 500 usando os critérios (30) e (31) x x x x 4 = x 5 107

398 c 2009 FFCf 398 Influência do parâmetro ω no raio espectral Exemplo 52 Resolver o sistema pelo método SOR, com ε < 10 5 e k max = 500 usando os critérios (30) e (31) x x x x 4 = x Influência do parâmetro ω no raio espectral ρ da matriz de iteração R = (D + ωe) 1 [(1 ω)d ωf ] ω 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 ρ(r) 0,9357 0,8618 0,7747 0,6674 0,5231 0,4459 0,7506 1,0660 1,3943 iterações >500 >500 Quanto menor ρ(r) menor será o número de iterações..

399 c 2009 FFCf 399 Sobre o teorema da condição suficiente Teorema 4 não se aplica ao método da sobre-relaxação sucessiva devido ao parâmetro ω. No Exemplo 51, onde a matriz A é diagonal estritamente dominante, o método de Gauss-Seidel converge com 6 iterações. Sobre-relaxação sucessiva não converge com ω = 1,8 porque neste caso ρ(r ω=1,8 ) = 1,0131 > 1.

400 c 2009 FFCf 400 Análise de convergência Seja o erro ɛ k na k-ésima iteração ɛ k = x k x, x : solução exata do sistema Ax = b de ordem n e x k : aproximação da solução.

401 Sendo x k = ɛ k + x ɛ k+1 = M(ɛ k + x ) + c x, c 2009 FFCf 401 Análise de convergência Seja o erro ɛ k na k-ésima iteração ɛ k = x k x, x : solução exata do sistema Ax = b de ordem n e x k : aproximação da solução. Substituindo a equação acima para ɛ k+1 em (27) ɛ k+1 = x k+1 x = Mx k + c x. ɛ k+1 = Mɛ k + (Mx + c x ).

402 c 2009 FFCf 402 Análise de convergência Seja o erro ɛ k na k-ésima iteração ɛ k = x k x, x : solução exata do sistema Ax = b de ordem n e x k : aproximação da solução. Substituindo a equação acima para ɛ k+1 em (27) ɛ k+1 = x k+1 x = Mx k + c x. Sendo x k = ɛ k + x ɛ k+1 = M(ɛ k + x ) + c x, Tomando o limite de (27), ɛ k+1 = Mɛ k + (Mx + c x ). (40) lim k xk+1 = lim k Mxk + c x = Mx + c.

403 c 2009 FFCf 403 Análise de convergência cont. Propagação de erro é da forma ɛ k+1 = Mɛ k.

404 c 2009 FFCf 404 Análise de convergência cont. Propagação de erro é da forma ɛ k+1 = Mɛ k. Sendo λ i um autovalor de M e v i o seu correspondente autovetor Mv i = λ i v i, i = 1, 2,..., n ou MV = V Λ Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ): matriz diagonal contendo os autovalores λ i e V : matriz composta pelos autovetores v i.

405 c 2009 FFCf 405 Análise de convergência cont. Propagação de erro é da forma ɛ k+1 = Mɛ k. (41) Sendo λ i um autovalor de M e v i o seu correspondente autovetor Mv i = λ i v i, i = 1, 2,..., n ou MV = V Λ Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ): matriz diagonal contendo os autovalores λ i e V : matriz composta pelos autovetores v i. Expressando o vetor erro inicial ɛ 0 como uma combinação linear dos autovetores V de M ɛ 0 = V c c: um vetor de coeficientes obtido pela solução do sistema linear acima.

406 c 2009 FFCf 406 Análise de convergência cont. Substituindo em (41) ɛ 1 = Mɛ 0 = MV c ɛ 1 = V Λc. ɛ 2 = Mɛ 1 = MV Λc ɛ 2 = V Λ 2 c.

407 c 2009 FFCf 407 Análise de convergência cont. Substituindo em (41) ɛ k 1 ɛ k 2. ɛ k n ɛ 1 = Mɛ 0 = MV c ɛ 1 = V Λc. ɛ 2 = Mɛ 1 = MV Λc ɛ 2 = V Λ 2 c. = ɛ k = V Λ k c, v 11 v 12 v 1n v 21 v 22 v 2n v n1 v n2 v nn c 1 λ k 1 c 2 λ k 2. c n λ k n.

408 c 2009 FFCf 408 Análise de convergência cont. Substituindo em (41) ɛ k 1 ɛ k 2. ɛ k n ɛ 1 = Mɛ 0 = MV c ɛ 1 = V Λc. ɛ 2 = Mɛ 1 = MV Λc ɛ 2 = V Λ 2 c. = ɛ k = V Λ k c, (42) v 11 v 12 v 1n c 1 λ k 1 v 21 v 22 v 2n c 2 λ k v n1 v n2 v nn c n λ k n Quando k aumentar, o vetor erro ɛ k irá reduzir se, e somente se, o módulo de todos os autovalores λ i da matriz de iteração M for menor que a unidade. A taxa de convergência será controlada pela magnitude do maior autovalor em módulo, o chamado raio espectral ρ(m) (ver Teorema 3).

409 c 2009 FFCf 409 Resultados da expressão ɛ k = V Λ k c Exemplo 53 Seja o sistema Ax = b do Exemplo 49 e sua solução exata x x x 2 = 20 e x = x 3 4 2

410 c 2009 FFCf 410 Resultados da expressão ɛ k = V Λ k c Exemplo 53 Seja o sistema Ax = b do Exemplo 49 e sua solução exata x x x 2 = 20 e x = x A partir dos resultados do Exemplo 51, obtêm-se os valores para a fórmula de recorrência de Gauss-Seidel x k+1 = Sx k + d 0 0,300 0,200 5,700 5,7 S = 0 0,075 0,075, d = 1,075 e x 0 = 2,5. 0 0,045 0,055 2,155 0,8 Vetor erro inicial: ɛ 0 = x 0 x = [0,7 1,5 1,2] T.

411 c 2009 FFCf 411 Resultados da expressão ɛ k = V Λ k c Exemplo 53 Seja o sistema Ax = b do Exemplo 49 e sua solução exata x x x 2 = 20 e x = x A partir dos resultados do Exemplo 51, obtêm-se os valores para a fórmula de recorrência de Gauss-Seidel x k+1 = Sx k + d 0 0,300 0,200 S = 0 0,075 0,075, d = 0 0,045 0,055 5,700 1,075 2,155 Vetor erro inicial: ɛ 0 = x 0 x = [0,7 1,5 1,2] T. e x 0 = 5,7 2,5 0,8 Autovalores Λ da matriz de iteração S e seus respectivos autovetores V , ,97074 Λ = 0 0, e V = 0 0, , , , ,

412 c 2009 FFCf 412 Resultados da expressão ɛ k = V Λ k c cont. Por (42) o vetor erro na k-ésima iteração ɛ k 1 1 0, ,97074 ɛ k 2 = 0 0, , , ,21538 ɛ k 3 8,19997(0) k 4,90841(0,09718) k 3,06538( 0,07718) k,

413 c 2009 FFCf 413 Resultados da expressão ɛ k = V Λ k c cont. Por (42) o vetor erro na k-ésima iteração ɛ k 1 1 0, ,97074 ɛ k 2 = 0 0, , , ,21538 ɛ k 3 8,19997(0) k 4,90841(0,09718) k 3,06538( 0,07718) k, vetor c: solução do sistema linear V c = ɛ 0. Calcula-se o vetor erro ɛ k a cada iteração.

414 c 2009 FFCf 414 Resultados da expressão ɛ k = V Λ k c cont. Por (42) o vetor erro na k-ésima iteração ɛ k 1 1 0, ,97074 ɛ k 2 = 0 0, , , ,21538 ɛ k 3 vetor c: solução do sistema linear V c = ɛ 0. Calcula-se o vetor erro ɛ k a cada iteração. 8,19997(0) k 4,90841(0,09718) k 3,06538( 0,07718) k Como x k = ɛ k + x, é possível obter a solução aproximada x k para comparar com os valores mostrados no Exemplo 51 k ɛ k 1 ɛ k 2 ɛ k 3 ɛ k 1 + x 1 ɛk 2 + x 2 ɛ k 3 + x 3 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,99981.,

415 c 2009 FFCf 415 Resultados da expressão ɛ k = V Λ k c cont. Processo converge, pois λ i < 1 i lim k λk i = 0 lim k ɛk = 0, Solução divergiria se pelo menos um λ i > 1 lim k λk i = lim k ɛk =,

416 c 2009 FFCf 416 Comparação dos métodos iterativos estacionários Matriz dos coeficientes A diagonal estritamente dominante: solução converge pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel (Teorema 4). Se A não for diagonalmente dominante: previsão de convergência feita usando o raio espectral ρ(m) da matriz de iteração (Teorema 3). Neste caso, um método pode convergir e o outro não.

417 c 2009 FFCf 417 Exemplo de convergência Exemplo 54 Verificar se o sistema abaixo pode ser resolvido pelo método de Jacobi ou de Gauss-Seidel 0,5 0,6 0,3 x 1 0, x 2 = 0. 0,4 0,4 1 x 3 0,6

418 c 2009 FFCf 418 Exemplo de convergência Exemplo 54 Verificar se o sistema abaixo pode ser resolvido pelo método de Jacobi ou de Gauss-Seidel 0,5 0,6 0,3 x 1 0, x 2 = 0. 0,4 0,4 1 x 3 0,6 Matriz A não é diagonal estritamente dominante. Matrizes de iteração J = D 1 (E + F ) = S = (D + E) 1 F = 0 1,2 0, ,4 0, ,2 0,6 0 1,2 0,4 0 0,96 0,08 ρ(j) = 1,1200 e ρ(s) = 0,6928.

419 c 2009 FFCf 419 Exemplo de convergência Exemplo 54 Verificar se o sistema abaixo pode ser resolvido pelo método de Jacobi ou de Gauss-Seidel 0,5 0,6 0,3 x 1 0, x 2 = 0. 0,4 0,4 1 x 3 0,6 Matriz A não é diagonal estritamente dominante. Matrizes de iteração J = D 1 (E + F ) = S = (D + E) 1 F = Raios espectrais: ρ(j) > 1 e ρ(s) < ,2 0, ,4 0, ,2 0,6 0 1,2 0,4 0 0,96 0,08 ρ(j) = 1,1200 e ρ(s) = 0,6928.

420 c 2009 FFCf 420 Dez primeiras iterações Solucao de sistema linear pelo metodo de Jacobi Iter x1 x2 x3 NormaRelativa e e e e e e e e e e-01 Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Seidel Iter x1 x2 x3 NormaRelativa e e e e e e e e e e-02

421 c 2009 FFCf 421 Exemplo de convergência Exemplo 55 Verificar se o sistema a seguir pode ser resolvido pelo método de Jacobi ou de Gauss-Seidel 0,5 0,6 0,3 x 1 0, x 2 = 0. 0,4 0,4 1 x 3 0,6

422 c 2009 FFCf 422 Exemplo de convergência Exemplo 55 Verificar se o sistema a seguir pode ser resolvido pelo método de Jacobi ou de Gauss-Seidel 0,5 0,6 0,3 x 1 0, x 2 = 0. 0,4 0,4 1 x 3 0,6 Matrizes de iteração J = D 1 (E + F ) = S = (D + E) 1 F = 0 1,2 0, ,4 0, ,2 0,6 0 1,2 0, ,4 ρ(j) = 0,8266 e ρ(s) = 1,2000.

423 c 2009 FFCf 423 Exemplo de convergência Exemplo 55 Verificar se o sistema a seguir pode ser resolvido pelo método de Jacobi ou de Gauss-Seidel 0,5 0,6 0,3 x 1 0, x 2 = 0. 0,4 0,4 1 x 3 0,6 Matrizes de iteração J = D 1 (E + F ) = S = (D + E) 1 F = Raios expectrais: ρ(j) < 1 e ρ(s) > ,2 0, ,4 0, ,2 0,6 0 1,2 0, ,4 ρ(j) = 0,8266 e ρ(s) = 1,2000.

424 c 2009 FFCf 424 Dez primeiras iterações Solucao de sistema linear pelo metodo de Jacobi Iter x1 x2 x3 NormaRelativa e e e e e e e e e e-02 Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Seidel Iter x1 x2 x3 NormaRelativa e e e e e e e e e e+00

425 c 2009 FFCf 425 Vetor erro ɛ k = V Λ k c. Velocidade de convergência Quanto menor o valor de ρ(m), mais rápida será a convergência do método iterativo.

426 c 2009 FFCf 426 Vetor erro ɛ k = V Λ k c. Velocidade de convergência Quanto menor o valor de ρ(m), mais rápida será a convergência do método iterativo. Matrizes de iteração para o sistema do Exemplo ,3 0,2 J = 0,25 0 0,125 ρ(j) = 0,2725 e 0,2 0, ,3 0,2 S = 0 0,075 0,075 ρ(s) = 0, ,045 0,055 Raios espectrais: ρ(s) < ρ(j).

427 c 2009 FFCf 427 Vetor erro ɛ k = V Λ k c. Velocidade de convergência Quanto menor o valor de ρ(m), mais rápida será a convergência do método iterativo. Matrizes de iteração para o sistema do Exemplo ,3 0,2 J = 0,25 0 0,125 ρ(j) = 0,2725 e 0,2 0, ,3 0,2 S = 0 0,075 0,075 ρ(s) = 0, ,045 0,055 Raios espectrais: ρ(s) < ρ(j). Método de Gauss-Seidel converge mais rápido. Gasta 6 iterações (Exemplo 49) contra 9 do método de Jacobi (Exemplo 46).

428 c 2009 FFCf 428 Refinamento como método estacionário Refinar a solução de um sistema linear a partir dos fatores da decomposição. Esquema do refinamento de solução LUx 0 = P b Lt = P b e Ux 0 = t, r k = b Ax k LUc k = P r k Lt = P r k e Uc k = t x k+1 = x k + c k k = 0, 1, 2,...

429 c 2009 FFCf 429 Refinamento como método estacionário Refinar a solução de um sistema linear a partir dos fatores da decomposição. Esquema do refinamento de solução LUx 0 = P b Lt = P b e Ux 0 = t, r k = b Ax k LUc k = P r k Lt = P r k e Uc k = t x k+1 = x k + c k Rearranjando as equações k = 0, 1, 2,... x k+1 = x k + c k = x k + U 1 L 1 P r k = x k + U 1 L 1 P (b Ax k ) x k+1 = x k U 1 L 1 P Ax k + U 1 L 1 P b,

430 Refinamento como método estacionário Refinar a solução de um sistema linear a partir dos fatores da decomposição. Esquema do refinamento de solução LUx 0 = P b Lt = P b e Ux 0 = t, r k = b Ax k LUc k = P r k Lt = P r k e Uc k = t x k+1 = x k + c k Rearranjando as equações x k+1 = x k + c k Resulta em k = 0, 1, 2,... = x k + U 1 L 1 P r k = x k + U 1 L 1 P (b Ax k ) x k+1 = x k U 1 L 1 P Ax k + U 1 L 1 P b, x k+1 = (I U 1 L 1 P A)x k + U 1 L 1 P b, (43) Apresenta a forma de um método iterativo estacionário. c 2009 FFCf 430

431 c 2009 FFCf 431 Exemplo de refinamento como método estacionário Exemplo 56 Resolver o sistema do Exemplo 44, utilizando a formulação mostrada em (43) x x 2 = x 3 11

432 c 2009 FFCf 432 Exemplo de refinamento como método estacionário Exemplo 56 Resolver o sistema do Exemplo 44, utilizando a formulação mostrada em (43) x x 2 = x 3 11 Três fatores obtidos pela decomposição LU com pivotação parcial L = 0,67 1 0, U = 0 6,33 3 e P = ,33 0, ,

433 c 2009 FFCf 433 Exemplo de refinamento como método estacionário Exemplo 56 Resolver o sistema do Exemplo 44, utilizando a formulação mostrada em (43) x x 2 = x 3 11 Três fatores obtidos pela decomposição LU com pivotação parcial L = 0,67 1 0, U = 0 6,33 3 e P = ,33 0, , Matriz de iteração (I U 1 L 1 P A) = 3,6384 2,2421 7,2768 4,0359 6,1000 8,0719 5,1825 6, ,

434 c 2009 FFCf 434 Refinamento como método estacionário cont. Vetores Iterações calculadas por (43) U 1 L 1 P b = x 0 = [1,9731 0,9738 4,9647] T. k x k 1 x k 2 x k 3 0 1,9731 0,9738 4, ,9999 1,0000 4, ,0000 1,0000 5,0000.

435 c 2009 FFCf 435 Refinamento como método estacionário cont. Vetores Iterações calculadas por (43) U 1 L 1 P b = x 0 = [1,9731 0,9738 4,9647] T. k x k 1 x k 2 x k 3 0 1,9731 0,9738 4, ,9999 1,0000 4, ,0000 1,0000 5,0000 Comparando com os resultados do Exemplo 44 Raio espectral ρ(i U 1 L 1 P A) = 6, < 1: processo convergiu..

436 c 2009 FFCf 436 Refinamento como método estacionário cont. Vetores Iterações calculadas por (43) U 1 L 1 P b = x 0 = [1,9731 0,9738 4,9647] T. k x k 1 x k 2 x k 3 0 1,9731 0,9738 4, ,9999 1,0000 4, ,0000 1,0000 5,0000 Comparando com os resultados do Exemplo 44 Raio espectral ρ(i U 1 L 1 P A) = 6, < 1: processo convergiu. Perturbação nos fatores L e U for grande o suficiente para ρ(i U 1 L 1 P A) 1: processo não mais convergirá..

437 c 2009 FFCf 437 Malcondicionamento Sistema linear Ax = b A = [ 1 0,99 0,99 0,98 ] e b = [ 1,99 1,97 ]. Solução exata: x = [1 1] T.

438 c 2009 FFCf 438 Malcondicionamento Sistema linear Ax = b A = [ 1 0,99 0,99 0,98 ] e b = [ 1,99 1,97 ]. Solução exata: x = [1 1] T. Vetor b = [1,99 1,98] T b. Solução exata de Ay = b: y = [100 99] T.

439 c 2009 FFCf 439 Malcondicionamento Sistema linear Ax = b A = [ 1 0,99 0,99 0,98 ] e b = [ 1,99 1,97 ]. Solução exata: x = [1 1] T. Vetor b = [1,99 1,98] T b. Solução exata de Ay = b: y = [100 99] T. Seja a matriz à = [ 1 0,99 0,99 0,99 Solução exata de Ãz = b: z = [2 1/99]T. ] A.

440 c 2009 FFCf 440 Malcondicionamento Sistema linear Ax = b A = [ 1 0,99 0,99 0,98 ] e b = [ 1,99 1,97 ]. Solução exata: x = [1 1] T. Vetor b = [1,99 1,98] T b. Solução exata de Ay = b: y = [100 99] T. Seja a matriz à = [ 1 0,99 0,99 0,99 Solução exata de Ãz = b: z = [2 1/99]T. Matriz A é quase singular (det(a) = 10 4 ). Sistema linear malcondicionado. ] A.

441 c 2009 FFCf 441 Interpretação geométrica do malcondicionamento Três planos definidos por um sistema linear. Dois planos são quase coincidentes. Deslocamento no ponto de interseção.